Vấn đề dựng hònh bằng thước kẻ và compa trong hình học euclid

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* LÝ VĂN HỒNG VẤN ĐỀ DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC KẺ VÀ COMPA TRONG HÌNH HỌC EUCLID KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN ************* LÝ VĂN HỒNG VẤN ĐỀ DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC KẺ VÀ COMPA TRONG HÌNH HỌC EUCLID KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ThS PHẠM THANH TÂM HÀ NỘI – 2018 Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Hệ tiên đề lý thuyết dựng hình mặt phẳng trường 1.1 Hệ thống tiên đề 1.1.1 Các tiên đề 1.1.2 Tiên đề thước kẻ 1.1.3 Tiên đề compa Các phép dựng hình 1.2 Tiêu chuẩn dựng hình thước kẻ compa 2.1 Định lí Descartes 2.2 Tiêu chuẩn dựng hình thước kẻ compa 2.3 12 2.2.1 Nhóm giải 12 2.2.2 Giải phương trình thức 16 2.2.3 Phương trình bậc ba phương trình bậc bốn 23 Ba tốn điển hình 31 2.3.1 32 Gấp đôi khối lập phương i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lý Văn Hồng 2.3.2 Bài tốn chia ba góc 33 2.3.3 Phép cầu phương hình tròn 34 2.3.4 Đa giác 17 cạnh 35 2.3.5 Dựng hình compa thước kẻ chia vạch 44 Tài liệu tham khảo 53 ii Lời cảm ơn Sau thời gian học tập rèn luyện, để có kiến thức ngày hơm nay, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Phạm Thanh Tâm, người trực tiếp tạo điều kiện giúp đỡ suốt thời gian tơi làm khóa luận Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo tổ Hình học thầy giáo khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp Do hạn chế thời gian khả nghiên cứu khoa học nên Khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận đóng góp, bổ sung quý báu từ thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Lời cam đoan Dưới hướng dẫn nhiệt tình thầy giáo Phạm Thanh Tâm với cố gắng thân, Khóa luận tốt nghiệp tơi hồn thành Các nội dung trình bày khóa luận kết trình học tập, tổng hợp, tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn tơi Tơi xin cam đoan kết nghiên cứu đề tài “Vấn đề dựng hình thước kẻ compa hình học Euclid” khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Mở đầu Lời mở đầu Lý chọn đề tài Ngành giáo dục có bước đổi tồn diện phương pháp dạy học môn học nhà trường Trong mơn học đó, mơn Tốn môn quan trọng nhất, tảng để phát triển lực trí tuệ cho học sinh, chìa khóa mở tất bí ẩn khoa học Trong mơn tốn, tốn dựng hình tốn khó gắn liền với học sinh từ thcs tới thpt theo hệ thống lôgic sau: (i) Ngay từ lớp 6, học sinh học để dựng hình đơn giản góc, đường tròn, tam giác (ii) Lớp 7, học sinh dựng hình với mối quan hệ đặc biệt quan hệ vng góc, tia phân giác, hai hình nhau, đường trung trực, đường trung tuyến (iii) Lớp 8, học sinh dựng tứ giác với tính chất biệt hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vng, dựng hình lăng trụ đứng, hình chóp Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lý Văn Hoàng (iv) Lớp 9, học sinh dựng góc đặc biệt, góc đường tròn hình trụ nón cầu (v) Lên lớp 10, 11, 12, học sinh học dựng ba đường conic dựng hình khơng gian Trong hình học việc dựng hình việc vơ quan trọng, định khởi đầu việc tốn có giải hay khơng Nếu dựng hình khơng chuẩn xác, ta khó khăn chí khơng thể tìm lời giải Do đó, tơi chọn đề tài “Vấn đề dựng hình thước kẻ compa hình học