về dãy lập lùi của hàm chỉnh hình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM KIM PHƯỢNG VỀ DÃY LẶP LÙI CỦA HÀM CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM KIM PHƯỢNG VỀ DÃY LẶP LÙI CỦA HÀM CHỈNH HÌNH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NINH VĂN THU Hà Nội - Năm 2012 Về dãy lặp lùi của hàm chỉnh hình Ngày 22 tháng 11 năm 2012 Lời cảm ơn 1 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của Thầy TS. Ninh Văn Thu. Thầy đã hết lòng giúp đỡ, dạy bảo, động viên em trong suốt quá trình học tập cũng như làm luận văn. Em xin được gửi tới Thầy lời cảm chân thành và sâu sắc nhất. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy PGS.TS. Nguyễn Đình Sang, Thầy đã cho em nhiều ý kiến đóng góp quý báu để em có thể hoàn thành tốt luận văn này. Em muốn bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến tất cả các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã chỉ bảo tận tình trong suốt thời gian em học tập tại trường. Nhân dịp này, em cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Do thời gian có hạn và trình độ còn hạn chế nên luận văn của em không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để luận văn của em được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, ngày 3 tháng 12 năm 2012 Học viên Phạm Kim Phượng Danh mục các kí hiệu 2 Danh mục các kí hiệu C n không gian phức n - chiều Hol(X, X) tập các ánh xạ chỉnh hình từ X vào X. ∆ := {z ∈ C |z| < 1} đĩa đơn vị trong mặt phẳng phức. C k (Ω) không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k trong miền Ω.  kết thúc chứng minh. Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Danh mục các kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Giả khoảng cách Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Trắc địa phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Ánh xạ Elliptic mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Mặt cực hạn, hệ số co giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Về dãy lặp lùi của hàm chỉnh hình 19 2.1 Dãy lặp lùi trong miền bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Dãy lặp lùi trong miền không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . 26 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Lời nói đầu 4 Lời nói đầu Cho f : X → X là hàm chỉnh hình. Dãy lặp lùi của f là {x n } n∈N ∈ X thỏa mãn điều kiện f (x n+1 ) = x n , ∀n ∈ N. Một vấn đề đặt ra là trong miền lồi mạnh, bị chặn, với các ánh xạ chỉnh hình f là hyperbolic, parabolic hoặc elliptic mạnh thì dãy lặp lùi này sẽ hội tụ như thế nào? Vào năm 2003, Poggi - Corradini đã giải quyết vấn đề trên khi X = ∆, (∆: đĩa đơn vị trong C). Cụ thể, họ đã chứng minh được dãy lặp lùi hội tụ tới một điểm trên biên của ∆. Điểm này là điểm đẩy, hoặc điểm parabolic cố định của f. Năm 2010, O.Ostapyuk đã mở rộng kết quả của Poggi - Corradini bằng việc xét trong hình cầu đơn vị B d ∈ C d và cho kết quả tương tự. Còn bây giờ, ta sẽ xét dãy lặp lùi trong miền D lồi mạnh, bị chặn của ánh xạ f : D → D và thu được kết quả như sau : Định lý Cho D ⊂⊂ C d là miền C 2 lồi mạnh, bị chặn. Lấy f ∈ Hol(D, D) là hyperbolic, parabolic hoặc elliptic mạnh với điểm Wolff τ ∈ ¯ D và dãy lặp lùi {z n } ∈ D của f với bước nhảy Kobayashi bị chặn. Khi đó i. Dãy {z n } hội tụ tới điểm đẩy hoặc điểm biên parabolic cố định σ ∈ ∂D; ii.Nếu f là elliptic mạnh hoặc hyperbolic thì σ là điểm đẩy; iii.Nếu σ = τ thì f là parabolic; iv.Tồn tại M > 0 sao cho z n ∈ K p (σ, M) với p là điểm bất kỳ thuộc D. Định lý trên đã mô tả rõ ràng giới hạn điểm của dãy lặp lùi. Mục