Mối liên hệ giữa nội dung dạy học ánh xạ với nội dung dạy học môn toán ở phổ thông

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ====== NGUYỄN THỊ QUỲNH MỐI LIÊN HỆ GIỮA NỘI DUNG DẠY HỌC ÁNH XẠ VỚI NỘI DUNG DẠY HỌC MÔN TỐN Ở PHỔ THƠNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS DƢƠNG THỊ LUYẾN HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy cô giáo tổ đại số, thầy khoa Tốn, thầy giáo, giáo trƣờng ĐHSP Hà Nội bạn sinh viên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS Dƣơng Thị Luyến - Giảng viên khoa Tốn ngƣời tận tình hƣớng dẫn em suốt q trình hồn thiện khóa luận Do lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Hơn thời gian có hạn lực thân cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót Em xin kính mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến thầy bạn sinh viên để khóa luận em đƣợc hồn thiện có nhiều ứng dụng thực tế Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Quỳnh LỜI CAM ĐOAN Em xin khẳng định rằng: Đây công trình nghiên cứu khoa học em, thân em nghiên cứu hoàn thành sở kiến thức đƣợc học đọc thêm tài liệu tham khảo Nó khơng trùng với kết ngƣời khác Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Quỳnh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Bố cục khóa luận CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Ánh xạ 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Điều kiện xác định ánh xạ 1.1.3 Các cách xác định ánh xạ 1.1.4 Hai ánh xạ 1.1.5 Đồ thị ánh xạ 1.1.6 Thu hẹp mở rộng ánh xạ 1.2 Ảnh tạo ảnh 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất 1.3 Các ánh xạ đặc biệt 1.4 Tích ánh xạ 10 1.4.1 Định nghĩa 10 1.4.2 Một số tính chất 11 1.5 Ánh xạ ngƣợc 11 1.5.1 Định nghĩa 11 1.5.2 Các ví dụ 11 1.5.3 Điều kiện có ánh xạ ngƣợc 12 1.5.4 Quy tắc tìm ánh xạ ngƣợc 12 1.6 Phép tốn hai ngơi 15 1.6.1 Định nghĩa 15 1.6.2 Các tính chất thƣờng gặp phép tốn hai ngơi 16 1.6.3 Số tự nhiên 17 CHƢƠNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA NỘI DUNG DẠY HỌC ÁNH XẠ VỚI NỘI DUNG DẠY HỌC MƠN TỐN Ở TRƢỜNG PHỔ THƠNG 24 2.1 Ánh xạ toán tiểu học 24 2.2 Ánh xạ với nội dung dạy học hàm số phổ thông 29 2.2.1 Các khái niệm hàm số 29 2.2.2 Đồ thị hàm số 34 2.2.3 Miền xác định, miền giá trị hàm số 36 2.2.4 Hàm số hợp 37 2.3 Ánh xạ với nội dung dạy học đại số tổ hợp phổ thông 38 2.3.1 Hoán vị 38 2.3.2 Chỉnh hợp 39 2.4 Ánh xạ với nội dung dạy học phép biến hình phổ thơng 43 2.4.1 Định nghĩa 44 2.4.2 Phép tịnh tiến 45 2.4.3 Phép đối xứng trục 45 2.4.4 Phép quay 46 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Một quan điểm xây dựng chƣơng trình sách giáo khoa Việt Nam chục năm gần trình bày kiến thức mơn Tốn dƣới ánh sáng quan điểm, tƣ tƣởng toán học cao cấp, tốn học đại Điều đặt yêu cầu việc dạy học toán cao cấp