skkn một số ứng dụng thiết thực của lí thuyết tập hơp

Tập hợp các dân tộc Việt Nam … Trong bối cảnh ngành giáo dục đang nỗ lực thực hiện đề án về đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục Việt Nam, tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm MỘT S

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Đơn vị : THPT THỐNG NHẤT

Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán ứng dụng 

(Ghi rõ tên bộ môn)

- Lĩnh vực khác: 

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác

(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm học: 2013-2014

BM 01-Bia SKKN

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

1 Họ và tên: Bùi Đức Chi

2 Ngày tháng năm sinh: 1971

8 Đơn vị công tác: Trường THPT Thống nhất

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sỹ

- Năm nhận bằng: 2013

- Chuyên ngành đào tạo: Toán ứng dụng

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: giảng dạy môn Công nghệ và Toán ứng dụng

- Số năm có kinh nghiệm: 12

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

MỞ ĐẦU

• Tính cấp thiết của đề tài

Theo Nghị quyết Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ XI về đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục Việt Nam, trong đó có nêu quan điểm chỉ đạo phát triển GD&ĐT là phải ‘‘ … nâng cao khả năng tư duy sáng tạo, năng lực thực hành,

lý luận gắn với thục tế, học đi đôi với hành, …’’

Thực tế là đất nước ta đang trong thời kỳ CNH, HĐH Công cụ lao động lạc hậu được thay thế bởi trang thiết bị máy móc hiện đại Sự kết hợp giữa phương tiện lao động tiên tiến và sức mạnh trí tuệ, sức mạnh tinh thần nhằm nâng cao năng suất lao động, nâng cao hiệu quả kinh tế Sự đổi mới đó đã đem lại những kết quả nhất định: kinh tế phát triển, chất lượng cuộc sống được nâng lên, an sinh xã hội được cải thiện, người dân có thêm công ăn việc làm, … Công cuộc xây dựng, phát triển và bảo vệ đất nước là nhiệm vụ không chỉ của riêng ai mà

là nhiệm vụ của các cấp, các ngành và toàn thể xã hội

Trong những năm qua, ngành giáo dục và đào tạo đã có những phong trào cải cách giáo dục thiết thực như “Nói không với tiêu cực trong thi cử”, “Nói không với việc chạy theo thành tích”, “Nói không với đào tạo không đạt chuẩn, không đáp ứng nhu cầu xã hội”, … Đây là những lời cảnh báo về chất lượng giáo dục và cũng là thời cơ để các cơ sở giáo dục, các ngành nghề đào tạo phải đổi mới nhằm đáp ứng đòi hỏi thực tế xã hội

Ngành toán học thuần lý thuyết của Việt Nam đã có một bề dày lịch sử phát triền và đã gặt hái được nhiều thành quả đáng khích lệ Tuy vậy, những thành quả trên giấy vẫn còn xa rời thực tế ! Trái lại, sự ra đời của ngành toán ứng dụng Việt Nam là nhằm ứng dụng những kết quả nghiên cứu khoa học cơ bản vào việc giải quyết những bài toán thực tế

Việc giảng dạy môn toán gắn liền với thực tế còn ít được phổ biến ở các trường phổ thông Một mặt do đội ngũ giáo viên toán chưa được đào tạo bài bản

về toán ứng dụng, mặt khác, dạy toán ứng dụng đòi hỏi phải có sự đầu tư về tài chính, công sức và thời gian để đi thu thập thông tin, số liệu thực tế Đó là một thực trạng dạy toán ở phổ thông.

Trong toán học, khái niệm tập hợp là một khái niệm cơ bản và không được định nghĩa Có lẽ do “cơ bản” nên ít người để ý tới Nếu để ý một chút ta thấy rằng khái niệm tập hợp hiện diện trong mọi lĩnh vực không chỉ trong học thuật

mà còn trong thực tiễn sinh động Ví dụ: Tập hợp các trường cao đẳng và đại học đóng trên địa bàn tỉnh Đồng Nai Tập hợp các cơn bão đổ bộ vào Việt Nam năm 2013 Tập hợp các dân tộc Việt Nam …

