Vấn đề duy nhất của l hàm và hàm phân hình liên quan đến đa thức vi phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Đặng Thị Giang VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA L HÀM VÀ HÀM PHÂN HÌNH LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2022 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Đặng Thị Giang VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA L - HÀM VÀ HÀM PHÂN HÌNH LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2022 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Đặng Thị Giang VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA L - HÀM VÀ HÀM PHÂN HÌNH LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC VI PHÂN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS LÊ QUANG NINH Thái Nguyên - 2022 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2022 Xác nhận người hướng dẫn Người viết luận văn TS Lê Quang Ninh Đặng Thị Giang i Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Lê Quang Ninh, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, bảo tận tình, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Tốn tồn thể thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội truyền thụ cho kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi ý kiến đóng góp q báu suốt trình học tập thực luận văn Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm giúp đỡ, động viên suốt q trình làm luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2022 Người viết luận văn Đặng Thị Giang ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các hàm Nevanlinna hàm phân hình 1.2 Một số vấn đề L - hàm 11 Chương Vấn đề L - hàm hàm phân hình liên quan đến đa thức vi phân 16 2.1 Đa thức vi phân [f n (f − 1)](k) [Ln (L − 1)](k) chia sẻ giá trị hữu hạn 16 2.2 Đa thức vi phân [f n (f − 1)m ](k) [Ln (L − 1)m ](k) chia sẻ giá trị hữu hạn 24 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Mở đầu Vấn đề hàm phân hình liên quan đến đa thức vi phân nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết Năm 2002, M L Fang rằng: Nếu hai đa thức vi phân [f n (f − 1)](k) [g n (g − 1)](k) chia sẻ CM f = g Trong đó, f g hai hàm nguyên khác n, k số nguyên dương thỏa mãn n ̸= 2k + Năm 2018, Wen- Jie Hao Jun- Fan Chen [9] đưa kết trường hợp [f n (f −1)](k) [Ln (L−1)](k) chia sẻ giá trị hai trường hợp CM (IM ) f = L Năm 2019, Xiao - Min li cộng [12] đưa kết trường hợp [f n (f − 1)m ](k) [Ln (L − 1)m ](k) chia sẻ giá trị hai trường hợp CM (IM ) f = L Luận văn trình bày cách hệ thống kết nói Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương trình bày số vấn đề hàm phân hình L - hàm Chương trình bày vấn đề L -hàm hàm phân hình liên quan đến đa thức vi phân Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các hàm Nevanlinna hàm phân hình Với số thực dương x ∈ R∗+ , kí hiệu log+ x = log x x ≤ < x < Như vậy: log+ x = max{log x, 0}, log x = log+ x = log+ x Cho f hàm phân hình DR = {z ∈ C : |z| ≤ R} số thực r > 0, < R ≤ ∞ < r < R Định nghĩa 1.1.1 Hàm 2π m(r, f ) = 2π log+ |f (reiφ )|dφ, gọi hàm xấp xỉ hàm f Ta kí hiệu n(r, f ) số cực điểm kể bội, n(r, f ) số cực điểm phân biệt (không kể bội) hàm f Dr Định nghĩa 1.1.2 Hàm r N (r, f ) = n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r, t gọi hàm đếm kể bội hàm f (còn gọi hàm đếm cực điểm) Định nghĩa 1.1.3 Hàm r N (r, f ) = n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r t gọi hàm đếm khơng kể bội Trong n(0, f ) = lim n(t, f ); n(0, f ) = lim n(t, f ) t→0 t→0 Định nghĩa 1.1.4 Hàm T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ) gọi hàm đặc trưng hàm f Các hàm đặc trưng T (r, f ), hàm xấp xỉ m(r, f ) hàm đếm N (r, f ) ba hàm lý thuyết phân bố giá trị, cịn gọi hàm Nevanlinna 1 Kí hiệu n t, số không điểm kể bội, n t, f f không kể bội f số không điểm Định nghĩa 1.1.5 Hàm r N r, f n t, = f − n 0, t f dt + n 0, f log r gọi hàm đếm không điểm hàm f Cho a ∈ C ∪{∞}, ta kí hiệu 2π m r, f −a = 2π log+ |f (reiφ ) − a| dφ 1 số không điểm kể bội n 1, f −a f −a số không điểm phân biệt f − a Dr 1 r n t, − n 0, f −a f −a N (r, 0; f ) = N r, = dt f −a t Kí hiệu n r, log r, f −a 1 − n 0, n t, f −a f −a dt t + n 0, r N (r, 0; f ) = N r, f −a = + n 0, T r, f −a = m r, f −a log r f −a + N r, f −a Định lý 1.1.6 (Định lý thứ nhất) [10] Cho f ̸≡ hàm phân hình khác đĩa đóng D(R) = {z ∈ C : |z| ≤ r} Khi ta có T r, f −a = T (r, f ) − log |f (0) − a| + ε(r, a), |ε(r, a)| ≤ log+ |a| + log Hay T r, f −a = T (r, f ) + O(1), O(1) đại lượng bị chặn Định lý 1.1.7 (Định lý thứ hai) [10] Cho f hàm phân hình khác C a1 , a2 , , aq số phức phân biệt Khi ta có bất đẳng thức q (q − 1)T (r, f ) ≤ N r, i=1 f − + N (r, f ) − N1 (r, f ) + S(r, f ), với r > đủ lớn nằm tập có độ đo Lebesgue hữu hạn, N1 (r, f ) = N r, f′ + 2N (r, f ) − N (r, f ′ ), S(r, f ) = O(T (r, f )) Bổ đề 1.1.8 [10] Cho f hàm phân hình siêu việt a1 , a2 hai hàm phân hình riêng biệt cho T (r, ) = S(r, f ), i = 1, Khi T (r, f ) ≤ N (r, f ) + N r, f − a1 + N r, f − a2 + S(r, f ) (1.1) Bổ đề 1.1.9 [1] Cho f hàm phân hình khác cho F = p k k=0 ak f , q j j=0 bj f (1.2) hàm hữu tỉ tối giản f với hệ số {ak } {bj } số, ap bq khác khơng Khi T (r, F ) = dT (r, f ) + O(1), với d = max{p, q} Định nghĩa 1.1.10 Cho p số nguyên dương a ∈ C∪{∞}, Np) r, hàm đếm a - điểm f bội không lớn p N(p r, f −a f −a hàm đếm a - điểm f có bội khơng nhỏ p Tương tự trường hợp không kể bội N p) r, f −a 1 , N p) r, , N(p r, N (p f −∞ f −∞ f −∞ N(p (r, f ), N (p (r, f ), Np) (r, f ) N p) (r, f ) Np) r, f −a r, f −∞ N (p r, Cho f hàm phân hình ta kí hiệu số cực điểm f (s) với | s |≤ r n(r, ∞, f ) (kể bội) Với c ∈ C, c - giá trị f xác định n(r, c, f ) = n r, ∞, f −c Ta có hàm đếm, hàm xấp xỉ hàm đặc trưng xác định sau r (n(t, c, f ) − n(0, c, f )) N (r, c, f ) = dt + n(0, c, f ) log r, t m(r, c, f ) = m r, , f −c T (r, c, f ) = N (r, c, f ) + m(r, c, f ) (n + m)T (r, L) ≤ (2k + m + 4)T (r, f ) + (k + m + 2)T (r, L) + S(r, f ) + S(r, L) (2.64) Giả sử tồn tập E ⊆ R+ có độ đo tuyến tính mesE = ∞ thỏa mãn T (r, L) ≤ T (r, f ), r ∈ E r → ∞ Từ (2.63) suy n ≤ 2k + m + Điều mâu thuẫn với giả thiết n > 3k + m + Giả sử tồn tập E ⊆ R+ có độ đo tuyến tính mesE = ∞ thỏa mãn T (r, f ) ≤ T (r, L), r ∈ E r → ∞ Từ (2.64) suy n ≤ 3k + m + Điều mâu thuẫn với giả thiết n > 3k + m + Do W ≡ 0, tức F′ G′′ G′ F ′′ −2 = ′ −2 F F −1 G G−1 (2.65) (V G + U − V ) = , U ̸= 0, V số F −1 G−1 Bổ đề 2.2.1 chứng minh Suy Định lý 2.2.2 Cho f hàm phân hình khác hằng, L L - hàm n, m, k số nguyên dương Giả sử [f n (f −1)m ](k) [Ln (L−1)m ](k) chia sẻ CM Nếu n > 3k +m+6 k ≥ 2, f ≡ L f n (f −1)m ≡ Ln (L − 1)m Chứng minh Đặt F = [f n (f − 1)m ](k) , G = [Ln (L − 1)m ](k) , F1 = f n (f − 1)m , G1 = Ln (L − 1)m Từ Bổ đề 1.1.9, ta T (r, F1 ) = (n + m)T (r, f ) + S(r, f ), T (r, G1 ) = (n + m)T (r, L) + S(r, L) 29 (2.66) Từ Bổ đề 2.2.1, ta VG+U −V = , F −1 G−1 (2.67) U ̸= V số Ta xét ba trường hợp sau Trường hợp V ̸= U = V Từ (2.67), ta có VG = F −1 G−1 (2.68) Trường hợp 1.1 V = −1, đó, từ (2.68) ta có F G = 1, [f n (f − 1)m ](k) [Ln (L − 1)m ](k) ≡ Cho d1 bậc L Khi đó, d1 = K j=1 λj (2.69) > 0, K λj số xác định (iii) định nghĩa L - hàm Ta T (r, L) = d1 r log r + O(r) π (2.70) Từ (2.69), (2.70) Bổ đề 1.1.9 ta có ρ(f ) = ρ(f n (f − 1)m ) = ρ([f n (f − 1)m ](k) ) = ρ([Ln (L − 1)m ](k) ) = ρ(Ln (L − 1)m ) = ρ(L) = (2.71) Vì L có nhiều cực điểm z = 1, (2.69) suy [f n (αf m + β)](k) có nhiều khơng điểm z = Từ (2.71), giả thiết k ≥ 2, Bổ đề 1.1.20, ta f n (f − 1)m f có hữu hạn cực điểm Đồng thời, từ (2.69) suy [Ln (L − 1)m ](k) có hữu hạn khơng điểm Ngoài ra, từ giả thiết n > 3k + m + ta suy L có hữu hạn khơng điểm Do L = QeAz+B , 30 (2.72) Q hàm số hữu tỷ thỏa mãn L khơng có khơng điểm cực điểm, A ̸= B số Từ (2.72) ta T (r, L) = T (r, QeAz+B ) |A|r (1 + o(1)) + O(log r), ≤ π điều mâu thuẫn với (2.70) (2.73) Trường hợp 1.2 V ̸= −1, từ (2.68) ta có 1 )=− (2.74) V VG Trong biểu diễn L có nhiều cực điểm z = 1, ta biết G có nhiều cực điểm z = 1, từ (2.74) ta có F − (1 + ) có nhiều V không điểm Từ (2.66) Bổ đề 1.1.15 ta F − (1 + (n + m)T (r, f ) = T (r, F1 ) + S(r, f ) ≤ N (r, f ) + Nk+1 r, F1    +N r, F − 1+   + S(r, f )  V ≤ N (r, f ) + (k + 1)N r, f + Nk+1 r, (f − 1)m + O(log r) + S(r, f ) ≤ (k + m + 2)T (r, f ) + S(r, f ), (2.75) điều mâu thuẫn với n > 3k + m + Trường hợp Giả sử V ̸= U ̸= V , từ (2.67) ta có G+ U −V −U = · V V 1 F − 1+ V , (2.76) Tương tự, lưu ý L có nhiều cực điểm z = 1, từ (2.76) ta có F − + Bằng cách chứng minh tương tự Trường hợp 1.2 ta V suy điều vơ lí 31 Trường hợp V = U ̸= Khi đó, từ (2.67), ta có G = U F − U + 1, (2.77) G1 = U F1 + (1 − U )γ(z), (2.78) cho γ(z) đa thức có bậc cao k Từ (2.70), ta L G1 hàm phân hình siêu việt Khi đó, ta có T (r, γ) = oT (r, L) Nếu γ ̸= (1 − U )γ(z) ̸≡ Từ (2.78) Bổ đề 1.1.8, ta có (n + m)T (r, L) = T (r, G1 ) + S(r, L) ≤ N (r, G1 ) + N r, G1 + S(r, L) G1 − (1 − U )P (z) 1 = N (r, L) + N r, + N r, + S(r, L) G1 F1 1 1 ≤ N r, + N r, + N r, + N r, L f L−1 f −1 + O(log r) + S(r, L) + N r, ≤ 2[T (r, f ) + T (r, L)] + S(r, L) (2.79) Từ (2.78) Bổ đề 1.1.9 ta có T (r, L) = T (r, f ) + S(r, L) Sử dụng điều (2.79) ta (m + n)T (r, L) ≤ 4T (r, L) + S(r, L), (2.80) điều mâu thuẫn với n > 3k + m + Do U = Từ (2.78), ta có F1 = G1 , suy f n (f − 1)m = Ln (L − 1)m Tức m−i m−i f n (f m + · · · + (−1)i Cm f + · · · + (−1)m ) 32 (2.81) m−i m−1 = Ln (Lm + · · · + (−1)i Cm L + · · · + (−1)m ) Xét H = (2.82) f Nếu H hàm phân hình khác từ (2.81) ta L f n (f − 1)m = Ln (L − 1)m Nếu H số, từ (2.82) ta m−i n+m−i Ln+m (H n+m −1)+· · ·+(−1)i Cm L (H n+m−i −1)+· · ·−Ln (H n −1) = Từ H = Cho nên f ≡ L Vậy định lí chứng minh Bổ đề 2.2.3 Cho f hàm phân hình khác hằng, L L - hàm; n, m, k số nguyên dương α, β số thỏa mãn | α | + | β |̸= F = [f n (αf m + β)](k) , G = [Ln (αLm + β)](k) Nếu F G chia sẻ IM , n > 7k+4m+11, (V G + U − V ) = , F −1 G−1 U ̸= 0, V số Chứng minh Cho G′′ G′ −2 , G′ G−1 (2.83) F1 = f n (αf m + β), G1 = Ln (αLm + β) (2.84) F′ F ′′ − W = ′ −2 F F −1 Tương tự Bổ đề 2.2.1, ta có L L - hàm khác Từ Bổ đề 1.1.9, ta có T (r, F1 ) = (n + m)T ˜ (r, f ) + S(r, f ), (2.85) T (r, G1 ) = (n + m)T ˜ (r, L) + S(r, L) (2.86) 33 Từ (F1 )(k) = F , ta m r, F1 ≤ m r, F + S(r, f ) (2.87) Giả sử W ̸≡ 0; z0 không điểm F − có bậc q , z0 khơng điểm G − có bậc j Trong F G chia sẻ giá trị IM Bằng cách khai triển Laurent W , ta có W (z0 ) = với q = j = Khi N1) r, F −1 G−1 ≤ N r, W ≤ T (r, W ) + O(1) = N1) r, ≤ N (r, W ) + S(r, f ) + S(r, L) (2.88) Tương tự, z1 cực điểm F có bậc 1, ta W (z1 ) ̸= ∞ Nếu z2 cực điểm G có bậc 1, ta W (z2 ) ̸= ∞ Vì vậy, từ (2.83), ta có N (r, W ) ≤ N (2 (r, F ) + N (2 (r, G) 1 + N (2 r, + N (2 r, F G 1 + N L r, + N L r, F −1 G−1 1 + N r, ′ + N r, ′ , F G (2.89) hàm đếm có khơng điểm chung với F ′ , khác ′ F với F (F − 1) Với F G chia sẻ giá trị IM Ta có N r, N r, F −1 1 (2 + N E r, F −1 F −1 1 r, + N L r, F −1 G−1 ≤ N1) r, + NL Kết hợp (2.88) - (2.90), ta có N r, F −1 + N r, G−1 ≤ N (2 (r, F ) + N (2 (r, G) 34 (2.90) + N (2 r, F + N (2 r, G 1 + 3N L r, F −1 G−1 1 r, ′ + N r, ′ F G 1 (2 r, + 2N E r, G−1 G−1 (2.91) + 3N L r, + N0 + N1) Lưu ý N1) r, G−1 (2 + 2N E r, G−1 1 + 2N L r, F −1 G−1 ≤ N r, G−1 ≤ T (r, G) + O(1) (2.92) + N L r, Thay (2.92) vào (2.91), ta có N r, F −1 + N r, G−1 ≤ N (2 (r, F ) + N (2 (r, G) + N (2 r, F + N (2 r, G 1 + N L r, F −1 G−1 1 + N r, ′ + N r, ′ F G + T (r, G) + O(1) (2.93) + 2N L r, Từ Định lí thứ hai (2.93), ta có T (r, F ) + T (r, G) ≤ N (r, F ) + N (r, G) 1 + N r, + N r, F G + N (2 (r, F ) + N (2 (r, G) 1 + N (2 r, + N (2 r, F G 35 1 + N L r, F −1 G−1 + T (r, G) + S(r, f ) + S(r, L) + 2N L r, (2.94) Cụ thể T (r, F ) ≤ N2 (r, F ) + N2 (r, G) 1 + N2 r, + N2 r, F G 1 + N L r, + 2N L r, F −1 G−1 + S(r, f ) + S(r, L) (2.95) Lưu ý F = N r, G F r, G = N r, N2 r, N2 F r, G F r, G − N(2 r, − 2N (2 r, , − N(2 − 2N (2 (2.96) Cho z3 khơng