Euclid” để tìm hiểu sâu vận dụng tốt vào tốn dựng hình Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài muốn hiểu cứu sâu vấn đề dựng hình thước kẻ compa hình học Euclid, tìm hiểu điều kiện cần đủ cho tốn dựng hình thước kẻ compa Đối tượng, phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu: Dựng hình thước kẻ compa b Phạm vi nghiên cứu: Trong mặt phẳng trường Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu điều kiện cần đủ cho toán dựng hình thước kẻ compa Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lý Văn Hoàng Phương pháp nghiên cứu Trước hết tìm tham khảo tài liệu, sách giáo khoa, sách giáo trình có liên quan dựng hình thước kẻ compa hình học Euclid Phân tích tổng hợp ví dụ tập minh họa , tham khảo kiến giáo viên hướng dẫn Ý nghĩa khoa học, thực tiễn đề tài Là tài liệu tham khảo cho sinh viên chun ngành tốn học Cấu trúc khóa luận Khóa Luận gồm hai chương Chương "Hệ tiên đề lý thuyết dựng hình mặt phẳng trường" trình bày hệ thống tiên đề phép dựng hình Chương "Tiêu chuẩn dựng hình thước kẻ compa" trình bày định lí Descarter, tiêu chuẩn dựng hình thước kẻ comp; ba tốn điển hình, đa giác 17 cạnh cuối dựng hình compa thước kẻ chia vạch Xuân Hòa, ngày 10/05/2018 Người làm khóa luận Lý Văn Hồng Chương Hệ tiên đề lý thuyết dựng hình mặt phẳng trường 1.1 1.1.1 Hệ thống tiên đề Các tiên đề Khái niệm dựng hình khái niệm bản, thừa nhận khái niệm mà khơng định nghĩa Sau đây, trình bày lại hệ thống tiên đề lý thuyết dựng hình mặt phẳng Euclid mặt phẳng Descarter trường Các tiên đề phép dựng hình bao gồm phép dựng cụ thể sau: Phép dựng 1: Mọi hình cho dựng Phép dựng 2: Nếu dựng hai hình hợp hai hình hình dựng Phép dựng 3: Nếu hai hình dựng ta xác lập hiệu chúng có tập rỗng hay không Phép dựng 4:Nếu hiệu hai hình dựng tập khơng rỗng hiệu dựng Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lý Văn Hoàng x2 − (γ + γ )x + γγ = Bằng cách tính tốn trực tiếp ta có γγ = −4 Từ γ nghiệm phương trình: x2 + x − = Dùng cơng thức nghiệm phương trình bậc hai, ta thu được: √ x = (−1 ± 17) Để chọn dấu γ , ta thực đánh giá Chú ý tổng biểu diễn γ, phần ảo bị triệt tiêu nên γ số thực Cụ thể là: γ = 2(cos 2π 4π 8π 16π + cos + cos + cos ) 17 17 17 17 Quan sát vị trí gần lũy thừa ξ, ξ , ξ , ξ , ta thấy rõ ràng γ số dương Từ đó, √ γ = (−1 + 17) Tiếp theo ta xét β Nếu đặt β = ξ + ξ + ξ −2 + ξ −8 β + β = γ Mặt khác, ββ tổng tất lũy thừa khác khơng ξ, ββ = −1 Như vậy, β nghiệm phương trình: x2 − γx − = Bằng cơng thức nghiệm phương trình bậc hai, ta có: x = (γ ± γ + 4) Do β số dương nên ta chọn dấu + thu β = (γ + 39 γ + 4) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lý Văn Hoàng Thay giá trị γ rút gọn, ta đươc: √ √ β = (−1 + 17 + 34 − 17) Từ định nghĩa ta có: β = 2(cos 2π 8π + cos ) 17 17 Bây ta quan sát mở rộng trường xây dựng Ta thấy √ √ Q(γ) = Q( 17) Ta Q(β) = Q( 34 − 17), trường hợp chứa Q(γ) Rõ ràng: √ Q(β) = Q( 17 + √ 34 − 17) Đặt x= √ √ 34 − 17, 17 + Sau bình phương hai lần để làm dấu căn, ta phương trình: x4 − 6.17x2 + 8.17x + 13.17 = Theo tiêu chuẩn Eisentein 3.6.27 đa thức bất khả quy Vì bậc √ mở rộng trường Q(β)/Q Do β thuộc trường Q( 34 − 17) √ với bậc bốn nên ta suy Q(β) = Q( 34 − 17) đòi hỏi bên Tiếp theo ta xét α Đặt α = ξ + ξ −4 Thế α + α = β 