Trong bối cảnh ngành giáo dục đang nỗ lực thực hiện đề án về đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục Việt Nam, tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm MỘT SỐ ỨNG DỤNG THIẾT THỰC CỦA LÝ THUYẾT TẬP HỢP với mục đích một là đổi mới phương pháp dạy học của giáo viên và nâng cao chất lượng học tập của học sinh, hai là thắp lên niềm đam mê học toán ứng dụng trong học sinh, cũng chính là góp phần thúc đẩy ngành toán học ứng dụng nước nhà ngày một đi lên

• Đối tượng nghiên cứu

• Lý thuyết tập hợp

• Học sinh trung học phổ thông

• Mục tiêu

Đề tài thực hiện các điều sau đây:

• Nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng của lý thuyết tập hợp

• Cách thức dạy học kết hợp giữa lý thuyết và thực tế

• Giúp học sinh biết vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn đời sống

• Nội dung

Để đạt các mục tiêu trên, đề tài thực hiện các nội dung sau:

• Tổng quan một số cơ sở lý thuyết

• Ứng dụng lý thuyết tập hợp và giản đồ Venn để phân tích số liệu.

• Ứng dụng lý thuyết tập hợp để giải bài toán tìm kiếm trên internet

• Ứng dụng lý thuyết tập hợp trong khoa học máy tính

• Ứng dụng lý thuyết tập hợp trong xác suất thống kê

• Phương pháp

Các phương pháp sau đây được sử dụng trong nghiên cứu:

• Phương pháp tham khảo tài liệu: tìm hiểu cơ sở lý thuyết và thực tiễn

• Phương pháp chuyên gia: tham khảo ý kiến của các nhà giáo giàu kinh nghiệm và các chuyên gia chuyên ngành

Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

G: trọng lượng toàn bộ của ôtô

Pk: lực kéo tiếp tuyến ở bánh xe chủ động

Pf1: lực cản lăn ở bánh xe bị động

Pf2: lực cản lăn ở bánh xe chủ động

Pw: lực cản không khí

Pi: lực cản lên dốc

Pj: lực quán tính của ôtô khi chuyển động

Z1, Z2: phản lực pháp tuyến của mặt đường tác dụng lên các bánh xe ở cầu trước và cầu sau

Để mô tả phần tử của tập hợp, người ta dùng chữ cái Hylạp là epsilon,

Tập hợp có thể được xác định theo 3 cách sau:

Xét phương trình điều chế khí hydro H2

Gọi A và B là tập các nguyên tố của chất tham gia và tạo thành sau phản ứng

Tập hợp chứa một số hữu hạn phần tử được gọi là tập hợp hữu hạn

Tập hợp chứa vô số phần tử được gọi là tập hợp vô hạn

Số phần tử của tập hợp X được gọi là lực lượng của tập hợp, kí hiệu |X| hoặc n(X).Giả sử A={xN | 0≤x≤1}, A là tập 2 số tự nhiên 0 và 1 hay A={0; 1} Khi đó A là tập hữu hạn và |A|=2

Giả sử B={xQ | 0≤x≤1}, B là tập số hữu tỉ trong khoang từ 0 đến 1 Khi đó B là tập

vô hạn

• Tập vũ trụ

Tập chứa tất cả các phần tử trong điều kiện, bài toán đang xem xét được gọi

là tập vũ trụ, kí hiệu U, các tập còn lại là tập con của tập vũ tru

Tung súc sắc một lần Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra là

U={1; 2; 3; 4; 5; 6}

B={1; 3; 5}, tập các mặt lẻ xuất hiện

C={2; 4; 6}, tập các mặt chẵn xuất hiện

Khi đó BU và CU

vũ trụ và các hình tròn mô tả các tập hợp con Miền gối lên nhau của các hình tròn

mô tả các phần tử chung của các tập hợp giao nhau

Giản đồ Venn minh họa giao của hai tập A và B

Giản đồ Venn dưới đây mô tả quan hệ ba tập hợp A, B và C

• Các phép toán trên tập hợp

• Nguyên lý bao hàm và loại trừ

Theo nguyên lý bao hàm và loại trử, số phần tử của hợp 3 tập hợp là:

n(ABC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AB)-n(AC)-n(BC)+n(ABC)

