Vấn đề duy nhất cho hàm phân hình chung nhau một hàm nhỏ

ì ì P P t số ì ì P P t số ữớ ữợ P Pì ổ r sỹ ự tổ ữợ sỹ ữợ P r Pữỡ t q tr ữ tứ ữủ ổ ố tr t s t t t s trữ ữớ ữợ P r Pữỡ ỡ t tổ ổ ữủ sỹ ữợ ú ù t t P r Pữỡ rữớ ữ ổ tọ ỏ t ỡ ổ tợ P r Pữỡ ữớ t t t tổ tứ ỳ ữợ ỳ t tr ữớ ự ợ tt s t t ữớ t ổ ụ t ỡ t ổ tr Pỏ t q ỵ t tở rữớ ữ t tổ t từ tử tổ t ổ t ỡ t ổ rữớ ữ rữớ ữ t t tr tổ ỳ tự ỡ s tr ữớ ự ổ ụ ỷ ỡ tr ợ ú ù tổ tr q tr t ố ũ tổ tọ ỏ t ỡ s s tợ ỳ ữớ t tr ỳ ữớ ổ s õ ổ ọ tổ t ổ ổ t tr ọ ỳ t sõt t rt ữủ sỹ t t t ổ ỗ t t s ử é tự ỡ s ỵ ỡ tr ỵ tt t t ỵ ỡ ởt tr ọ ởt số t t t tự ự ởt ọ rữớ ủ tự ự rữớ ủ tự ự t t é ởt tr ỳ ữợ ự q trồ ỵ tt ự t ữủ ự tọ tr r t ổ t s trũ ổ tr ữủ ỗ ự t s t tr ự t ữợ t út ữủ sỹ q t t tr ữợ rss t t t rss r t ủ T = {z C|ez + z = 0} t t tr C tự ợ f g Ef (T ) = Eg (T ) t f g ú ỵ t T ữ tr ự ổ số tỷ t t ủ SY = {z C|z n + az m + b = 0} tr õ n 15, n > m a, b số ổ s z n +az m +b = ổ õ ự SY t t tr C r rs r ởt t t tr C ởt ợ tr ữỡ n t t r tt f tọ f nf = ự tt ự ởt ỵ t tự ự t ởt tr ứ õ ỳ ự t ữợ ữủ t tr ổ tr t tr ữợ ữ ss ssst P ợ ố t ữủ ởt t số tự ự ú tổ t t ởt ọ tr ởt số t q ữủ ự P ởt số t q ỗ õ ữỡ ữ s ữỡ tự ỡ s r ữỡ ú tổ tr ởt số tự ỡ tr ỵ tt ố tr ởt số t q sỷ tr ữỡ ữỡ t tự ự ởt ọ ữỡ ú tổ tr ởt số t q ự P ởt số t q t ổ ố tr tớ ữỡ tự ỡ s ỵ ỡ tr ỵ tt t t rữợ t t ởt số tữớ ữủ sỷ tr ỵ tt ố tr f tr t ự C z0 C ữủ ổ k N f (z) tỗ t ởt h(z) ổ trt t tr U z0 s tr õ f ữủ ữợ f (z) = (z z0 )k h(z) f (n) (z0 ) = 0, ợ ộ n = 1, , k f (k) (z0 ) = z0 ữủ ỹ k N f (z) õ ổ k f (z) ợ ộ số tỹ x > log+ x = max{log x, 0} õ log x = log+ x log+ (1/x) f ởt tr C r > ợ ộ [0; 2], t õ log |f (rei )| = log+ |f (rei )| log+ , f (rei ) 2 log f (rei ) d = 2 log+ f (rei ) d log+ d f (rei ) m(r, f ) = log+ f (rei ) d ữủ f t f r > n(r, 1/f ) số ổ n(r, 1/f ) số ổ ổ f n(r, f ) số ỹ n(r, f ) số ỹ ổ f tr Dr = {z C : |z| |r|} r N (r, ; f ) = N (r, f ) = n(t, f ) n(0, f ) dt + n(0, f ) log r t f ữủ ỏ t ỹ r N (r, ; f ) = N (r, f ) = n(t, f ) n(0, f ) dt + n(0, f ) log r t ữủ ổ r õ n(0, f ) = lim n(t, f ), n(0, f ) = lim n(t, f ) t0 t0 T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ) trữ f trữ T (r, f ) m(r, f ) N (r, f ) ỡ tr ỵ tt ố tr õ ỏ ỵ s t ởt số t t ỵ f1, f2, ã ã ã , fp õ p (1) p f ) m(r, =1 