Vấn đề duy nhất của hàm phân hình khi đạo hàm của đa thức chung nhau một hàm nhỏ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN QUỐC CƯỜNG VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH KHI ĐẠO HÀM CỦA ĐA THỨC CHUNG NHAU MỘT HÀM NHỎ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN QUỐC CƯỜNG VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH KHI ĐẠO HÀM CỦA ĐA THỨC CHUNG NHAU MỘT HÀM NHỎ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TRẦN PHƯƠNG THÁI NGUYÊN - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, kết nghiên cứu trình bày luận văn trung thực, khách quan không trùng lặp với đề tài khác công bố Việt Nam Tôi xin cam đoan thơng tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Quốc Cường i LỜI CẢM ƠN Với tình cảm chân thành lòng biết ơn sâu sắc, tơi xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Hà Trần Phương trực tiếp hướng dẫn khoa học tận tình giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm Lãnh đạo phòng đào tạo, đặc biệt thầy trực tiếp quản lý đào tạo sau đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K24 (20162018) Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khố học Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến đồng nghiệp, bạn bè tồn thể gia đình, người thân động viên thời gian nghiên cứu đề tài Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Quốc Cường ii ▼ö❝ ❧ö❝ ▼ð ✤➛✉ tự ỡ s tr ỵ tt ❜è ❣✐→ trà ✶ ✸ ✶✳✶✳ ❈→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ ỡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✷ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✶✷ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✹✾ ✺✵ ✷✳✶✳ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❜ê s✉♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✷✳✷✳ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✷✳✸✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ỵ tứ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ▼ð ✤➛✉ ❱➜♥ ✤➲ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü ①→❝ ✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ →♥❤ ①↕ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ↔♥❤ ♥❣÷đ❝ ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥ t❤✉ ❤ót ✤÷đ❝ sü q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ tr♦♥❣ ✈➔ ♥❣♦➔✐ ữợ P rss t ữủ ♥❤✐➲✉ ❦➳t q✉↔ q✉❛♥ trå♥❣✳ ◆➠♠ ✶✾✷✻✱ ❘✳ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥➳✉ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ f, g ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♥➠♠ ❣✐→ trà ♣❤➙♥ ❜✐➺t t❤➻ trò♥❣ ♥❤❛✉✳ ❑➳t q✉↔ ♥➔② ❝õ❛ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ t❤➜② ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ♣❤ù❝ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët ❝→❝❤ ❞✉② ♥❤➜t →♥❤ ①↕ ♥❣÷đ❝✱ ❦❤ỉ♥❣ ❦➸ ❜ë✐✱ ❝õ❛ ♥➠♠ ❣✐→ trà ♣❤➙♥ ❜✐➺t✳ ổ tr ổ ữủ ỗ ❝❤♦ ❝→❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü ①→❝ ✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❤❛✐ ❤➔♠ →♥❤ ①↕ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ ❱➲ s❛✉✱ ✈➜♥ ✤➲ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü ①→❝ ✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❤❛✐ →♥❤ ①↕ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ↔♥❤ ♥❣÷đ❝ ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥ t❤✉ ❤ót ✤÷đ❝ sü q✉❛♥ t➙♠ ❝õ❛ ♥❤✐➲✉ t tr ữợ ởt ữủ ữ r rss õ ỗ t↕✐ ❤❛② ❦❤æ♥❣ ♠ët t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥ S ✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ E (S, f ) = E (S, g) ❦➨♦ t❤❡♦ f = g❄✳ ❚r♦♥❣ t❤ü❝ t➳ ❝➙✉ ❤ä✐ ❝õ❛ rss õ t ữủ t ữ s ỗ t↕✐ ❤❛② ❦❤ỉ♥❣ ✤❛ t❤ù❝ P s❛♦ ❝❤♦ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ ❝➠♣ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ f ✈➔ g t❛ ❝â f = g ♥➳✉ P (f ) ✈➔ P (g) ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ❣✐→ trà ❦➸ ❝↔ ❜ë✐❄✳ ❱➜♥ ✤➲ ♥➔② ✤➣ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët ❝→❝❤ ❧✐➯♥ tư❝ ♠↕♥❤ ♠➩ ✈ỵ✐ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ▼✳ ▲✳ ❋❛♥❣ ✈➔ ❲✳ ▲✳ ❍♦♥❣✱ ❲✳ ❈✳ ▲✐♥ ✈➔ ❍✳ ❳✳ ❨✐✳✳✳ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❣➛♥ ✤➙② ❝â ♠ët sè t→❝ ❣✐↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♣❤ù❝ ✈➔ p−❛❞✐❝ ❦❤✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤❛ t❤ù❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♠ët ❤➔♠ ♥❤ä ✭①❡♠ ❬✷❪✱❬✸❪✱❬✶✶❪✮✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ♠ỵ✐ ❝õ❛ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ ❝ỉ♥❣ ❜è tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❣➛♥ ✤➙② ✈➲ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ tr÷í♥❣ sè ♣❤ù❝ ✈➔ p−❛❞✐❝✱ ❦❤✐ ❤❛✐ ✤❛ t❤ù❝ f P (f ) ✈➔ g P (g) ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♠ët ❤➔♠ ♥❤ä ✤÷đ❝ ❝ỉ♥❣ ❜è ❜ð✐ ❜❛ t→❝ ❣✐↔ ❆✳ ❊s❝❛ss✉t✱ ❑✳❇♦✉ss❛❢✱ ❏✳ ❖❥❡❞❛✳ ✶ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✱ ữỡ ợ t ởt số ỡ tr ỵ tt ố tr ỗ ỵ ỡ tr ỵ tt tr tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♣❤ù❝ ✈➔ tr÷í♥❣ ❤đ♣ p−❛❞✐❝ ❝ò♥❣ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ❝❤✉➞♥ ❜à✳ ❚r♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✷✱ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❦❤✐ f P (f ) ✈➔ g P (g) ởt ọ rữợ tr➻♥❤ ❜➔② ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ ❚æ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ P●❙✳❚❙ ❍➔ r Pữỡ ữớ t t ữợ tổ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳ ❚ỉ✐ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ tỵ✐ t♦➔♥ t❤➸ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ❣✐→♦ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✱ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ ❞↕② ❜↔♦ tæ✐ t➟♥ t➻♥❤ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ t↕✐ ❦❤♦❛✳ ◆❤➙♥ ❞à♣ ♥➔② ❚ỉ✐ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ✤÷đ❝ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ tỵ✐ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❜↕♥ ❜➧✱ ✤➣ ❧✉ỉ♥ ❜➯♥ tỉ✐✱ ❝ê ✈ơ✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tèt ♥❣❤✐➺♣✳ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ♥❣➔② ✶✾ t❤→♥❣ ✵✽ ♥➠♠ ✷✵✶✼ ❚→❝ ●✐↔ ◆❣✉②➵♥ ◗✉è❝ ❈÷í♥❣ ✷ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❈→❝ tự ỡ s tr ỵ tt ố tr rữớ ủ ự ợ ộ sè t❤ü❝ x > 0✱ ❦➼ ❤✐➺✉✿ log+ x = max{log x, 0} ❑❤✐ ✤â log x = log+ x − log+ (1/x) ❇➙② ❣✐í t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❤➔♠ ✤➳♠✱ ❤➔♠ ①➜♣ ①➾✱ ❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ ❈❤♦ f ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ DR ✈➔ ♠ët sè t❤ü❝ r > 0✱ tr♦♥❣ ✤â < R ≤ ∞, r < R✳ ❉➵ t❤➜② 2π 2π 2π log f (reiϕ ) dϕ = 2π ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ❍➔♠ 2π f (reiϕ ) dϕ − 2π log+ log+ dϕ f (reiϕ ) 2π m(r, f ) = 2π log+ f (reiϕ ) dϕ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❤➔♠ f ✳ ❑➼ ❤✐➺✉ n(r, 1/f ) ❧➔ sè ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❦➸ ❝↔ ❜ë✐✱ n(r, 1/f ) ❧➔ sè ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❦❤æ♥❣ ❦➸ ❜ë✐ ❝õ❛ f ✱ n(r, f ) ❧➔ sè ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❦➸ ❝↔ ❜ë✐✱ n(r, f ) ❧➔ sè ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❦❤æ♥❣ ❦➸ ❜ë✐ ❝õ❛ f tr♦♥❣ Dr ✳ ❱ỵ✐ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❦✱ nk (r, f ) ❧➔ sè ✸ ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❜ë✐ ❝❤➦♥ ❜ð✐ k ❝õ❛ f ✭tù❝ ❧➔ ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❜ë✐ l > k ❝❤➾ ✤÷đ❝ t➼♥❤ k ❧➛♥ tr♦♥❣ tê♥❣ nk (r, f ) tr♦♥❣ Dr ✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳ ❍➔♠ r N (r, f ) = n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r t ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ✤➳♠ ❦➸ ❝↔ ❜ë✐ ❝õ❛ f ✭❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ✤➳♠ t↕✐ ❝→❝ ❝ü❝ ✤✐➸♠✮✳ ❍➔♠ r n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r t N (r, f ) = ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ✤➳♠ ❦❤æ♥❣ ❦➸ ❜ë✐✳ ❍➔♠ r nk (r, f ) − nk (0, f ) + nk (0, f ) log r t Nk (r, f ) = ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ✤➳♠ ❜ë✐ ❝❤➦♥ ❜ð✐ k✱ tr♦♥❣ ✤â n(0, f ) = lim n(t, f )❀ t→0 n(0, f ) = lim n(t, f )❀ nk (0, f ) = lim nk (r, f )✳ ❙è k tr♦♥❣ nk (r, f ) ✤÷đ❝ t→0 t→0 ❣å✐ ❧➔ ❝❤➾ sè ❜ë✐ ❜à ❝❤➦♥✳ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉✿ 1 Z(r, f ) = N (r, ); Z(r, f ) = N (r, ); Zk (r, f ) = Nk (r, ) f f f ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳ ❍➔♠ T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ) ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ f ✳ ❈→❝ ❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ T (r, f ) ❤➔♠ ①➜♣ ①➾ m(r, f ) ✈➔ ❤➔♠ ✤➳♠ N (r, f ) ỡ tr ỵ t❤✉②➳t ♣❤➙♥ ❜è ❣✐→ trà✱ ♥â ❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ ỵ tt ự q ỳ tố t ỵ s tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ①➜♣ ①➾✱ ❤➔♠ ✤➳♠✱ ❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣✳ ✹ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳ ❈❤♦ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ f1, f2, , fp✱ ❦❤✐ ✤â ✿ p (1) p fν ) ≤ m(r, ν=1 p (2) ν=1 p fν ) ≤ m(r, ν=1 p (3) fν ) ≤ N (r, fν ) ≤ N (r, N (r, fν ); ν=1 p fν ) ≤ T (r, ν=1 p (6) N (r, fν ); ν=1 p ν=1 p (5) m(r, fν ); ν=1 p ν=1 p (4) m(r, fν ) + log p; T (r, fν ) + log p; ν=1 p fν ) ≤ T (r, ν=1 T (r, fν ) =1 ỵ A(C) ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ C✱ M(C) ❧➔ tr÷í♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ C✳ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳ ❈❤♦ f, g ∈ M(C), a ∈ C ✈➔ P (f ) ∈ C[x] ❧➔ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ q ✳ ❑❤✐ ✤â T (r, f + g) ≤ T (r, f ) + T (r, g) + O(1), T (r, f g) ≤ T (r, f ) + T (r, g), T (r, f − a) = T (r, f ) + O(1), T (r, ) = T (r, f ) + O(1), f T (r, P (f )) = qT (r, f ) + O(1) ❇ê ✤➲ ✶✳✸✳ ❈❤♦ f, g ∈ M(C), ❦❤✐ ✤â Z(r, f − a) ≤ T (r, f ) + O(1), ∀a ∈ C, m(r, f g) ≤ m(r, f ) + m(r, g), N (r, f ) = N (r, f ) + N (r, f ), Z(r, f ) ≤ Z(r, f ) + N (r, f ) + Sf (r) ✺ ✭✷✳✶✺✮ s✉② r❛ (n + k + 1)(T (r, f ) + T (r, g)) ≤5(T (r, f ) + T (r, g)) + (5 − k2 )(Z(r, f − a2 ) + Z(r, g − a2 )) l (4 − ki )((Z(r, f − ) + i=3 + Z(r, g − ))) + 5(N (r, f ) + N (r, g)) + k(T (r, f ) + T (r, g)) + 6T (r, α) − log r + O(1), ✭✷✳✶✻✮ ❞♦ ✤â (n + k + 