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lý Văn Hoàng αα = ξ + ξ + ξ −3 + ξ −5 Đặt αα = β” β” = ξ + ξ + ξ −6 + ξ −7 Thế β” + β” = γ Và β”β” = 16 i i=1 (ξ ) = −1 Như β” nghiệm cảu phương trình x2 − γ x − = Tính tốn tương tự β Ta có: √ √ β” = (−1 − 17 + 34 + 17) Chú ý √ 34 − 17 √ √ √ 34 + 17 = 342 − 17 = 17 √ Từ đó, β” ∈ Q( 34 − 17) = Q(β) Suy α thỏa mãn phương trình x2 − βx + β” = 0, Vì α bậc hai Q Dùng công thức nghiệm phương trình bậc hai chọn dấu thích hợp, ta được: √ √ 2π α = 2cos = (−1 + 17 + 34 − 17 + 17 √ √ √ 17 + 17 + 170 − 26 27 − 34 + 17) 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lý Văn Hoàng Điều α số dựng Do đa giác 17 cạnh dựng thước kẻ compa Mặc dù ta vừa hoàn tất việc chứng minh định lí, ta chưa Q(β) ⊆ Q(α) giống đòi hỏi lúc đầu Để làm điều này, ta viết α = ξ + ξ −1 sau tính: α2 = ξ + + ξ −1 , α4 = ξ + 4ξ + + 4ξ −2 + ξ −4 Từ đó, β := ξ + ξ + ξ −1 + ξ −4 biểu diễn sau: β = α4 − 4α2 + α + Vậy β ∈ Q(α) đòi hỏi hay ta chứng minh hình đa giác 17 cạnh dựng thước kẻ compa Định lý 2.16 Đa giác n cạnh dựng thước kẻ compa n có dạng n = 2r p1 ps r, s nguyên tố phân biệt có dạng: k p = 22 + 42 Trong đó, pi số Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lý Văn Hoàng Chứng minh Với số nguyên n, ta đặt: ξ = cos 2π 2π + isin n n Và giả sử: α = ξ + ξ −1 Khi đó, α = 2cos 2π n Và ξ nghiệm phương trình với hệ số Q(α) : x2 − αx + = Do đó, degQ(ξ)/ξ(α) = Vì Q(ζ) trường bậc n đơn vị nên mở rộng trường chuẩn tắc Q với nhóm Galois Z∗n nhóm abel cấp ϕ(n), ϕ hàm Euler (mệnh đề 3.6.2, [1]) Cũng nhóm Galois abel nên Q(α) mở rộng chuẩn tắc Q bậc nhóm Galois Q(α) Q(ξ) khác Theo Mệnh đề 3.2.7 [1], đa giác n cạnh dựng cấp ϕ(n) nhóm Galois Q(ξ) lũy thừa Ta viết: n = 2k pe11 pess Với pi số nguyên tố lẻ phân biệt Do đó: ϕ(n) = 2k−1 piei −1 (pi − 1) Vậy để ϕ(n) lũy thừa ta phải có ei = với số nguyên tố lẻ pi tương ứng pi - phải lũy thừa Do đó: pi = 2ti + 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lý Văn Hoàng Dễ thấy để pi số nguyên tố thiết ti phải lũy thừa 2, pi có dạng k p = 22 + đòi hỏi Kết theo hai chiều, từ định lí chứng minh k Nhận xét: Số nguyên tố có dạng p = 22 +1 nghiên cứu Fermat Ông hi vọng tìm biểu thức tạo thành số nguyên k tố Ta gọi: Fk := 22 + số Fermat thứ k Thế F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537 số nguyên tố Vấn đề mở liệu có số ngun tố Fermat lơn hay không? Cho đến tháng năm 1999, Fk hợp số với ≤ k ≤ 23, số F24 trường hợp bỏ ngỏ 2.3.5 Dựng hình compa thước kẻ chia vạch Trong mục trước, nghiên cứu phép dựng hình thước kẻ compa Chúng ta thấy có số tốn dựng thước kẻ compa, gấp đôi khối lập phương, chia ba góc, hay dựng thất giác Vì thế, số nhà toán học cổ điển khác ( trước sau Euclid) sử dụng dụng cụ dựng hình khác Tong phần ta nghiên cứu phương pháp đó: Sử dụng thước kẻ có chia vạch Với phương pháp ta chia ba góc, khai bậc ba đưa cách dựng thất giác Ta rõ việc sử dụng thước kẻ chia vạch đường thẳng 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lý Văn Hồng tương ứng với việc tìm nghiệm phương trình bậc bốn Trong phần sau ta thảo luận lý thuyết trường kết hợp ứng dụng hình học thước kẻ chia vạch compa tương đương nghiệm đại số phương trình bậc ba bậc bốn Trước tiên ta quy ước rõ thước kẻ chia vạch làm Cụ thể, ta đánh dấu hai điểm thước tương ứng