trƣờng sƣ phạm đào tạo giáo viên, nội dung dạy học cần phải sát thực, gắn liền với nội dung tốn liên quan phổ thơng Nghiên cứu khai thác yếu tố nghiệp vụ sƣ phạm dạy học tốn cao cấp, góp phần nâng cao tính dạy nghề cho sinh viên yêu cầu cần thiết cấp bách Nhiều tác giả nƣớc có cơng trình đề cập đến việc cung cấp kiến thức vấn đề thuộc chƣơng trình tốn phổ thơng cho giáo viên nhƣ: N Ia Vilenkin, Ian stewart, Trần Văn Hạo, Hà Sỹ Hồ, Đỗ Ngọc Đạt,… xuất phân tích, giải thích nội dung dạy học tốn phổ thơng sở tốn cao cấp, nhiên khơng phải mục tiêu cơng trình nên vấn đề đƣợc nêu chƣa đầy đủ chi tiết Tuy nhiên, chƣa có cơng trình sâu vào thiết lập mối liên hệ toán học cao cấp, đại với nội dung tốn phổ thơng liên quan cách đầy đủ chuyển tải tới giáo viên nhận thức đắn vai trị tốn cao cấp thực tiễn dạy học tốn phổ thơng Tốn cao cấp nội dung quan trọng chƣơng trình đào tạo giáo viên có trình độ đại học, thuận lợi việc thiết lập mối liên hệ với nội dung dạy học tốn phổ thơng, làm rõ đƣợc mối liên hệ tốn phổ thơng q trình dạy học toán cao cấp giúp giáo viên nhận thức đắn tinh thần, quan điểm, ngôn ngữ phƣơng pháp toán cao cấp việc dạy học toán phổ thông Tất vấn đề nêu lý để em chọn đề tài: “Mối liên hệ nội dung dạy học ánh xạ với nội dung dạy học mơn Tốn phổ thơng” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu mối liên hệ nội dung dạy học ánh xạ với nội dung dạy học mơn Tốn phổ thơng Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu nội dung dạy học ánh xạ, chƣơng trình tốn phổ thơng, tìm mối liên hệ ánh xạ với tốn phổ thơng Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Ánh xạ, chƣơng trình mơn Tốn phổ thơng có liên quan đến ánh xạ Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết, hệ thống hóa khái quát hóa Bố cục khóa luận Ngồi phần mở đầu kết luận, nội dung khóa luận gồm chƣơng: Chương Cơ sở lý thuyết Chương Mối liên hệ nội dung dạy học ánh xạ với nội dung dạy học học mơn Tốn phổ thơng CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Ánh xạ 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X Y hai tập hợp cho Một ánh xạ f từ X đến Y quy tắc cho tƣơng ứng với phần tử x  X phần tử xác định, kí hiệu f(x) y Ta viết f : X Y x f ( x) X đƣợc gọi tập xác định hay tập nguồn ánh xạ f, kí hiệu Y đƣợc gọi tập giá trị hay tập đích ánh xạ f, kí hiệu Ví dụ 1) X tập hợp lớp học trƣờng phổ thông, Y tập hợp giáo viên trƣờng f quy tắc đặt tƣơng ứng lớp học với giáo viên chủ nhiệm lớp Ta có ánh xạ f : X  Y 2) Cho f ánh xạ từ đến đặt tƣơng ứng số ngun với bình phƣơng Nhƣ f(n) = 3) Một hàm số xác định tập X  ánh xạ từ X đến Chẳng hạn: Hàm số y = 2x + ánh xạ  f: y  2x  x Kí hiệu  tập hợp số thực không âm Hàm số y  x ánh xạ f:  x  y x 4) Giả sử X = 1; 2 Y = a; b; c Tƣơng ứng c a Xác định ánh xạ từ X đến Y 