1)(T (r, f ) + T (r, g)) ≤10(T (r, f ) + T (r, g)) l (4 − ki )((Z(r, f − ) + Z(r, g − ))) + i=3 + (5 − k2 )((Z(r, f − a2 ) + Z(r, g − a2 )) + k(T (r, f ) + T (r, g)) + 6T (r, α) − log r + O(1)), ❞♦ ✤â n(T (r, f ) + T (r, g)) ≤9(T (r, f ) + T (r, g)) + (5 − k2 )((Z(r, f − a2 ) l + Z(r, g − a2 )) + (4 − ki )((Z(r, f − ) i=3 + Z(r, g − ))) + 6T (r, α) − log r + O(1)) ✭✷✳✶✼✮ ❑❤✐ ✤â (5 − k2)(Z(r, f − a2) + Z(r, g − a2)) ≤ max(0, − k2)(T (r, f ) + T (r, g)) + O(1) ✈➔ ➼t ♥❤➜t ✈ỵ✐ ♠é✐ i = 3, , l✱ t❛ ❝â (4 − ki )(Z(r, f − ) + Z(r, g − )) ≤ max(0, − ki )(T (r, f ) + T (r, g)) + O(1) ❇➙② ❣✐í ❣✐↔ sû s5 > 0✳ ✣✐➲✉ ✤â ❝â ♥❣❤➽❛ r➡♥❣ ki 5✱ ∀i = 3, , u5 ✈ỵ✐ l 5✳ ❈❤ó♥❣ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ❝❤➾ sè i ❧ỵ♥ ❤ì♥ ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ s❛♦ ❝❤♦ ki u5 ữỡ tỹ ợ ộ m > 5✱ ❝❤➾ sè ❝❛♦ ❤ì♥ ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ s❛♦ ❝❤♦ ki m ❧➔ um − 1✳ ✸✼ ●✐↔ sỷ E = Cp ỵ õ t❛ ❝â u5 Z(r, f − ) (u5 − 3)T (r, f ) − log r + 0(1) i=3 ✈➔ ✈ỵ✐ ♠é✐ m 6✱ um Z(r, g − ) (um − 2)T (r, g) − log r + O(1), i=3 ❤♦➦❝ ❤♦➦❝ u5 Z(r, f − ) s5 T (r, f ) − log r + O(1), Z(r, g − ) sm T (r, g) − log r + O(1), i=3 um i=3 tr ỵ ✷✳✾✱ ✷✳✶✵✱ ✷✳✶✶✳ ❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ✭✷✳✶✼✮ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â n(T (r, f ) + T (r, g)) ≤9(T (r, f ) + T (r, g)) + max(0, − k2 )(Z(r, f − a2 ) l + Z(r, g − a2 )) + max(0, − ki )(Z(r, f − ) i=3 ∞ + Z(r, g − )) − sm (T (r, f ) + T (r, g)) m=5 ✭✷✳✶✽✮ + 6T (r, α) − log r + O(1), ✈➻ ✈➟② ∞ l n ≤ + max(5 − k2 ) + max(0, − ki ) − i=3 sm , m=5 ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ❣✐↔ tt ỵ tr ỵ r ỵ t õ T (r, α) ≤ log r + O(1) ✈➔ tr♦♥❣ ỵ T (r, ) = õ t❤❡♦ ✸✽ ✭✷✳✽✮ ♥❣❤➽❛ ❧➔ n(T (r, f ) + T (r, g)) ≤9(T (r, f ) + T (r, g)) + max(0, − k2 )(Z(r, f − a2 ) l + Z(r, g − a2 )) + max(0, − ki )(Z(r, f − ) i=3 ∞ + Z(r, g − )) − sm (T (r, f ) + T (r, g)) m=5 − log r + O(1), ✈➻ ✈➟② ∞ l n < + max(0, − k2 ) + max(0, − ki ) − sm , m=5 i=3 ♥❤÷♥❣ ✤✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t ∞ l n + max(5 − k2 ) + max(0, − ki ) − min(2l, sm ) m=5 i=3 ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ①➨t tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♣❤ù❝✿ E = C✳ ❈è ✤à♥❤ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ð tr➯♥ ❝❤➾ t❤❛② t❤➳ ♠é✐ ❜✐➸✉ t❤ù❝ −q log r ❜ð✐ Sf,(r) + Sg (r)✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔② ❦❤ỉ♥❣ →♣ ❞ư♥❣ ỵ ú t ỵ ✷✳✶✳ ❱➻ ✈➟② u5 ((Z(r, f − ) + Z(r, g − ) (u5 − 4)(T (r, f ) + T (r, g)) i=3 = t5 (T (r, f ) + T (r, g)), um ((Z(r, f − ) + Z(r, g − ) (um − 3)(T (r, f ) + T (r, g)) i=3 = tm (T (r, f ) + T (r, g)) ❱➻ ✈➟② t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ∞ l n ≤ + max(5 − k2 ) + max(0, − ki ) i=3 t ỵ tm m=5 ố ũ t trữớ ủ tr ỵ N (r, f ) = N (r, g) = 0✱ t❤❡♦ ✭✷✳✶✻✮ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ (n + k + 1)(T (r, f ) + T (r, g)) ≤5(T (r, f ) + T (r, g)) + (5 − k2 )(Z(r, f − a2 ) l + Z(r, g − a2 )) + (4 − ki )((Z(r, f − ) i=3 + Z(r, g − ))) + k(T (r, f ) + T (r, g)) + 6T (r, α) + Sf (r) + Sg (r) ▼➦t ❦❤→❝ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ỵ f g ❣✐í ❧➔ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥✱ t❛ ❝â u5 Z(r, f − ) (u5 − 3)T (r, f ) = s5 T (r, f ), Z(r, g − ) (u5 − 3)T (r, g) = s5 T (r, g), i=3 u5 i=3 um ((Z(r, f − ) (um − 2)T (r, f ) = sm T (r, f ), i=3 um Z(r, g − ) ❉♦ ✤â✱ (um − 2)T (r, g) = sm T (r, g) i=3 ∞ l n + k + ≤ + k + max(0, − k2 ) + max(0, − ki ) − m=1 i=3 ✈➻ ✈➟② ∞ l n ≤ + max(0, − k2 ) + sm , max(0, − ki ) − sm , m=1 i=3 ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝õ❛ ✣à♥❤ ỵ ữ tr tt ỵ ự r F,G ỗ t ổ ứ õ ú t õ t❤➸ ❣✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ ΨF,G = tr♦♥❣ ♠é✐ ✣à♥❤ ỵ ữ ỵ r ú t õ t t F,G = φ φ ✈ỵ✐ φ = ( (F F− 1)2 )( (G G− 1) ✹✵ ) ❱➻ ΨF,G = tỗ t A, B E s A = + B, G−1 F −1 ✈➔ A = ú ỵ r Z(r, f ) T (r, f ), N (r, f ) ≤ T (r, f )Z(r, f − ) ≤ T (r, f − ) ≤ T (r, f ) + 0(1), i = 2, , l, ✈➔ Z(r, f ) ≤ T (r, f ) ≤ 2T (r, f ) + 0(1) ❚÷ì♥❣ tü ❝❤♦ g ✈➔ g ✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ E = Cp t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✹ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â T (r, F ) (n + k)T (r, f ), ✭✷✳✷✵✮ ♥➳✉ E = C✱ t❛ ❝â T (r, F ) (n + k)T (r, f ) − m(r, ✭✷✳✷✶✮ ) + Sf (r) f ❈❤ó♥❣ t❛ s➩ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ F = G tr♦♥❣ ♠é✐ ✣à♥❤ ỵ t ú t t r t tt tt tr ỵ t õ n + k 2l + tr ỵ ✷✳✶✸✱ t❛ ❝â n + k 2l + ✭✷✳✷✸✮ ❚❛ ①➨t ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤đ♣✿ B = ✈➔ B = 0✳ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ❇❂ ✵ ●✐↔ sû A = 1✳ ❙❛✉ ✤â t❤❡♦ ✭✷✳✶✾✮✱ t❛ ❝â F = AG + (1 − A)✳ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ E = Cp ✳ ỵ F t õ T (r, F ) ≤Z(r, F ) + Z(r, F − (1 − A)) + N (r, F ) − log r + O(1) l ≤Z(r, f ) + l Z(r, f − ) + Z(r, f ) + Z(r, g) + i=2 Z(r, g − ) i=2 + Z(r, g ) + N (r, f ) − log r + O(1) ✹✶ ✭✷✳✷✹✮ ❚❤❡♦ ✭✷✳✷✵✮ ✈➔ ✭✷✳✷✹✮✱ t❛ ❝â (n + k)T (r, f ) ≤Z(r, F ) + Z(r, F − (1 − A)) + N (r, F ) − log r + O(1) l Z(r, f − ) + Z(r, f ) + Z(r, g) ≤Z(r, f ) + i=2 l Z(r, g − ) + Z(r, g ) + N (r, f ) − log r + O(1) + i=2 ✭✷✳✷✺✮ ❚❤❡♦ ✭✷✳✷✺✮✱ t❛ ❝â (n + k)T (r, f ) ≤Z(r, F ) + Z(r, F − (1 − A)) + N (r, F ) − log r + O(1) l ≤Z(r, f ) + Z(r, f − ) + Z(r, f ) + Z(r, g) i=2 l Z(r, g − ) + Z(r, g ) + N (r, f ) − log r + O(1), + i=2 ✈➻ ✈➟② l (n + k)T (r, f ) ≤Z(r, f ) + l Z(r, f − ) + Z(r, g) + i=2 Z(r, g − ) i=2 + N (r, f ) + Z(r, g ) + Z(r, f ) − log r + O(1) ✭✷✳✷✻✮ ❑❤✐ ✤â✱ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✹✱ t❛ rót r❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤➙② tø ✭✷✳✷✻✮ (n + k)T (r, f ) ≤ (l + 3)T (r, f ) + (l + 2)T (r, g) − log r + O(1) ✭✷✳✷✼✮ ❱➻ f ✈➔ g ❝ò♥❣ ♠ët ❣✐↔ t❤✐➳t✱ t❛ ❝ơ♥❣ ❝â (n + k)T (r, g) ≤ (l + 3)T (r, g) + (l + 2)T (r, f ) − log r + O(1) ✭✷✳✷✽✮ ❉♦ ✤â✱ ❦➳t ❤ñ♣ ✭✷✳✷✼✮ ✈➔ ✭✷✳✷✽✮✱ t❛ ❝â (n + k)[T (r, f ) + T (r, g)] ≤ (2l + 5)[T (r, f ) + T (r, g)] − log r + O(1), ✈➻ ✈➟② n + k < 2l + ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ✭✷✳✷✸✮ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ A B = tr ỵ ✹✷ = ✭✷✳✷✾✮ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ①↔② r❛ ❦❤✐ ❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ ①➨t tr÷í♥❣ ❤đ♣ E = C✳ ❚❤❡♦ ✭✷✳✷✶✮✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â (n + k)T (r, f ) ≤Z(r, F ) + Z(r, F − (1 − A)) + N (r, F ) + m(r, l ≤Z(r, f ) + ) + SF (r) f )Z(r, g) f Z(r, f − ) + Z(r, f ) + m(r, i=2 l Z(r, g − ) + Z(r, g ) + N (r, f ) + Sf (r) + Sg (r) + i=2 Ð ✤➙② ❝❤ó♥❣ t❛ ♥❤➟♥ t❤➜② Z(r, f ) + m(r, 1 ) ≤ T (r, ) = T (r, f ) + O(1), f f ❞♦ ✤â l (n + k)T (r, f ) ≤Z(r, f ) + l Z(r, f − ) + Z(r, g) + i=2 Z(r, g − ) i=2 + N (r, f ) + Z(r, g ) + T (r, f ) + Sf (r) + Sg (r) ✭✷✳✸✵✮ ❑❤✐ ✤â ①➨t ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ ✭✷✳✸✵✮✱ t÷ì♥❣ tü t❛ s✉② r❛ (n + k)T (r, f ) ≤ (l + 3)T (r, f ) + (l + 2)T (r, g) + Sf (r) + Sg (r) ✭✷✳✸✶✮ ❱➻ f ✈➔ g t❤ä❛ ♠➣♥ ❝ò♥❣ ♠ët ❣✐↔ t❤✐➳t✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â (n + k)T (r, g) ≤ (l + 3)T (r, g) + (l + 2)T (r, f ) + Sf (r) + Sg (r) ✭✷✳✸✷✮ ❉♦ ✤â ❦➳t ❤ñ♣ ✭✷✳✸✶✮ ✈➔ ✭✷✳✸✷✮✱ t❛ ❝â (n + k)[T (r, f ) + T (r, g)] ≤ (2l + 5)[T (r, f ) + T (r, g)] + Sf (r) + Sg (r), ❞♦ ✤â n + k ≤ 2l + 5✱ ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ✭✷✳✷✸✮ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ A = ❧➔ ❦❤æ♥❣ ①↔② r❛ B = tr ỵ t trữớ ủ tr ỵ tt ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â ∞ l k1 + max(0, − k2 ) + max(0, − ki ) − min(2l, sm ), m=5 i=3 ❞♦ ✤â ∞ n+k 10 + 4(l − 2) − ∞ sm = 4l + − m=5 ✹✸ sm m=5 ❱➻ N (r, f ) = N (r, g) = 0, sû ❞ö♥❣ ỵ t t õ u5 Z(r, f − ) (u5 − 3)T (r, f ) + Sf (r) + Sg (r), Z(r, g − ) (um − 2)T (r, g) + Sf (r) + Sg (r), i=3 ✈➔ ✈ỵ✐ m 6✱ um i=3 ❤♦➦❝ u5 Z(r, f − ) s5 T (r, f ) + Sf (r) + Sg (r) Z(r, g − ) sm T (r, g) + Sf (r) + Sg (r) i=3 ✈➔ um i=3 ❇➙② ❣✐í✱ t❤❡♦ ✭✷✳✶✻✮ t❛ ❝â (n + k + 1)(T (r, f ) + T (r, g)) ≤5(T (r, f ) + T (r, g)) + (5 − k2 )(Z(r, f − a2 ) + Z(r, g − a2 )) l (4 − ki )(Z(r, f − ) + Z(r, g − )) + k(T (r, f ) + i=3 + T (r, g)) + Sf (r) + Sg (r), ✈➻ ✈➟② ∞ n + k ≤ + 4(l − 2) − ∞ sj = 2l + − j=5 sm , m=5 ♠➙✉ t❤✉➝♥ ❣✐↔ t❤✐➳t n + k 2l + ỵ ✤â✱ ❣✐↔ t❤✐➳t A = ❧➔ s❛✐ ❦❤✐ B = 0✳ ❇➙② ❣✐í ❝❤ó♥❣ t❛ ❣✐↔ sû B = ✹✹ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ B = ❳➨t tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➛✉ t✐➯♥ ❦❤✐ E = Cp✱ tù❝ ❧➔✱ tr♦♥❣ ✣à♥❤ ỵ tr ỵ ❚❤❡♦ ✭✷✳✷✵✮ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â Z(r, F ) + Z(r, G) + N (r, F ) + N (r, G) l ≤Z(r, f ) + l Z(r, f − ) + Z(r, f ) + Z(r, g) + i=2 Z(r, g − ) i=2 + Z(r, g ) + N (r, f ) + N (r, g) + 4T (r, α) + O(1) ≤(l + 1)[T (r, f ) + T (r, g)] + T (r, f ) + T (r, g ) + 6T (r, α) + O(1) ≤(l + 3)(T (r, f ) + T (r, g)) + 6T (r, α) − log r, ❞♦ ✤â t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✹✱ Z(r, F ) + Z(r, G) + N (r, F ) + N (r, G) ≤(l + 3)(T (r, f ) + 6T (r, α) ✭✷✳✸✸✮ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t❤❡♦ ✭✷✳✶✾✮✱ T (r, F ) = T (r, G) + O(1) ✈➔ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✹✱ t❛ − log r + O(1)) ❝â (T (r, F ) + T (r, α)) + O(1) n+k ✈➔ T (r, g) ≤ n +1 k (T (r, G) + T (r, α)) + O(1) T (r, f ) ≤ ❉♦ ✤â✱ (T (r, F ) + T (r, α)) + O(1), n+k ✭✷✳✸✹❛✮ Z(r, F ) + Z(r, G) + N (r, F ) + N (r, G) 2l + 2l + ≤ T (r, F ) + + T (r, α) − log r + O(1) n+k n+k ✭✷✳✸✹❜✮ T (r, f ) + T (r, g) ≤ ❇➙② ❣✐í✱ t tt tr ỵ ✷✳✶✶ t❤❡♦✭ ✷✳✷✷✮✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â n + k 2l + 7✳ ❉♦ ✤â t❤❡♦ q✉❛♥ ❤➺ ✭✷✳✸✹❜✮ t❛ ❝â Z(r, F ) + Z(r, G) + N (r, F ) + N (r, G) 2l + 2l + ≤ T (r, F ) + + T (r, α) + O(1), 2n + 2n + ✹✺ ✭✷✳✸✺✮ ✈➔ t÷ì♥❣ tü Z(r, F ) + Z(r, G) + N (r, F ) + N (r, G) 2l + 2l + T (r, G) + + T (r, α) + O(1), ≤ 2n + 2n + ✭✷✳✸✻✮ ✈➻ ✈➟② lim sup( r→∞ Z(r, F ) + Z(r, G) + N (r, F ) + N (r, G) ) < max(T (r, F ), T (r, G)) ❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ỵ ú t ❝â F = G✱ ❤♦➦❝ F G = 1✳ ●✐↔ sû F G = 1✳ ❑❤✐ ✤â f P (f )g P (g) = ữ tr ỵ ✷✳✾✱ ✷✳✶✵✱ ✷✳✶✶✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❣✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ n = k + ✈➔ ♥➳✉ l = 2✱ t❤➻ n = 