điểm f có bậc i i ≥ Với n > 3k + m ˜ + > k + 2, m − k > (k + 2)i − k = (i − 1)k + 2i ≥ Suy khơng điểm F có bậc ≥ Do F N(2 r, − 2N (2 r, F ≥ (n − k − 2)N r, f (2.97) G ≥ (n − k − 2)N r, L (2.98) Ngoài ra, thay G ta có N(2 r, G − 2N (2 r, Kết hợp (2.95) - (2.98) Định lí thứ ta có T r, F ≤ N2 (r, F ) + N2 (r, G) + N r, F + N r, 36 G + NL r, F −1 + NL r, − (n − k − 2)N r, f G−1 − (n − k − 2)N r, + S(r, f ) + S(r, L) L (2.99) Từ (2.87), ta có T r, 1 + N r, F1 F1 1 ≤ m r, + N r, F F1 1 − N r, + N r, = T r, F F F1 F1 = m r, (2.100) Từ (2.99), (2.100) Định lí thứ ta có + N2 (r, F ) + N2 (r, G) F1 1 + N r, + 2N L r, + N L r, G F −1 G−1 1 − (n − k − 2)N r, − (n − k − 2)N r, f L + S(r, f ) + S(r, L) (2.101) T (r, F1 ) ≤ N r, Từ Bổ đề 1.1.16, ta có N r, G + kN (r, G1 ) + S(r, L) G1 1 ≤ nN r, + N r, L αLm + β + kN (r, G1 ) + S(r, L) ≤ N r, Từ Bổ đề 1.1.23, ta có N r, G ≤ N r, G1 ≤ Nk+1 r, + kN (r, G1 ) + S(r, L) Ln + Nk+1 r, 37 αLm + β (2.102) + kN (r, G1 ) + S(r, L) 1 ≤ (k + 1)N r, + Nk+1 r, L αLm + β + kN (r, G1 ) + S(r, L) (2.103) Ngoài ra, ta biết N L r, G−1 1 − N r, G−1 G−1 G G ≤ N r, ′ ≤ T r, ′ G G G = T r, ′ + O(1) G G G ≤ N r, ′ + m r, ′ + O(1) G G + S(r, L) ≤ N (r, G) + N r, G ≤ N r, (2.104) Từ bất đẳng thức (2.102) - (2.104) F Thay (2.102) - (2.104) vào (2.101) (2.85) suy (n − m)T ˜ (r, f ) ≤ N2 (r, F ) + N2 (r, G) + 2kN (r, G1 ) + 2kN (r, F1 ) + 2N (r, F ) + N (r, G) 1 + N r, m + N r, αf + β αLm + β 1 + 2Nk+1 r, m + Nk+1 r, m αf + β αL + β 1 + (3k + 4)N r, + (2k + 3)N r, f L + S(r, f ) + S(r, L) (2.105) Tương tự, ta có (n − m)T ˜ (r, L) ≤ N2 (r, F ) + N2 (r, G) + 2kN (r, F1 ) + 2kN (r, G1 ) + 2N (r, G) + N (r, F ) 1 + N r, m + N r, αf + β αLm + β 38 + 2Nk+1 r, + Nk+1 r, αLm + β αf m + β 1 + (2k + 3)N r, + (3k + 4)N r, L f + S(r, f ) + S(r, L) (2.106) L có nhiều cực điểm, ta N (r, L) = O(log r) Đồng thời, ta có N (r, F ) = N (r, F1 ) = N (r, f ), N (r, G) = N (r, G1 ) = N (r, L), N2 (r, F ) ≤ 2N (r, F ) Từ (2.105) (2.105), ta kết sau (n − m)T ˜ (r, f ) ≤ (5k + 3m ˜ + 8)T (r, f ) + (2k + 2m ˜ + 3)T (r, L) + S(r, f ) + S(r, L), (2.107) (n − m)T ˜ (r, L) ≤ (4k + 2m ˜ + 6)T (r, f ) + (3k + 3m ˜ + 4)T (r, L) + S(r, f ) + S(r, L) (2.108) Giả sử tồn tập E ⊆ R+ với độ đo tuyến tính mesE = ∞ thỏa mãn T (r, L) ≤ T (r, f ) với r ∈ E r → ∞ Khi đó, từ (2.107) ta có n ≤ 7k + 4m ˜ + 11 Điều mâu thuẫn với giả thiết n > 7k + 4m ˜ + 11 Giả sử tồn tập E ⊆ R+ với độ đo tuyến tính mesE = ∞ thỏa mãn T (r, L) ≤ T (r, f ) với r ∈ E r → ∞ Khi đó, từ (2.108) ta có n ≤ 7k + 4m ˜ + 10 Điều mâu thuẫn với giả thiết n > 7k + 4m ˜ + 11 Do đó, W ≡ 0, ta có F ′′ F′ G′′ G′ −2 = ′ −2 F′ F −1 G G−1 39 (2.109) Suy VG+U −V = F −1 G−1 với U ̸= 0, V số Vậy Định lí chứng minh Bằng cách chứng minh tương tự Định lý 2.2.2 kết hợp Bổ đề 2.2.3 ta chứng minh định lý sau Định lý 2.2.4 Cho f hàm phân hình khác L L - hàm n, m, k số nguyên dương Giả sử (f n )(k) (Ln )(k) chia sẻ IM Nếu n > 7k + 11 f ≡ tL với số t thỏa mãn tn = Từ Định lý ta có hai hệ sau Hệ 2.2.5 Cho f hàm phân hình khác hằng, L L - hàm n, k hai số nguyên dương Giả sử (f n )(k) (Ln )(k) chia sẻ giá trị IM Nếu n > 7k + 11 f ≡ tL với số t thỏa mãn tn = Hệ 2.2.6 Cho f hàm phân hình khác hằng, L L - hàm n, k hai số nguyên dương Giả sử [f n (f − 1)m ](k) [Ln (L − 1)m ](k) chia sẻ giá trị IM Nếu n > 7k + 15 k ≥ f ≡ L 40 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số kết sau: Trình bày số kết hàm phân hình: Hàm đếm, hàm xấp xỉ, hàm đặc trưng, hai Định lí số kết Một số vấn đề L - hàm: L - hàm, số tính chất hàm Nevanlinna cho L - hàm Trình bày hai kết Wen - Jie Hao Jun- Fan Chen [9] đa thức vi phân [f n (f − 1)](k) [Ln (L − 1)](k) chia sẻ giá trị hai trường hợp CM IM f = L Đó Định lí 2.1.1 Định lí 2.1.2 Trình bày hai kết Xiao - Min li cộng [12] đa thức vi phân [f n (f − 1)m ](k) [Ln (L − 1)m ](k) chia sẻ giá trị hai trường hợp CM IM f = L Đó Định lí 2.2.2 Định lí 2.2.4 41 Tài liệu tham khảo [1] A Z Mokhonko, "On the Nevanlinna characteristics of some meromorphic functions, in Theory of Functions Functional Analysis and their Applications, 14." Izd-vo Kharkovsk Un-ta pp 83 87 1971 [2] H X Yi and C C Yang,Uniqueness Theory of Meromorphic Function, Kluwer Academic Publishers, Beijing, China, 2003 [3] I Lahiri and A Sarkar, "Uniqueness of a meromorphic function and its derivative," Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, vol 5, no 1, Article 20, page, 2004 [4] J K Langley, "The second derivative of a meromorphic function of finite order," Bulletin of the London Mathematical Society, vol.35, no.1 pp 97-108, 2003 [5] J L Zhang and L Z Yang, "Some results related to a conjecture of R Bruck, " Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, vol.8, no 1, article 18, pp.1-11, 2007 [6] J Steuding, Value distribution of L - functions, Springer, Berlin, 2007 [7] J Steuding, Value distribution of L - fuctions, Lecture Notes in Mathematics, Vol 1877, Springer - Verlag, Berlin, 2007 [8] Q C Zhang, Meromorphic function sharing three values, Indian Journal of Pure and Applied Mathematics 30(1999), no.7, 667-682 42 [9] Wen-Jie Hao and Jun-Fan Chen, (2018), Uniqueness of L-functions concerning certain differential polynomials, Discrete Dynamics in Nature and Society [10] W K Hayman (1964), Meromorphic Functions, Oxford Mathematical Monographs Clarendon Press, Oxford [11] W K Hayman, J Miles, On the growth of a meromorphic functions and its derivatives, Complex Variables Theory and Application An International Journal 12 (1989), no 1, 245-260 [12] Xiao – Min Li, Fang Liu and Hong – Xun Yi, Results on L – functions of certain differential polynomials sharing one finite value, Sciences and Mathematics, Vol 33:18 (2009), pp 5767-5776 [13] X M Li H X Yi, Uniqueness of meromorphic functions whose certain nonlinear differential polynomials share a polynomial Computers and Mathematics with Applications 62 (2011), no.2, 539 -550 43