với khoảng cách cho trước, sau ta dịch chuyển thước kẻ cho điểm đánh dấu nằm hai đường thẳng cho, đồng thời thước kẻ qua điểm cho trước Nói cách khác, cho hai đường thẳng l, m, khoảng d điểm O Khi đó, ta vẽ đường thẳng OAB với A ∈ l, B ∈ m cho AB = a Ngoài ra, thước kẻ chia vạch dùng thước kẻ thông thường theo ý nghĩa cũ Mệnh đề 2.6 Có thể sử dụng compa thước kẻ chia vạch để chia ba góc Chứng minh Cho trước góc AOB Từ A hạ AC vng góc với OB Qua A kẻ đường thẳng l song song với OB Rồi dùng thước kẻ chia vạch để vẽ đường thẳng ODE cho D ∈ AC, E ∈ l DE = 2AO Đuòng thẳng chia ba góc AOB 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lý Văn Hoàng Để chứng minh điều đó, ta lấy F trung điểm ED, G trung điểm ED, G trung điểm AE Khi đó, FG vng góc với AE, suy tam giác EFG AFG (SAS) Ta có EOB = α = AEO đường thẳng song song, AEO = α = EAF tam giác Vì thế, AF O = 2α góc ngồi tam giác AEF Nhưng theo cách dựng DE = 2AO nên AO = EF = AF Suy tam giác AOF cân AOD = 2α Vì AOB = 3α α góc cần tìm Mệnh đề 2.7 Cho trước đoạn thẳng có chiều dài l a Khi đó, √ ta dựng đoạn thẳng có chiều dài a thước kẻ chia vạch compa Chứng minh Giả sử AB đoạn thẳng cho trước có độ dài a Bằng việc dùng đoạn thẳng có chiều dài l, ta chọn b = 23k−1 với k thỏa mãn b> a Dựng ABC cân với AC= BC= b Kéo dài đoạn AC đến D với AD= b Nối B với D Bây ta sử dụng thước kẻ chia vạch để vẻ CEF với E ∈ BD, F ∈ AB EF= b Đặt BF= y Khi ta suy ra: √ a= y 22k 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lý Văn Hoàng Thật vậy, ta áp dụng định Menelaus cho ACF điểm thắng D, B, E Đặt CE= x, đỉnh A theo chiều kim đồng hồ ta được: b x y = 2b b a Suy ra: xy= 2ab Ta xét đường tròn (C,b), F nằm ngồi đường tròn với hai cát tuyến FBA FGH với FG= x, FH= x+ 2b Theo tính chất phương tích ta được: y(y + a) = x(x + 2b) Khử x từ hai phương trình ta y = 4ab2 (1) Thay b = 23k−1 vào (1) ta có: y = 26k a √ y Vì vậy, a = 2k nhận từ y cách chia đôi liên tục 2k lần Mệnh đề 2.8 Cho đường thẳng l, m, a, điểm O đoạn thẳng có chiều dài d mặt phẳng Descartes trường F Giả sử OAB đường thẳng với A ∈ l, B ∈ m AB= d Khi đó, tọa độ 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lý Văn Hoàng A B thuộc trường F (α), α nghiệm đa thức bậc bốn với hệ số thuộc F Chứng minh Bằng cách biến đổi tuyến tính tọa độ, giả sử O(0,0) gốc tọa độ l đường thẳng y= b với b Xét quỹ tích điểm P thỏa mãn OP cắt l điểm Q PQ= d Quỹ tích conchoids Niomedes Việc tìm đường thẳng OAB cảu mệnh đề tương đương với việc tìm giao đường thẳng thứ hai m với conchoid Trước tiên, ta cần tìm phương trình conchoids Lấy đường thẳng y = ax qua gốc tọa độ Đường thẳng cắt l điểm Q = (b/a, b).Giả sử P có tọa độP = (x, y) Do P Q = d nên ta được: b (x − )2 + (y − b)2 = d2 a Mà P lại nằm đường thẳngy = ax Ta sử dụng phương trình y để khử biến a phương trình Thay a = ta x phương trình conchoids là: (x2 + y )(y − b)2 = d2 y 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lý Văn Hồng Để tìm giao điểm B conchoids với đường thẳng m, ta thay phương trình tuyến tính m vào phương trình conchoids Khi đó, nhận phương trình bậc bốn x Giả sử α nghiệm phương trình tọa độ điểm B x = α y biểu thức tuyến tính α Do đó, ta xác định OB tọa độ điểm A *Chú ý: Từ mệnh đề ta thấy việc sử dụng thước kẻ chia vạch tương đương