• Hợp của hai tập hợp

Hợp của tập A và B, kí hiệu AB, bao gồm tất cả các phần tử thuộc A hoặc B

• Giao của hai tập hợp

Giao của tập A và B, kí hiệu AB, bao gồm các phần tử chung của A và B

• Hiệu của hai tập hợp

Hiệu của tập A và B, kí hiệu A \ B, bao gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B

Một cuộc khảo sát 200 người để thăm dò xem họ thích du lịch trong nước hay nước ngoài và sau đây là kết quả:

150 người thích du lịch trong nước

70 người thích du lịch nước ngoài

50 người thích cả hai, trong nước và ngoài nước

Dùng giản đồ Venn để mô tả số liệu trên như dưới đây

Tổng số người được khảo sát là 200 người, tức là =200

U

B

A

Đặt:

A={những người thích du lịch trong nước}, n(A)=150

B={những người thích du lịch nước ngoài}, n(B)=70

Khi đó:

A\B={những người chỉ thích du lịch trong nước}, n(A\B)=100

B\A={ những người chỉ thích du lịch nước ngoài}, n(B\A)=20

AB ={ những người thích du lịch vừa trong nước và nước ngoài}, n(AB)=50AB={những người thích du lịch hoặc trong nước hoặc nước ngoài}, n(AB)=170( AB)c={những người không thích du lịch trong nước lẫn nước ngoài},

|( AB)c|=30

Chương 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA

LÝ THUYẾT TẬP HỢP

Chương này trình bày một số ứng dụng thiết thực của lý thuyết tập hợp như ứng dụng trong phân tích dữ liệu, xác suất, tìm kiếm internet, khoa học máy tính, …

2.1 Ứng dụng lý thuyết tập hợp và giản đồ Venn để phân tích số liệu.

Lý thuyết tập hợp có thuận lợi trong việc phân tích, phân loại và tổ chức dữ liệu theo nhóm Dưới đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Một cuộc khảo sát 36 sinh viên nghiên cứu khoa học và cho kết quả như sau:

14 sinh viên nghiên cứu vật lý,

18 sinh viên nghiên cứu hóa học,

24 sinh viên nghiên cứu sinh học,

5 sinh viên nghiên cứu vật lý và hóa học,

8 sinh viên nghiên cứu vật lý và sinh học,

10 sinh viên nghiên cứu sinh học và hóa học,

3 sinh viên nghiên cứu cả ba chủ đề vật lý, hóa học và sinh học

Hãy xác định:

• Số sinh viên chỉ nghiên cứu đồng thời vật lý và sinh học

• Số sinh viên nghiên cứu tối thiểu hai chủ đề

• Số sinh viên chỉ nghiên cứu sinh học

Đặt: A={sinh viên nghiên cứu vật lý}

B={sinh viên nghiên cứu hóa học}

C={sinh viên nghiên cứu sinh học}

Dưới đây ta vẽ giản đồ Venn mô tả các dữ liệu ở trên như sau:

3 sinh viên nghiên cứu cả ba chủ đề vật lý, hóa học và sinh học, tức là n(ABC)=3

5 sinh viên nghiên cứu hai chủ đề vật lý và hóa học, tức là n(AB)=5

8 sinh viên nghiên cứu hai chủ đề vật lý và sinh học, tức là n(AC)=8

10 sinh viên nghiên cứu hai chủ đề sinh học và hóa học, tức là n(BC)=10

Từ đó ta được

Số sinh viên chỉ nghiên cứu hai chủ đề vật lý và sinh học: 8-3=5

Số sinh viên nghiên cứu tối thiểu hai chủ đề: 2+3+5+7=17

Số sinh viên chỉ nghiên cứu sinh học: 24-5-3-7=9

Ví dụ 2 Một cuộc khảo sát về năng lực của công nhân tại một xưởng cơ khí và đã cho kết quả như sau :

44 công nhân biết vận hành máy tiện,

49 công nhân biết vận hành máy phay,

56 công nhân biết điều khiển máy dập,

27 công nhân biết vận hành cả máy tiện lẫn máy phay,

19 công nhân biết vận hành cả máy phay lẫn điều khiển máy dập,

24 công nhân biết vận hành cả máy tiện lẫn điều khiển máy dập,

10 công nhân có thể điều khiển được cả ba máy,

9 công nhân không biết điều khiển cả ba máy.

