ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phạm Thị Lan LÝ THUYẾT TRƯỜNG VÀ BÀI TOÁN DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC KẺ VÀ COMPA LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phạm Thị Lan LÝ THUYẾT TRƯỜNG VÀ BÀI TỐN DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC KẺ VÀ COMPA Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn Thái Nguyên - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼ô❝ ❧ô❝ ▼ô❝ ❧ô❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✶ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✈Ò ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣ ✶✳✶ ❚r➢ê♥❣ ✈➭ tr➢ê♥❣ ❝♦♥ ✷ ✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✷ ▼ë ré♥❣ tr➢ê♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✸ ➜❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✹ ▼ë ré♥❣ ➤➵✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ❉ù♥❣ ❤×♥❤ ❜➺♥❣ t❤➢í❝ ❦❰ ✈➭ ❝♦♠♣❛ ✶✼ ✷✳✶ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ ➤✐Ĩ♠ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ t❤➢í❝ ❦❰ ✈➭ ❝♦♠♣❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✷✳✷ ❚Ý♥❤ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ ❝đ❛ t♦➵ ➤é ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶ ▼ét ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥ ❝❤♦ tÝ♥❤ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹ ✷✳✹ ▼ét ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ ❝❤♦ tÝ♥❤ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻ ✷✳✺ ◆❤÷♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❞ù♥❣ ❤×♥❤ ❝ỉ ➤✐Ĩ♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽ P❤➬♥ ❦Õt ❧✉❐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✷ ✷✳✸ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷ ▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ t➵✐ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ✈➭ ❣✐ó♣ ➤ì t❐♥ t×♥❤ ❝❤✉ ➤➳♦ ❝đ❛ P●❙✳ ❚❙✳ ▲➟ ❚❤Þ ❚❤❛♥❤ ◆❤➭♥✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❦Ý♥❤ trä♥❣ ✈➭ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ ➤Õ♥ ❈➠ ✈Ị sù t❐♥ t×♥❤ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ t➠✐ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❝➯♠ ➡♥ tí✐ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ ❝đ❛ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❝đ❛ ❱✐Ư♥ ❚♦➳♥✱ ➤➲ ♥❤✐Ưt t×♥❤ ❣✐➯♥❣ ❞➵② t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt ✷ ♥➝♠ q✉❛✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❇❛♥ ❣✐➳♠ ❤✐Ư✉ ✈➭ tỉ ❚♦➳♥ ✲❚✐♥ tr➢ê♥❣ P❚ ❱ï♥❣ ❝❛♦ ❱✐Öt ❇➽❝ ♥➡✐ t➠✐ ❝➠♥❣ t➳❝ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì✱ t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ ➤Ĩ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❦❤♦➳ ❤ä❝✳ ❚➠✐ ❝ị♥❣ ①✐♥ ❣ư✐ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ tí✐ ❛♥❤ ❝❤Þ ❡♠ ❧í♣ ❝❛♦ ❤ä❝ ❑✷ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ➤➲ tr❛♦ ➤ỉ✐ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐Ư♠✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥✱ ❦❤Ý❝❤ ❧Ư ✈➭ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❳✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❣✐❛ ➤×♥❤ ❝đ❛ t➠✐ ➤➲ t❤➠♥❣ ❝➯♠ ✈➭ t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ ❣✐ó♣ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❦❤♦➳ ❤ä❝ ♥➭②✳ ❚➳❝ ❣✐➯ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ➜è✐ ✈í✐ ♥❣➢ê✐ ❍②❧➵♣ ❝ỉ✱ ♠ét ♣❤Ð♣ ❞ù♥❣ ❤×♥❤ ❝đ❛ ❤×♥❤ ❤ä❝ ❧➭ ♣❤Ð♣ ❞ù♥❣ ❤×♥❤ ♠➭ ❝❤Ø sư ❞ơ♥❣ t❤➢í❝ ❦❰ ✈➭ ❝♦♠♣❛✳ ❚r♦♥❣ ❧Þ❝❤ sư t♦➳♥ ❤ä❝✱ ❝ã ❜❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ỉ ♥ỉ✐ t✐Õ♥❣ ♠➭ sù r❛ ➤ê✐ ❝đ❛ ❝❤ó♥❣ ❝ã ➯♥❤ ❤➢ë♥❣ ❧í♥ tí✐ sù ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ ❝đ❛ t♦➳♥ ❤ä❝✱ ➤➷❝ ❜✐Ưt ❧➭ ❤×♥❤ ❤ä❝✳ ➜ã ❧➭ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❞ù♥❣ ❤×♥❤ ❜➺♥❣ t❤➢í❝ ❦❰ ✈➭ ❝♦♠♣❛ ♥❤➢✿ ✬✬ ❈➬✉ ♣❤➢➡♥❣ ♠ét ì trò ột ì ❜❛ ♠ét ❣ã❝✧✳ ◆❤✐Ò✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ❝❤✉②➟♥ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝❤✉②➟♥ ➤➲ ➤➢❛ r❛ ♥❤✐Ò✉ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣✱ ♥❤✐Ò✉ tr❛♥❤ ❧✉❐♥ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ➤Ó ❣✐➯✐ q✉②Õt ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ tr➟♥✱ ✈➭ ❜➺♥❣ trù❝ ❣✐➳❝ ❤ä t❤✃② r➺♥❣ ❜➺♥❣ t❤➢í❝ ❦❰ ✈➭ ❝♦♠♣❛ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝✳ ➜Õ♥ t❐♥ t❤Õ ❦û ✶✾✱ ➤✐Ị✉ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ➤ã ➤➲ ➤➢ỵ❝ ❝➳❝ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ♥❤➢ P✳ ▲✳❲❛♥t③❡❧✱ ❈❛r❧ ▲✐♥❞❡♠❛♥♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❞ù❛ tr➟♥ ❝➳❝ ❧ý t❤✉②Õt ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ➜➵✐ sè ❤✐Ư♥ ➤➵✐ ♥❤➢ ▲ý t❤✉②Õt ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣✱ ▲ý t❤✉②Õt ●❛❧♦✐s✳ ▼ô❝ ➤Ý❝❤ ủ trì tí ự ợ tớ ợ trì tr ❝➳❝ ❝✉è♥ s➳❝❤ ▲ý t❤✉②Õt ●❛❧♦✐s ❝ñ❛ ❏♦s❡♣❤ ❘♦t♠❛♥ ❬❘♦t❪ ✈➭ ❏❡❛♥ P✐❡rr❡ ❊s❝♦❢✐❡r ❬❊s❡❪✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ị ▲ý t❤✉②Õt ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣ ❝đ❛ ➜➵✐ sè ❤✐Ư♥ ➤➵✐✱ ➤➢❛ r❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈Ị ➤✐Ĩ♠ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ t❤➢í❝ ❦❰ ✈➭ ❝♦♠♣❛✱ ➤✐Ĩ♠ ❧➵✐ ♠ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ị ❞ù♥❣ ❤×♥❤ ❜➺♥❣ t❤➢í❝ ❦❰ ✈➭ ❝♦♠♣❛✱ ✈➭ ✈❐♥ ❞ô♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣ ➤Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥ ✈➭ ♠ét ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ ✈Ị tÝ♥❤ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ t❤➢í❝ ❦❰ ✈➭ ❝♦♠♣❛✳ P❤➬♥ ➳♣ ❞ơ♥❣ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ tr➟♥ ❧➭ ➤Ĩ ❣✐➯✐ q✉②Õt ♠ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❞ù♥❣ ❤×♥❤ ❝ỉ ổ tế ột ì trò ♠ét ❤×♥❤ ❧❐♣ ♣❤➢➡♥❣✧✱ ✬✬❈❤✐❛ ❜❛ ♠ét ❣ã❝✧✱✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❝❤✐❛ ❧➭♠ ❤❛✐ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ■✿ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✈Ị ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣✳ ❚r♦♥❣ ❈❤➢➡♥❣ ■ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤Ị ❝❐♣ ➤Õ♥ ❝➳❝ ❦✐Õ♥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣ ♣❤ơ❝ ✈ơ ❝❤♦ ❈❤➢➡♥❣ ■■ ♥❤➢ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣✱ ♠ë ré♥❣ ❤÷✉ ❤➵♥✱ ♠ë ré♥❣ ➤➡♥✱ ♠ë ré♥❣ ➤➵✐ sè✱ ❜❐❝ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♠ë ré♥❣✱ ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ✈➭ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❊✐st❡♥st❡✐♥✳ ❈❤➢➡♥❣ ■■✿ ❉ù♥❣ ❤×♥❤ ❜➺♥❣ t❤➢í❝ ❦❰ ✈➭ ❝♦♠♣❛✳ ❚r♦♥❣ ❈❤➢➡♥❣ ■■ ❝❤ó♥❣ t➠✐ trì ệ ể ự ợ tớ ✈➭ ❝♦♠♣❛✱ ➤➢❛ r❛ ♠ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ị ❞ù♥❣ ❤×♥❤ ❜➺♥❣ t❤➢í❝ ❦❰ ✈➭ ❝♦♠♣❛ ♥❤➢ ❜➭✐ t♦➳♥✿ ✬✬❚×♠ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝đ❛ ♠ét ➤✐Ĩ♠ tr➟♥ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣✧❀ ✬✬❉ù♥❣ ♠ét ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ➤✐ q✉❛ ♠ét ➤✐Ó♠ ✈➭ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈í✐ ♠ét ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❝❤♦ tr➢í❝✧✱✳✳✳✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ❈❤➢➡♥❣ ■■ ❧➭ t❤➠♥❣ q✉❛ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣ ë ❈❤➢➡♥❣ ■ ➤Ĩ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥ ✈➭ ♠ét ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ ✈Ị tÝ♥❤ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ t❤➢í❝ ❦❰ ✈➭ ❝♦♠♣❛✱ tõ ➤ã ❣✐➯✐ q✉②Õt ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❞ù♥❣ ❤×♥❤ ❝ỉ ♥ỉ✐ t✐Õ♥❣ ♥❤➢✿ ✬✬ ❈➬✉ ột ì trò ột ì ✬✬❈❤✐❛ ❜❛ ♠ét ❣ã❝✧✳ ➜Ĩ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ➤➢ỵ❝ ❧✉❐♥ ✈➝♥ t rt ỗ ự ố s♦♥❣ ❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤÷♥❣ t❤✐Õ✉ sãt✳ ❑Ý♥❤ ♠♦♥❣ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ✈➭ ❜➵♥ ➤ä❝ ❣✐ó♣ ➤ì✳ ❚➳❝ ❣✐➯ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✈Ị ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❈❤➢➡♥❣ ❧➭ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ tr♦♥❣ ❧Ý t❤✉②Õt ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣ ❝ñ❛ ➜➵✐ sè ❤✐Ö♥ ➤➵✐ ♥❤➢ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣✱ ♠ë ré♥❣ ❤÷✉ ❤➵♥✱ ♠ë ré♥❣ ➤➵✐ sè✱ ♠ë ré♥❣ s✐➟✉ ✈✐Ưt✱ ❜❐❝ ❝đ❛ ♠ë ré♥❣✳✳✳ ➜➞② ❧➭ ♥❤÷♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ t❤ù❝ sù ❝➬♥ t❤✐Õt ♣❤ô❝ ✈ô ❝❤♦ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ë ❈❤➢➡♥❣ ✷ ✈Ò ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥✱ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ tÝ♥❤ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ t❤➢í❝ ❦❰ ✈➭ ❝♦♠♣❛✳ ❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈➭ tt ữ tr t ợ t tõ ❝➳❝ ❝✉è♥ s➳❝❤ ✈Ò ❧Ý t❤✉②Õt tr➢ê♥❣ ✈➭ ❧Ý t❤✉②Õt ●❛❧♦✐s ❞➭♥❤ ❝❤♦ ❤ä❝ ✈✐➟♥ s❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝ ❝ñ❛ ❈✳ ❘✳ ❍❛❞❧♦❝❦ ✶✾✼✽ ❬❍❛❞❪✱ ❏♦s❡♣❤ ❘♦t♠❛♥ ✷✵✵✶ ❬❘♦t❪✱ ❏❡❛♥✲P✐❡rr❡ ❊s❝♦❢✐❡r ✷✵✵✹ ❬❊s❝❪✱ ❏❡❛♥✲P✐❡rr❡ ❙❡rr❡ ✶✾✾✷ ❬❙❡r❪✱ ❏❡❛♥✲P✐❡rr❡❚✐❣♥♦❧ ✶✾✽✼ ❬❚✐❣❪ ✳ ✶✳✶ ❚r➢ê♥❣ ✈➭ tr➢ê♥❣ ❝♦♥ ✶✳✶✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❚r➢ê♥❣ ột ột t ợ T ợ tr ị ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ❝é♥❣ ✈➭ ♥❤➞♥ t❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t s➞✉ ➤➞②✿ ✭✐✮ T ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣✿ P❤Ð♣ ❝é♥❣ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✱ ❦Õt ❤ỵ♣❀ ✈í✐ ♠ä✐ t➵✐ T ❝ã ♣❤➬♥ tư ❦❤➠♥❣ ✭tå♥ t➵✐ ∈ T s❛♦ ❝❤♦ + a = a a T ỗ tử ủ T ề ó ố ứ ỗ a T tå♥ −a ∈ T s❛♦ ❝❤♦ a + −a = 0✮✳ ✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✻ ✭✐✐✮ T ❧➭ ♠ét ✈Þ ♥❤ã♠ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥✿ P❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✱ ❦Õt ❤ỵ♣❀ ♠ä✐ T ❝ã ♣❤➬♥ tư ➤➡♥ ✈Þ ✭tå♥ t➵✐ ∈ T s❛♦ ❝❤♦ 1a = a ✈í✐ a ∈ T ✮✳ ✭✐✐✐✮ P❤Ð♣ ♥❤➞♥ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ❤❛✐ ♣❤Ý❛ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣✳ ✭✐✈✮ ỗ tử tồ t a1 ủ T ề ó ị ỗ = a T ✱ ∈ T s❛♦ ❝❤♦ aa−1 = 1✮✳ ✶✳✶✳✷ ❱Ý ❞ơ✳ ✭✐✮ ❚❐♣ Z ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣ ✈➭ ♥❤➞♥ t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣ ❦❤➠♥❣ ❧➭ tr➢ê♥❣✳ ❈➳❝ t❐♣ Q✱ R ✈➭ C ✭✈í✐ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣ ✈➭ ♥❤➞♥ t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣✮ ➤Ị✉ ❧➭ tr➢ê♥❣✳ ✭✐✐✮ ❚❐♣ Z6 ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣ ✈➭ ♥❤➞♥ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ♠♦❞✉♥❧♦ ❦❤➠♥❣ ❧➭ tr➢ê♥❣ ì Z6 ị Z7 ♣❤Ð♣ ❝é♥❣ ✈➭ ♥❤➞♥ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ♠♦❞✉♥❧♦ ❧➭ tr➢ê♥❣✳ ▼ét ❝➳❝❤ tæ♥❣ q✉➳t✱ Zn ❧➭ tr➢ê♥❣ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ n ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè✳ √ √ ✭✐✐✐✮ ❚❐♣ ❤ỵ♣ Q[ 2] = {a + b | a, b ∈ Q} ➤ã♥❣ ❦Ý♥ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣ ✈➭ √ ♥❤➞♥ t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣✱ ✈➭ ❝ï♥❣ ✈í✐ ❤❛✐ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ♥➭②✱ Q[ 2] ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣✳ √ √ √ a b ❈❤ó ý r➺♥❣ ♥Õ✉ = a + b Q[ 2] tì ị a − 2b2 a2 − 2b2 √ ➤➯♦ ❝ñ❛ a + b 2✳ ✶✳✶✳✸ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❈❤♦ ♠ét tr➢ê♥❣ ❝♦♥ ❝ñ❛ T ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣✳ ▼ét t❐♣ ❝♦♥ L ❝ñ❛ T ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ T ♥Õ✉ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ❝é♥❣ ✈➭ ♥❤➞♥ ➤ã♥❣ ❦Ý♥ tr♦♥❣ L ✈➭ ❝ï♥❣ ✈í✐ ❤❛✐ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ♥➭② ❘â r➭♥❣ ❝ñ❛ tr➢ê♥❣ L ❧➭♠ t❤➭♥❤ ♠ét tr➢ê♥❣✳ Z ❦❤➠♥❣ ❧➭ tr➢ê♥❣ ❝♦♥ ❝ñ❛ tr➢ê♥❣ Q✳ ❚r➢ê♥❣ Q ❧➭ tr➢ê♥❣ ❝♦♥ R ✈➭ tr➢ê♥❣ C ❈❤ó ý r➺♥❣ ❣✐❛♦ ❝đ❛ ♠ét ❤ä t✉ú ý ♥❤÷♥❣ tr➢ê♥❣ ❝♦♥ ❝ñ❛ ♠ét tr➢ê♥❣ ❧➭ tr➢ê♥❣ ❝♦♥ ❝ñ❛ tr➢ê♥❣ ❝♦♥ ❝đ❛ T T ❱× t❤Õ✱ ♥Õ✉ T ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ t❤× ❣✐❛♦ ❝đ❛ t✃t ❝➯ ❝➳❝ T ❧➭ tr➢ê♥❣ ❝♦♥ ❜Ð ♥❤✃t ❝đ❛ T ❚r➢ê♥❣ ❝♦♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ tr➢ê♥❣ ♥❣✉②➟♥ tè ❝đ❛ T ❱× Q ❦❤➠♥❣ ❝ã tr➢ê♥❣ ❝♦♥ t❤ù❝ sù ♥➭♦✱ ♥➟♥ Q Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✼ ❧➭ tr➢ê♥❣ ♥❣✉②➟♥ tè ❝ñ❛ ✈➭ tr➢ê♥❣ ✶✳✷ Q ❘â r➭♥❣ Q ❧➭ tr➢ê♥❣ ♥❣✉②➟♥ tè ❝ñ❛ tr➢ê♥❣ R C ▼ë ré♥❣ tr➢ê♥❣ ✶✳✷✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❈❤♦ K ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣✳ ❚r➢ê♥❣ L ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ♠ë ré♥❣ ❝đ❛ tr➢ê♥❣ K ♥Õ✉ K ❧➭ tr➢ê♥❣ ❝♦♥ ❝ñ❛ L✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭② t❛ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ L/K ✈➭ t❛ ❣ä✐ ♥ã ❧➭ ♠ét ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣✳ ❙❛✉ ➤➞② ❧➭ ♠ét sè ✈Ý ❞ơ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ✈Ị ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣✳ ✭✐✮ ❚r➢ê♥❣ R ✈➭ C ❧➭ ❤❛✐ ♠ë ré♥❣ ❝ñ❛ tr➢ê♥❣ Q✳ √ √ ✭✐✐✮ ❚r➢ê♥❣ Q[ 2] = {a + b | a, b ∈ Q} ❧➭ ♠ë ré♥❣ ❝đ❛ Q ✶✳✷✳✷✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❈❤♦ ❝é♥❣ ✈➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ K ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣✳ ▼ét t❐♣ V ❝ã tr ị ột é K ì V V ọ ❧➭ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣✮ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡ tr➟♥ tr➢ê♥❣ K ❤❛② ♠ét K ✲❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝ t➡ ♥Õ✉ (V, +) ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ✈➭ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t s❛✉ ➤➞②✿ ✭✐✮ P❤➞♥ ♣❤è✐✿ ✭✐✐✮ ❑Õt ❤ỵ♣✿ ✭✐✐✐✮ ❯♥✐t❛✿ ✈í✐ ♠ä✐ (x + y)α = xα + yα ✈➭ x(α + β) = xα + xβ; x(yα) = (xy)α; 1α = α x, y ∈ K ✈➭ ♠ä✐ α, β ∈ V ✳ ▼ét sè ✈Ý ❞ơ ✈Ị ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡ t❤➢ê♥❣ ❣➷♣ ❧➭✿ ✭✐✮ ❚❐♣ tØ ❧➭ ♠ét R ❝➳❝ sè t❤ù❝ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣ ✈➭ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ sè t❤ù❝ ✈í✐ sè ❤÷✉ Q✲❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡✳ ✭✐✐✮ ❚❐♣ sè ♣❤ø❝ ♠ét C ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣ sè ♣❤ø❝ ✈➭ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ sè ♣❤ø❝ ❧➭ C✲❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡✳ ❚r♦♥❣ ❦❤✐ ➤ã C ❝ï♥❣ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣ sè ♣❤ø❝ ✈➭ ♥❤➞♥ sè ♣❤ø❝ ✈í✐ sè t❤ù❝ ❧➭ ♠ét ❈❤ó ý r➺♥❣ ♥Õ✉ R✲❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡✳ K ❧➭ tr➢ê♥❣ ❝♦♥ ❝đ❛ L t❤× L ❝ã ❝✃✉ tró❝ tù ♥❤✐➟♥ ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡ tr➟♥ K ✳ ❱✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡ ♥➭② ❧➭ ❝➬♥ t❤✐Õt ❝❤♦ ✈✐Ư❝ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ tr♦♥❣ ♣❤➬♥ s❛✉ ❝đ❛ ❧✉❐♥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✽ ✈➝♥✳ ❚r➢í❝ ❦❤✐ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ị ❝❤✐Ị✉✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡✳ ✶✳✷✳✸✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✳ ●✐➯ sư ✭✐✮ ▼ét ❤Ư ✈Ð❝ t➡ ♠ä✐ ♣❤➬♥ tư V ❧➭ ♠ét K ✲❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡✳ {vi }i∈I tr♦♥❣ V ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ❤Ư s✐♥❤ ❝đ❛ V ♥Õ✉ x ∈ V ➤Ị✉ ❝ã t❤Ĩ ❜✐Ĩ✉ t❤Þ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤❡♦ ❤Ư ➤ã✱ tø❝ ❧➭ tå♥ t➵✐ ❤÷✉ ❤➵♥ ♣❤➬♥ tư vi1 , , vik ❝đ❛ ❤Ư ❝đ❛ K s❛♦ ❝❤♦ x = tư t❤× {vi }i∈I ✈➭ ❤÷✉ ❤➵♥ ♣❤➬♥ tư ai1 , , aik k j=1 aij vij ✳ ◆Õ✉ V ❝ã ♠ét ệ s ữ V ợ ọ K ✲❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✳ ✭✐✐✮ ▼ét ❤Ư ✈Ð❝ t➡ {vi }i∈I tr♦♥❣ V ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ❤Ư ộ tế tí ế từ ỗ r ộ tế tÝ♥❤ ❝đ❛ ❤Ư k j=1 aij vij = t❛ ➤Ị✉ ❝ã aij = ✈í✐ ♠ä✐ j = 1, , k ✭✐✐✐✮ ▼ét ❤Ö ✈Ð❝ t➡ tr♦♥❣ V ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ❝➡ së ❝đ❛ V ♥Õ✉ ♥ã ❧➭ ♠ét ❤Ö s✐♥❤ ✈➭ ➤é❝ ❧❐♣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ ♠ét ❤Ư ✈Ð❝ t➡ ❝đ❛ ✈Ð❝ t➡ ❝đ❛ V ➤Ị✉ ❝ã t❤Ĩ ❜✐Ĩ✉ t❤Þ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ♠ét ❝➳❝❤ ❞✉② ♥❤✃t q✉❛ ❤Ư ➤ã✳ ❚❛ ❝ã t❤Ĩ ỉ r r ỗ sở sở ❝đ❛ K ✲❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡ V = ➤Ị✉ ❝ã Ýt ♥❤✃t ♠ét V ➤Ị✉ ❝ã ❝ï♥❣ ❧ù❝ ❧➢ỵ♥❣✳ ▲ù❝ ❧➢ỵ♥❣ ❝❤✉♥❣ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ sè ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ ❝➡ së ❣å♠ V ❧➭ ♠ét ❝➡ së ❝ñ❛ V ế ỉ ế ỗ V í ệ dimK V ➜➷❝ ❜✐Öt✱ ♥Õ✉ V ❝ã ♠ét n ♣❤➬♥ tư t❤× ❝➳❝ ❝➡ së ❦❤➳❝ ❝đ❛ V ❝ị♥❣ ❝ã n ♣❤➬♥ tö ✈➭ t❛ ❝ã dimK V = n✳ ✶✳✷✳✹✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❈❤♦ ✭✐✮ ❙è ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ L ❧➭ ♠ét ♠ë ❝ñ❛ tr➢ê♥❣ K ✳ L✱ ①Ðt ♥❤➢ ❧➭ ♠ét K ✲❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡✱ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜❐❝ ❝đ❛ L tr➟♥ K ✈➭ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ [L : K]✳ ✭✐✐✮ ▼ë ré♥❣ L/K ❧➭ ♠ë ré♥❣ ❤÷✉ ❤➵♥ ♥Õ✉ [L : K] ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ✭✐✐✐✮ ▼ë ré♥❣ ❝ã ❜❐❝ ❜➺♥❣ ✷ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ë ré♥❣ ❜❐❝ ✷✳ ❙❛✉ ➤➞② ❧➭ ♠ét sè ✈Ý ❞ơ ✈Ị ❜❐❝ ❝ñ❛ ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣✳ ✭✐✮ C ❧➭ ♠ë ré♥❣ ❜❐❝ ✷ ❝đ❛ R ✈í✐ ❝➡ së ❧➭ {1, i}; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✽ ❍×♥❤ ✈Ï ✷✳✶✳✶✺ ✷✳✶✳✶✻✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ✿ ❈❤♦ tr➢í❝ ♠ét ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ❝ã ➤é ❞➭✐ ✶ ✈➭ ❝❤♦ t❤➟♠ ✷ ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ❦❤➳❝ ❝ã ➤é ❞➭✐ ❧➬♥ ❧➢ỵt ❧➭ x ✈➭ y ❜✃t ❦ú✳ ❍➲② ❞ù♥❣ ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ❝ã ➤é ❞➭✐ x.y ✳ ❈➳❝❤ ❞ù♥❣✿ ❈❤♦ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ d✱ ❧✃② ✷ ➤✐Ó♠ t✉ú ý A, B ∈ d s❛♦ ❝❤♦ AB = ✳ ❉ù♥❣ ♠ét ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ❝ã ➤é ❞➭✐ x.y ✱ ①✉✃t ♣❤➳t tõ t❐♣ ✷ ➤✐Ĩ♠ A, B ✈í✐ x, y ❧➭ ➤é ❞➭✐ ❝đ❛ ❝➳❝ ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ❜✃t ❦ú✳ ❇➢í❝ ✶✿ ❉ù♥❣ t❛♠ ❣✐➳❝ ABC ✈✉➠♥❣ t➵✐ B ✈í✐ AB = 1, BC = x ✭➳♣ ❞ơ♥❣ ❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✳✶✹✮✳ ❇➢í❝ ✷✿ ❑Ð♦ ❞➭✐ ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ AB ✈➭ ❞ù♥❣ ➤✐Ó♠ D tr➟♥ ➤ã s❛♦ ❝❤♦ AD ❇➢í❝ ✸✿ ❉ù♥❣ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ = y✳ d ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ✈í✐ d t➵✐ ➤✐Ĩ♠ D✳ ❇➢í❝ ✹✿ ❑Ð♦ ❞➭✐ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ AC ❝➽t d t➵✐ ➤✐Ó♠ E ✳ ❇➢í❝ ✹✿ ❚Ý♥❤ t♦➳♥ t❛ ❝ã✿ ABC ∼ ADE ⇔ DE y DE AD = ⇔ = ⇔ DE = x.y AB BC x ◆❤➢ ✈❐② t❛ ➤➲ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ DE = x.y t❤♦➯ ♠➲♥ ②➟✉ ❝➬✉ ❜➭✐ t♦➳♥✳ ✷✳✶✳✶✼✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ✿ ❈❤♦ tr➢í❝ ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ❝ã ➤é ❞➭✐ ✶ ✈➭ ♠ét ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✾ ❍×♥❤ ✈Ï ✷✳✶✳✶✻ ❝ã ➤é ❞➭✐ ❧➭ z ✳ ❍➲② ❞ù♥❣ ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ❝ã ➤é ❞➭✐ ❜➺♥❣ 1/z ✳ ❈➳❝❤ ❞ù♥❣✿ ❈❤♦ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ d✱ ❧✃② ✷ ➤✐Ó♠ t✉ú ý A, B ∈ d s❛♦ ❝❤♦ AB = 1✳ ❉ù♥❣ ♠ét ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ❝ã ➤é ❞➭✐ 1/z ✱ ①✉✃t ♣❤➳t tõ t❐♣ ✷ ➤✐Ĩ♠ A, B ✈í✐ z ❧➭ ➤é ❞➭✐ ❝ñ❛ ♠ét ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ❜✃t ❦ú✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ♥➭② ❞ù♥❣ ♥❣➢ỵ❝ ❧➵✐ ✈í✐ ❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✳✶✻ ❇➢í❝ ✶✿ ❉ù♥❣ t❛♠ ❣✐➳❝ ABC ✈✉➠♥❣ t➵✐ B ✈í✐ AB = 1, BC = z ✭➳♣ ❞ô♥❣ ❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✳✶✹✮✳ ❇➢í❝ ✷✿ ❚×♠ ♠ét ➤✐Ĩ♠ D tr➟♥ BC s❛♦ ❝❤♦ CD = ❇➢í❝ ✸✿ ❉ù♥❣ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ t➵✐ ➤✐Ĩ♠ d ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ✈í✐ BC t➵✐ ➤✐Ĩ♠ D ✈➭ ❝➽t AC E✳ ❇➢í❝ ✹✿ ❑Ð♦ ❞➭✐ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ AC ❝➽t d t➵✐ ➤✐Ĩ♠ E ✳ ❇➢í❝ ✹✿ ❚Ý♥❤ t♦➳♥ t❛ ❝ã CD ED ED = ⇔ = ⇔ ED = 1/z AB BC z ◆❤➢ ✈❐② ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ED = 1/z t❤♦➯ ♠➲♥ ②➟✉ ❝➬✉ ❜➭✐ t♦➳♥✳ ABC ∼ ✷✳✶✳✶✽✳ EDC ⇔ ✿ ❈❤♦ tr➢í❝ ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ❝ã ➤é ❞➭✐ ✶ ✳ ❍➲② ❞ù♥❣ ➤♦➵♥ ❇➭✐ t♦➳♥ t❤➻♥❣ ❝ã ➤é ❞➭✐ ❜➺♥❣ m/n ✈í✐ m, n ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ t✉ú ý✳ ❈➳❝❤ ❞ù♥❣✿ ❈❤♦ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ d✱ ❧✃② ✷ ➤✐Ó♠ t✉ú ý A, B ∈ d s❛♦ ❝❤♦ AB = ✳ ❇➢í❝ ✶✿ ❉ù♥❣ ❤❛✐ ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ❝ã ➤é ❞➭✐ ❧➬♥ ❧➢ỵt ❧➭ m ✈➭ n ✭➳♣ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✵ ❍×♥❤ ✈Ï ✷✳✶✳✶✼ ❞ơ♥❣ ❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✳✶✶✮✳ ❇➢í❝ ✷✿ ❙ư ❞ơ♥❣ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✳✶✻ ✈➭ ❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✳✶✼✱ ❞ù♥❣ ♠ét ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ❝ã ➤é ❞➭✐ ❧➭ ❇➢í❝ ✸✿ ❈❤♦ x/y ✈í✐ x✱ y ❧➭ ✷ sè ❝❤♦ tr➢í❝✳ x = m ✈➭ y = n t❛ ❝ã ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥✳ ✷✳✶✳✶✾✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ✿ ❉ù♥❣ ♠ét ➤❛ ❣✐➳❝ ➤Ị✉ ✶✷ ❝➵♥❤✳ ❈➳❝❤ ❞ù♥❣✿ ❇➢í❝ ✶✿ ▲✃② ♠ét ➤✐Ĩ♠ A t✉ú ý tr➟♥ ♠➷t ♣❤➻♥❣✳ ❇➢í❝ ✷✿ ❉ù♥❣ ♠ét ➤➢ê♥❣ trß♥ (C) t➞♠ A ❜➳♥ ❦Ý♥❤ R t✉ú ý✳ ❇➢í❝ ✸✿ ▲✃② ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❇➢í❝ ✹✿ ❉ù♥❣ ➤➢ê♥❣ trß♥ B tr➟♥ (C)✳ C(B, AB) ❝➽t ➤➢ê♥❣ trß♥ (C) t➵✐ ✷ ➤✐Ĩ♠ ✳ ❇➢í❝ ✺✿ ❚✐Õ♣ tơ❝ ❞ù♥❣ ♥❤➢ ❇➢í❝ ✹ t➵✐ ❤❛✐ ➤✐Ĩ♠ ♠í✐ ♥➭②✱ ❝✉è✐ ❝ï♥❣ t t ợ ể tr trò (C) ❝ã ❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ ❜➺♥❣ ♥❤❛✉✳ ❇➢í❝ ✻✿ ❚×♠ tr✉♥❣ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ ❝➵♥❤ ❦Ị ♥❤❛✉ ✈➭ ❞ù♥❣ ❝➳❝ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ➤✐ q✉❛ ❝➳❝ tr✉♥❣ ➤✐Ĩ♠ ✈➭ t➞♠ A ❧➬♥ ❧➢ỵt ❝➽t ➤➢ê♥❣ trß♥ (C) t➵✐ ✻ ➤✐Ĩ♠ ♠í✐✳ ◆❤➢ ✈❐② t❛ ❝ã ✶✷ ➤✐Ó♠ tr➟♥ (C) ❝ã ❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ ❜➺♥❣ ♥❤❛✉✳ ❚❛ ❝ã ♠ét ➤❛ ❣✐➳❝ ➤Ò✉ ✶✷ ❝➵♥❤✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ì ẽ í ự ợ ❝đ❛ t♦➵ ➤é ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ ✷✳✷✳✶✳ ❇ỉ ➤Ị✳ ❈❤♦ E t ợ ữ ể tr t ♥❤✃t ✷ ➤✐Ó♠ O ✈➭ A✳ ❈❤♦ B ❧➭ ➤✐Ó♠ t❤♦➯ ♠➲♥ R = OAB ❧➭ ♠ét ❤Ö t♦➵ ➤é trù❝ ❝❤✉➮♥✳ ❈❤♦ K = Q(F ) ❧➭ ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣ ❝ñ❛ Q s✐♥❤ së✐ t❐♣ F ✱ tr♦♥❣ ➤ã F ⊆ R ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ sè t❤ù❝ ❧➭ ❤♦➭♥❤ ➤é ❤♦➷❝ t✉♥❣ ➤é ❝đ❛ ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ tr♦♥❣ t❐♣ E ✈í✐ ❤Ư t♦➵ ➤é R✳ ❑❤✐ ➤ã ✐✮ ▼ä✐ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ tr♦♥❣ LE ❝ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tr♦♥❣ ❤Ư t♦➵ ➤é R ❞➵♥❣ ax + by + c = ✈í✐ a, b, c ∈ K; ✐✐✮ ▼ä✐ ➤➢ê♥❣ trß♥ tr♦♥❣ t❐♣ CE ❝ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tr♦♥❣ ❤Ư t♦➵ ➤é R ❞➵♥❣ x2 + y + ax + by + c = ✈í✐ a, b, c ∈ K ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✮✳ ●✐➯ sö d ∈ LE ❑❤✐ ➤ã ❝ã ✷ ➤✐Ĩ♠ ♣❤➞♥ ❜✐Ưt M, N ∈ E s❛♦ ❝❤♦ ✈➭ d = L(M, N ) ●ä✐ t♦➵ ➤é tr♦♥❣ R ❝đ❛ M ✈➭ N ❧➬♥ ❧➢ỵt ❧➭ (x1 , y1 ) (x2 , y2 )✳ ❑❤✐ ➤ã L(M, N ) ❝ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ (x − x1 )(y2 − y1 ) − (y − y1 )(x2 − x1 ) = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✷ ❉♦ ➤ã d ❝ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ (y2 − y1 )x + (x1 − x2 )y + (x2 − x1 )y1 + (y1 − y2 )x1 = ❈❤ó ý r➺♥❣ x1 , x2 , y1 , y2 ✈í✐ ∈ F ❱× t❤Õ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝ñ❛ d ❧➭ ax + by + c = a = (y2 − y1 ), b = (x1 − x2 ), c = (x2 − x1 )y1 + (y1 − y2 )x1 ❧➭ ♥❤÷♥❣ ♣❤➬♥ tư t❤✉é❝ K ✐✐✮ ét trò ợt ữ C(I, M N ) ∈ CE ✳ ●✐➯ sö M, N, I ❝ã t♦➵ ➤é tr♦♥❣ R (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x0 , y0 )✳ ❑❤✐ ➤ã xi , yi ∈ F ✈í✐ ♠ä✐ i = 0, 1, C(I, M N ) ❝ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❧➭ (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 ❚õ ➤ã t❛ ❝ã t❤Ĩ ❜✐Õ♥ ➤ỉ✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝đ❛ ✷✳✷✳✷✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị✳ C(I, M N ) ✈Ị ❞➵♥❣ ❝➬♥ t×♠✳ ●✐÷ ♥❣✉②➟♥ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ✈➭ ❦Ý ❤✐Ư✉ ♥❤➢ tr♦♥❣ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✷✳✶✳ ●✐➯ sư P ❧➭ ♠ét ➤✐Ĩ♠ tr♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣ ✈í✐ t♦➵ ➤é (p, q) tr♦♥❣ R ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ q✉❛ ♠ét ❜➢í❝ tõ t❐♣ E ✳ ❑❤✐ ➤ã tr➢ê♥❣ ♠ë ré♥❣ K(p, q) ❝đ❛ K ❤♦➷❝ ❜➺♥❣ ✈í✐ K ❤♦➷❝ ❧➭ ♠ë ré♥❣ ❜❐❝ ✷ ❝ñ❛ K ✳ ứ ì P ự ợ q t từ t❐♣ E ♥➟♥ ❝ã ✸ ❦❤➯ ♥➝♥❣✿ ✶✮ P ❧➭ ❣✐❛♦ ❝đ❛ ❤❛✐ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ tr♦♥❣ LE ✳ ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✷✳✶ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝➳❝ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ợt ó trì ax + by + c = 0, a x + b y + c = 0, ✈í✐ a, a , b, b , c, c ∈ K ❉♦ ❤❛✐ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ♥➭② ❝➽t ♥❤❛✉ ♥➟♥ ➳♣ ❞ơ♥❣ ➤Þ♥❤ t❤ø❝ ❈r❛♠❡r t❛ ❝ã ab − a b = ✈➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❤Ư ❤❛✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♥➭② ❧➭ t♦➵ ➤é ❝đ❛ P ✳ ❚õ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❛ ❝ã ac − a c cb − c b ✈➭ q = ❉♦ ➤ã p, q ∈ K ❱× ✈❐② K(p, q) = K ✳ p= ab − a b ab − a b ✷✮ P ❧➭ ❣✐❛♦ ❝ñ❛ ♠ét ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ tr♦♥❣ LE ✈➭ ♠ét ➤➢ê♥❣ trß♥ tr♦♥❣ CE ✳ ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✷✳✶ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ✈➭ ➤➢ê♥❣ trß♥ ♥➭② Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✸ ợt ó trì ax + by + c = 0, x2 + y + a x + b y + c = 0, ✈í✐ a, a , b, b , c, c ∈ K ❈❤ó ý r➺♥❣ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❤Ư ❤❛✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♥➭② ❝❤Ý♥❤ ❧➭ t♦➵ ➤é ❝đ❛ P ❱× t❤Õ t❛ ❝ã ❤Ư ap + bq + c = 0, p2 + q + a p + b q + c = ◆Õ✉ a = t❤× tõ ➤➻♥❣ t❤ø❝ t❤ø ♥❤✃t t❛ ❝ã p = −(bq + c)/a✳ ❉♦ ➤ã p ∈ K(q), ✈í✐ K(q) ❧➭ ♠ë ré♥❣ ❝đ❛ K ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ❣❤Ð♣ t❤➟♠ ♣❤➬♥ tö q ❚❤❛② p = −(bq + c)/a ✈➭♦ ➤➻♥❣ t❤ø❝ t❤ø ❤❛✐ t❛ ❝ã ( bq + c bq + c ) + q2 − a + b q + c = a a ❇✐Õ♥ ➤ỉ✐ t❛ ➤➢ỵ❝ 2bc − a ab + b a2 c2 − a ac + c a2 b2 +1 q + q+ = a2 a2 a2 b2 2bc − a ab + b a2 ❱× a, b, c, a , b , c ∈ K ✈➭ K ❧➭ tr➢ê♥❣ ♥➟♥ + 1✱ ✱ a a2 c2 − a ac + c a2 ➤Ò✉ t❤✉é❝ K ✳ ❈❤ø♥❣ tá q ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝ a2 ❜❐❝ ❤❛✐ t❤✉é❝ K[X]✳ ◆Õ✉ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ó ệ tr K tì ệ ò ❧➵✐ ❝ị♥❣ t❤✉é❝ K ✱ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭② t❛ ❝ã q ∈ K ❉♦ ➤ã K(p, q) = K ◆Õ✉ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ❤❛✐ ♥➭② ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ tr♦♥❣ K t❤× ♥ã ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ ❜❐❝ ✷ ❝đ❛ K ✱ ❞♦ ➤ã t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✸✳✻ t❛ s✉② r❛ K(q) ❧➭ ♠ë ré♥❣ K ✳ ◆Õ✉ a = b = tì ữ t➢➡♥❣ tù t❛ ❝ã ❦Õt q✉➯✳ ✸✮ P ❧➭ ❣✐❛♦ ❝đ❛ ❤❛✐ ➤➢ê♥❣ trß♥ tr♦♥❣ (CE )✳ ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✷✳✶ t❛ ❝ã t❤Ĩ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✹ ❣✐➯ t❤✐Õt trì ủ trò ó ợt x2 + y + ax + by + c = 0, x2 + y + a x + b y + c = 0, ✈í✐ a, a , b, b , c, c ∈ K ❇➺♥❣ ❝➳❝❤ trõ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ♥❤✃t ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ❤❛✐✱ t❛ s✉② r❛ t♦➵ ➤é ❝đ❛ P ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❤Ư ✷ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s❛✉ x2 + y + ax + by + c = 0, (a − a )x + (b − b )y + c − c = ◆❤➢ ✈❐② t❛ ❝ã t❤Ĩ ➳♣ ❞ơ♥❣ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✷ ➤Ó s✉② r❛ r➺♥❣ K(p, q) = K ❤♦➷❝ K(p, q)/K ❧➭ ♠ë ré♥❣ ❜❐❝ 2✳ ✷✳✷✳✸✳ ❱Ý ❞ô ✳ ❈❤♦ t❐♣ E = {(0, 0), (1, 0), (0, 1)}✳ ❑❤✐ ➤ã t❐♣ ❝➳❝ ❤♦➭♥❤ ➤é ✈➭ t✉♥❣ ➤é ❝đ❛ ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ E ❧➭ F = {0, 1} ❱× t❤Õ K = Q(F ) = Q √ ❳Ðt ➤✐Ĩ♠ P (1, 2)✳ ❍♦➭♥❤ ➤é ❝đ❛ P ❧➭ p = 1, t✉♥❣ ➤é ❝ñ❛ P ❧➭ q = √ ❚❛ ❝ã √ √ 3 K(p, q) = Q(1, 2) = Q( 2) √ ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❝ñ❛ ❧➭ x3 − ❉♦ ➤ã ➳♣ ❞ơ♥❣ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✸✳✻ t❛ s✉② r❛ [K(p, q) : K] = ❇➞② ❣✐ê ➳♣ ❞ô♥❣ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ tr♦♥❣ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✷✳✷ t❛ s✉② r❛ P ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ q✉❛ ♠ét ❜➢í❝ tõ E ✳ √ ▼➷❝ ❞ï ➤✐Ó♠ P (1, 2) ❦❤➠♥❣ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ q✉❛ ♠ét ❜➢í❝ tõ E ✱ ♥❤➢♥❣ ❧✐Ư✉ √ ➤✐Ĩ♠ P (1, 2) ❝ã t❤Ĩ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ ✭q✉❛ ♥❤✐Ị✉ ❜➢í❝✮ tõ t❐♣ E ❤❛② ❦❤➠♥❣❄✳ ➜Ĩ tr➯ ❧ê✐ ❝❤♦ ❝➞✉ ❤á✐ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t❛ sÏ ①❡♠ ①Ðt ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉ ➤➞② ✈Ị tÝ♥❤ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝✳ ✷✳✸ ▼ét ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥ ❝❤♦ tÝ♥❤ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ ✷✳✸✳✶✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị✳ ●✐÷ ♥❣✉②➟♥ ❝➳❝ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❝đ❛ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✷✳✶✳ ❱í✐ ỗ ể P (p, q) ự ợ từ t E ✱ ❝➳❝ ♣❤➳t ❜✐Ĩ✉ s❛✉ ➤➞② ❧➭ ➤ó♥❣✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✺ ✭✐✮ ❈ã ♠ét ❞➲② ❤÷✉ ❤➵♥ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ (Ki )0im ỗ trờ Ki ột rộ ❜❐❝ ✷ ❝đ❛ ♠ét tr➢ê♥❣ Ki−1 ✱ ✈í✐ K0 = K ✈➭ Km ⊂ R ✈➭ p, q ∈ Km ; ✭✐✐✮ p ✈➭ q ❧➭ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö ➤➵✐ sè tr➟♥ K ❀ ❜❐❝ ❝đ❛ ❝❤ó♥❣ tr➟♥ K ❧➭ ❧✉ü t❤õ❛ ❝đ❛ ✷✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✭✐✮✱ ✭✐✐✮ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ sư ❞ơ♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ ◆Õ✉ n✱ tr♦♥❣ ➤ã n ❧➭ sè ❜➢í❝ ➤Ĩ ❞ù♥❣ ➤✐Ĩ♠ P ✳ n = t❤× p, q ∈ K ♥➟♥ ✭✐✮✱ ✭✐✐✮ ❤✐Ĩ♥ ♥❤✐➟♥ ➤ó♥❣✳ ●✐➯ t❤✐Õt r ỗ ể Q ự ợ q n từ t❐♣ E q✉❛ ♠ét ❞➲② ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ♠➭ (Qj )1≤j≤n ➤Ị✉ ❝ã ♠ét ❞➲② ❤÷✉ ❤➵♥ t➝♥❣ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ (Ks )0sr K0 = K Kr R ỗ tr➢ê♥❣ ❧➭ ♠ét ♠ë ré♥❣ ❜❐❝ ✷ ❝ñ❛ tr➢ê♥❣ ➤ø♥❣ ♥❣❛② ë tr➢í❝ ✈➭ t♦➵ ➤é ❝đ❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ♥Õ✉ Qj ✱ ≤ j ≤ n✱ ♥➺♠ tr♦♥❣ Kr ✳ ❚❛ sÏ P ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ q✉❛ n + ❜➢í❝ tõ t❐♣ E t❤× ✭✐✮ ✈➭ ✭✐✐✮ t❤♦➯ ♠➲♥✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ tå♥ t➵✐ ♠ét ❞➲② ➤✐Ó♠ Pi ✱ ≤ i ≤ n + ♠➭ Pn+1 = P ✈➭ ✈í✐ i = 0, , n, Pi+1 ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ q✉❛ ♠ét ❜➢í❝ tõ t❐♣ E{Pj ; j i}ì Pn ể ự ợ q✉❛ n ❜➢í❝ ♥➟♥ t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣✱ tå♥ t➵✐ ♠ét ❞➲② ❤÷✉ ❤➵♥ t➝♥❣ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ (Ks )0≤s≤r K0 = K Kr R ỗ trờ ❧➭ ♠ét ♠ë ré♥❣ ❜❐❝ ✷ ❝ñ❛ tr➢ê♥❣ ➤ø♥❣ ♥❣❛② ë tr➢í❝ ✈➭ t♦➵ ➤é ❝đ❛ Pi ✱ ≤ i ≤ n✱ ➤Ò✉ ♥➺♠ tr♦♥❣ Kr ✳ ❚❛ ❝ã ➤✐Ĩ♠ P ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ q✉❛ ♠ét ❜➢í❝ tõ t❐♣ E ∪{Pi ; i ≤ n}✳ ❉♦ ➤ã t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✷✳✷✱ Kr (p, q) = Kr ❤♦➷❝Kr (p, q) ❧➭ ♠ë ré♥❣ ❜❐❝ ✷ ❝ñ❛ ❝ã ❞➲② Kr ✳ ❉♦ ➤ã ♥Õ✉ Kr (p, q) = Kr t❤× t❛ K = K0 ⊂ K1 ⊂ ⊂ Kr t❤♦➯ ♠➲♥ ✭✐✮✱ ♥Õ✉ Kr (p, q) ❧➭ ♠ë ré♥❣ ❜❐❝ ✷ ❝đ❛ Kr t❤× t❛ ❝ã ❞➲② K = K0 ⊂ K1 ⊂ ⊂ Kr ⊂ Kr+1 = Kr (p, q) ❧➭ ❞➲② t❤♦➯ ♠➲♥ ✭✐✮✳ ❱× t❛ ❝ã [Ki : Ki−1 ] = ✈í✐ ♠ä✐ i ♥➟♥ ➳♣ ❞ơ♥❣ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✷✳✺ s✉② r❛ [Ki : K] = 2i ❈➠♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ❝❤ø♥❣ tá r➺♥❣ ❜❐❝ ❝ñ❛ p ✈➭ q tr➟♥ K ♣❤➯✐ ❧➭ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✻ ➢í❝ ❝đ❛ 2i ✈í✐ ♠ét ✷ ✈➭ i ♥➭♦ ➤ã✳ ❱× ✈❐② ❜❐❝ ❝đ❛ p ✈➭ q tr➟♥ K ❧➭ ❧✉ü t❤õ❛ ❝ñ❛ p ✈➭ q ❧➭ ➤➵✐ sè tr➟♥ K ✳ ✷✳✸✳✷✳ ❱Ý ❞ô✳ ❳Ðt t❐♣ E = {(0, 0), (1, 0), (0, 1)}✱ t❛ ❝ã t❐♣ F = {0, 1} ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ❤♦➭♥❤ ➤é✱ t✉♥❣ ➤é ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ t❐♣ E ✈➭ K = Q(F ) = Q✳ √ √ P (1, 2) ✈í✐ ❤♦➭♥❤ ➤é p = ✈➭ t✉♥❣ ➤é q = 2✱ t❛ ❝ã √ √ √ K(p, q) = Q(1, 2) = Q( 2)✳ ➜❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❝đ❛ ❧➭ x2 − 2✳ ✶✮ ❳Ðt ➤✐Ĩ♠ ❉♦ ➤ã ➳♣ ❞ơ♥❣ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✸✳✻ t❛ ❝ã [K(p, q) : K] = 2✱ ➳♣ ❞ơ♥❣ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ √ ❝đ❛ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✷✳✷ t❛ ❝ã ➤✐Ĩ♠ P (1, 2) ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ q✉❛ ♠ét ❜➢í❝ tõ t❐♣ E √ √ √ √ √ Q( 2, 3)✳ ❚❛ ❝ã K = Q ⊂ Q( 2) ⊂ Q( 2, 3) ✈➭ √ √ √ √ [Q( 2) : Q] = 2✱ [Q( 2, 3) : Q( 2)] = ❧➭ ♠ét ❞➲② ❝➳❝ trờ ỗ ét ể trờ ột rộ ❜❐❝ ✷ ❝đ❛ tr➢ê♥❣ ➤ø♥❣ ♥❣❛② tr➢í❝ ✈➭ t❤♦➯ ♠➲♥ √ √ √ √ √ √ 2, ∈ Q( 2, 3) ❉Ơ t❤✃② ❝➳❝ sè ✈➭ ➤Ị✉ ❧➭ ➤➵✐ sè tr➟♥ K ✈➭ √ √ ❜❐❝ ❝ñ❛ ❝❤ó♥❣ ❧➭ ❧✉ü t❤õ❛ ❝đ❛ ✷✳ ❚❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✸✳✶✱ ➤✐Ĩ♠ Q( 2, 3) ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ tõ E ✸✮ ❚❤❡♦ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❝đ❛ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✸✳✶ t❛ ❝ã ➤✐Ĩ♠ L(1, ➤➢ỵ❝ ✭q✉❛ ♥❤✐Ị✉ ❜➢í❝✮ tõ t❐♣ ✷✳✹ √ 2) ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ❞ù♥❣ E✳ ▼ét ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ ❝❤♦ tÝ♥❤ ự ợ ệ ề ữ í ệ ❝đ❛ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✷✳✶✳ ✭✐✮ ▼ä✐ ➤✐Ĩ♠ ✈í✐ t♦➵ ➤é tr♦♥❣ K = Q(F ) ➤Ị✉ ❧➭ ♥❤÷♥❣ ➤✐Ĩ♠ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ tõ t❐♣ E ✭✐✐✮ ▼ä✐ ➤✐Ĩ♠ ♠➭ t♦➵ ➤é ❝đ❛ ❝❤ó♥❣ ♥➺♠ tr♦♥❣ ♠ét ♠ë ré♥❣ ❜❐❝ ✷ ❝đ❛ K ề ữ ể ự ợ từ t E ỗ ể P ó t ộ (p, q) ❝ã ♠ét ❞➲② ❤÷✉ ❤➵♥ t➝♥❣ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ (Ki )0≤i≤m ỗ trờ ột rộ ủ trờ ➤ø♥❣ tr➢í❝ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✼ ✈í✐ K0 = K, Km ⊂ R ✈➭ p, q ∈ Km ✱ t❤× ➤✐Ĩ♠ P ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ tõ E ✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✮ ❈❤♦ ➤✐Ĩ♠ P (p, q) ✈í✐ p, q ∈ K ✳ ❚❛ sÏ ❝❤ø♥❣ tá r➺♥❣ ➤✐Ó♠ P (p, q) ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ tõ t❐♣ E ✳ ➜Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ P (p, q) ❧➭ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ tr➢í❝ ❤Õt t❛ ❝❤ø♥❣ tá ❝➳❝ ➤✐Ó♠ (p, 0) ✈➭ (0, q) ự ợ từ E ì p K ✈➭ K = Q(F ) ♥➟♥ t❤❡♦ ❝❤ó ý s❛✉ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✾✱ p ❧➭ ♣❤➬♥ tư ❝ã ❞➵♥❣ f (a1 , , ak )/g(a1 , , ak )✱ ✈í✐ k ∈ N ✱ f ✈➭ g ❧➭ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ tr♦♥❣ Q[X1 , , Xk ]✱ g(a1 , , ak ) = ✈➭ a1 , , ak ∈ F ✳ ➜Ĩ ❞ù♥❣ ➤✐Ĩ♠ P (p, 0)✱ t❛ ❝❤ó ý r➺♥❣ a1 , , ak ∈ F ♥➟♥ a1 , , ak ❧➭ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tư ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ tõ E ✱ f, g ❧➭ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ❝ã ❤Ö sè tr♦♥❣ Q ♥➟♥ ❝➳❝ ❤Ư sè ➤ã ❝ị♥❣ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ tõ E ✱ t❛ ❝ã f (a1 , , ak ) ✈➭ g(a1 , , ak ) ❧➭ ❝➳❝ ❜✐Ĩ✉ t❤ø❝ ❣å♠ tỉ ❤ỵ♣ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ❝é♥❣✱ trõ✱ ♥❤➞♥✱ ❝❤✐❛✱ ❦❤❛✐ ❝➝♥ ❜❐❝ ❤❛✐ ❝đ❛ ❝➳❝ ❤Ư sè tr♦♥❣ Q ✈➭ ❝➳❝ a1 , , ak ♥➟♥ ➳♣ ❞ô♥❣ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ tõ ❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✳✶✶ ➤Õ♥ ❇➭✐ t♦➳♥ ✷✳✶✳✶✽✱ f (a1 , , ak ), g(a1 , , ak ) ✈➭ f (a1 , , ak )/g(a1 , , ak ) ❝ị♥❣ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ tõ E ✳ ❈❤ø♥❣ tá p ❧➭ ♣❤➬♥ tư ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ ✈➭ ➤✐Ĩ♠ P (p, 0) ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ tõ E ✳ ❚➢➡♥❣ tù ➤✐Ĩ♠ (0, q) ❝ị♥❣ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝✳ ✭✐✐✮ ❈❤♦ p ❧➭ ♣❤➬♥ tö ➤➵✐ sè ❝ã ❜❐❝ ✷ tr➟♥ K ✳ ❑❤✐ ➤ã p ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❜❐❝ ❤❛✐ ✈í✐ f ✈í✐ ❤Ư sè tr➟♥ K ✳ ◆Õ✉ f (X) = X + aX + b a, b ∈ K t❤× √ a2 − 4b ; p= ➜➷t c = a2 − 4b✱ ể ự ợ ể (p, 0) tì t ợ ❞ù♥❣ ➤✐Ĩ♠ √ (1, c) ✈í✐ ➤✐Ĩ♠ (c, 0) ➤➲ ❜✐Õt✳ −a ± ❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ❞ù♥❣ ➤✐Ĩ♠ C(c + 1, 0) ✈➭ tr✉♥❣ ➤✐Ĩ♠ M ❝đ❛ OC ✳ ❉ù♥❣ ➤✐Ĩ♠ D ❧➭ ❣✐❛♦ ❝đ❛ ➤➢ê♥❣ trß♥ t➞♠ M ❜➳♥ ❦Ý♥❤ M O ✈í✐ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ✈✉➠♥❣ √ ❣ã❝ ✈í✐ OA t➵✐ A✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã ➤➢ỵ❝ D(1, c)✳ ✐✐✐✮ ❉Ơ ❞➭♥❣ s✉② r❛ ➤➢ỵ❝ tõ ✷ ❦Õt q✉➯ tr➟♥✳ ✷✳✹✳✷✳ ❱Ý ❞ô✳ ❳Ðt t❐♣ E = {(0, 0), (1, 0), (0, 1)}✱ ❦❤✐ ➤ã F = {0, 1} ❧➭ t❐♣ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✽ ❍×♥❤ ✷✳✹✳✶ ❝➳❝ ❤♦➭♥❤ ➤é✱ t✉♥❣ ➤é ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ ✐✮ ❚❛ t❤✃② E✳ K = Q(F ) = Q(0, 1) = Q✳ ❘â r➭♥❣ ♠ä✐ ➤✐Ĩ♠ ❝ã t♦➵ ➤é ❤÷✉ tû ➤Ị✉ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ tõ t❐♣ E ✭t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✹✳✶ ✭✐✮✮✳ √ ✐✐✮ ❉Ô t❤✃② Q( 2) ❧➭ ♠ét ♠ë ré♥❣ ❜❐❝ ✷ ❝đ❛ Q ♥➟♥ ♠ä✐ ➤✐Ĩ♠ ❝ã t♦➵ ➤é √ tr♦♥❣ Q( 2) ➤Ị✉ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ tõ E ✭t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ề ữ t ự ì ổ ➤✐Ĩ♥ ❈ã ✸ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ỉ ✈Ị ❞ù♥❣ ❤×♥❤ ❜➺♥❣ t❤➢í❝ ❦❰ ✈➭ ❝♦♠♣❛ r✃t ♥ỉ✐ t✐Õ♥❣ tr♦♥❣ ❧Þ❝❤ sư t♦➳♥ ❤ä❝ ❍② ▲➵♣ ✈➭ r✃t q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ sù ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ ❝đ❛ ❤×♥❤ ❤ä❝✳ ➜ã ❧➭ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ột ì trò ột ì ♣❤➢➡♥❣✧✱ ✧❈❤✐❛ ❜❛ ♠ét ❣ã❝✧✳ ◆❣♦➭✐ r❛ ❝ß♥ ♥❤✐Ị✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ❦❤➳❝ ♥÷❛✳ ◆❤✐Ị✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ t➟♥ t✉ỉ✐ ➤➲ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝❤ ➤Ó ❣✐➯✐ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ tr➟♥✳ ❈❤♦ ➤Õ♥ t❤Õ ❦û ✶✾ ✈í✐ q✉❛♥ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ ➤➵✐ sè ❤✐Ư♥ ➤➵✐ ✈Ị ❧ý t❤✉②Õt tr➢ê♥❣ ✈➭ ❧ý t❤✉②Õt ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣✱ ❝➳❝ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ t❤✉ ➤➢ỵ❝ ♠ét ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤Ý♥❤ ①➳❝ ❝❤♦ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ tr➟♥✳ ❙❛✉ ➤➞② ❧➭ ♠ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❞ù♥❣ ❤×♥❤ ❝ỉ ➤✐Ĩ♥ ♥ỉ✐ t✐Õ♥❣ ♥❤✃t tr♦♥❣ ❧Þ❝❤ sư t♦➳♥ ❤ä❝✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn t ột ì trò ù t❤➢í❝ ❦❰ ✈➭ ❝♦♠♣❛✱ ❞ù♥❣ ♠ét ❤×♥❤ ✈✉➠♥❣ ❝ã ❝ï♥❣ ệ tí ột ì trò ó í ✶✳ P❤Ð♣ ❝➬✉ ♣❤➢➡♥❣ ♠ét ❤✐♥❤ trß♥ ❤❛② t❤➢ê♥❣ ❣ä✐ ột ì trò ột tr ữ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ỉ ❝đ❛ ❍② ▲➵♣ ✈➭ ♥ỉ✐ t✐Õ♥❣ ❝đ❛ t♦➳♥ ❤ä❝✱ ➤➷❝ ❜✐Ưt ❝đ❛ ❤×♥❤ ❤ä❝✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ♥➭② ➤➲ ❣❤✐ ❧➵✐ ♥✐➟♥ ❤✐Ư✉ ✈Ị sù ♣❤➳t ♠✐♥❤ ❝đ❛ ì ọ ủ ó ợ ế ❣✐÷ tr♦♥❣ ♥❣➭♥❤ t♦➳♥ ❤ä❝ r✃t ♥❤✐Ị✉ t❤Õ ❦û✳ ◆❤✐Ị✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ➤➲ ❝è ❣➽♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈➭ ➤➢❛ r❛ ❝➳❝ ❣✐➯✐ ♣❤➳♣ ➤Ó ❣✐➯✐ q✉②Õt ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➭②✳ ❈❤♦ ➤Õ♥ t❐♥ ♥➝♠ ✶✽✽✷ ♠í✐ ❝ã ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤Ý♥❤ ①➳❝ r➺♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ t❤➢í❝ ì t ò ỏ ❝ã ♠ét ❣✐➯✐ ♣❤➳♣ ➤Ĩ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ sè tÕ sè ➤ã ❧➭ sè s✐➟✉ ✈✐Öt tr➟♥ √ π ♠➭ t❤ù❝ Q ✭tr♦♥❣ ❬❍❛❞❪✱ ♣✳✹✼✮✱ ♥ã ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ sè ➤➵✐ số ì tế ó tể ự ợ tớ ❦❰ ✈➭ ❝♦♠♣❛✳ ❙è π ❧➭ sè s✐➟✉ ✈✐Öt ➤➲ ➤➢ỵ❝ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ❈✳ ▲✐♥❞❡♠❛♥♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✈➭♦ ♥➝♠ ✶✽✽✷✳ ❱× ✈❐② √ π ❝ị♥❣ ❧➭ sè s✐➟✉ ✈✐Ưt tr➟♥ Q ✈➭ ♥ã ❦❤➠♥❣ ♥➺♠ tr♦♥❣ ❜✃t ❦ú ♠ét ♠ë ré♥❣ ❤÷✉ ❤➵♥ ♥➭♦ ❝đ❛ Q✳ ✿ ❑❤➠♥❣ t❤Ĩ ột ì trò tớ ❑Õt ❧✉❐♥ ✷✳✺✳✷✳ ❇➭✐ t♦➳♥✳ ✭●✃♣ ➤➠✐ ♠ét ❤×♥❤ ❧❐♣ ♣❤➢➡♥❣✮✳ ❉ï♥❣ t❤➢í❝ ❦❰ ✈➭ ❝♦♠♣❛✱ ❞ù♥❣ ♠ét ❤×♥❤ ❧❐♣ ♣❤➢➡♥❣ ❝ã t❤Ó tÝ❝❤ ❜➺♥❣ ✷ ❧➬♥ t❤Ó tÝ❝❤ ♠ét ❤×♥❤ ❧❐♣ ♣❤➢➡♥❣ ✈í✐ ❝➵♥❤ ❜➺♥❣ ✶✳ ➜Ĩ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➭②✱ t❛ ❝➬♥ ❞ù♥❣ ♠ét ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ❝ã ➤é ❞➭✐ ❧➭ √ ✈➭ ❝❤Ø sư ❞ơ♥❣ t❤➢í❝ ❦❰ ✈➭ ❝♦♠♣❛✳ ➜✐Ị✉ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ✈✐Ư❝ ❞ù♥❣ ♠ét √ ( 2, 0) tr♦♥❣ ❤Ö t♦➵ ➤é trù❝ ❝❤✉➮♥ R✳ ➜❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② √ √ 3 ❝ñ❛ ❧➭ x3 − 2✱ ❞♦ ➤ã ➳♣ ❞ơ♥❣ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✸✳✻ t❛ s✉② r❛ [Q[ 2] : Q] = 3✱ ➤✐Ĩ♠ ❝ã t♦➵ ➤é Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹✵ √ ❧➭ ✸ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ❧✉ü t❤õ❛ ❝đ❛ ✷✳ ❙ư ❞ơ♥❣ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❝đ❛ √ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✷✳✷ t❤× ➤✐Ĩ♠ ( 2, 0) ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ t❤➢í❝ ❦❰ ✈➭ ❜❐❝ ❝đ❛ ❝♦♠♣❛✳ ✭➜➞② ❧➭ ❦Õt q✉➯ ➤➲ ➤➢ỵ❝ P✳ ▲✳ ❲❛♥t③❡❧ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➬✉ t✐➟♥ ✈➭♦ ♥➝♠ ✶✽✸✼✳✮ ❑Õt ❧✉❐♥ ✿ ❑❤➠♥❣ t❤Ĩ ✧●✃♣ ➤➠✐ ♠ét ❤×♥❤ ❧❐♣ ♣❤➢➡♥❣✧ ❜➺♥❣ t❤➢í❝ ❦❰ ✈➭ ❝♦♠♣❛✳ ✷✳✺✳✸✳ ❇➭✐ t♦➳♥✿ ✭❈❤✐❛ ❜❛ ♠ét ❣ã❝ t✉ú ý✮✳ ❈❤♦ tr➢í❝ ♠ét ❣ã❝✱ ❞ï♥❣ t❤➢í❝ ❦❰ ✈➭ ❝♦♠♣❛ ➤Ó ❝❤✐❛ ❜❛ ❣ã❝ ➤➲ ❝❤♦✳ ➜Ó ❣✐➯✐ q✉②Õt ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➭②✱ t❛ ❝➬♥ ❞ù♥❣ ♠ét ❣ã❝ θ ❦❤✐ ❜✐Õt tr➢í❝ ❣ã❝ 3θ✳ ➜✐Ị✉ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ✈✐Ư❝ ❞ù♥❣ ♠ét ➤✐Ó♠ ❝ã t♦➵ ➤é (cos θ, sin θ) tr➟♥ trò ị tr t t ộ ó t♦➵ ➤é ❧➭ (cos 3θ, sin 3θ)✳ ❚❛ ❝ã ❝➠♥❣ t❤ø❝✿ ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ cos 3θ = cos3 θ − cos θ✱ ✈× ✈❐② cos θ ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ 4X − 3X − cos 3θ✳ ◆❤×♥ ❝❤✉♥❣ ➤❛ t❤ø❝ ♥➭② ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ ➤✐Ĩ♠ ❱Ý ❞ơ✳ R ❦❤✐ ➤➲ ❜✐Õt tr➢í❝ ➤✐Ĩ♠ Q[cos 3θ]✳ ❱× t❤Õ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ (cos θ, sin θ)✳ ❑❤➠♥❣ t❤Ó ❝❤✐❛ ❜❛ ❣ã❝ 1200 ✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭② t❛ ❝ã θ = 400 ✈➭ 4X −3X −cos 1200 = 4X − 3X − 1/2 ❉Ô t❤✃② r➺♥❣ ➤❛ t❤ø❝ 8X − 6X + ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥ Q ✭✈× ♥ã ❦❤➠♥❣ ó ệ ữ tỉ ì [Q(cos ) : Q] = 3✱ ❜❐❝ ❝ñ❛ cos θ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ❧✉ü t❤õ❛ ❝đ❛ ✷ ♥➟♥ cos θ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝✳ ❙✉② r❛ (cos θ, sin θ) ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝✳ ❑Õt q✉➯ ♥➭② ❝ị♥❣ ➤➢ỵ❝ P✳ ▲✳ ❲❛♥t③❡❧ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✈➭♦ ♥➝♠ ✶✽✸✼✳ ✿ ❑❤➠♥❣ t❤Ó ✧❈❤✐❛ ❜❛ ♠ét ❣ã❝ t✉ú ý✧ ❜➺♥❣ t❤➢í❝ ❦❰ ✈➭ ❝♦♠♣❛✳ ❑Õt ❧✉❐♥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹✶ P❤➬♥ ❦Õt ❧✉❐♥ ❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➲ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❝➳❝ ❝➠♥❣ ✈✐Ö❝ s❛✉✿ ✲ ◆❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt tr➢ê♥❣✱ ❧ý t❤✉②Õt ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣ ❝đ❛ ➜➵✐ sè ❤✐Ư♥ ➤➵✐ ♥❤➢ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣✱ ♠ë ré♥❣ ➤➡♥✱ ♠ë ré♥❣ ➤➵✐ sè✱✳✳ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈Ị ♣❤➬♥ tư ➤➵✐ sè✱ s✐➟✉ ✈✐Ưt✳ ◆❤➽❝ ❧➵✐ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ị ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q rì ệ ể ự ợ t❤➢í❝ ❦❰ ✈➭ ❝♦♠♣❛✱ ➤➢❛ r❛ ❝➳❝ ✈Ý ❞ơ ♠✐♥❤ ệ ữ t ự ì ❝➡ ❜➯♥ ♥❤➢ ✧❚×♠ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝đ❛ ♠ét ➤✐Ĩ♠ tr➟♥ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣✱ ❞ù♥❣ ➤➢ê♥❣ ♣❤➞♥ ❣✐➳❝ ❝ñ❛ ♠ét ❣ã❝✱ ❞ù♥❣ trò ộ tế tế t rì ❜➭② ✈Ị ♠ét ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥ ✈➭ ♠ét ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ ✈Ị tÝ♥❤ ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ ❜➺♥❣ t❤➢í❝ ❦❰ ✈➭ ❝♦♠♣❛✳ ✲ ❚r×♥❤ ❜➭② ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✈➭♦ ữ t ự ì ổ ể ột trò ột ì ❜❛ ♠ét ❣ã❝✧✱✳✳✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬✶❪ ❘♦❜❡rt ❆s❤✱ ❆❜str❛❝t ❆❧❣❡❜r❛ ✲ ❚❤❡ ❇❛s✐❝ ●r❛❞✉❛t❡ ❨❡❛r✱ ❉♦✈❡r✱ ◆❡✇ ❨♦r❦ ✷✵✵✷✳ ❬✷❪ ❏❡❛♥✲P✐❡rr❡ ❊s❝♦❢✐❡r✱ ●❛❧♦✐s ❚❤❡♦r②✱ ❙♣r✐♥❣❡r✲❱❡r❧❛❣ ◆❡✇ ❨♦r❦ ✭✷✵✵✹✮✱ ❚❤✐r❞ ❊❞✐t✐♦♥✳ ❬✸❪ ❈✳ ❘✳ ❍❛❞❧♦❝❦✱ ❋✐❡❧❞ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ ✐ts ❈❧❛ss✐❝❛❧ Pr♦❜❧❡♠s✱ ▼❛t❤✳ ❆ss♥✳ ❆♠❡r✳✱ ✶✾✼✽✳ ❬✹❪ ❏♦s❡♣❤ ❘♦t♠❛♥✱ ●❛❧♦✐s ❚❤❡♦r②✱ ❙♣r✐♥❣❡r✲❱❡r❧❛❣ ◆❡✇ ❨♦r❦ ✭✷✵✵✶✮✱ ❙❡❝♦♥❞ ❊❞✐t✐♦♥✳ ❬✺❪ ❏❡❛♥✲P✐❡rr❡ ❙❡rr❡✱ ❚♦♣✐❝s ✐♥ ●❛❧♦✐s ❚❤❡♦r②✱ ❏♦♥❡s ❛♥❞ ❇❛rt❧❡tt✱ ❇♦st♦♥ ▲♦♥❞r❡s✱ ✶✾✾✷✳ ❬✻❪ ❏❡❛♥✲P✐❡rr❡❚✐❣♥♦❧✱ ●❛❧♦✐s✬s ❚❤❡♦r② ♦❢ ❆❧❣❡❜r❛✐❝ ❊q✉❛t✐♦♥s✱ ▲♦♥❣♠❛♥ ❙❝✐❡♥t✐❢✐❝ ❛♥❞ ❚❡❝❤♥✐❝❛❧✱ ✶✾✽✼✳ ✹✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phạm Thị Lan LÝ THUYẾT TRƯỜNG VÀ BÀI TỐN DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC KẺ VÀ COMPA Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI