(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng

(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng(Luận văn thạc sĩ) Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ▲➊ ❱❿◆ ❈❍×❒◆● ❱❻◆ ✣➋ ❉❯❨ ◆❍❻❚ ❈Õ❆ ▲Ơ❨ ❚❍Ø❆ ▼❐❚ ❍⑨▼ P❍❹◆ ❍➐◆❍ ❱❰■ ✣❆ ❚❍Ù❈ ✣❸❖ ❍⑨▼ ❈Õ❆ ❈❍Ó◆● ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✷✵ ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ▲➊ ❱❿◆ ❈❍×❒◆● ❱❻◆ ✣➋ ❉❯❨ ◆❍❻❚ ❈Õ❆ ▲Ơ❨ ❚❍Ø❆ ▼❐❚ ❍⑨▼ P❍❹◆ ❍➐◆❍ ❱❰■ ✣❆ ❚❍Ù❈ ✣❸❖ ❍⑨▼ ❈Õ❆ ❈❍Ó◆● ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ ✿ ❚❖⑩◆ ●■❷■ ❚➑❈❍ ▼➣ sè ✿ ✽✳✹✻✳✵✶✳✵✷ ữớ ữợ ❤å❝✿ P●❙✳ ❚❙ ❍⑨ ❚❘❺◆ P❍×❒◆● ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✷✵ ▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ r➡♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ tr✉♥❣ t❤ü❝ ✈➔ ❦❤ỉ♥❣ trị♥❣ ❧➦♣ ✈ỵ✐ ✤➲ t➔✐ ❦❤→❝✳ ❚ỉ✐ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ r➡♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥➯✉ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✈➔ ♥ë✐ ❞✉♥❣ tr➼❝❤ ❞➝♥ ✤↔♠ ❜↔♦ t➼♥❤ tr✉♥❣ t❤ü❝ ❝❤➼♥❤ ①→❝✳ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✾ ♥➠♠ ✷✵✷✵ ◆❣÷í✐ ✈✐➳t ❧✉➟♥ ✈➠♥ ▲➯ ❱➠♥ ❈❤÷ì♥❣ ❳→❝ trữ ữớ ữợ ❞➝♥ P●❙✳ ❚❙ ❍⑨ ❚❘❺◆ P❍×❒◆● ✐ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ tỵ✐ P●❙✳ ❚❙✳ ❍➔ ❚r➛♥ P❤÷ì♥❣✱ ♥❣÷í✐ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❝❤➾ ❜↔♦✱ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✈➔ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ ❝â t❤➯♠ ♥❤✐➲✉ ❦✐➳♥ t❤ù❝✱ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ tê♥❣ ❤ñ♣ t➔✐ ❧✐➺✉ ✤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♠ët ❝→❝❤ ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤✳ ❚ỉ✐ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ỗ ú ✤ï tỉ✐ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ❉♦ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✈➔ tr➻♥❤ ✤ë ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❦❤ỉ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✳ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ r➜t ♠♦♥❣ ữủ sỹ õ ỵ t ổ ❝→❝ ❜↕♥ ✤➸ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✾ ♥➠♠ ✷✵✷✵ ◆❣÷í✐ ✈✐➳t ❧✉➟♥ ✈➠♥ ▲➯ ❱➠♥ ❈❤÷ì♥❣ ✐✐ ▼ư❝ ❧ư❝ ▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ▼ư❝ ❧ư❝ ▼ð ✤➛✉ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✶✳✶ ✶✳✷ ❈→❝ ❤➔♠ ỵ ỡ ✳ ✳ ✶✳✶✳✶✳ ❈→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ✳ ỵ ỡ ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✸✳ ◗✉❛♥ ❤➺ sè ❦❤✉②➳t ✈➔ ✤✐➸♠ ❜ä ✤÷đ❝ P✐❝❛r❞ ✳ ❍➔♠ ✤➳♠ ♠ð rë♥❣ ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳✶✳ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳✷✳ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ✤➳♠ ♠ð rë♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✐ ✐✐ ✐✐✐ ✶ ✸ ✳ ✸ ✳ ✸ ✳ ✺ ✳ ✻ ✳ ✼ ✳ ✼ ✳ ✶✵ ✷ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✶✼ ❑➳t ❧✉➟♥ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✹✵ ✹✷ ✷✳✶ ✷✳✷ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❝❤✉➞♥ ❜à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷ ✐✐✐ ▼ð ✤➛✉ ❈❤♦ f ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝ C✱ a ∈ C ∪ {∞}✳ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ E f (a) = f −1 (a) = {z ∈ C : f (z) = a} Ef (a) = {(z, n) ∈ C × N : f (z) = a, ordf −a (z) = n} ❈❤♦ f ✈➔ g ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝ C ✈➔ a ❧➔ ♠ët ❣✐→ trà ♣❤ù❝ ❤ú✉ ❤↕♥ ❤♦➦❝ ∞✳ ❚❛ ♥â✐ f ✈➔ g ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ a ❦➸ ❝↔ ❜ë✐ ✭✈✐➳t ♥❣➢♥ ❣å♥ ❧➔ ❈▼✮ ♥➳✉ Ef (a) = Eg (a)✳ ❚❛ ♥â✐ f ✈➔ g ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ a ❦❤æ♥❣ ❦➸ ❜ë✐ ✭✈✐➳t ♥❣➢♥ ❣å♥ ❧➔ ■▼✮ ♥➳✉ E f (a) = E g (a) ❈❤♦ f ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✱ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ a(z) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ♥❤ä ❝õ❛ f ♥➳✉ T (r, a) = o(T (r, f )) ❱ỵ✐ ❤➔♠ ♥❤ä a(z), t❛ ♥â✐ f, g ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ❤➔♠ a(z) ❈▼ ✭❤♦➦❝ ■▼✮ ♥➳✉ ❤➔♠ f − a ✈➔ g − a ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ❣✐→ trà ❈▼ ✭■▼ t÷ì♥❣ ù♥❣✮✳ ◆➠♠ ✶✾✼✼✱ ❘✉❜❡❧ ✈➔ ❨❛♥❣ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿ ❈❤♦ f ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥ ❦❤→❝ ❤➡♥❣✱ ♥➳✉ f ✈➔ f ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ❤❛✐ ❣✐→ trà ❤ú✉ ❤↕♥ ♣❤➙♥ ❜✐➺t a ✈➔ b ❦➸ ❝↔ ❜ë✐ t❤➻ f = f ✳ ◆➠♠ ✶✾✼✾✱ ▼✉❡s ✈➔ ❙t❡✐♥♠❡t③ ✭❬✶✹❪✮ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❦➳t q✉↔ t÷ì♥❣ tü ❦❤✐ t❤❛② ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❈▼ ❜ð✐ ■▼✳ ❚ø ♥❤ú♥❣ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥➔② ❝õ❛ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ ♥↔② s✐♥❤ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈ỵ✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳ ◆➠♠ ✷✵✵✽✱ ❚✳ ❩❤❛♥❣ ✈➔ ❲✳ ▲☎ ✉ ✭❬✶✻❪✮ ✤➣ ①❡♠ ①➨t ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ ❧ô② t❤ø❛ ❜➟❝ n ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♠ët ❤➔♠ ♥❤ä ✈ỵ✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ k ❝õ❛ ♥â ✈➔ t❤✉ ✤÷đ❝ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✈➲ ✈➜♥ ✤➲ ♥➔②✳ ❈ö t❤➸✱ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤↕✐ sè ✤➸ ❝→❝ ❤➔♠ f n − a ✈➔ f (k) − a ✶ ✈➔ ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ❣✐→ trà ✵ ❦❤æ♥❣ ❦➸ ❜ë✐ ❤♦➦❝ ❦➸ ❝↔ ❜ë✐ t❤➻ f n = f (k) ✱ tr♦♥❣ ✤â a(z) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♥❤ä✳ ❑➼ ❤✐➺✉ Mj (f ) = (f )n0i f (1) ✈➔ n1i f (k) nki t P [f ] = Mj (f ) j=1 ●➛♥ ✤➙② ❝â ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ ♠ð rë♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❚✳ ❩❤❛♥❣ ✈➔ ❲✳ ▲☎ ✉ ❝❤♦ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣✿ t❤❛② t❤➳ ❧ơ② t❤ø❛ ❜➟❝ n ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ f tr♦♥❣ ❦➳t q✉↔ ❚✳ ❩❤❛♥❣ ✈➔ ❲✳ ▲☎ ✉ ❝õ❛ ❜ð✐ ✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ n ❝õ❛ ❤➔♠ ✤â❀ t❤❛② t❤➳ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ k ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ f ❜ð✐ ♠ët ✤ì♥ t❤ù❝ ❝❤ù❛ ❝→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝→❝ ❝➜♣ Mj [f ] ❤♦➦❝ ✤❛ t❤ù❝ ❝❤ù❛ ❝→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ P [f ] ❝õ❛ ❤➔♠ ✤â✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ♠ët sè ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❣➛♥ ✤➙② ❝õ❛ ❚✳ ❩❤❛♥❣✱ ❲✳ ▲☎ ✉✱ ❆✳ ❇❛♥❡r❥❡❡✱ ❇✳ ❈❤❛❦r❛❜♦rt② ✈➔ ♠ët số t t ữợ ự õ tr ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❝❤✐❛ ❧➔♠ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✱ tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝➛♥ ❝❤✉➞♥ ❜à✱ ❝➛♥ t❤✐➳t ❝❤♦ ❝→❝ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❧➔ ❝❤÷ì♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✈➲ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤✐ ❧ô② t❤ú❛ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❝â ❝❤✉♥❣ ♠ët ❣✐→ trà ❤❛② ❤➔♠ ♥❤ä ✈ỵ✐ ✤ì♥ t❤ù❝ ❤♦➦❝ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ♥â✳ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✾ ♥➠♠ ✷✵✷✵ ◆❣÷í✐ ✈✐➳t ❧✉➟♥ ✈➠♥ ▲➯ ❱➠♥ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ỵ ỡ r ỵ tt ố tr ❤➔♠ ①➜♣ ①➾✱ ❤➔♠ ✤➳♠✱ ❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✱ ✤â♥❣ ởt trỏ q trồ sốt ỵ tt r ♣❤➛♥ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ❝→❝ ❤➔♠ ❝ì ❜↔♥ ♥➔② ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳ ✶✳✶✳✶✳ ❈→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❈❤♦ f ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠➦t ♣❤ù❝ C ✈➔ r > ❧➔ ♠ët sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ❍➔♠ 2π m(r, f ) = 2π log+ f (reiϕ ) dϕ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❤➔♠ f ✳ ❇➙② ❣✐í t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝→❝ ❤➔♠ ✤➳♠✳ ❑➼ ❤✐➺✉ n(r, 1/f ) ❧➔ sè ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❦➸ ❝↔ ❜ë✐✱ n(r, 1/f ) ❧➔ sè ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❦❤æ♥❣ ❦➸ ❜ë✐ ❝õ❛ f, n(r, f ) ❧➔ sè ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❦➸ ❝↔ ❜ë✐✱ n(r, f ) ❧➔ sè ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❦❤æ♥❣ ❦➸ ❜ë✐ ❝õ❛ ❢ tr♦♥❣ Dr = {z ∈ C : |z| ≤ |r|}✳ ✸ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ ❍➔♠ r n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r