2 Về dãy lặp lùi của hàm chỉnh hình
2.2 Dãy lặp lùi trong miền không bị chặn
Chứng minh. Theo bổ đề 2.1.7, tồn tại 0< c < 1 sao cho
lim n→∞[kD(zn, τ)−kD(f(zn), τ)] ≥ −1 2 logc >0, Nên lim n→∞[kD(zn, τ)−kD(zn+1, τ)]≥ 1 2log 1 c >0.
Sau đó, ta áp dụng chứng minh tương tự như bổ đề 2.1.5 ta có điều phải chứng minh.
2.2 Dãy lặp lùi trong miền không bị chặn
Cho D là miền hyperbolic đầy trong Cn. Với mọi τ ∈ ∂D ∪ {∞}, p ∈ D, trong phần này, ta xét hàm hτ,p : D →R+ được xác định như sau
1
2loghτ,p = lim infw→τ [kD(z, w)−kD(p, w)].
Định nghĩa 2.2.1. Cho D là miền hyperbolic đầy trong Cn. Cố định p ∈ D,
x ∈ ∂D ∪ {∞} và R > 0. Khi đó, mặt cực hạn nhỏ EpD(x, R) và mặt cực hạn lớn FpD(x, R) tâm x, cực p, bán kính R được định nghĩa như sau
EpD(x, R) = {z ∈ D|lim sup D3w→x [kD(z, w)−kD(p, w)]< 1 2logR}, FpD(x, R) ={z ∈D|lim inf D3w→x[kD(z, w)−kD(p, w)]< 1 2logR},
trong đó kD là khoảng cách Kobayashi trên D.
Chú ý Trong công thức trên, limsup và liminf luôn hữu hạn. Thật vậy, nếu p, z, ω ∈ D, ta có
|kD(z, ω)−kD(p, ω)| ≤ kD(p, z).
Do đó, ∀x∈ ∂D thì
−∞< −kD(p, z)≤ lim infD3w→x[kD(z, w)−kD(p, w)]≤ lim supD3w→x[kD(z, w)−
2.2. Dãy lặp lùi trong miền không bị chặn 27
Định nghĩa 2.2.2. Cho f ∈ Hol(D, D) với D ⊂ Cn là tập hữu hạn và σ ∈
∂D∪ {∞}. Hệ số co giãnβσ,p ∈(0,+∞] của f tại σ ∈ ∂D∪ {∞}với cực p ∈D
được xác định như sau
1
2logβσ,p = lim infz→σ [kD(p, z)−kD(p, f(z))],
Hơn nữa, σ ∈ ∂D∪ {∞} là điểm biên cố định f nếu f có K-giới hạn σ tại σ. Bằng việc chứng minh tương tự như các bổ đề trong phần trên, ta thu được các kết quả sau:
Mệnh đề 2.2.1. Cho D là miền hyperbolic đầy trong Cn, ∂D là biên C∞- trơn, hữu hạn và f ∈ Hol(D, D). Lấy σ ∈ ∂D và p ∈ D sao cho hệ số co giãn βσ,p hữu hạn. Khi đó, tồn tại duy nhất τ ∈ ∂D∪ {∞} sao cho
∀R > 0 f(Fp(σ, R))⊂ Fp(τ, βσ,pR),
và f có K-giới hạn τ tại σ.
Bổ đề 2.2.1. Cho D là miền hyperbolic đầy trong Cn với ∂D thuộc lớp C∞- trơn, hữu hạn. Lấy {zn} ∈ D là dãy lặp lùi của f ∈ Hol(D, D) với điểm Wolff
τ ∈ ∂D∪ {∞}. Khi đó, zn →∂D ∪ {∞} khi n→ ∞.
Bổ đề 2.2.2. Cho D là miền hyperbolic đầy trong Cn với ∂D thuộc lớp C∞- trơn, hữư hạn và dãy lặp lùi {zn} ∈ D với bước nhảy Kobayashi bị chặn, hội tụ đến ∂D ∪ {∞}. Khi đó, tồn tại σ ∈∂D ∪ {∞} sao cho zn →σ khi n→ +∞.
Bổ đề 2.2.3. Cho D là miền hyperbolic đầy trong Cn, và p ∈ D. Giả sử ∂D
là C∞- trơn, hữu hạn. Lấy f ∈Hol(D, D)và {zn} ∈D là dãy lặp lùi của f với bước nhảy Kobayashi bị chặn a = 12logα hội tụ đến σ ∈ ∂D∪ {∞}. Khi đó, σ
là điểm biên cố định của f và βσ,p ≤ α.
Bổ đề 2.2.4. Cho D là miền hyperbolic đầy trong Cn và p ∈ D. Giả sử ∂D
thuộc lớp C∞- trơn, hữu hạn. Lấy f ∈ Hol(D, D) có điểm Wolffτ ∈ ∂D∪ {∞}, và {zn} ∈D là dãy lặp lùi của f với bước nhảy Kobayashi bị chặn a = 12logα
2.2. Dãy lặp lùi trong miền không bị chặn 28
hội tụ đến σ ∈ ∂D ∪ {∞}. Khi đó, với mọi p ∈ D tồn tại M > 0 sao cho
zn ∈ Kp(σ, M).