đích của luận văn là nghiên cứu về tính lặp lùi của hàm chỉnh hình. Nội dung luận văn gồm 2 chương : Chương 1 bao gồm các kiến thức chuẩn bị về hàm chỉnh hình, khoảng cách Kobayashi, Elliptic mạnh, mặt cực hạn, hệ số co giãn và các tính chất của nó. Chương 2 của luận văn tập trung vào chứng minh kết quả của định lý nêu trên, đồng thời tác giả nghiên cứu thêm tính hội tụ của dãy lặp lùi trong miền Lời nói đầu 5 không bị chặn. Do thời gian và trình độ có hạn, bản luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong được các thầy cô và bạn đọc đóng góp ý kiến và lượng thứ. Hà Nội, ngày 3 tháng 12 năm 2012 Phạm Kim Phượng Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình Giả sử Ω là tập mở trong C n , ta có thể đồng nhất C n với R 2n . Xét hàm f : Ω → C, f ∈ C 1 (Ω), z j = x j + iy j , j = 1, 2, , n. df = n  j=1 ∂f ∂x j dx j + n  j=1 ∂f ∂y j dy j = n  j=1 ∂f ∂z j dz j + n  j=1 ∂f ∂ ¯z j d ¯z j , trong đó ∂f ∂z j = 1 2  ∂f ∂x j − i ∂f ∂y j  , ∂f ∂ ¯z j = 1 2  ∂f ∂x j + i ∂f ∂y j  . Định nghĩa 1.1.1. Giả sử f (z) = u (x, y)+iv (x, y), z = x+iy xác định trong Ω với x, y ∈ R n . Hàm f được gọi là R 2n - khả vi tại z 0 = x 0 + iy 0 nếu các hàm u (x, y) và v (x, y) khả vi tại (x 0 , y 0 ). Định nghĩa 1.1.2. Hàm f được gọi là C n khả vi tại z 0 ∈ Ω nếu f là R 2n - khả vi tại z 0 và thoả mãn phương trình Cauchy - Rieman ∂f ∂ ¯z j (z 0 ) = 0, ∀j = 1, 2, , n, 6 1.2. Giả khoảng cách Kobayashi 7 tức df = n  j=1 ∂f ∂ ¯z j d ¯z j . Định nghĩa 1.1.3. Hàm f được gọi là chỉnh hình tại z 0 ∈ Ω nếu nó là C n khả vi trong lân cận nào đó của z 0 . Hàm f được gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi z 0 ∈ Ω. 1.2 Giả khoảng cách Kobayashi Định nghĩa 1.2.1. (Khoảng cách) Khoảng cách k trên tập X là một hàm k : X × X → R (x, y) → k (x, y) thoả mãn các điều kiện sau với mọi x, y thuộc X i. k (x, y) ≥ 0; k (x, y) > 0 ∀x = y; ii. k (x, y) = k (y, x); iii. k (x, y) ≤ k (x, z) + k (z, y); Nếu k chỉ thoả mãn ii, iii và k (x, y) ≥ 0 thì k được gọi là giả khoảng cách trên X. Định nghĩa 1.2.2. (Khoảng cách Bergman - Poincare) Giả sử ∆ = {z ∈ C : |z| < 1} là đĩa đơn vị mở trong mặt phẳng phức C. Trên ∆ ta xét ρ (0, z) = log 1 + |z| 1 − |z| , ∀z ∈ ∆. được gọi là khoảng cách Bergman - Poincare. Định nghĩa 1.2.3. (Giả khoảng cách Kobayashi) Giả sử X là một không gian phức, p, q là hai điểm tuỳ ý của X. Ta gọi một dây chuyền chỉnh hình γ nối p với q là tập hợp {a 1 , a 2 , , a n ∈ ∆; f 1 , f 2 , , f n ∈ Hol (∆, X)} [...]... Chương 2 Về dãy lặp lùi của hàm chỉnh hình 2.1 Dãy lặp lùi trong miền bị chặn Trong phần này, ta sẽ chứng minh định lý sau - là kết quả quan trọng dãy lặp lùi của hàm chỉnh hình Định lý 2.0 Cho D ⊂⊂ Cd là miền C 2 lồi mạnh, bị chặn Lấy f ∈ Hol(D, D) ¯ là hyperbolic, parabolic hoặc elliptic mạnh với điểm Wolff τ ∈ D và dãy lặp lùi {zn } ∈ D của f với bước nhảy Kobayashi bị chặn Khi đó i Dãy {zn } hội... là dãy lặp lùi của f với bước nhảy Kobayashi bị chặn a > 0 hội tụ đến σ ∈ ∂D ∪ {∞} Khi đó σ = τ Từ hệ quả trên suy ra nếu τ = σ thì f là parabolic Như vậy, về việc xét dãy lặp lùi của hàm chỉnh hình trong miền không bị chặn, ta thu được kết quả sau: Cho D là miền hyperbolic đầy trong Cn Giả thiết rằng ∂D thuộc lớp C ∞ - trơn, hữư hạn Lấy f ∈ hol(D, D) có điểm Wolff τ ∈ ∂D ∪ {∞} và {zn } ∈ D là dãy. .. hạn của f nếu mọi dãy con của phép lặp {f n } có dạng γ.