5) Giả sử X = a, b, c, Y = 1, 2, 3, 4 Các tƣơng ứng sau ánh xạ từ X đến Y X Y X 1 2 3 4 a b c  a b c Y 1 2 3 4 1.1.2 Điều kiện xác định ánh xạ Để quy tắc f : X  Y ánh xạ phải thỏa mãn hai điều kiện sau : Điều kiện 1: Quy tắc f xác định khắp nơi nghĩa x  X phải có ảnh y tƣơng ứng thuộc Y Điều kiện 2: Quy tắc f đơn trị nghĩa x  X có tƣơng ứng phần tử y  Y Ví dụ  1) Quy tắc f : x y=x-1 ánh xạ với x  Với y  2) Quy tắc f : , tồn y = x –  có tƣơng ứng phần tử x = y +   x khơng phải ánh xạ quy tắc f không đơn trị y=√ chẳng hạn với  tồn y = y = -2 thuộc 1.1.3 Các cách xác định ánh xạ Để cho ánh xạ f : X  Y ngƣời ta sử dụng cách khác nhau:  Cách 1: Cho bảng tƣơng ứng giá trị tập hợp X Y Ví dụ X a b c d Y  Cách 2: Cho ánh xạ dƣới dạng biểu thức giải tích Ví dụ Cho ánh xạ f :  ế { x ế ế  Cách 3: Cho ánh xạ dƣới dạng biểu đồ Ví dụ + Biểu đồ phát triển dân số tỉnh + Biểu đồ tăng giảm sản phẩm tính theo năm nhà máy xí nghiệp 1.1.4 Hai ánh xạ Định nghĩa Hai ánh xạ f g đƣợc gọi chúng có tập đích quy tắc đặt tƣơng ứng Nói cách khác hai ánh xạ f g nếu: f : X  Y ; g : X  Y f(x) = g(x) với x  X Ví dụ Cho hai ánh xạ  a) f : x2 - x  g: x (x – 1)(x + 1) hai ánh xạ  b) f : x sinx   1,1 g: x sinx hai ánh xạ khác có tập đích khác Nhiệt độ hàm số thời gian xét thời gian tập giá trị ghi dòng bảng Ví dụ  f: x y  2x  Khi phân tích hai ví dụ này, thấy: với ví dụ 1, hàm số có miền xác định tập hữu hạn, có giá trị khác biến số ứng với giá trị hàm số, hàm số đƣợc cho bảng xuất phát từ thực tế Với ví dụ 2, hàm số có tập xác định, tập giá trị tập vô hạn (là hay ), với giá trị khác đối số giá trị hàm số ln khác nhau, hàm số cho cơng thức mang nội dung tốn học tuý Tuy nhiên, điều quan trọng cần nhấn mạnh có đặc điểm riêng khác nhau, nhƣng quy tắc hai ví dụ hàm số chúng thoả mãn điều kiện “với phần tử x  X ứng với y Y ” phù hợp với khái niệm ánh xạ 2.2.2 Đồ thị hàm số Khái niệm đồ thị hàm số xuất phát từ khái niệm đồ thị ánh xạ Một cách tƣơng ứng ta có khái niệm đồ thị hàm số nhƣ sau: “Cho hàm số y = f(x) xác định tập D Ta biết: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp (G) điểm có tọa độ (x;f(x)) với x  D , gọi đồ thị hàm số f Nói cách khác M(x0;f(x0))  (G)  x0  D y0 = f(x0) Ta thƣờng gặp trƣờng hợp đồ thị hàm số y = f(x) đƣờng (đƣờng thẳng, đƣờng cong, ) Khi ta nói y = f(x) phƣơng trình đƣờng Chẳng hạn y = ax + b phƣơng trình đƣờng thẳng y = ax2 (a  0) phƣơng trình đƣờng parabol 34 Ví dụ 1) Dựa vào đồ thị hai hàm số y = f(x) = x + y = g(x) = x Hãy a) Tính f(-2), f(-1), f(0), f(2), g(-2), g(0) b) Tìm x cho f(x) = Tìm x cho g(x) = y y y y  x 1 1 x 0,5 -2 -1 O x -1 O x -2 Giải a) f(-2) = -1; f(-1) = 0; f(0) = 1; f(2) = 3; g(-2) = ; g(0) = b) f(x) =  x + =  x = Vậy với x = f(x) = g(x) =  x   x2 =  x = x = -2 Vậy với x = x = -2 g(x) = 