Chứng minh. Lấy p ∈D, ta có
lim inf
n→∞ [kD(p, zn+1)−kD(p, zn)] ≥ 1
2logβσ,p;
Vì vậy tồn tại n0 ≥ 0 sao cho
kD(p, zn+1)−kD(p, zn)≥ 1 2logβσ,p − 1 2log 2 với mọi n≥ n0. Vì thế kD(p, zn+1)−kD(p, zn)−kD(zn+1, zn)≥ 1 2logβσ,p− 1 2log 2− 1 2logα > −∞, Lại có kD(p, zn+2)−kD(p, zn)−kD(zn+2, zn) ≥ kD(p, zn+1)−kD(zn+2, zn+1)−kD(p, zn)−kD(zn+2, zn) ≥ kD(p, zn+1)−kD(p, zn)−kD(zn+1, zn) ≥ 1 2log βσ,p 2α . Vậy với m > n≥ n0 thì kD(p, zm)−kD(p, zn)−kD(zm, zn)≥ 1 2log βσ,p 2α , nên kD(zm, zn)−kD(p, zm) +kD(p, zn)≤ 1 2log(2αβ −1 σ,p). Khi đó, lim inf w→σ [kD(zn, w)−kD(p, w)] +kD(p, zn) ≤ lim m→∞[kD(zn, zm)−kD(p, zm)] +kD(p, zn) ≤ 1 2log(2αβ −1 σ,p)< +∞, với mọi n≥ n0.
2.2. Dãy lặp lùi trong miền không bị chặn 29
Bổ đề 2.2.5. ChoD là miền hyperbolic đầy trong Cn và p∈ D. Giả thiết rằng
∂D thuộc C∞- trơn, hữư hạn. Lấy f ∈ Hol(D, D) là hyperbolic hoặc parabolic có điểm Wolff τ ∈ ∂D∪ {∞} và hệ số co giãn 0 < βτ,p ≤ 1. {zn} ∈ D là dãy lặp lùi của f. Khi đó
∀n∈ Nhτ,p(zn)≥ ( 1 βτ,p
)nhτ,p(z0).
Từ đó, ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.2.1. ChoD là miền hyperbolic đầy trong Cn, và cố định điểm p∈D. Giả sử ∂D thuộc C∞- trơn và hữu hạn. Lấy f ∈ Hol(D, D) là hyperbolic có điểm Wolff τ ∈ D¯ ∪ {∞}, và {zn} ∈ D là dãy lặp lùi của f với bước nhảy Kobayashi bị chặn a >0 hội tụ đến σ ∈∂D∪ {∞}. Khi đó σ 6=τ.
Từ hệ quả trên suy ra nếu τ =σ thì f là parabolic.
Như vậy, về việc xét dãy lặp lùi của hàm chỉnh hình trong miền không bị chặn, ta thu được kết quả sau:
ChoD là miền hyperbolic đầy trongCn. Giả thiết rằng∂D thuộc lớpC∞- trơn, hữư hạn. Lấy f ∈ hol(D, D)có điểm Wolff τ ∈∂D∪ {∞} và {zn} ∈ D là dãy lặp lùi của f với bước nhảy Kobayashi bị chặn. Khi đó
i. {zn} hội tụ đến điểm biên cố định σ ∈ ∂D∪ {∞}; ii. Nếu τ =σ thì f là parabolic;
Kết luận 30
KẾT LUẬN Luận văn đã trình bày và thu được :
- Trong miền bị chặn, nếu ánh xạ f là hyperbolic, parabolic hoặc elliptic mạnh thì dãy lặp lùi đó sẽ hội tụ đến điểm đẩy hoặc điểm parabolic cố định σ ∈ ∂D
và luôn tồn tại M > 0 để dãy lặp lùi nằm trong miền Kp(σ, M). Nếu f là hyperbolic hoặc elliptic mạnh thì σ là điểm đẩy. Nếu điểm σ trùng với điểm Wolff của f thì f là parabolic.
- Trong miền không bị chặn, dãy lặp lùi đó sẽ hội tụ đến điểm biên cố định
σ ∈ ∂D ∪ {∞} và luôn tồn tại M > 0 sao cho dãy lặp lùi nằm trong miền
Kp(σ, M) với mọi p ∈ D. Nếu điểm σ trùng với điểm Wolff của f thì f là parabolic.
Tài liệu tham khảo
[1] Đỗ Đức Thái, Cơ sở lý thuyết hàm hình học, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội.
[2] Marco Abate, Jasmin Raissy (2011), Backward iteration in strongly convex domains, Advances in Mathematics 2837-2854.
[3] Marco Abate, Iteration theory of horomorphic maps on taunt manifolds. Mediterranean Press, Cosenza,1989.
[4] Marco Abate, Horospheres and iterations of horomorphic maps, Math.Z.198 (1988)) 225 - 238.
[5] P.Poggi - Corradini, Backward iteration sequences with bounded hyper- bolic steps for analytic self-maps of the disk, Rev. Mat. Iberoamericana 19 (2003) 943-970
[6] O.Ostapyuk,Backward iteration in the unit ball, Perprint, arXiv: 0910.5451, 2010, Illinois J.Math. ,in press.