với việc cho trước conchoids đơn mặt phẳng, đươc phép cắt đường thẳng Thật vây, sử dụng phép dời hình hay đồng dạng, ứng dụng thước kẻ chia vạch quy việc tìm giao điểm conchoids với đường thẳng biết Bổ đề 2.2 Cho ABC CDE tam giác cân, có đáy AC, CE nằm đường thẳng, cạnh bên ba đỉnh A, B, D thẳng hàng (hình vẽ dưới) Khi số đo góc đỉnh E gấp ba lần số đo góc đỉnh A Hơn nữa, ta kí hiệu độ dài đáy x, b, cạnh bên r x3 − 3xr2 = br2 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lý Văn Hoàng Chứng minh Đặt số đo góc đỉnh A α Do đó, số đo góc đánh dấu 1, 2, 1α, 2α, 3α Vẽ đường tròn tâm C bán kính r hạ đường vng góc BF, DG xuống đường thẳng AE 1 Từ đó, ta suy ra: AF = x DG = (b + x) 2 (b + x) y => xy= r(b+x) ( đó: y= BD) Do đó: = x x Mặt khác, theo tính chất phương tích ta có: r(y + r) = AH.AK = (x − r)(x + r) Khử y từ hai phương trình ta được: x3 − 3xr2 = br2 Bổ đề 2.3 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB điểm H đường kính kéo dài cho HB.HA2 = HO.OA2 Lấy điểm I đường tròn cho HI= OA Thế BI cạnh hình 7- giác nội tiếp 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lý Văn Hoàng Chứng minh Gọi P giao điểm khác đường thẳng HK với đường tròn Trước tiên, ta OP song song với AK Muốn HP HO ta cần chứng tỏ rằng: = HK HA Theo tính chất phương tích ta được: HP HK= HB.HA HQ HB.HA Bởi vậy: = HI HK mà KI= OA (giả thiết) nên ta có: HP HB.HA HO = = HK OA2 OA Do đó, OP // AK Gọi số đo góc đỉnh A β đó, góc đánh dấu 1,2,3 hình có số đo β, 2β, 3β Nói riêng, OP K tam giác có góc đáy ba lần góc đỉnh −−−→ 1 Do đó, số đo β (2v) BOK = 2β = (4v) 7 Như vậy, BK cạnh hình 7- giác nội tiếp * Chứng minh cho phép dựng thất giác Ta gọi R trung điểm FA, nối FG, CR Ta thấy HF G, F RC thảo mãn điều kiện bổ đề 2.2 Không tính tổng quát ta giả sử OA = => OF = F R = 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lý Văn Hoàng √ Giả sử S trung điểm FR CS = 21 3, độ dài đường cao OAC √ Mà F S = 16 , ta có: F C = 13 phương trình bâc ba bổ 7 đề 2.2 trở thành: x3 − x = 27 Để hoàn thành chứng minh BK cạnh hình bảy góc đều, bổ đề 2.3, ta cần thử lại: HB.HA2 = HO.OA2 Vì HF= x nên ta phải rằng: (x − 43 ).(x + 32 ) = 12 (x − 31 ) Bằng cách tính đơn giản ta đưa phương trình phương trình bậc ba x thi từ bổ đề 2.2 Vậy điều kiện bổ đề 2.3 thỏa mãn Do đó, BK cạnh hình thất giác Các bước lại tốn dựng hình xác định đỉnh khác hình thất giác 52 Tài liệu tham khảo [1] Đỗ Đức Thái, Phạm Việt Đức, Phạm Hoàng Hà, Cơ sở Hình học Hình học sơ cấp, ĐHSP Hà Nội, 2011 [2] Ngô Việt Trung, Lý thuyết Galois, Đại học Quốc Gia, 2006 [3] Robin Hartshorne, Geometry - Euclid and Beyond, Springer 2000 53 ... HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* LÝ VĂN HỒNG VẤN ĐỀ DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC KẺ VÀ COMPA TRONG HÌNH HỌC EUCLID KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học. .. 1.1.2 Tiên đề thước kẻ Các tiên đề thước kẻ bao gồm tiên đề cụ thể sau: Thước kẻ 1: Dựng đường thẳng nối liền hai điểm dựng Thước kẻ 2: Dựng đường thẳng qua hai điểm dựng Thước kẻ 3: Dựng tia xuất... cứu đề tài muốn hiểu cứu sâu vấn đề dựng hình thước kẻ compa hình học Euclid, tìm hiểu điều kiện cần đủ cho tốn dựng hình thước kẻ compa Đối tượng, phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu: Dựng