8. Cấu trúc của khoá luận
3.1.5. Quan hệ thứ tự
* Định nghĩa: Cho X là một tập hợp. Một quan hệ S trên tập hợp X được
gọi là quan hệ thứ tự nếu S có các thuộc tính phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. + S là một quan hệ thứ tự ngặt nếu S có thuộc tính phản đối xứng ngặt và thuộc tính bắc cầu.
- Quan hệ và quan hệ trên các tập hợp số , , , là những quan hệ thứ tự và chúng là những quan hệ ngược nhau.
- Quan hệ < và quan hệ > trên các tập hợp số , , , là những quan hệ thứ tự ngặt và chúng là những quan hệ ngược nhau.
Tổng quát, giả sử 1
S là quan hệ ngược của quan hệ S, khi đó nếu S là một quan hệ thứ tự (thứ tự ngặt) thì 1
S cũng là một quan hệ thứ tự (thứ tự ngặt). - cho A là một tập hợp và (A) là tập hợp gồm tất cả các tập hợp con của A. Khi đó quan hệ và là những quan hệ thứ tự trên (A). Hai quan hệ này cũng là những quan hệ ngược nhau.
* Định nghĩa: Giả sử (X, ) là một tập hợp được sắp thứ tự bởi quan hệ
. Ta nói quan hệ thứ tự trên X là một quan hệ thứ tự toàn phần (hay thứ tự tuyến tính) nếu với a, b phân biệt thuộc X luôn xảy ra a b hoặc b a.
- Quan hệ thứ tự trên tập hợp X không phải là quan hệ tuyến tính được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận.
- Các quan hệ thứ tự thông thường trên các tập hợp số đều là quan hệ thứ tự tuyến tính; quan hệ và trên (A) là quan hệ bộ phận vì có những tập hợp con X và Y của A mà X không chứa Y và Y không chứa X.
* Định nghĩa: Giả sử (X, ) là một tập hợp được sắp thứ tự bởi quan hệ
. Ta nói quan hệ thứ tự trên X là một quan hệ thứ tự trù mật nếu với mọi phần tử x, y khác nhau thuộc X sao cho x y luôn z X sao cho x, y, z phân biệt và x y z.
- Nếu (X, ) là tập hợp được sắp thứ tự không trù mật được gọi là tập được sắp thứ tự rời rạc.
- Ta có , và ( , ) là rời rạc, , và ( , ) ; , và ( , ) là các tập hợp được sắp thứ tự trù mật.
* Định nghĩa: Giả sử (X, ) là một tập hợp được sắp thứ tự và A là một
mọi phần tử x A luôn có a x; phần tử b A được gọi là phần tử lớn nhất của tập hợp A nếu với mọi phần tử x A luôn có x b.
Rõ ràng, phần tử lớn nhất hay nhỏ nhất nếu có của một tập hợp A là duy nhất. - Tập hợp A bị chặn trên luôn có tập hợp các chặn trên của A khác rỗng. Phần tử nhỏ nhất trong tập hợp các chặn trên được gọi là chặn trên nhỏ nhất của A hay chặn trên đúng của A hoặc supremun của A và kí hiệu là sup(A).
- Tương tự, nếu tập hợp các chặn dưới của A tồn tại phần tử lớn nhất thì phần tử lớn nhất này được gọi là chặn dưới lớn nhất của A hay chặn dưới đúng của A hoặc Infimun của A và kí hiệu là Inf(A).
* Định nghĩa: Cho tập hợp được sắp thứ tự (X, ). Phần tử a A được
gọi là phần tử tối tiểu hay cực tiểu của X nếu với mọi phần tử x X sao cho x a luôn suy ra được a = x; phần tử b X được gọi là phần tử tối đại hay cực đại của tập hợp X nếu với mọi phần tử x X sao cho b x luôn suy ra b = x.
Một tập hợp được sắp thứ tự không nhất thiết tồn tại phần tử tối đại hay tối tiểu. Trường hợp tồn tại phần tử tối đại hay tối tiểu thì những phần tử này không nhất thiết là duy nhất.
* Định nghĩa: Tập hợp X với quan hệ thứ tự được gọi là tập hợp sắp thứ tự tốt nếu với mọi tập con khác rỗng của X luôn tồn tại phần tử nhỏ nhất.
- Quan hệ thứ tự thông thường trên tập hợp số tự nhiên là quan hệ thứ tự tốt.