Hãy xác định tổng số công nhân của xưởng cơ khí đó

Đặt: A={công nhân biết vận hành máy tiện},

B={công nhân biết vận hành máy phay},

C={công nhân biết điều khiển máy dập}

Lập giản đồ Venn cho số liệu ở trên ta được giản đồ như dưới đây

Dưới đây là phần giải thích cho giản đồ Venn ở trên

V={công nhân biết vận hành cả ba máy}, n(V)=10

II={công nhân chỉ biết vận hành máy tiện và máy phay}, n(II)=27-10=17

IV={công nhân chỉ biết vận hành máy tiện và điều khiển máy dập}, 10=14

n(IV)=24-VI={công nhân chỉ biết vận hành máy phay và điều khiển máy dập}, 10=9

n(VI)=19-I={công nhân chỉ biết vận hành máy tiện}, n(I)=44-(17+10+14)=3

III={công nhân chỉ biết vận hành máy phay}, n(III)=49-(17+10+9)=13

VII={công nhân chỉ biết điều khiển máy dập}, n(VII)=56-(14+10+9)=23

VIII={công nhân không biết điều khiển cả ba máy}, n(VIII)=9

Tổng số công nhân của xưởng cơ khí đó là:

n(I)+n(II)+n(III)+n(IV)+n(V)+n(VI)+n(VII)

+n(VIII)=3+17+13+14+10+9+23+9=98

2.2 Lý thuyết tập hợp và vấn đề tìm kiếm trên internet.

Lý thuyết tập hợp được sử dụng để sàng lọc, thu hep các địa chỉ trang web

về chủ đề tìm kiếm Các toán tử logic được sử dụng cho mục đích đó, bao gồm các toán tử AND, OR, NOT, … Toán tử AND tương đương phép giao của tập hợp, toán tử OR tương đương phép hợp các tập hợp Cho nên, khi mô tả từ khóa có chứa các toán tử nói trên chính là ta định nghĩa tập hợp chứa các thông tin, địa chỉ web cần tìm kiếm

Chẳng hạn ta muốn tìm kiếm thông tin nói về mối quan hệ giữa sự ô nhiễm không khí và thời tiết cũng như triều cường tại TP HỒ CHÍ MINH, ta tiến hành tìm kiếm, sàng lọc thông tin như dưới đây

Đặt: U={x | x là địa chỉ web trên internet}

A={x | x là địa chỉ web có chứa cụm từ “ô nhiễm không khí”}

Từ khóa tìm kiếm: ô nhiễm không khí

Khoảng 7.700.000 kết quả (0,30 giây)

Ở đây U là tập vũ trụ, A là tập con, AU và n(A)=7.700.000, tức là có khoảng

7.700.000 địa chỉ web có chứa cụm từ “ô nhiễm không khí”

Với số lượng 7.700.000 địa chỉ web là quá nhiều cho việc tham khảo Do vậy ta tiếp tục thu hẹp địa chỉ web về chủ đề tìm kiếm như sau

Đặt: B={x | x là địa chỉ web có chứa từ “thời tiết”}

Từ khóa tìm kiếm: ô nhiễm không khí AND thời tiết

Khoảng 2.070.000 kết quả (0,52 giây)

Từ khóa tìm kiếm “ô nhiễm không khí AND thời tiết” có nghĩa là tìm những vị trí web có chứa cụm từ “ô nhiễm không khí” và từ “thời tiết” Ở đây ta đã sử dụng toán tử AND để thu hẹp số lượng các địa chỉ web về chủ đề cần tìm kiếm

Mô tả từ khóa “ô nhiễm không khí AND thời tiết” bằng ngôn ngữ tập hợp như sauA={x | x là địa chỉ web có chứa cụm từ “ô nhiễm không khí”}

B={x | x là địa chỉ web có chứa từ “thời tiết”}

AB={x | x là địa chỉ web có chứa cụm từ “ô nhiễm không khí” và từ “thời tiết”}n(AB)=2.070.000 Tức là có khoảng 2.070.000 địa chỉ web chứa cả cụm từ “ô nhiễm không khí” và từ “thời tiết”

Ta muốn giảm số lượng 2.070.000 địa chỉ web này bằng cách như sau

Đặt: C={x | x là địa chỉ web có chứa cụm từ “triều cường tại TP.HCM”}

Từ khóa tìm kiếm: ô nhiễm không khí AND thời tiết AND triều cường tại

TP.HCM

Khoảng 178.000 kết quả (0,46 giây)

Mô tả từ khóa tìm kiếm “ô nhiễm không khí AND thời tiết AND triều cường tại TP.HCM ” bằng ngôn ngữ tập hợp như sau

A={x | x là địa chỉ web có chứa cụm từ “ô nhiễm không khí”}

B={x | x là địa chỉ web có chứa từ “thời tiết”}

C={x | x là địa chỉ web có chứa cụm từ “triều cường tại TP.HCM”}

ABC={x | x là địa chỉ web có chứa các cụm từ “ô nhiễm không khí”, “thời tiết” và

“triều cường tại TP.HCM”}

n(ABC)=178.000, tức là có khoảng 178.000 địa chỉ web chứa cả cụm từ “ô nhiễm không khí”, “thời tiết” và “triều cường tại TP.HCM”

Trên đây đã minh họa việc sử dụng toán tử AND để thu hep các địa chỉ web về chủ

đề tìm kiếm

2.3 Ứng dụng lý thuyết tập hợp trong khoa học máy tính

Lý thuyết tập hợp được sử dụng đa dạng và phong phú trong khoa học máy tính Ở đây chỉ nêu hai khía cạnh cơ bản mà khoa học máy tính đã phải sử dụng tới

lý thuyết tập hợp, đó là kiểu dữ liệu và biểu diễn tập hợp trong máy tính

2.3.1 Kiểu dữ liệu

Khái niệm kiểu dữ liệu trong khoa học máy tính dựa trên khái niệm tập hợp trong toán học Kiểu dữ liệu là một tập hợp các dữ liệu có chung những đặc trưng riêng Tên của kiểu dữ liệu thường cũng là tên của tập hợp

Ví dụ trong ngôn ngữ Pascal có những kiểu dữ liệu cơ bản như: integer(kiểu số nguyên), real(kiểu số thực), char(kiểu ký tự), kiểu logic(Boolean), …

Các kiểu dữ liệu có cấu trúc như: string(kiểu chuỗi ký tự), array(kiểu mảng một chiều hoặc nhiều chiều)

Cũng như tập hợp và các toán tử trên tập hợp Các kiểu dữ liệu cũng có những toán tử đặc trưng trên kiểu dữ liệu đó

Ví dụ như kiểu Boolean có hai giá trị 0(False) và 1(True) và có các toán tử như AND(kí hiệu &), OR, NOT

2.3.2 Biểu diễn tập hợp trong khoa học máy tính

Ở đây chỉ xét tập hợp mà thứ tự các phần tử của tập không được xét đến Để lưu trữ các tập hợp như vậy người ta làm như sau

Giả sử U={a1, a2, a3, , an} là tập vũ trụ Số lượng phần tử của U, n(U) = n, phụ thuộc vào dung lượng bộ nhớ máy tính

Một tập con A của U, AU, được mô tả bằng một chuỗi bit(0 hoặc 1) có chiều dài n, tức là n(A) = n với quy ước: nếu aiA thì bit thứ i trong chuỗi có giá trị là 1, còn nếu

aiA thì bit thứ i trong chuỗi có giá trị là 0

Ví dụ gieo con súc sắc cân đối và đồng chất một lần Xét các tập con(biến cố) sau:A={xN* | x là số chẵn}, biến cố xuất hiện mặt chẵn, tức là A={2; 4; 6}

B={xN | x là số lẻ}, biến cố xuất hiện mặt lẻ, tức là B={1; 3; 5}

C={2; 5}, biến cố xuất hiện mặt số 2 hoặc 5

D={1; 2; 5; 6}, biến cố xuất hiện một trong các mặt 1, 2, 5, 6

Sau đây ta sẽ biểu diễn các tập trên bằng chuỗi bit

Đặt U={1; 2; 3; 4; 5; 6} là tập vũ trụ Khi đó:

Tập A={2; 4; 6} có biểu diễn chuỗi bit là 010101

Tập B={1; 3; 5} có biểu diễn chuỗi bit là 101010

Tập C={2; 5} có biểu diễn chuỗi bit là 010010