Bài viết giới thiệu về các định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna gồm Định lý cơ bản thứ nhất, Định lý cơ bản thứ hai. Sử dụng để thiết lập và chứng minh cho định lý về sự xác định duy nhất của hàm phân hình khi có cùng ảnh ngược của 6 cặp điểm.
VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH ĐỐI VỚI CÁC CẶP ĐIỂM Nguyễn Thị Thu Hằng Khoa Toán Email: hangntt82@dhhp.edu.vn Ngày nhận bài: 18/3/2019 Ngày PB đánh giá: 24/4/2019 Ngày duyệt đăng: 26/4/2019 TÓM TẮT Năm 1926, R Nevanlinna chứng minh hai hàm phân hình khác f g mặt phẳng phức có ảnh ngược giá trị phân biệt f = g (Định lý điểm) Định lý điểm: hai hàm phân hình có ảnh ngược điểm phân biệt biểu diễn phân tuyến tính Từ đó, vấn đề hàm phân hình nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Trong báo này, giới thiệu định lý lý thuyết Nevanlinna gồm Định lý thứ nhất, Định lý thứ hai Từ đó, sử dụng để thiết lập chứng minh cho định lý xác định hàm phân hình có ảnh ngược cặp điểm Từ khóa: lý thuyết Nevanlinna, vấn đề cho hàm phân hình UNIQUE PROBLEM FOR MEROMORPHIC FUNCTION SHARING PAIRS OF VALUES ABTRACT In 1926, R Nevanlinna proved the well-known Five-point Theorem: “Let f and g be two −1 −1 meromorphic functions on If f ( ) = g ( ) for five distinct points ( i = 1, , 5), then f = g” Since then such the similar unique property of meromorphic functions has been studied extensively In this paper, we introduced The first theorem and The Second theorem of Nevanlinna theory Thus, we established the theorem of unique problem for meromorphic function sharing pairs of values Keywords: Nevanlinna theory, uniqueness problem GIỚI THIỆU Cho hai hàm phân hình f , g cho a b hai giá trị phức Ta nói hai hàm phân hình f g có ảnh ngược cặp giá trị (a, b) thỏa mãn: f ( z0 ) = a TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 34, tháng 05 năm 2019 105 f ( z0 ) = b với z0 ∈ Trong trường hợp z0 nghiệm bậc p phương trình f ( z ) = a z0 nghiệm bậc q phương trình f ( z ) = b , ta nói f g có ảnh ngược cặp điểm (a,b) tính bội p = q với điểm z0 Khi ta không xét đến bội giống ta nói f g có ảnh ngược cặp điểm (a,b) khơng tính bội Ta nói hai hàm phân hình f g có ảnh ngược giá trị a f g có ảnh ngược cặp giá trị (a, a) Cho hai hàm phân hình f g mặt phẳng phức Ta nói g biểu diễn phân tuyến af + b tính f tồn giá trị phức a, b, c, d thỏa mãn ad − bc ≠ cho g = cf + d Năm 1926, R Nevanlinna chứng minh hai hàm phân hình khác f g mặt phẳng phức có ảnh ngược giá trị phân biệt f = g (Định lý điểm) Định lý điểm: Định lý 1: Cho hai hàm phân hình khác f g mặt phẳng phức bốn điểm phân biệt a1 , a2 , a3 , a4 ∈ ∪ {∞} Nếu υ f −a = υ g −a với j = 1,2,3,4 g biểu diễn phân tuyến tính f j j Ở đây, tác giả xét cặp điểm chung, tiếp tục nghiên cứu vấn đề hàm phân hình, chúng tơi đưa chứng minh cho định lý vấn đề cho hàm phân hình có ảnh ngược khơng tính bội cặp giá trị phân biệt biểu diễn phân tuyến tính Chúng tơi lưu ý rằng, thay giải thiết cặp điểm thành cặp điểm kết khơng (qua ví dụ mục 4) Tuy nhiên, số kết tác giả thay giả thiết điểm có số điểm tính bội số điểm khơng tính bội định lý MỘT SỐ KHÁI NIỆM, KÍ HIỆU, CƠNG THỨC VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN 2.1 Divisor Định nghĩa 1: [6] Một divvisor U với hệ số biểu thức có dạng hình thức: ∑λυ zυ λυ ∈ ;{ zυ } rời rạc U Định nghĩa 2: [6] Cho U miền Một hàm f xác định U gọi hàm phân hình với , tồn lân cận mở V chứa a, V ⊂ U liên thông tồn hàm g chỉnh hình g, h V, cho f = V h Cho f hàm phân hình U Khi với ta có biểu diễn địa phương f (z) = (z − a)m g ( z ), m ∈ , g (a) ≠ 0, g ( z ) hàm chỉnh hình Nếu m > ta nói a không điểm bậc m (bội m) f 106 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG Nếu m < ta nói a cực điểm bậc m f Định nghĩa 3: [6] Cho f hàm phân hình U ,{a } {bυ }υ∞=1 tập không điểm cực điểm f U , aυ không điểm bậc f, cực điểm bậc (với) f Ta định nghĩa divisor không điểm divisor cực điểm f divisor sinh hàm f sau: ∞ υ υ =1 ( f )0 = ( f )0 − ( f )∞ ∑λυ aυ ; ( f )∞ = ∑ ( −µυ ) bυ ; ( f ) = λυ >0 µυ k = +∞ ta định nghĩa hàm đếm D ngắt k: r ∫1 = N [k] (r , D) Ở đó: nk (= t, D ) nk (t ,D) dt , r > t t, D ) ∑ = µυ n ( t , D ) ∑ {k , µυ } ; n (= +∞ zυ