2) Hàm số y = f(x) xác định đoạn [-3;8] đƣợc cho đồ thị sau: y -3 -1 O -2 35 x Dựa vào đồ thị cho, ta nhận biết đƣợc (với độ xác đó): - Giá trị hàm số số điểm, chẳng hạn f(-3) = -2, f(1) = 0; - Các giá trị đặc biệt hàm số, chẳng hạn, giá trị nhỏ hàm số đoạn [-3; 8] -2; - Dấu f(x) khoảng, chẳng hạn < x < f(x) < 2.2.3 Miền xác định, miền giá trị hàm số Trong định nghĩa hàm số, miền xác định (tập xác định) hàm số cho biểu thức y = f(x) tập hợp tất giá trị x làm cho f(x) có nghĩa Ví dụ Hàm số y = log2 x có miền xác định x  Hàm số y =  x  13  x   x > 0 có miền xác định [1 ; 3] Miền giá trị hàm số y = f(x) tập hợp tất giá trị có f(x), nghĩa f(X) Ví dụ Miền giá trị hàm số y = x(5  x) [1; 3] Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau a) f ( x)  3x  x  3x  b) f ( x)  2x   3x  x3 Giải a) f(x) hàm phân thức nên mẫu thức 4x2  3x   , tức ( x  1)(4 x  7)  hay x  x  D 7 Vậy tập xác đinh hàm số cho  7 \ 1;    4 36 b) Hàm số xác định với giá trị x thỏa mãn diều kiện  { { 5  Do tập xác định hàm số cho D   ;3    3;   3  2.2.4 Hàm số hợp  Khái niệm hàm số hợp lớp 11 Cho hai hàm số y = f(u) u = u(x) Thay biến u biểu thức f(u) biểu thức u(x), ta đƣợc biểu thức f[u(x)] với biến x Khi đó, hàm số y = g(x) với g(x) = f[u(x)] đƣợc gọi hàm số hợp hai hàm số f u ; hàm số u đƣợc gọi hàm số trung gian Ví dụ Cho hai hàm số y = f(u) u = u(x), f(u) = u3 u(x) = x2 + 3x + Nếu f(u), ta thay biến u u(x) đƣợc f[u(x)] = (x2 + 3x + 1)3  Khái niệm hàm số hợp theo lý thuyết tập hợp Giả sử u = g(x) hàm số x, xác định (a, b) lấy giá trị (c, d), y = f(u) hàm số u xác định (c, d) lấy giá trị xác định (a, b) lấy giá trị x Khi ta lập hàm số theo quy tắc sau: f  g  x  Ta gọi hàm y = f[g(x)] hàm hợp hàm y = f(u) u = g(x) Ví dụ Cho ánh xạ  f: x  g: 2x + x sinx f g ( x) = f[g(x)] = f(sinx) = 2sinx + Dựa vào định nghĩa hàm hợp ta thấy khái niệm hàm hợp khái niệm thu hẹp ánh xạ chƣơng trình tốn học cao cấp 37 2.3 Ánh xạ với nội dung dạy học đại số tổ hợp phổ thơng 2.3.1 Hốn vị 2.3.1.1 Hốn vị không lặp Cho tập A gồm n phần tử Mỗi cách xếp n phần tử thành dãy theo thứ tự xác định gọi hoán vị tập hợp A Ta phát biểu: Số hoán vị tập hợp n phần tử số đơn ánh (đồng thời l song ánh) từ tập n phần tử vào tập n phần tử n! Thơng thƣờng ta cịn gọi song ánh từ tập A lên A phép A ta cịn phát biểu : Số hoán vị tập hợp n phần tử số phép tập v n!  Cơng thức tính Kí hiệu Pn số hốn vị n phần tử Ta có Pn = n(n – 1)…2.1 = n! Ví dụ Số phép A = a, b, c P3 = 3! = Đó phép ( )( )( )( )( )( ) 2.3.1.2 Hốn vị có lặp  Định nghĩa Có n vật (n  1) đƣợc vào n vị trí đó: Có n1 vật loại Có n2 vật loại … Có nk vật loại k n1 + n2 + …+ nk = n Mỗi cách thứ tự n vật nhƣ vào n vị trí gọi hốn vị có lặp n phần tử  Cơng thức tính Kí hiệu Cn(n1, n2, …, nk) số hoán vị lặp n phần tử 38 Cn(n1, n2, …, nk) = 2.3.1.3 Hốn vị vịng trịn  Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp n phần tử vào n vị trí theo đƣờng trịn đƣợc gọi hốn vị vịng trịn tập hợp A  Cơng thức tính Kí hiệu số hốn vị vịng trịn n phần tử Pn – Pn – = (n – 1)(n – 2)…2.1 = (n – 1)! 