2k, 2k + 1, 3k + ✈➔ ♥➳✉ l = t❤➻ n = k, 3k2 − k, 3k3 k õ t ỵ ✷✳✼✳ ❉♦ ✤â ❣✐↔ t❤✐➳t F G = ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ ①↔② r❛ ✈➔ ❞♦ ✤â ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â F = G✳ ❇➙② ❣✐í ①➨t tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❦❤✐ E = C tự tr ỵ ự tữỡ tỹ ợ trữớ ủ E = Cp✳ ❚❛ ❝â l Z(r, F ) ≤ Z(r, f ) + Z(r, f − ) + Z(r, f ) + Sf (r), i=2 N (r, F ) ≤ N (r, f ) + Sf (r), ✈➔ t÷ì♥❣ tü ❝❤♦ G✱ ✈➻ ✈➟② ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ s✉② r❛ Z(r, F ) + Z(r, G) + N (r, F ) + N (r, G) l ≤Z(r, f ) + l Z(r, f − ) + Z(r, f ) + Z(r, g) + i=2 Z(r, g − ) i=2 + Z(r, g ) + N (r, f ) + N (r, g) + Sf (r) + Sg (r) ✭✷✳✸✼✮ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t❤❡♦ ✭✷✳✶✾✮✱ T (r, F ) = T (r, G) + 0(1) ✈➔ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✹✱ t❛ ❝â 1 T (r, F ) + Sf (r) ✈➔ T (r, g) ≤ T (r, G) + Sg (r) T (r, f ) ≤ n+k n+k ❉♦ ✤â✱ ≤(l + 2)[T (r, f ) + T (r, g)] + Sf (r) + Sg (r) T (r, f ) + T (r, g) ≤ T (r, F ) + Sf (r) + Sg (r) n+k ✹✻ ◆❤÷ ✈➟②✱ ✭✷✳✸✼✮ ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ Z(r, F ) + Z(r, G) + N (r, F ) + N (r, G) ≤ 2l + T (r, F ) + Sf (r) + Sg (r) n+k ❇➙② ❣✐í✱ ♥❤÷ tr♦♥❣ ❝→❝ ỵ ú t õ t tr n + k 2l + tr ỵ ✷✳✶✷✳ ❉♦ ✤â✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ Z(r, F ) + Z(r, G) + N (r, F ) + N (r, G) ≤ 2l + T (r, F ) + Sf (r) + Sg (r) 2n + ✈➔ t÷ì♥❣ tü Z(r, F ) + Z(r, G) + N (r, F ) + N (r, G) ≤ 2l + T (r, G) + Sf (r) + Sg (r), 2l + ❞♦ ✤â t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✾ ❧↕✐ ♠ët ❧➛♥ ♥ú❛✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â F = G ❤♦➦❝ F G = 1✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❤❡♦ ỵ ữ tr ỵ tt ỵ trứ trữớ ❤ñ♣ F G = ✈➔ ❞♦ ✤â F = G t tr trữớ ủ ỵ ❦➳t ❤ñ♣ ✭✷✳✸✼✮ ♥❣❤➽❛ ❧➔ Z(r, F ) + Z(r, G) ≤ (l + 2)[T (r, f ) + T (r, g)] + Sf (r) + Sg (r) ✭✷✳✸✽✮ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t❤❡♦ ✭✷✳✶✾✮✱ T (r, F ) = T (r, G) + 0(1) ✈➔ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✹✱ t❛ ❝â T (r, f ) ≤ 1 T (r, F ) + Sf (r) ✈➔ T (r, g) ≤ T (r, G) + Sg (r) n+k n+k ❉♦ ✤â✱ T (r, F ) + Sf (r) + Sg (r) n+k T (r, f ) + T (r, g) ≤ ◆❤÷ ✈➟② ✭✷✳✸✼✮ ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ l Z(r, F ) + Z(r, G) ≤Z(r, f ) + Z(r, f − ) + Z(r, f ) + Z(r, g) i=2 l Z(r, g − ) + Z(r, g ) + Sf (r) + Sg (r) + i=2 ≤4 [T (r, f ) + T (r, g)] + Sf (r) + Sg (r) ❱➻ ✈➟②✱ Z(r, F ) + Z(r, G) ≤ 2l + T (r, F ) + Sf (r) + Sg (r), n+k ✹✼ ❞♦ ✤â t❤❡♦ ✭✷✳✷✸✮ t❛ ❝â Z(r, F ) + Z(r, G) ≤ 2l + T (r, F ) + Sf (r) + Sg (r) 2l + ▼ët ❝→❝❤ t÷ì♥❣ tü✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ F = G ❤♦➦❝ F G = ữ t ỵ F G = ❧➔ ❦❤æ♥❣ t❤➸ ①↔② r❛✳ ❉♦ ✤â F = G✳ ữ tr ỵ t ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ F = G✱ tù❝ ❧➔ f P (f ) = g P (g)✳ ❑➳t q✉↔ ❧➔ P (f ) − P (g) ❧➔ ❤➡♥❣ sè C ✳ ❑❤✐ ✤â ❜➡♥❣ ❇ê ✤➲ ✷✳✽✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶ tr ỵ ú t ❝â P (f ) = P (g)✳ ❚÷ì♥❣ tü t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✽✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷ ✈➔ tr♦♥❣ ❝→❝ ✣à♥❤ ỵ ú t õ P (f ) = P (g) ố ũ tr ộ ỵ P ♠ët ✤❛ t❤ù❝ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ❤➔♠ ❝❤ó♥❣ t❛ ✤❛♥❣ ①➨t✳ ❉♦ ✤â✱ f = g✳ ✹✽ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤✐ ❤❛✐ ✤❛ t❤ù❝ ❝❤ù❛ ✤↕♦ ❤➔♠ ❜➟❝ ♥❤➜t ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❝❤✉♥❣ ởt ọ ữỡ ợ t ởt số ỡ tr ỵ tt ố tr ỗ ỵ ỡ tr ỵ tt tr trữớ ủ ự trữớ ủ p−❛❞✐❝ ❝ò♥❣ ♠ët sè ❦➳t q✉↔✱ ❇ê ✤➲ ✈➲ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝➛♥ t❤✐➳t ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ✷✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❦❤✐ f P (f ) ✈➔ g P (g) ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♠ët ❤➔♠ ♥❤ä tr♦♥❣ ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♣❤ù❝ trữớ ủ p t ỵ ỵ ú t tr trữớ ủ p ỵ ỵ ú t ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♣❤ù❝✳ ✹✾ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ❆◆✱ ❚✳ ❚✳ ❍✳✱ ❉■❊P✱ ◆✳ ❚✳ ◆✳ ✭✷✵✶✸✮✱ ✧●❡♥✉s ♦♥❡ ❢❛❝t♦r ♦❢ ❝✉r✈❡s ❞❡♥❡❞ ❜② s❡♣❛r❛t❡❞ ✈❛r✐❛❜❧❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✧✱ ❏✳ ◆✉♠❜❡r✳ ❚❤❡♦r②✱ ✶✸✸✱ ♣♣ ✷✻✶✻✲✷✻✸✹✳ ❬✷❪ ❇❖❯❙❙❆❋✱ ❑✳✱ ❊❙❙❈❆❙❙❯❚✱ ❆✳✱ ❖❏❊❉❆✱ ❏✳ ✭✷✵✶✷✮✱ ✧♣✲❛❞✐❝ ♠❡r♦✲ ♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❢✬P✬✭❢✮✱ ❣✬P✬✭❣✮ s❤❛r✐♥❣ ❛ s♠❛❧❧ ❢✉♥❝t✐♦♥✧✱ ❇✉❧❧❡t✐♥ ❞❡s ❙❝✐❡♥❡s ▼❛t❤❡s♠❛t✐q✉❡s✱ ✶✸✻✭✷✮✱ ♣♣ ✶✼✷✲✷✵✵ ❬✸❪ ❇❖❯❙❙❆❋✱ ❑✳✱ ❊❙❙❈❆❙❙❯❚✱ ❆✳✱ ❖❏❊❉❆✱ ❏✳ ✭✷✵✶✸✮✱ ✧❈♦♠♣❧❡① ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❢✬P✬✭❢✮✱ ❣✬P✬✭❣✮ s❤❛r✐♥❣ ❛ s♠❛❧❧ ❢✉♥❝t✐♦♥✧✱ ■♥❞❛❣❛t✐♦♥❡s✱ ✷✹✭✶✮✱ ♣♣ ✶✺✲✹✶✳ ❬✹❪ ❇❖❯❚❆❇❆❆✱ ❆✳ ✭✶✾✾✵✮✱ ❚❤❡♦r✐❡ ❞❡ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ♣✲❛❞✐q✉❡✱ ▼❛♥✉s❝r✐♣t❛ ▼❛t❤✳✱ ✻✼✱ ♣♣ ✷✺✶✲✷✻✾✳ ❬✺❪ ❊❙❈❆❙❙❯❚✱ ❆✳✭✷✵✵✽✮✱ ✧P✲❛❞✐❝ ✈❛❧✉❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✱ ❙♦♠❡ ❚♦♣✐❝s ♦♥ ❱❛❧✉❡ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥ ❛♥❞ ❉✐❢❢❡r❡♥t❛❜✐❧✐t② ✐♥ ❈♦♠♣❧❡① ❛♥❞ P✲❆❞✐❝ ❆♥❛❧✲ ②s✐s✧✱ ✹✷✲✶✸✽✳ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ▼♦♥♦❣r❛♣❤✱ ❙❡r✐❡s ✶✶✱ ❙❝✐❡♥❝❡ Pr❡ss✱ ❇❡✐✲ ❥✐♥❣✳ ❬✻❪ ❋❯❏■▼❖❚❖✱❍✳✭✷✵✵✵✮✱ ✧❖♥ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s s❤❛r✐♥❣ ❢✐♥✐t❡ s❡ts✧✱ ❆♠❡r✳❏✳▼❛t❤✳✱✶✷✷✭✻✮✱✶✶✼✺✲✶✷✵✸✳ ❬✼❪ ❍❆❨▼❆◆✱❲✳❑✳✭✶✾✼✺✮✱✧▼❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❋✉♥❝t✐♦♥s✧✱ ❖①❢♦r❞ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✳ ❬✽❪ ❍✉✱P✳❈✳ ❛♥❞ ❨❆◆●✱❈✳❈✳✭✷✵✵✵✮✱ ✧▼❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❋✉♥❝t✐♦♥s ♦✈❡r ◆♦♥✲ ❆r❝❤✐♠❡❞❡❛♥ ❋✐❡❧❞s✧✱ ❑❧✉✇❡r ❆❝❛❞❡♠✐❝ P✉❜❧✐s❤❡rs✳ ❬✾❪ ❍❯❆✱❳✱ ❨❆◆●✱❈✳❈✳ ✭✶✾✾✼✮✱ ✧❯♥✐q✉❡♥❡ss ❛♥❞ ✈❛❧✉❡✲s❤❛r✐♥❣ ♦❢ ♠❡r♦✲ ♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✧✱❆♥♥✳ ❆❝❛❞✳❙❝✐✳❋❡♥♥✳▼❛t❤✳✱✷✷✱✸✾✺✲✹✵✻✳ ✺✵ ❬✶✵❪ ❨■✱❍✳❳✳✱✭✶✾✾✺✮✱ ✧▼❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝✐t✐♦♥s t❤❛t s❤❛r❡ ♦♥❡ ♦r t✇♦ ✈❛❧✲ ✉❡s✧✱ ❈♦♠♣❧❡① ❱❛r✐❛❜❧❡s ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ✷✽✱✶✲✶✶✳ ❬✶✶❪ ❊❙❈❆❙❙❯❚✱ ❆✳✱ ❇❖❯❙❙❆❋✱ ❑✳✱ ❖❏❊❉❆✱ ❏✳ ✭✷✵✶✹✮✱ ✧❈♦♠♣❧❡① ❛♥❞ ♣✲❆❞✐❝ ▼❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❢✬P✬✭❢✮✱ ❣✬P✬✭❣✮ ❙❤❛r✐♥❣ ❛ ❙♠❛❧❧ ❋✉♥❝✲ t✐♦♥✧✱ ❆♥❛❧✳ ❚❤❡♦r② ❆♣♣❧✳✱ ✸✵✱ ♣♣ ✺✶✲✽✶✳ ✺✶ ... HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN QUỐC CƯỜNG VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH KHI ĐẠO HÀM CỦA ĐA THỨC CHUNG NHAU MỘT HÀM NHỎ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC... truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khố học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến đồng nghiệp, bạn bè tồn thể gia đình, người thân động viên thời gian nghiên cứu đề tài Thái... trực tiếp hướng dẫn khoa học tận tình giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm Lãnh đạo phòng đào tạo, đặc biệt thầy trực tiếp quản lý đào tạo sau đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp