8. Cấu trúc của khoá luận
3.2. Các quan hệ trong môn Toán phổ thông
3.2.1. Kiến thức về quan hệ tƣơng đƣơng trong môn Toán phổ thông 3.2.1.1. Các quan niệm về sự bằng nhau và dấu “=”
- Bằng nhau theo nghĩa tập hợp: Tập hợp A bằng tập hợp B và kí hiệu là A = B nếu mỗi phần tử của A cũng là phần tử của B và ngược lại.
- Bằng nhau theo nghĩa bao hàm (ánh xạ): Hai ánh xạ f : AB và g : AB được gọi là bằng nhau nếu với mỗi phần tử a A ta luôn có
f(a) = g(a). Trong trường hợp này đòi hỏi f và g phải có cùng tập nguồn (A), cùng tập đích (B) và mỗi giá trị của chúng tại mỗi phần tử thuộc tập nguồn luôn bằng nhau.
- Bằng nhau theo nghĩa hình học: Hai đoạn thẳng bằng nhau được định nghĩa thông qua số đo độ dài; hai tam giác bằng nhau được định nghĩa thông qua số đo các yếu tố (cạnh, góc) tương ứng và phụ thuộc vào thứ tự liệt kê các đỉnh;
vectơ bằng nhau được định nghĩa thông qua sự cùng hướng và cùng độ dài; ... - Dấu bằng “=” dùng trong các phương trình lại mang ý nghĩa tượng trưng. Chỉ đối với các nghiệm ta mới thực sự có dấu bằng của các vế.
3.2.1.2. Các quan hệ tƣơng đƣơng trong môn Toán phổ thông
Trong môn toán phổ thông các quan hệ sau đây là quan hệ tương đương: - Quan hệ bằng nhau trên các tập hợp bất kì: tập hợp số, tập hợp biểu thức, tập hợp tam giác, tập hợp các đoạn thẳng, tập hợp các góc, tập hợp các vectơ trong mặt phẳng, tập hợp các vectơ trong không gian....
- Quan hệ tương đương theo các nghĩa được nói đến trong các trường hợp cụ thể của kiến thức môn Toán: Hai hình phẳng tương đương (có cùng diện tích); hai phương trình tương đương, hai bất phương trình tương đương (có cùng tập nghiệm).
- Quan hệ cùng phương của các đường thẳng, của các véctơ. - Quan hệ đồng dạng.
3.2.1.3. Các khái niệm trong môn Toán đƣợc hình thành bằng con đƣờng trừu tƣợng hóa đồng nhất
Cách xây dựng khái niệm mới bằng phương pháp trừu tượng hóa đồng nhất có thể thực hiện như sau:
- Bước 1: Từ tập hợp đã biết tạo ra một tập hợp mới nhờ các phép toán tập hợp. Phép toán thường dùng là phép lấy tích Đềcác của các tập hợp đã biết.
- Bước 2: Xét một quan hệ tương đương trên tập hợp vừa xây dựng.
- Bước 3: Thực hiện sự chia lớp tập hợp vừa xây dựng theo quan hệ tương đương đã xét.
Phần tử của tập thương được dùng để định nghĩa một khái niệm mới. Việc gọi tên và định nghĩa các quan hệ, các phép toán đối với khái niệm mới phải dựa vào các phần tử đại diện.
Trong môn Toán ở trường phổ thông các khái niệm được hình thành bằng phương pháp trừu tượng hóa đồng nhất như: số tự nhiên, số hữu tỉ, phân thức đại số, vectơ, ...
3.2.2. Quan hệ thứ tự trên các tập hợp trong môn Toán phổ thông
Một số trường hợp những tập hợp được sắp bởi một quan hệ thứ tự trên nó trong môn Toán phổ thông:
TT Tập hợp – kí hiệu Quan hệ S ( 1 S ) Tính chất của S 1 Tập hợp số tự nhiên < (>) Toàn phần, ngặt, tốt, rời rạc 2 Tập hợp số tự nhiên ( ) Toàn phần, tốt, rời rạc 3 Tập hợp số tự nhiên (chia hết cho) Bộ phận
4 Tập hợp số nguyên < (>) Toàn phần, ngặt, rời rạc
5 Tập hợp số nguyên ( ) Toàn phần, rời rạc
6 Tập hợp số hữu tỉ < (>) Toàn phần, ngặt, trù mật 7 Tập hợp số hữu tỉ ( ) Toàn phần, trù mật 8 Tập hợp số thực < (>) Toàn phần, ngặt, trù mật 9 Tập hợp số thực ( ) Toàn phần, trù mật 10 Tập hợp đa thức một ẩn x f g bậc f bậc g Bộ phận ... ... ... ...
3.2.3. Phƣơng pháp quy nạp toán học
a) Dạng thông thường
Để chứng minh một kết luận f(n) nào đó về số tự nhiên n đúng với mọi số tự nhiên ta thực hiện hai bước sau:
- Bước 1: Kiểm tra khẳng định f(n) đúng khi n = 0 (khẳng định f(0) đúng); - Bước 2: Giả sử khẳng định đúng với một số tự nhiên k bất kì, chứng minh khẳng định đó đúng với k + 1 (f(k) đúng suy ra f(k + 1) đúng).
b) Dạng suy rộng
Để chứng minh một kết luận f(n) nào đó về số tự nhiên n đúng với mọi số tự nhiên bắt đầu từ một số tự nhiên a nào đó ta thực hiện hai bước sau:
- Bước 1: Kiểm tra khẳng định f(n) đúng khi n = a (khẳng định f(a) đúng); - Bước 2: Giả sử khẳng định đúng với một số tự nhiên k a bất kì, chứng minh khẳng định đó đúng với k + 1 (f(k) đúng với k a suy ra f(k + 1) đúng).