2.3.2 Chỉnh hợp 2.3.2.1 Chỉnh hợp không lặp  Định nghĩa Cho tập A gồm m phần tử x1, x2,…, xm số nguyên dƣơng n với  n  m Ta thiết lập (a1, a2,…, an)   A  i = 1,n , khác đôi đƣợc gọi chỉnh hợp không lặp chập n m phần tử cho Nhận xét: (Nhìn theo quan điểm ánh xạ) Mỗi chỉnh hợp chập n m phần tử cho xác định đơn ánh từ tập 1, 2,…, n đến tập m phần tử Chẳng hạn, chỉnh hợp chập (a, c) phần tử a, b, c xác định đơn ánh từ tập 1, 2 đến tập chứa phần tử a, b, c nhƣ sau:  2 a c   Ngƣợc lại, đơn ánh từ tập 1, 2,…, n đến tập m phần tử xác định  2 chỉnh hợp chập n m phần tử Chẳng hạn đơn ánh   xác định chỉnh a c hợp chập phần tử a, b, c Nhƣ có tƣơng ứng – tập hợp đơn ánh từ tập 1, 2,…, n đến tập m phần tử A (n  m) tập chỉnh hợp chập n m Điều có 39 nghĩa là: số chỉnh hợp chập n m phần tử tập hợp A (n  m) số đơn ánh từ tập n phần tử vào tập m phần tử  Cơng thức tính Kí hiệu (m)n số chỉnh hợp chập n m phần tử = m(m – 1)…(m – n + 1) = ( Chứng minh (Theo quan điểm ánh xạ) Ta kí hiệu số đơn ánh từ 1, 2,…, n đến tập A gồm m phần tử là số đơn ánh từ 1 đến tập A Chẳng hạn số đơn ánh từ 1, 2 đến tập A … Rõ ràng ta có =m Để tìm cơng thức cho ta tìm mối liên hệ Ta nhận thấy đơn ánh từ tập 1, 2,…, n - 1 đến tập A có m – (n – 1) cách mở rộng thành đơn ánh từ tập 1, 2,…, n – 1, n đến tập A cách cho tƣơng ứng n lần lƣợt với m – (n – 1) phần tử cịn lại khơng phải ảnh 1, 2,…, n – Nhƣ ta có : = [m – (n – 1)] = (m – n + 1) Lần lƣợt áp dụng cơng thức ta có = (m – + 1) = (m – 1)m = (m – + 2) = (m – 2)(m – 1)m = (m – + 1) = (m – 3)(m – 2)(m – 1)m … Cuối ta đƣợc: = m(m – 1)…(m – n + 1) = ( Chú ý : Một chỉnh hợp chập m m phần tử đƣợc gọi hoán vị m phần tử = Pm = m 40 Ví dụ 1) Giả sử A = a, b, c, d Số chỉnh hợp không lặp chập phần tử A Cụ thể = 4.3 = 12 (a, b), (a, c), (a, d) (b, a), (b, c), (b, d) (c, a), (c, b), (c, d) (d, a), (d, b), (d, c) 2) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập đƣợc số tự nhiên khơng có số đƣợc lặp lại + Số có chữ số: có 5! Cách lập số có chữ số từ số trên, có 4! cách lập số có chữ số mà bắt đầu chữ số Do vậy, có 5! - 4! = 96 số + Số có chữ số: lập đƣợc số từ số Trong có số có chữ số bắt đầu chữ số Do có + Tƣơng tự, có - - = 48 số = 16 cách chọn số có chữ số cách chọn số có chữ số Suy theo ngun lí cộng ta có: 96 + 96 + 16 + = 261 số thỏa mãn yêu cầu tốn 2.3.2.2 Chỉnh hợp có lặp  Định nghĩa Cho X tập n phần tử Chỉnh hợp có lặp chập k n phần tử X cách xếp có thứ tự k phần tử X, phần tử lấy lặp lại Nhận xét: (Nhìn theo quan điểm ánh