p (2) =1 p f ) m(r, =1 p (3) (5) f ) N (r, N (r, f ); =1 p f ) N (r, N (r, f ); =1 =1 p p f ) T (r, =1 p (6) m(r, f ); =1 p =1 p (4) m(r, f ) + log p; T (r, f ) + log p; =1 p f ) T (r, =1 T (r, f ) =1 ự t t ỡ t ỹ t t t a1 , , ap số ự t t p log p + =1 log+ |a | a =1 p log + p a + log+ |a | + log p log (p max |a |) =1 =1, ,p =1 ỵ ỡ r ú tổ tr ỵ ỡ tr ỵ tt ố tr trữợ t ổ tự Pss s t N (r, 1 ) + N (r, ) f g N (r, 1 ) + N (r, ) + N (r, f ) + N (r, g) f a2 g a2 + S(r, f ) + S(r, g) 1 N (r, ) + N (r, ) + (N (r, f ) + N (r, g)) f a2 g a2 p + S(r, f ) + S(r, g) ) Q(f ) N (r, ) Q(g) N (r, kT (r, f ) + S(r, f ); kT (r, g) + S(r, g) õ tứ t t ữủ T (r, F ) + T (r, G) 1 (1 + )(N (r, ) + N (r, )) s f g l 1 ) + N (r, )) f a g a i i i=3 1 ) + N (r, )) + (5 k2 )(N (r, f a2 g a2 + (N (r, f ) + N (r, g)) + k(T (r, f ) + T (r, g)) p + (4 ki )(N (r, + S(r, f ) + S(r, g) ki = ợ i {2, , l} tứ t õ l T (r, F ) + T (r, G) 1 (1 + )(N (r, ) + N (r, )) + (N (r, ) s f g f a i i=2 1 + N (r, )) + (N (r, ) + N (r, )) g f a2 g a2 + (N (r, f ) + N (r, g)) + (l 1)(T (r, f ) + T (r, g)) p + S(r, f ) + S(r, g) r T (r, F ) = (n + k + 1)T (r, f ) + S(r, f ); T (r, G) = (n + k + 1)T (r, g) + S(r, g) ữ tứ t õ (n ( + + max(0, k2 ) + s p l max(0, ki )))(T (r, f ) + T (r, g)) i=3 S(r, f ) + S(r, g), + +max(0, 5k2 )+ s p ki = ợ i {2, , l} t t ữủ t ợ n > (n (l + + ))(T (r, f ) + T (r, g)) s p t ợ n > l + l i=3 max(0, 4ki ) S(r, f ) + S(r, g), + ữ t s p F G F G F G t t s õ t F G t F = G + c tr õ c ởt số ứ tự t s r T (r, f ) = T (r, g) + O(1) c = t ỵ ỡ tự t õ T (r, F ) 1 ) + N (r, ) + S(r, f ) F F c 1 N (r, f ) + N (r, ) + N (r, ) f Q(f ) 1 + N (r, ) + N (r, ) + S(r, f ) g Q(g) N (r, F ) + N (r, (2k + 3)T (r, f ) + S(r, f ) t (n (k + 2))T (r, f ) S(r, f ), t ợ n k + c õ P (f ) P (g) ứ P (z) tự t M(C) tr ỵ t s r f g ỵ ữủ ự P tự t A(C) s P = b(x a1 )n li=2 (x )k ợ b C l ki ki+1 ợ ộ i l l > n k + ợ k = li=2 ki sỷ P tọ n > + max(0, k2 ) + li=3 max(0, ki ) f, g A(C) s s t tọ a1 ú õ t t s tr õ s ởt số ữỡ Af (C) Ag (C) ổ ỗ t ổ f P (f ) g P (g) t f g ỵ i ự t ự tữỡ tỹ ữ ỵ ợ ú ỵ f g õ t tự tr ự ỵ t t t t tự T (r, F ) + T (r, G) 1 (1 + )(N (r, ) + N (r, )) + k(T (r, f ) + T (r, g)) s f g l 1 ) + N (r, )) f a g a i i