ρ trong đó, ρ : D → D0 là ánh xạ co chỉnh hình, γ là song ánh trong D0 Hơn nữa, f |D0 là song ánh trong D0 và F ix(f ) ⊂ D Định nghĩa 1.4.2 Cho D ⊂⊂ Cd là miền C 2 lồi mạnh, bị chặn Ánh xạ chỉnh hình f ∈ Hol(D, D) được gọi là elliptic nếu F ix(f ) = ∅; được gọi là elliptic mạnh nếu đa tạp giới hạn của nó rút gọn về một điểm (gọi là điểm Wolff của. .. {zn } ∈ D là dãy lặp lùi của f với bước nhảy Kobayashi bị chặn a = 1 log α hội tụ đến σ ∈ ∂D ∪ {∞} Khi đó, σ 2 là điểm biên cố định của f và βσ,p ≤ α Bổ đề 2.2.4 Cho D là miền hyperbolic đầy trong Cn và p ∈ D Giả sử ∂D thuộc lớp C ∞ - trơn, hữu hạn Lấy f ∈ Hol(D, D) có điểm Wolff τ ∈ ∂D ∪ {∞}, 1 và {zn } ∈ D là dãy lặp lùi của f với bước nhảy Kobayashi bị chặn a = 2 log α 2.2 Dãy lặp lùi trong miền... nghĩa 2.1.1 Cho ánh xạ f : X → X, dãy lặp lùi của f là dãy {xn }n∈N ∈ X sao cho f (xn+1 ) = xn , với mọi n ∈ N Định nghĩa 2.1.2 X là đa tạp hyperbolic Dãy {zn } ∈ X có bước nhảy Kobayashi bị chặn nếu a = sup kX (zn+1 , zn ) < +∞ Số a được gọi là bước nhảy Kobayashi của dãy Ta sẽ chứng minh định lý 2.0 trong trường hợp f là hyperbolic hoặc parabolic 19 2.1 Dãy lặp lùi trong miền bị chặn 20 Bổ đề 2.1.1... hơn 1 nên p là điểm hút cố định (iv)⇒ (i) Giả sử f không là elliptic mạnh Khi đó, đa tạp giới hạn D0 có nhiều hơn một phần tử Giới hạn của dãy con f kν có dạng γ.ρ với ρ : D → D0 là ánh xạ co chỉnh hình và γ : D0 → D0 là song chỉnh hình và F ix(f ) ⊆ D Do γ là song chỉnh hình nên kD (z, ω) = kD (f (z), f (ω))∀z, ω ∈ D0 Khi đó, với p ∈ F ix(f ) ⊂ D0 ⊂ D thì kD (p, f (z)) = kD (p, z) , ∀z ∈ D\ {p} mâu... và luôn tồn tại M > 0 để dãy lặp lùi nằm trong miền Kp (σ, M ) Nếu f là hyperbolic hoặc elliptic mạnh thì σ là điểm đẩy Nếu điểm σ trùng với điểm Wolff của f thì f là parabolic - Trong miền không bị chặn, dãy lặp lùi đó sẽ hội tụ đến điểm biên cố định σ ∈ ∂D ∪ {∞} và luôn tồn tại M > 0 sao cho dãy lặp lùi nằm trong miền Kp (σ, M ) với mọi p ∈ D Nếu điểm σ trùng với điểm Wolff của f thì f là parabolic... d(zmj , ∂D) − log d(zmj +1 , ∂D) ≤ kD zmj , zmj +1 ≤ a 2 2 2.1 Dãy lặp lùi trong miền bị chặn 21 Cho j → +∞ suy ra ∞ ≤ a vô lý Bổ đề 2.1.3 Cho D ⊂⊂ Cn là miền C 2 lồi mạnh, bị chặn, và cố định điểm p ∈ D Lấy f ∈ Hol(D, D) và dãy {zn } ∈ D là dãy lặp lùi của f với bước nhẩy Kobayashi a = 1 2 log α, hội tụ tới σ ∈ ∂D Khi đó, σ là điểm biên cố định của f và βσ ≤ α Chứng minh Trước hết, ta có 1 log βσp = lim... đề 1.4.1 Bổ đề 2.1.8 Cho D ⊂⊂ Cn là miền C 2 lồi mạnh, bị chặn Lấy f ∈ Hol(D, D) là elliptic mạnh với điểm Wolff p ∈ D, và dãy {zn } ⊂ D là dãy lặp lùi của f với bước nhảy Kobayashi bị chặn a = điểm biên cố định của f với βσ ≤ α 1 2 log α Khi đó, zn → σ ∈ ∂D và σ là 2.1 Dãy lặp lùi trong miền bị chặn 25 1 Chứng minh Đặt − 2 log sn = kD (zn , p) Không mất tính tổng quát giả sử z0 = p Đặt R0 = kD (z0... giới hạn D0 = {p} Mà giới hạn của phép lặp f k có dạng γ.ρ với ρ : D → D0 là ánh xạ co chỉnh hình và γ : D0 → D0 là song chỉnh hình nên ρ = p và γ = p Vậy f k có giới hạn γ.ρ = p khi k →∝ (ii)⇒(iii) k→∞ Giả sử f k − − p ∈ D −→ Ta có f (p) = lim f (f k ) = k→∝ lim f (k+1) = p (k+1)→∝ nên p là điểm cố định của f Lại có, theo định lý Cartan - Caratheodory, giá trị riêng của dfp modun nhỏ hơn 1 nên p . KIM PHƯỢNG VỀ DÃY LẶP LÙI CỦA HÀM CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM KIM PHƯỢNG VỀ DÃY LẶP LÙI CỦA HÀM CHỈNH HÌNH Chuyên. hạn điểm của dãy lặp lùi. Mục đích của luận văn là nghiên cứu về tính lặp lùi của hàm chỉnh hình. Nội dung luận văn gồm 2 chương : Chương 1 bao gồm các kiến thức chuẩn bị về hàm chỉnh hình, khoảng. . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Về dãy lặp lùi của hàm chỉnh hình 19 2.1 Dãy lặp lùi trong miền bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Dãy lặp lùi trong miền không bị chặn . .