xạ) Mỗi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử xác định ánh xạ tử tập 1, 2,…, k đến tập n phần tử Chẳng hạn chỉnh hợp lặp chập (a, a, b, c, b) phần tử a, b, c xác định từ tập 1, 2, 3, 4, 5 đến phần tử nhƣ sau: 41 ) Ngƣợc lại ánh xạ từ tập 1, 2, 3,…, k đến tập X xác định ( chỉnh hợp lặp chập (a, a, b, c, b) phần tử a, b, c Nhƣ tƣơng ứng – tập hợp ánh xạ từ tập 1, 2, 3,…, k đến tập X tập chỉnh hợp lặp chập k n phần tử X Ta phát biểu: Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử X số ánh xạ từ tâp k phần tử đến tập n phần tử  Công thức tính Kí hiệu ̅̅̅̅ số chỉnh hợp chập k n phần tử Ta có ̅̅̅̅ = nk Chứng minh Theo định nghĩa chỉnh hợp lặp chập k n mà thành phần đƣợc chọn từ tập X phần tử Xk ngƣợc lại, từ ta có ̅̅̅̅ = nk Xk có nk Ví dụ 1) Số số tự nhiên có chữ số đƣợc viết từ chữ số lẻ ̅̅̅ = 54 = 625 số 2) Một số điện thoại gồm chữ số, mà số bên trái ln số Hỏi có số điện thoại gồm toàn số lẻ Giải ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ số điện thoại thỏa mãn yêu cầu toán Ta thấy chữ số a, b, c, d, x, y, z ln có lựa chọn (1, 3, 5, 7, 9) Vậy có 5.5.5.5.5.5.5 = 57 số điện thoại thỏa mãn yêu cầu toán 3) Có số tự nhiên có chữ số chữ số chẵn Rõ ràng số tự nhiên có chữ số dãy có độ dài lập từ tập hợp có chữ số 0, 2, 4, 6, 8, chữ số bên trái khác Do có ̅̅̅ - ̅̅̅ = 56 – 55 số thỏa mãn điều kiện toán 42 2.4 Ánh xạ với nội dung dạy học phép biến hình phổ thơng Dạy học phép biến hình phổ thơng có mối liên hệ với khái niệm ánh xạ toán học cao cấp Các phép biến hình đƣợc xem nhƣ ánh xạ tập hợp điểm mặt phẳng hay không gian Khi xét phép biến hình mặt phẳng hay khơng gian theo quan điểm ánh xạ ta thƣờng xét đến bất biến, tích (hợp thành) phép biến hình lợi dụng bất biến để giải số dạng toán giải tình thực tiễn Phép đo đại lƣợng hình học (độ dài, diện tích, thể tích) xét nhƣ ánh xạ cho ứng hình ứng với số thực không âm xác định thông qua đơn vị cho trƣớc Khơng phải hình có số đo đƣợc xác định Ánh xạ phép đo đại lƣợng hình học cần thỏa mãn điều kiện định  Kiến thức biến hình mơn tốn trung học sơ sở + Đối xứng trục: Hai điểm đối xứng qua đƣờng thẳng; Hai hình đối xứng qua đƣờng thẳng; Hình có trục đối xứng + Đối xứng tâm: Hai điểm đối xứng qua điểm; Hai hình đối xứng qua điểm; Hình có tâm đối xứng + Tam giác đồng dạng: Khái niệm hai tam giác đồng dạng; Ba trƣờng hợp đồng dạng tam giác; Các trƣờng hợp đồng dạng tam giác vuông; Ứng dụng thực tế tam giác đồng dạng  Kiến thức phép biến hình mơn tốn trung học phổ thơng + Khái niệm phép biến hình + Phép tịnh tiến: Định nghĩa phép tịnh tiến mặt phẳng; Các tính chất phép tịnh tiến mặt phẳng; Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến + Phép đối xứng trục: Định nghĩa phép đối xứng trục; Biểu thức tọa độ phép đối xứng trục; Các tính chất phép đối xứng