i=3 1 + (5 k2 )(N (r, ) + N (r, )) f a2 g a2 + (4 ki )(N (r, + S(r, f ) + S(r, g) (n ( + max(0, k2 ) + s l max(0, ki )))(T (r, f ) + T (r, g)) i=3 S(r, f ) + S(r, g) t tự t ợ n > + max(0, k2 ) + s l max(0, ki ) i=3 ki = i {2, , l} t tự ữủ t t (n (l + ))(T (r, f ) + T (r, g)) S(r, f ) + S(r, g), s t ợ n > l + tữỡ tỹ ữ ỵ s t s t ự ỵ t ỵ sỹ rở t q ss ssst t tr ỵ t s = p = t s t ữủ ỵ tữỡ ự f (z) g(z) s t tr õ ổ ỹ ú õ t t s p tữỡ ự tr õ s p số ữỡ (z) Mf (C) Mg (C) ổ ỗ t ổ a C f f n (f a) g g n (g a) n > + + t f g s p tỗ t h M(C) tọ ỵ a(n + 2)(1 hn+1 ) f= h; (n + 1)(1 hn+2 ) a(n + 2)(1 hn+1 ) g= (n + 1)(1 hn+2 ) tữỡ tỹ ữ tr ỵ ợ ú ỵ r t ợ n > + + tr ỵ s p ỡ ỳ t õ f n+2 f n+1 g n+2 g n+1 P (f ) = a , P (g) = a n+2 n+1 n+2 n+1 ứ P (f ) = P (g) t õ n+2 n+2 f n+1 (f a ) = g n+1 (g a ) n+1 n+1 f t h = h t f g h 1, t f g ỡ ỳ tứ g t s r ự a(n + 2)(1 hn+1 ) f= h, (n + 1)(1 hn+2 ) ỵ ữủ ự a(n + 2)(1 hn+1 ) g= (n + 1)(1 hn+2 ) rữớ ủ tự ự ự f (z) g(z) n k m số ữỡ ợ n 3m + 2k + P (z) = am z m + am1 z m1 + ã ã ã + a1 z + a0 P (z) c0 tr õ a0 = 0, a1 , , am1 am = c0 = số ự [f n P (f )](k) [g n P (g)](k) tr t (i) P (z) = am z m + am1 z m1 + ã ã ã + a1 z + a0 f (z) tg(z) ố ợ ởt số t s td = tr õ d = (n + m, , n + m i, , n) ami = ố ợ i = 0, 1, , m f g tọ ữỡ tr số R(f, g) = tr õ R(w1, w2) = w1n(amw1m + am1 w1m1 + ã ã ã + a0 ) w2n (am w2m + am1 w2m1 + ã ã ã + a0 ) (ii) P (z) c0 f (z) = c1 / c0 ecz g(z) = c2 / c0 ecz tr õ c1, c2 c số tọ (1)k (c1c2)n(nc)2k = f tg ợ ởt số t tọ tn = ỵ n n tử ự t ữợ P ự f (z) g(z) s t tọ ổ ú õ t t s tr õ s ởt số ữỡ n k m số ữỡ P (z) = amz m + am1 z m1 + ã ã ã + a1 z + a0 P (z) c0 tr õ a0 = 0, a1 , , am1 am = c0 = số ự [f n P (f )](k) [g n P (g)](k) tr t k+2 (i) P (z) = am z m + am1 z m1 + ã ã ã + a1 z + a0 n > m + s t f (z) tg(z) ợ ởt số t tọ td = tr õ d = (n + m, , n + m i, , n) ami = ợ ởt số i = 0, 1, , m f g tọ ữỡ tr số R(f, g) = tr õ R(w1 , w2 ) = w1n (am w1m + am1 w1m1 + ã ã ã + a0 ) w2n (am w2m + am1 w2m1 + ã ã ã + a0 ) ỵ 2k + t f (z) = c1 / n c0 ecz g(z) = (ii) P (z) c0 n > s c2 / n c0 ecz tr õ c1 , c2 c số tọ (1)k (c1 c2 )n (nc)2k = f tg ợ ởt số t s tn = ự (i) P (z) = am z m + am1 z m1 + ã ã ã + a1 z + a0 t F = f n P (f ) G = g n P (g) tt t t rF (k) G(k) tr õ ) G T (r, G) Nk+2 (r, k+2 (0, G) = lim sup r ) g n P (g) = lim sup (n + m)T (r, g) r (k + 2)N (r, ) + mT (r, g) g lim sup (n + m)T (r, g) r k+2 T (r, g) + mT (r, g) s lim sup (n + m)T (r, g) r k+2 m+ s =1 n+m Nk+2 (r, ữỡ tỹ t õ k+2 s n+m m+ k+2 (0, F ) t õ k+2 s k+2 (0, G) + k+2 (0, F ) n+m k+2 2n s = n+m m+ ứ n > m + k+2 t t r s k+2 (0, G) + k+2 (0, F ) > ữ F G r F (k) G(k) F (k) G(k) tự [f n (am f m + ã ã ã + a0 )](k) [g n (am g m + ã ã ã + a0 )](k) trữớ ủ ổ t r F G tự f n (am f m + ã ã ã + a0 ) = g n (am g m + ã ã ã + a0 ) t h = ữủ f h số t t t t f = hg t t g am g n+m (hn+m 1) + am1 g n+m1 (hn+m1 1) + ã ã ã + a0 g n (hn 1) = 0, t hd = tr õ d = (n + m, , n + m i, , n) ami = ợ ởt tr i = 0, 1, m õ f tg ợ ởt số t tọ td = h số tứ t t r f g tọ ữỡ tr số R(f, g) = tr õ R(w1 , w2 ) = w1n (am w1m + am1 w1m1 + ã ã ã + a0 ) w2n (am w2m + am1 w2m1 + ã ã ã + a0 ) (ii) tữỡ tỹ ữ tr trữớ ủ (i) t t F = f n G = g n õ ) G k+2 (0, G) = lim sup T (r, G) r Nk+2 (r, n ) g = lim sup nT (r, g) r Nk+2 (r, (k + 2)N (r, ) g lim sup nT (r, g) r k+2 T (r, g) s lim sup nT (r, g) r k+2 =1 sn ữỡ tỹ t õ k+2 (0, F ) k+2 sn 2k + tữỡ tỹ ữ trữớ ủ (i) s t t ữủ ỵ ứ n > ỵ ởt trữớ ủ t ỵ t f g s t n tr k+2 ỵ n > m + ọ ỡ tr ỵ s f (z) g(z) s t tr õ ổ ỹ ú õ t t s p tữỡ ự tr õ s p số ữỡ (z) Mf (C) Mg (C) ổ ỗ t ổ n m v k ố số ữỡ s ỵ n k + 1, n+m> k+4 k+2 + 2{v(k + 2) + deg Q + } p s P (z) = am z m + am1 z m1 + ã ã ã + a1 z + a0 = (z b1 )m1 (z bv )mv Q(z), tr õ mi k + ợ ởt số i = 1, , v v + p1 m = deg Q + v i=1 mi tr õ a0 = 0, a1 , , am1 am = c0 = số ự [f nP (f )](k) [gnP (g)](k) (z) CM t f (z) tg(z) ợ t số tọ td = tr õ d = (n + m, , n + m i, , n) ami = ợ ởt số i = 0, 1, , m f g tọ ữỡ tr số R(f, g) = tr õ R(w1, w2) = w1n (am w1m + am1 w1m1 + ã ã ã + a0 ) w2n (am w2m + am1 w2m1 + ã ã ã + a0 ) t P (z) = (z b1 )m1 (z bv )mv Q(z) tr õ mi k + r i = 1, , v v + m = deg Q + vi=1 mi t p n n F = f P (f ) G = g P (g) tt t õ F (k) G(k) ự (z) õ ) G T (r, G) Nk+2 (r, k+2 (0, G) = lim sup r ) g n P (g) = lim sup (n + m)T (r, g) r (k + 2)N (r, ) + (v(k + 2) + deg Q)T (r, g) g lim sup (n + m)T (r, g) r k+2 T (r, g) + (v(k + 2) + deg Q)T (r, g) s lim sup (n + m)T (r, g) r Nk+2 (r, õ (v(k + 2) + deg Q) + k+2 (0, G) n+m k+2 s ữỡ tỹ t õ (v(k + 2) + deg Q) + k+2 (0, F ) n+m k+2 s N (r, G) r T (r, G) N (r, g) = lim sup r (n + m)T (r, g) N (r, g) p lim sup r (n + m)T (r, g) T (r, g) p lim sup r (n + m)T (r, g) =1 p(n + m) (, G) = lim sup ữỡ tỹ t õ (, F ) 1 p(n + m) t t ữủ 2(, G) + k+2 (0, G) + (k + 2)(, F ) + k+2 (0, F ) = (k + 4)(1 ) + 2(1 p(n + m) (v(k + 2) + deg Q) + n+m k+2 s ) ứ m + n > k+4 k+2 + 2{v(k + 2) + deg Q + } t t ữủ p s 2(, G) + k+2 (0, G) + (k + 2)(, F ) + k+2 (0, F ) > k + F G r F (k) G(k) ((z))2 F G tự f n (am f m + ã ã ã + a0 ) = g n (am g m + ã ã ã + a0 ) t h = ữủ f h số t t t t f = hg t t g am g n+m (hn+m 1) + am1 g n+m1 (hn+m1 1) + ã ã ã + a0 g n (hn 1) = 0, t hd = tr õ d = (n + m, , n + m i, , n) ami = ợ ởt số i = 0, 1, m õ f tg ợ ởt số t tọ td = h ởt số tứ t t ữủ f g tọ ữỡ tr số R(f, g) = tr õ R(w1 , w2 ) = w1n (am w1m + am1 w1m1 + ã ã ã + a0 ) w2n (am w2m + am1 w2m1 + ã ã ã + a0 ) t F (k) G(k) ((z))2 t ổ ỹ ((z))2 s ự F (k) G(k) s õ ổ ỹ t sỷ tt ổ ỹ F (k) tở õ N (r, F (k) ) + N (r, ) F (k) 2T (r, (z))2 ) t v N (r, f ) + N (r, i=1 ) f bi S(r, f ) ỵ ỡ tự t õ v (v 1)T (r, f ) N (r, f ) + N (r, i=1 õ (v 1)T (r, f ) ) + S(r, f ), f bi S(r, f ) t ữ F (k) G(k) õ ổ ỹ tt r z0 ởt ổ f s1 ổ tở õ z0 ổ [f n P (f )](k) ữ z0 ởt ỹ [g n P (g)](k) t z0 ỹ g p1 p ứ t õ (n + m)p + 2k ữỡ tỹ t n sỷ r zi bi f ợ si õ zi ổ g (n + m)p + 2k ợ pi i = 1, , v õ si , i = 1, , v mi ỵ ỡ tự t õ ns1 k = (n + m)p1 + k õ s1 (1 + )T (r, f ) p vT (r, f ) N (r, f ) + N (r, ) + f n + ( + p (n + m)p + 2k v i=1 v N (r, i=1 ) + S(r, f ) f bi mi )T (r, f ) + S(r, f ) (n + m)p + 2k n + vi=1 mi (1 )T (r, f ) (n + m)p + 2k S(r, f ) t ữ ổ t r t ợ t tử ự ỳ ự ỵ tt ố tr tr t tr ú tổ tr ỳ s r ởt số t q ỡ tr ỵ tt ố tr ự ởt số t t ố tr tự ự tự ữủ tự tt ự t q tr ữỡ Pt ự ởt số ỵ t tự ự ởt ọ ỵ tứ t q tr trữớ ủ tự ự ỵ tứ ỵ t tr trữớ ủ tự ự t q tr ợ ứ st ởt t tự ự r tớ tợ ú tổ s t tử t tr ố ợ ởt số tự t ss ssst rr ts f P (f ) g P (g) sr s t ts tt t s rr ts qss sr r r rs q r st r rr ts t ts t rss r r trt rr ts s rs tr ts t rr r sr Prs t r tr Prss P rtr rsts t q r sts rr ts t qss trs r rr ts r ts ts r r qss trs r rr Pr t P qss r r ts sr r s t t sr rr t t qst rss t qss tr ts qss t rr ts sr ts t ts tr r trs t