c) Dạng quy nạp kiểu Côsi (quy nạp lùi)
Để chứng minh một kết luận f(n) nào đó về số tự nhiên n đúng với mọi số nguyên dương ta thực hiện ba bước sau:
- Bước 1: Kiểm tra khẳng định f(n) đúng khi n = 1 (khẳng định f(1) đúng); - Bước 2: Giả sử khẳng định đúng với một số tự nhiên k bất kì, chứng minh khẳng định đó đúng với 2k ( tức giả sử f(k) đúng suy ra f(2k) đúng) ;
- Bước 3: : Giả sử khẳng định đúng với một số k + 1 chứng minh khẳng định đó đúng với k.
Trong bước thứ hai ở trên ta có thể thay 2 bởi 3 hoặc 4 hay một số nguyên dương bất kì.
Ví dụ: Chứng minh rằng n5 n với n (n ).
+ Chứng minh bằng phương pháp quy nạp thông thường:
Đặt f(n) = n5 n.
Bước 1: Khi n = 0 ta có f(0) = 5
0 0 = 0 5. Vậy kết luận đúng khi n = 0. Bước 2: Giả sử kết luận đúng với n = k, tức là 5
(k k) 5, k . Ta chứng minh kết luận đúng với n = k + 1. Thật vậy, ta có:
(k 1) 5 (k 1) = k5 5k4 10k2 5k 1 k 1 = (k5 k) 5(k 4 2k3 2k2 k) (*)
Theo giả thiết quy nạp ta có 5
(k k) 5 mà 5(k4 2k3 2k2 k) 5. Do đó (*) chia hết cho 5 nên kết luận đúng với n = k + 1.
Vậy, kết luận đúng với n (n ), tức là 5
(n n) 5, n
+ Chứng minh bằng phương pháp quy nạp lùi:
Bước 1: Khi n = 0 ta có 5
0 0 = 0 5 .
Khi n = 1 ta có 15 1 = 0 5 . Như vậy kết luận đúng với n = 0 và n = 1. Bước 2: Giả sử kết luận đúng với n = k, tức là 5
(k k) 5, k . Ta chứng minh kết luận đúng với n = 2k. Thật vậy, ta có:
(2k)5(2k)2k52k30k5 2(k5 k) 30k 5. (**) Theo giả thiết quy nạp ta có 5
(k k) 5 mà 30k5 5 . Do đó (**) chia hết cho 5 nên kết luận đúng với n = 2k.
Bước 3: Giả sử kết luận đúng với n = k + 1, tức là 5
((k 1) (k 1)) 5 , k . Ta chứng minh kết luận đúng với n = k. Thật vậy, ta có:
(k 1) 5(k 1) = k55k4 10k2 5k 1 k 1 = (k5 k) 5(k 4 2k3 2k2 k) 5 . Hiển nhiên 4 3 2
5(k 2k 2k k) 5 , do đó (k5 k) 5. Vậy kết luận được chứng minh.
KẾT LUẬN
Với nhiêm vụ đặt ra, khóa luận đã trình bày một cách có hệ thống và tương đối đầy đủ các kiến thức cơ bản về tập hợp, ánh xạ, quan hệ bao gồm định nghĩa và các kiến thức liên quan, các thuật ngữ và kí hiệu của lí thuyết tập hợp, ánh xạ, quan hệ. Qua đó, chúng tôi đưa ra mối quan hệ của chúng với kiến thức môn Toán phổ thông: kiến thức về lí thuyết tập hợp được sử dụng như một ngôn ngữ để trình bày kiến thức môn Toán ở trường phổ thông để làm tăng sự trong sáng, tiện lợi, đặc biệt sử dụng nhiều thuật ngữ và kí hiệu của lí thuyết tập hợp; kiến thức về ánh xạ được thể hiện trong nội dung kiến thức môn Toán phổ thông như dãy số, hàm số, đạo hàm, tích phân, các phép toán, các phép biến hình; kiến thức về quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự cũng được thể hiện trong nội dung kiến thức môn Toán phổ thông như quan hệ bằng nhau trên các tập hợp số, quan hệ tương đương trong các trường hợp: hai hình phẳng tương đương, hai phương trình tương đương, hai bất phương trình tương đương, quan hệ cùng phương của các vectơ, quan hệ đồng dạng, các quan hệ về dấu {<, >, , }…
Như chúng ta đã biết các kiến thức về tập hợp, ánh xạ và quan hệ là mảng kiến thức toán học quan trọng, nó được xem là cơ sở để hiểu nội dung các môn Toán ở phổ thông theo xu hướng phát triển của chương trình. Chúng tôi mong rằng khóa luận này sẽ trở thành một trong các tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn đọc quan tâm, hi vọng trong tương lai tôi và các bạn sẽ có nhiều đóng góp to lớn cho ngành Toán học.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo dục.
2. Nguyễn Bá Kim (1994), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Giáo dục. 3. Hoàng Xuân Sính (2006), Đại số đại cương, NXB Giáo dục.
4. Chu Trọng Thanh – Trần Trung (2010), Cơ sở toán học hiện đại của kiến thức
môn Toán phổ thông, NXB Giáo dục.
5. Sách giáo khoa, sách giáo viên môn Toán cấp Tiểu học; THCS; PTTH hiện hành.