trục; Trục đối xứng hình 43 + Phép đối xứng tâm: Định nghĩa phép đối xứng tâm; Biểu thức tọa độ phép đối xứng tâm; Các tính chất phép đối xứng tâm; Tâm đối xứng hình + Phép quay: Định nghĩa phép quay; Các tính chất phép quay + Khái niệm phép dời hình hai hình nhau: Khái niệm phép dời hình; Tính chất phép dời hình; Định nghĩa hai hình qua phép dời hình + Phép vị tự: Định nghĩa phép vị tự; Tính chất phép vị tự; Tâm vị tự hai đƣờng tròn + Phép đồng dạng: Định nghĩa phép đồng dạng; Tính chất phép đồng dạng; Hình đồng dạng + Phép chiếu song song Hình biểu diễn hình khơng gian Sau xét số ví dụ để thấy đƣợc mối liên hệ ánh xạ với nội dung dạy học phép biến hình 2.4.1 Định nghĩa Phép biến hình (trong mặt phẳng) quy tắc để với điểm M thuộc mặt phẳng xác định đƣợc điểm M’ thuộc mặt phẳng Ví dụ Cho đƣờng thẳng d Với điểm M  d ta xác định điểm M’ hình chiếu vng góc điểm M lên d Quy tắc phép biến hình đƣợc gọi phép chiếu (vng góc) lên đƣờng thẳng d Ví dụ Cho vectơ ⃗ : Với điểm M, ta xác định điểm M’ theo quy tắc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗ quy tắc phép biến hình đƣợc gọi phép tịnh tiến theo vectơ ⃗ Ví dụ Xét quy tắc sau: Với điểm M ta xác định điểm M’ trùng M Quy tắc phép biến hình đƣợc gọi phép đồng Ví dụ Xét quy tắc sau: Cho điểm M cố định với điểm M ta xác định điểm M’ thỏa mãn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Quy tắc khơng phép biến hình 44 Trong ví dụ kí hiệu phép biến hình F điểm M’ ảnh M qua phép biến hình F ta viết M’ = F(M) F(M) = M’ Với hình H, ta gọi hình H’ gồm điểm M’ = F(M) với M  H ảnh H qua phép biến hình H Kí hiệu H’ = F(H) 2.4.2 Phép tịnh tiến Định nghĩa theo sách giáo khoa: Phép tịnh tiến theo vectơ ⃗ phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ Phép tịnh tiến theo vectơ ⃗ thƣờng đƣợc kí hiệu T ⃗ Vectơ ⃗ đƣợc gọị vectơ tịnh tiến Theo quan điểm ánh xạ định nghĩa đƣợc phát biểu nhƣ sau: “Phép tịnh tiến theo vectơ ⃗ biến điểm M thành điểm M’ đƣợc kí hiệu Khi M’ hay ) = (M’) ⃗ :M ⃗ (M) = M’  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ ⃗ 2.4.3 Phép đối xứng trục Điểm M’ đƣợc gọi điểm đối xứng với điểm M qua đƣờng thẳng a a đƣờng trung trực đoạn MM’ Nếu M nằm đƣờng thẳng a ta xem M đối xứng với qua a Định nghĩa: Phép đối xứng qua đƣờng thẳng a phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua a Kí hiệu: (đƣờng thẳng a đƣợc gọi trục đối xứng) Phép đối xứng trục :M Khi :M biến điểm M thành điểm M’ đƣợc viết M’ hay (M) = M’ M’  M M’ đối xứng qua a Qua phép đối xứng trục , điểm nằm đƣờng thẳng biến thành :M : (H) M’ (H’) : M’ M : (H’) (H) 45 Ví dụ Cho hai điểm A B nằm phía đƣờng thẳng d Hãy xác định điểm M d cho tổng AM + MB có giá trị nhỏ Nếu hai điểm A, B nằm hai phía đƣờng thẳng d điểm M cần tìm giao đoạn thẳng AB đƣờng thẳng d Xét toán trên, lấy điểm A’ đối xứng với A qua d Khi AM + MB = A’M + MB AM + MB nhỏ A, M, B thẳng hàng, M = M0 = A’B  d 2.4.4 Phép quay Trong mặt phẳng cho điểm O cố định, góc lƣợng giác  khơng đổi Xét biến hình biến điểm M (khác 0) thành điểm M’ nhƣ sau: Phép biến hình nhƣ đƣợc gọi “phép quay” Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O cố định góc lƣợng giác  khơng đổi Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến điểm M (khác O) thành điểm M’sao cho OM = OM’và (OM,OM’) =  đƣợc gọi phép quay tâm O góc quay  Kí hiệu  o ,  Phép quay  o ,  : M Khi đó:  o ,  biến M’ hay  o ,  : M (nếu không cần rõ tâm quay góc quay ) điểm M thành điểm M’ đƣợc viết là:  o ,  (M) = M’ M’ {  ( Một phép quay xác định biết tâm quay O góc quay  46 KẾT LUẬN Việc nghiên cứu: Mối liên hệ nội dung dạy học ánh xạ với nội dung dạy học mơn Tốn phổ thông giúp liên kết nội dung học đƣợc Đại học với chƣơng trình phổ thơng Góp phần nâng cao lực phân tích sách giáo khoa toán liên quan đến toán học cao cấp, tốn học đại, phát huy tính tích cực chủ động giáo viên trình dạy học Do thời gian nghiên cứu khơng nhiều nên khóa luận nghiên cứu đƣợc số mối liên hệ ánh xạ với mơn Tốn phổ thơng nhƣ: tốn tiểu học, hàm số, đại số tổ hợp, nhiều mối liên hệ mà chƣa đề cập đến khóa luận Hi vọng bạn sinh viên u thích mơn đại số tiếp tục quan tâm vấn đề Mặc dù thân sức cố gắng, xong hạn chế trình độ chun mơn nên khóa luận khơng tránh khỏi sai sót Rất mong nhận đƣợc đóng góp từ quý thầy cô bạn sinh viên để đề tài thực hữu ích cơng đổi phƣơng pháp dạy học 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vƣơng Thơng, Tập hợp logic tốn, 2001 [2] Ngơ Thúc Lanh, ại số số học tập 1,1985 [3] Hồng Xn Sính, ại số đại cương, 2010 [4] Dậu Thế Cấp, Lý thuyết tập hợp logic, 2004 [5] Trần Diên Hiển, Giáo trình Tốn cao cấp 1, 2007 [6] Chuyên đề bồi dƣỡng giáo viên trung học phổ thơng mơn Tốn học, Nhà xuất ĐHQGHN, 2013 [7] Bộ giáo dục đào tạo, Toán lớp 1,2,3,4,5, Nhà xuất Giáo dục [8] Bộ giáo dục đào tạo, toán lớp 7, 9, Nhà xuất Giáo dục [9] Bộ giáo dục đào tạo, toán lớp 10, 11,Nhà xuất Giáo dục 48 ... 17 CHƢƠNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA NỘI DUNG DẠY HỌC ÁNH XẠ VỚI NỘI DUNG DẠY HỌC MƠN TỐN Ở TRƢỜNG PHỔ THƠNG 24 2.1 Ánh xạ tốn tiểu học 24 2.2 Ánh xạ với nội dung dạy học hàm số phổ thông ... liên hệ nội dung dạy học ánh xạ với nội dung dạy học mơn Tốn phổ thơng Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu nội dung dạy học ánh xạ, chƣơng trình tốn phổ thơng, tìm mối liên hệ ánh xạ với tốn phổ thơng... thấy ánh xạ hợp f g f g khác ánh xạ hợp g f g f Nhƣ thứ tự việc lấy hợp quan trọng 23 CHƢƠNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA NỘI DUNG DẠY HỌC ÁNH XẠ VỚI NỘI DUNG DẠY HỌC MƠN TỐN Ở TRƢỜNG PHỔ THƠNG 2.1 Ánh xạ toán