t N (r, ∞; f ) = N (r, f ) = ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ✤➳♠ ❦➸ ❝↔ ❜ë✐ ❝õ❛ ❢ ✭❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ✤➳♠ t↕✐ ❝→❝ ❝ü❝ ✤✐➸♠✮✳ ❍➔♠ r n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r t N (r, ∞; f ) = N (r, f ) = ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ✤➳♠ ❦❤æ♥❣ ❦➸ ❜ë✐✳ ❚r♦♥❣ ✤â n(0, f ) = lim n(t, f ) n(0, f ) = lim n(t, f ), t→0 t→0 ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸✳ ❍➔♠ T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ) ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ f ✳ ❈→❝ ❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ T (r, f )✱ ❤➔♠ ①➜♣ ①➾ m(r, f ) ✈➔ ❤➔♠ ✤➳♠ N (r, f ) ỡ tr ỵ tt ố ❣✐→ trà✱ ♥â ❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✹ ✭▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✮✳ ❈❤♦ f1 , f2 , , fp ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝ C, ❦❤✐ ✤â p (1) p fν ) ≤ m(r, ν=1 p (2) ν=1 p fν ) ≤ m(r, ν=1 p (3) m(r, fν ); ν=1 p fν ) ≤ N (r, ν=1 p (4) m(r, fν ) + log p; N (r, fν ); ν=1 p fν ) ≤ N (r, ν=1 N (r, fν ); ν=1 ✹ p (5) p fν ) ≤ T (r, ν=1 p (6) T (r, fν ) + log p; ν=1 p fν ) ≤ T (r, ν=1 T (r, fν ) =1 ỵ ỡ ỵ ỵ ỡ tự t f ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ C✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ r > 0✱ t❛ ❝â 1 + N r, + log |cj | f f ✭✶✮ T (r, f ) = m r, ✭✷✮ ❱ỵ✐ ♠é✐ sè ♣❤ù❝ a ∈ C, T (r, f ) − m r, 1 + N r, f −a f −a ≤ log c1 +log+ |a|+log 2, f −a tr♦♥❣ ✤â cf ❧➔ ❤➺ sè ❦❤→❝ ♥❤ä ♥❤➜t tr♦♥❣ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❚❛②❧♦r ❝õ❛ ❤➔♠ f tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ✤✐➸♠ 0, c1 /(f − a) ❧➔ ❤➺ sè ❦❤→❝ ♥❤ä ♥❤➜t tr♦♥❣ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❚❛②❧♦r ❝õ❛ ❤➔♠ 1/(f − a) tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ✤✐➸♠ 0✳ ◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✻✳ ❚❛ t❤÷í♥❣ ❞ị♥❣ ỵ ỡ tự t ữợ = T (r, f ) + O(1), f −a tr♦♥❣ ✤â O(1) ❧➔ ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ❦❤✐ r → ∞ T r, ❈❤♦ f ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✱ r > 0✳ ❑➼ ❤✐➺✉ Nram (r, f ) = N r, + 2N (r, f ) − N (r, f ) f ✈➔ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ❣✐→ trà ♣❤➙♥ ♥❤→♥❤ ❝õ❛ ❤➔♠ f ✳ ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥ Nram (r, f ) ỵ ỵ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐✮✳ ●✐↔ sû f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ C✱ a1 , , aq ∈ C, (q > 2) ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè ♣❤➙♥ ❜✐➺t✱ ❦❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ♠é✐ ε > 0✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ q (q − 1)T (r, f ) ≤ N r, j=1 + N (r, f ) − Nram (r, f ) + log T (r, f ) f − aj ✺ ≤ N (r, f ) + N r, 1 + N2+k r, + S(r, f ), f f tữỡ ữỡ ợ (, f ) + Θ(0, f ) + δ2+k (0, f ) ≤ − n ✭✷✳✷✸✮ ❑➳t ❤đ♣ ✭✷✳✷✸✮ ✈ỵ✐ ✭✷✳✷✮ t❤✉ ✤÷đ❝ − n + 2Θ(0, f ) ≥ Θ(∞, f ) + 2Θ(0, f ) + δ2+k (0, f ) > (8 − n), tù❝ ❧➔ Θ(0, f ) > + n/4✱ ♠➙✉ t❤✉➝♥✳ t ủ ợ t ữủ n + Θ(0, f ) ≥ Θ(∞, f ) + 2Θ(0, f ) + δ2+k (0, f ) > − n, tù❝ ❧➔ Θ(0, f ) > 1, ♠➙✉ t❤✉➝♥✳ ❉♦ ✤â✱ C = ✈➔ f n = f (k) ỵ ữủ ự r ♥➔②✱ ❩❤❛♥❣ ✈➔ ▲☎ ✉ ✤÷❛ r❛ ❝➙✉ ❤ä✐✿ ✣✐➲✉ ❣➻ ①✉➜t ❤✐➺♥ ♥➳✉ f n ✈➔ [f (k) ]s ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ❤➔♠ ♥❤ä❄ ◆➠♠ ✷✵✶✵✱ ❈❤❡♥ ✈➔ ❩❤❛♥❣ ✭❬✾❪✮ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ✤→♣ →♥ ❝❤♦ ❝➙✉ ❤ä✐ ♥➔②✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â ♠ët sè ❤↕♥ ❝❤➳ ✈➲ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✈➔ ✤÷đ❝ ❇❛♥❡r❥❡❡ ✈➔ ▼❛❥✉♠❞❡r ✭❬✹❪✮ ❦❤➢❝ ♣❤ư❝✳ ◆➠♠ ✷✵✶✵ ❇❛♥❡r❥❡❡ r ự ỵ t ỵ tr ❤ä✐ ♠ð ❝õ❛ ❩❤❛♥❣ ✈➔ ▲☎ ✉ ♥❤÷ s❛✉✳ ✣à♥❤ ỵ k ( 1) n ( 1) ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ✈➔ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣✳ ●å✐ a(z) (≡ 0, ∞) ❧➔ ❤➔♠ ♥❤ä ❝õ❛ f ✳ ●✐↔ sû f n − a ✈➔ f (k) − a ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ (0, l)✳ ◆➳✉ l ≥ ✈➔ (3 + k)Θ(∞, f ) + 2Θ(0, f ) + δ2+k (0, f ) > + k − n ❤♦➦❝ ♥➳✉ l = ✈➔ + k Θ(∞, f ) + Θ(0, f ) + δ2+k (0, f ) > + k − n 2 ❤♦➦❝ ♥➳✉ l = ✈➔ (6 + 2k)Θ(∞, f ) + 4Θ(0, f ) + δ2+k (0, f ) + δ1+k (0, f ) > 12 + 2k − n, t❤➻ f n ≡ f (k) ỵ k ( 1) n (≥ 1), m (≥ 2) ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ✈➔ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣✳ ●å✐ a(z) (≡ 0, ∞) ❧➔ ❤➔♠ ♥❤ä ❝õ❛ f ✳ ●✐↔ sû f n − a ✈➔ [f (k) ]m − a ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ (0, l)✳ ◆➳✉ l = ✈➔ (3 + 2k)Θ(∞, f ) + 2Θ(0, f ) + 2δ1+k (0, f ) > + 2k − n ✭✷✳✷✹✮ ❤♦➦❝ ♥➳✉ l = ✈➔ + 2k Θ(∞, f ) + Θ(0, f ) + 2δ1+k (0, f ) > + 2k − n 2 ✭✷✳✷✺✮ ❤♦➦❝ ♥➳✉ l = ✈➔ (6 + 3k)Θ(∞, f ) + 4Θ(0, f ) + 3δ1+k (0, f ) > 13 + 3k − n, ✭✷✳✷✻✮ t❤➻ f n ≡ [f (k) ]m ✳ ❱ỵ✐ m = t ỵ t q tốt ỡ ợ ỵ r ổ ữ tợ m t ữủ ỵ s ỵ f ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣✱ k (≥ 1), l (≥ 0) ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ✈➔ ❣å✐ a(z) (≡ 0, ∞) ❧➔ ❤➔♠ ♥❤ä ❝õ❛ f ✳ ●✐↔ sû f − a ✈➔ f (k) − a ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ (0, l)✳ ◆➳✉ l ≥ ✈➔ (3 + k)Θ(∞, f ) + 2δ2 (0, f ) + δ2+k (0, f ) > k + ❤♦➦❝ ♥➳✉ l = ✈➔ + k Θ(∞, f ) + Θ(0, f ) + δ2 (0, f ) + δ2+k (0, f ) > k + 2 ❤♦➦❝ ♥➳✉ l = ✈➔ (6 + 2k)Θ(∞, f ) + 2Θ(0, f ) + δ2 (0, f ) + δ1+k (0, f ) + δ2+k (0, f ) > 2k + 10, t❤➻ f ≡ f (k) ✳ ❉ü❛ ✈➔♦ ❇ê t s t ỵ tốt ỡ ỵ tr trữớ ủ n = ❚❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐✱ ❝❤♦ n0j , n1j , , nkj ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❦❤æ♥❣ ➙♠✳ ❇✐➸✉ t❤ù❝ Mj [f ] = (f )n0j (f (1) )n1j · · · (f (k) )nkj ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ì♥ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ s✐♥❤ ❜ð✐ f ✈ỵ✐ ❜➟❝ dMj = d(Mj ) = ✈➔ ✤ë ❝❛♦ ΓMj = k i=0 (i k i=0 nij + 1)nij ✳ ◆➠♠ ✷✵✶✺✱ ❆✳ r rrt ự ỵ s ❝❤♦ t❤➜② ♠ët ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤↕✐ sè ✤➸ ❧ô② t❤ø❛ ởt ỗ t ợ ởt ỡ tự s õ ỵ ✷✳✷✳✼ ✭❬✷❪✮✳ ❈❤♦ k (≥ 1)✱ n (≥ 1) ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ✈➔ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ ✈➔ M [f ] ❧➔ ✤ì♥ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝â ❜➟❝ dM ✈➔ ✤ë ❝❛♦ ΓM ✈➔ k ❧➔ ❜➟❝ ❝❛♦ ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ M [f ]✳ ●å✐ a(z) (≡ 0, ∞) ❧➔ ❤➔♠ ♥❤ä ❝õ❛ f ✳ ●✐↔ sû f n − a ✈➔ M [f ] − a ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ (0, l)✳ ◆➳✉ l ≥ ✈➔ (3 + λ)Θ(∞, f ) + µ2 δµ∗2 (0, f ) + dM δ2+k (0, f ) > + ΓM + µ2 − n ✭✷✳✷✼✮ ❤♦➦❝ ♥➳✉ l = ✈➔ + λ Θ(∞, f ) + Θ(0, f ) + µ2 δµ∗2 (0, f ) + dM δ2+k (0, f ) > + ΓM + µ2 − n 2 ❤♦➦❝ ♥➳✉ l = ✈➔ (6 + 2λ)Θ(∞, f ) + 2Θ(0, f ) + µ2 δµ∗2 (0, f ) + dM δ2+k (0, f ) + dM δ1+k (0, f ) > + 2ΓM + µ2 − n, ✭✷✳✷✽✮ t❤➻ f n ≡ M [f ]✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣➦t F = fn a ✈➔ G = M [f ] a ✳ ❑❤✐ ✤â✱ fn − a M [f ] − a F −1= ,G − = a a ❉♦ f n ✈➔ M [f ] ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ (a, l)✱ s✉② r❛ F ✈➔ G ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ (1, l) ♥❣♦↕✐ trø ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ✈➔ ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ a(z)✳ ❚❛ ①➨t ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ s❛✉✳ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✶✳ ●✐↔ sû H ≡ ✸✶ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✶✳✶✳ ●✐↔ sû l ≥ õ sỷ ỵ ỡ tự ❤❛✐ ✈➔ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✺✱ ✷✳✶✳✸✱ t❛ ❝â T (r, F ) + T (r, G) ≤ N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + N (r, 0; F ) + N (r, 0; G) (2 + N (r, H) + N E (r, 1; F ) + N L (r, 1; F ) + N L (r, 1; G) + N (r, 1; G) − N (r, 0; F ) − N (r, 0; G ) + S(r, f ) ≤ 2N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + N2 (r, 0; F ) + N2 (r, 0; G) (2 + N E (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; G) + N (r, 1; G) + S(r, f ) ✭✷✳✷✾✮ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✶✳✶✳✶✳ ❱ỵ✐ l = 1✱ tø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✷✾✮ ✈➔ ❞ü❛ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✹✱ ✶✳✷✳✶✺ t❛ ❝â T (r, F ) + T (r, G) ≤ 2N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + N2 (r, 0; F ) + N2 (r, 0; G) (2 + N E (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; G) + N (r, 1; G) + S(r, f ) ≤ N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + N (r, 0; F ) + µ2 Nµ∗2 (r, 0; f ) 2 (2 + N (r, 0; G) + N E (r, 1; F ) + N L (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; G) + N (r, 1; G) + S(r, f ) ≤ N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + N (r, 0; F ) + µ2 Nµ∗2 (r, 0; f ) 2 + N (r, 0; G) + N (r, 1; G) + S(r, f ) tù❝ ❧➔ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦ý ε > t❛ ❝â N (r, ∞; f ) + N (r, 0; f ) + µ2 Nµ∗2 (r, 0; f ) 2 + dM N2+k (r, 0; f ) + S(r, f ) 7 1 ≤ λ+ − λ + Θ(∞, f ) + − Θ(0, f ) + µ2 2 2 − µ2 δµ∗2 (0, f ) + dM − dM δ2+k (0, f ) + ε T (r, f ) + S(r, f ) nT (r, f ) ≤ λ + ✸✷ tù❝ ❧➔ Θ(∞, f ) + Θ(0, f ) + µ2 δµ∗2 (0, f ) + dM δ2+k (0, f ) − ε T (r, f ) 2 ≤ (ΓM + µ2 + − n)T (r, f ) + S(r, f ), λ+ ♠➙✉ t❤✉➝♥✳ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✶✳✶✳✷✳ ●✐↔ sû l ≥ ❙û ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✷✾✮ ✈➔ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✶✺✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ T (r, F ) + T (r, G) ≤ 2N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + N2 (r, 0; F ) + N2 (r, 0; G) (2 + N E (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; G) + N (r, 1; G) + S(r, f ) ≤ 2N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + µ2 Nµ∗2 (r, 0; f ) + N (r, 0; G) + N (r, 1; G) + S(r, f ), tù❝ ❧➔ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦ý ε > t❛ ❝â nT (r, f ) ≤ (λ + 3)N (r, ∞; f ) + µ2 Nµ∗2 (r, 0; f ) + dM N2+k (r, 0; f ) + S(r, f ) ≤ (λ + 3) − (λ + 3)Θ(∞, f ) + µ2 − µ2 δµ∗2 (0, f ) + dM − dM δ2+k (0, f ) + ε T (r, f ) + S(r, f ), tù❝ ❧➔ {(λ + 3)Θ(∞, f ) + µ2 δµ∗2 (0, f ) + dM δ2+k (0, f ) − ε}T (r, f ) ≤ (ΓM + + µ2 − n)T (r, f ) + S(r, f ), ♠➙✉ t❤✉➝♥✳ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✶✳✶✳✸ ●✐↔ sû l = õ sỷ ỵ ỡ ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐ ✈➔ ❝→❝ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✺✱ ✷✳✶✳✸✱ ✷✳✶✳✹✱ ✶✳✷✳✶✺ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ T (r, F ) + T (r, G) ≤ N (r, ∞; F ) + N (r, 0; F ) + N (r, 1; F ) + N (r, ∞; G) + N (r, 0; G) + N (r, 1; G) − N (r, 0; F ) − N (r, 0; G ) + S(r, F ) + S(r, G) ✸✸ ≤ N (r, ∞; F ) + N (r, 0; F ) + N (r, ∞; G) + N (r, 0; G) + N (r, ∞; H) (2 + N E (r, 1; F ) + N L (r, 1; F ) + N L (r, 1; G) + N (r, 1; G) − N (r, 0; F ) − N (r, 0; G ) + S(r, F ) + S(r, G) ≤ 2N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + N2 (r, 0; F ) + N2 (r, 0; G) (2 + N E (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; G) + N (r, 1; G) + S(r, f ) ≤ 2N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + µ2 Nµ∗2 (r, 0, f ) + N2 (r, 0; G) + 2(N (r, ∞; F ) + N (r, 0; F )) + N (r, ∞; G) + N (r, 0; G) (2 + N E (r, 1; F ) + N L (r, 1; G) + N (r, 1; G) + S(r, f ) ≤ 4N (r, ∞; F ) + µ2 Nµ∗2 (r, 0; f ) + N2 (r, 0; G) + 2N (r, ∞; G) + N (r, 0; G) + 2N (r, 0; F ) + T (r, G) + S(r, f ), ✭✷✳✸✵✮ tù❝ ❧➔ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦ý ε > nT (r, f ) ≤ (2λ + 6)N (r, ∞, f ) + 2N (r, 0; f ) + µ2 Nµ∗2 (r, 0, f ) + dM N1+k (r, 0; f ) + dM N2+k (r, 0; f ) + S(r, f ) ≤ {(2λ + 6) − (2λ + 6)Θ(∞, f ) + − 2Θ(0, f ) + µ2 − µ2 δµ∗2 (0, f ) + 2dM − 2dM δ1+k (0, f ) − dM δ2+k (0, f ) + ε}T (r, f ) + S(r, f ), tù❝ ❧➔ {(2λ + 6)Θ(∞, f ) + 2Θ(0, f ) + µ2 δµ∗2 (0, f ) + 2dM δ1+k (0, f ) + dM δ2+k (0, f ) − ε}T (r, f ) ≤ (2ΓM + + µ2 − n)T (r, f ) + S(r, f ), ♠➙✉ t❤✉➝♥✳ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✷✳ ●✐↔ sû H ≡ 0✳ ❉ü❛ ✈➔♦ t➼❝❤ ♣❤➙♥ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ A ≡ + B, G−1 F −1 tr♦♥❣ ✤â A (= 0), B ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè ♣❤ù❝✳ ❑❤✐ ✤â F ✈➔ G ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ (1, ∞)✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ t❤❡♦ ❝→❝❤ ①➙② ❞ü♥❣ F ✈➔ G t❛ t❤➜② r➡♥❣ F ✈➔ G ❝ô♥❣ ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ (∞, 0)✳ ✸✹ ❉♦ ✤â✱ sû ❞ö♥❣ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✶✺ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✷✼✮✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ N2 (r, 0; F ) + N2 (r, 0; G) + N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + N L (r, ∞; F ) + N L (r, ∞; G) + S(r) ≤ µ2 Nµ∗2 (r, 0; f ) + dM N2+k (r, 0; f ) + (λ + 3)N (r, ∞; f ) + S(r) ≤ {(3 + λ + dM + µ2 ) − ((λ + 3)Θ(∞, f ) + δµ∗2 (0, f ) + dM δ2+k (0, f ))}T (r, f ) + S(r) < T (r, F ) + S(r) ❉♦ ✤â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✶✮ ❝õ❛ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✻ ❦❤æ♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ▼ët ❧➛♥ ♥ú❛ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✷✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ F ≡ G✱ tù❝ ❧➔ f n ≡ M [f ]✳ ❱➼ ❞ö s❛✉ ❝❤➾ r❛ tr♦♥❣ ✣à♥❤ ỵ tt a(z) 0, t❤✐➳t✳ ❱➼ ❞ö ✷✳✷✳✽✳ ▲➜② f (z) = ee z ✈➔ M = f ✱ ❦❤✐ ✤â M ✈➔ f ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ✭❤♦➦❝ ∞✮ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ sè ❦❤✉②➳t t tr ỵ ữủ tọ ❝↔ 0, ∞ ❧➔ ❣✐→ trà ❜ä ✤÷đ❝ ❝õ❛ f ♥❤÷♥❣ f ≡ M ❱➼ ❞ư t✐➳♣ t❤❡♦ ❝❤➾ r❛ r số t tr ỵ ❦❤ỉ♥❣ ❝➛♥ t❤✐➳t✳ ❱➼ ❞ư ✷✳✷✳✾✳ ▲➜② f (z) = Aez + Be−z , AB = ❑❤✐ ✤â N (r, f ) = S(r, f ) ✈➔ B N (r, 0; f ) = N (r, − ; e2z ) ∼ T (r, f ) A ❉♦ ✤â Θ(∞, f ) = ✈➔ Θ(0, f ) = δp (0, f ) = 0✳ ❘ã r➔♥❣ M [f ] = f ✈➔ f ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ a(z) = z số t tr ỵ ổ t❤ä❛ ♠➣♥ ♥❤÷♥❣ M ≡ f ✳ ❚r♦♥❣ ✈➼ ❞ư t t t t r tr ỵ t ❦❤æ♥❣ t❤➸ t❤❛② f n ❜➡♥❣ ✤❛ t❤ù❝ ❜➜t ❦ý P [f ] = a0 f n + a1 f n−1 + · · · + an tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ IM ✭l = 0✮✳ ❱➼ ❞ö ✷✳✷✳✶✵✳ ▲➜② f (z) = ez , P [f ] = f + 2f ✈➔ M [f ] = f (3)✱ ❦❤✐ ✤â P + = (M + 1)2 ✳ ❉♦ ✤â P ✈➔ M ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ (−1, 0) ◆❣♦➔✐ r❛ Θ(0, f ) = Θ(∞, f ) = δp (0, f ) = δ(0, f ) = ✸✺ ❞♦ ✈➔ ∞ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ❣✐→ trà ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ữủ f õ tr ỵ ✷✳✷✳✼ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ♥❤÷♥❣ P ≡ M ❈ơ♥❣ tr♦♥❣ ❜➔✐ ❜→♦ ✭❬✷❪✮✱ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ ✤➦t r❛ ❝➙✉ ❤ä✐✿ ❈➙✉ ❤ä✐ ✷✳✷✳✶✶✳ ❚❛ ❝â t❤➸ ♠ð rë♥❣ ✣à♥❤ ỵ trữớ ủ tự ổ ố ợ trữớ ủ tự r ự rở ỵ t ữợ ọ ✉ ❝❤♦ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥✳ ❍å ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ỵ s ỵ f ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣✱ n ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ✈➔ a(z) (≡ 0, ∞) ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ t❤ä❛ ♠➣♥ T (r, a) = o(T (r, f )) ❦❤✐ r → ∞✳ ▲➜② P [f ] ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ t❤❡♦ f ✳ ●✐↔ sû f n ✈➔ P [f ] ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ (a, l)✳ ◆➳✉ l ≥ ✈➔ (3 + Q)Θ(∞, f ) + 2Θ(0, f ) + d(P )δ(0, f ) > Q + + 2d(P ) − d(P ) − n ❤♦➦❝ ♥➳✉ l = ✈➔ + Q Θ(∞, f ) + Θ(0, f ) + d(P )δ(0, f ) > Q + + 2d(P ) − d(P ) − n 2 ❤♦➦❝ ♥➳✉ l = ✈➔ (6+2Q)Θ(∞, f )+4Θ(0, f )+2d(P )δ(0, f ) > 2Q+4d(P )−2d(P )+10−n, t❤➻ f n ≡ P [f ]✳ rrt ự ỵ ✭❬✼❪✮✳ ❈❤♦ k (≥ 1)✱ n (≥ 1) ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ✈➔ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣✳ ●✐↔ sû P [f ] ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❝â ❜➟❝ d(P ) ✈➔ ✤ë ❝❛♦ ΓP t❤ä❛ ♠➣♥ ΓP > (k + 1)d(P ) − 2, tr♦♥❣ ✤â k ❧➔ ❜➟❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝❛♦ ♥❤➜t tr♦♥❣ P [f ]✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❣å✐ a(z) (≡ 0, ∞) ❧➔ ❤➔♠ ♥❤ä ❝õ❛ f ✳ ●✐↔ sû f n − a ✈➔ P [f ] − a ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ (0, l)✳ ◆➳✉ l ≥ ✈➔ (ΓP −d(P )+3)Θ(∞, f )+µ2 δµ∗2 (0, f )+d(P )δ2+ΓP −d(P ) (0, f ) ≤ ΓP +µ2 +3−n ✭✷✳✸✶✮ ✸✻ ❤♦➦❝ ♥➳✉ l = ✈➔ Θ(∞, f ) + Θ(0, f ) + µ2 δµ∗2 (0, f ) + d(P )δ2+ΓP −d(P ) (0, f ) 2 ≤ ΓP + µ2 + − n, ✭✷✳✸✷✮ ΓP − d(P ) + ❤♦➦❝ ♥➳✉ l = ✈➔ (2(ΓP − d(P )) + 6)Θ(∞, f ) + 2Θ(0, f ) + µ2 δµ∗2 (0, f ) + d(P )δ1+ΓP −d(P ) (0, f ) + d(P )δ2+ΓP −d(P ) (0, f ) ✭✷✳✸✸✮ ≤ 2ΓP + µ2 + − n, t❤➻ f n ≡ P [f ]✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû P [f ] fn ✈➔ G = F = a(z) a(z) ❑❤✐ ✤â F − = f n −a(z) a(z) , G − = P [f ]−a(z) a(z) ✳ ❱➻ f n ✈➔ P [f ] ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ (a, l), s✉② r❛ F ✈➔ G ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ (1, l) ♥❣♦↕✐ trø ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ✈➔ ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ a(z)✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ ①➨t ❤❛✐ tr÷í♥❣ s❛✉✳ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✶✳ ●✐↔ sû H ≡ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✶✳✶✳ ◆➳✉ l ≥ t❤➻ sû ❞ư♥❣ ỵ ỡ tự ✈➔ ✷✳✶✳✸✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ T (r, F ) + T (r, G) ≤ N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + N (r, 0; F ) + N (r, 0; G) + N (r, ∞; H) (2 + N E (r, 1; F ) + N L (r, 1; F ) + N L (r, 1; G) + N (r, 1; G) − N (r, 0; F ) − N (r, 0; G ) + S(r, F ) (2 ≤ 2N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + N2 (r, 0; F ) + N2 (r, 0; G) + N E (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; G) + N (r, 1; G) + S(r, f ) ✭✷✳✸✹✮ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✶✳✶✳✶ ◆➳✉ l ≥ t❤➻ sû ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✸✹✮✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ T (r, F ) + T (r, G) ✸✼ (2 ≤ 2N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + N2 (r, 0; F ) + N2 (r, 0; G) + N E (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; G) + N (r, 1; G) + S(r, f ) ≤ 2N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + µ2 Nµ∗2 (r, 0; f ) + N2 (r, 0; G) + N (r, 1; G) + S(r, f ), tù❝ ❧➔ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦ý ε > 0✱ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✷✷✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ trð t❤➔♥❤ nT (r, f ) ≤ (ΓP − d(P ) + 3)N (r, ∞; f ) + µ2 Nµ∗2 (r, 0; f ) + N2+ΓP −d(P ) (r, 0; f d(P ) ) + S(r, f ) ≤ {(ΓP − d(P ) + 3) − (ΓP − d(P ) + 3)Θ(∞, f ) + µ2 − µ2 δµ∗2 (0, f ) + d(P ) − d(P )δ2+ΓP −d(P ) (0, f ) + ε}T (r, f ) + S(r, f ), tù❝ ❧➔ (ΓP −d(P )+3)Θ(∞, f )+µ2 δµ∗2 (0, f )+d(P )δ2+ΓP −d(P ) (0, f ) P +à2 +3n, t ợ ỵ rữớ ủ l = t❤➻ →♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✸✹✮ ✈➔ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✹✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ T (r, F ) + T (r, G) (2 ≤ 2N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + N2 (r, 0; F ) + N2 (r, 0; G) + N E (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; G) + N (r, 1; G) + S(r, f ) ≤ N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + N (r, 0; F ) + µ2 Nµ∗2 (r, 0; f ) + N (r, 0; G) 2 (2 + N E (r, 1; F ) + N L (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; G) + N (r, 1; G) + S(r, f ) ≤ N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + N (r, 0; F ) + µ2 Nµ∗2 (r, 0; f ) 2 + N2 (r, 0; G) + N (r, 1; G) + S(r, f ) tù❝ ❧➔ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦ý ε > 0✱ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✷✷ ❜➜t ✤➥♥❣ tr➯♥ trð t❤➔♥❤ nT (r, f ) ≤ (ΓP − d(P ) + )N (r, ∞; f ) + N (r, 0; f ) + µ2 Nµ∗2 (r, 0; f ) 2 d(P ) + N2+ΓP −d(P ) (r, 0; f ) + S(r, f ) ✸✽ 7 ≤ {(ΓP − d(P ) + ) − (ΓP − d(P ) + )Θ(∞, f ) 2 1 + − Θ(0, f ) + µ2 − µ2 δµ∗2 (0, f ) + d(P ) 2 − d(P )δ2+ΓP −d(P ) (0, f ) + ε}T (r, f ) + S(r, f ) tù❝ ❧➔ (ΓP − d(P ) + )Θ(∞, f ) + Θ(0, f ) + µ2 δµ∗2 (0, f ) + d(P )δ2+ΓP −d(P ) (0, f ) 2 ≤ ΓP + µ2 + − n, ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✸✷✮ ỵ rữớ ủ l = õ sỷ ỵ ỡ tự ❤❛✐ ✈➔ ❝→❝ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✺✱ ✷✳✶✳✸✱ ✷✳✶✳✹✱ ✶✳✷✳✶✺ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ T (r, F ) + T (r, G) ≤ N (r, ∞; F ) + N (r, 0; F ) + N (r, 1; F ) + N (r, ∞; G) + N (r, 0; G) + N (r, 1; G) − N (r, 0; F ) − N (r, 0; G ) + S(r, F ) + S(r, G) ≤ N (r, ∞; F ) + N (r, 0; F ) + N (r, ∞; G) + N (r, 0; G) + N (r, ∞; H) (2 + N E (r, 1; F ) + N L (r, 1; F ) + N L (r, 1; G) + N (r, 1; G) − N (r, 0; F ) − N (r, 0; G ) + S(r, F ) + S(r, G) (2 ≤ 2N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + N2 (r, 0; F ) + N2 (r, 0; G) + N E (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; G) + N (r, 1; G) + S(r, f ) ≤ 2N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + µ2 Nµ∗2 (r, 0, f ) + N2 (r, 0; G) + 2(N (r, ∞; F ) + N (r, 0; F )) + N (r, ∞; G) + N (r, 0; G) (2 + N E (r, 1; F ) + N L (r, 1; G) + N (r, 1; G) + S(r, f ) ≤ 4N (r, ∞; F ) + µ2 Nµ∗2 (r, 0; f ) + N2 (r, 0; G) + 2N (r, ∞; G) + N (r, 0; G) + 2N (r, 0; F ) + T (r, G) + S(r, f ), ✭✷✳✸✺✮ tù❝ ❧➔ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦ý ε > 0✱ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✷✷ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ trð t❤➔♥❤ nT (r, f ) ≤ (2(ΓP − d(P )) + 6)N (r, ∞; f ) + 2N (r, 0; f ) + µ2 Nµ∗2 (r, 0; f ) ✸✾ + N2+ΓP −d(P ) (r, 0; f d(P ) ) + N1+ΓP −d(P ) (r, 0; f d(P ) ) + S(r, f ) ≤ {(2(ΓP − d(P )) + 6) − (2(ΓP − d(P )) + 6)Θ(∞, f ) + − 2Θ(0, f ) + µ2 − µ2 δµ∗2 (0, f ) + d(P ) − d(P )δ1+ΓP −d(P ) (0, f ) + d(P ) − d(P )δ2+ΓP −d(P ) (0, f ) + ε}T (r, f ) + S(r, f ), tù❝ ❧➔ (2(ΓP − d(P )) + 6)Θ(∞, f ) + 2Θ(0, f ) + µ2 δµ∗2 (0, f ) + d(P )δ1+ΓP −d(P ) (0, f ) + d(P )δ2+ΓP −d(P ) (0, f ) ≤ 2P + à2 + n, t ợ ỵ rữớ ủ ●✐↔ sû H ≡ 0✳ ❉ü❛ ✈➔♦ ✭✷✳✹✮ A ≡ + B, G−1 F −1 tr♦♥❣ ✤â A (= 0), B ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè ♣❤ù❝✳ ❑❤✐ ✤â F ✈➔ G ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ (1, ∞)✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ t❤❡♦ ❝→❝❤ ①➙② ❞ü♥❣ F ✈➔ G t❛ t❤➜② r➡♥❣ F ✈➔ G ❝ơ♥❣ ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ (∞, 0)✳ ❉♦ ✤â✱ sû ❞ư♥❣ ỵ ✷✳✷✳✶✸✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ N2 (r, 0; F ) + N2 (r, 0; G) + N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + N L (r, ∞; F ) + N L (r, ∞; G) + S(r) ≤ µ2 Nµ∗2 (r, 0; f ) + N2+ΓP −d(P ) (r, 0; f d(P ) ) + (ΓP − d(P ) + 3)N (r, ∞; f ) + S(r) ≤ {(ΓP + µ2 + 3) − ((ΓP − d(P ) + 3)Θ(∞, f ) − µ2 δµ∗2 (0, f ) − d(P )δ2+ΓP −d(P ) (0, f ) + ε}T (r, f ) + S(r) < T (r, F ) + S(r), tr♦♥❣ ✤â ε > ❧➔ ✤↕✐ ữủ ọ tũ ỵ õ sỷ ✷✳✶✳✼ ✈➔ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✽✱ t❛ ❦➳t ❧✉➟♥ r➡♥❣ F ≡ G✱ tù❝ ❧➔ f n ≡ P [f ] ✣✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✹✵ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❱ỵ✐ ♠ư❝ ✤➼❝❤ t tử ự ỳ ự ỵ tt ◆❡✈❛♥✲ ❧✐♥♥❛ tr♦♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❧ô② t❤ø❛ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈ỵ✐ ✤❛ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✱ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉ ✤➙②✿ ✶✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ❝→❝ ❤➔♠ t t ỵ ỡ ♠ët sè ❜ê ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥✳ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ♥➔② ✤÷đ❝ ①❡♠ ❧➔ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à✱ ❝➛♥ t❤✐➳t ❝❤♦ ✈✐➺❝ ❧➔♠ rã ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ✷✳ ●✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❣➛♥ t tr ữợ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ ❧ô② t❤ø❛ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈ỵ✐ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ s✐♥❤ ❜ð✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✤â✳ ✣➦❝ ❜✐➺t ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❧↕✐ ♠ët tt ỵ ỵ ú t ởt số ❦✐➺♥ ✤↕✐ sè ✤➸ ❦❤✐ ❧ô② t❤ø❛ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♠ët ❣✐→ trà ❤❛② ❤➔♠ ♥❤ä ✈ỵ✐ ✤ì♥ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❤♦➦❝ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ õ t ụ tứ s ỗ t ợ ỡ tự ❤❛② ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ✤â✳ ❈â t❤➸ t❤➜②✱ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❦❤→ ✤➦❝ ❜✐➺t ✭❝→❝ ✤ì♥ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ t❤❛♠ ❣✐❛ ✤➲✉ ❝ị♥❣ ❜➟❝ k ✮✳ ❚r♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ tỵ✐ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ s➩ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ s➙✉ ❤ì♥ ✈➲ ✈➜♥ ✤➲ ♥➔② ✤è✐ ✈ỵ✐ ♠ët tự tũ ỵ t ❦❤↔♦ ❬✶❪ ❇❛♥❡r❥❡❡ ❆✳ ✭✷✵✵✼✮✱ ✏❯♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s t❤❛t s❤❛r❡ t✇♦ s❡ts✑✱ ❙♦✉t❤❡❛st ❆s✐❛♥ ❇✉❧❧✳ ▼❛t❤✳✱ ✸✶✭✶✮✱ ♣♣✳ ✼✲✶✼✳ ❬✷❪ ❇❛♥❡r❥❡❡ ❆✳✱ ❈❤❛❦r❛❜♦rt② ❇✳ ✭✷✵✶✺✮✱ ✏❋✉rt❤❡r ✐♥✈❡st✐❣❛t✐♦♥s ♦♥ ❛ q✉❡st✐♦♥ ♦❢ ❩❤❛♥❣ ❛♥❞ ▲☎ ✉✑✱ ❆♥♥✳ ❯♥✐✈✳ P❛❡❞❛❣♦❣✳ ❈r❛❝✳ ❙t✉❞✳ ▼❛t❤✳✱ ✶✹✱ ♣♣✳ ✶✵✺✲✶✶✾✳ ❬✸❪ ❇❛♥❡r❥❡❡ ❆✳✱ ❈❤❛❦r❛❜♦rt② ❇✳ ✭✷✵✶✻✮✱ ✏❖♥ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥s ♦❢ ❇r☎ ✉❝❦ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡✑✱ ❈♦♠♠✉♥✳ ❑♦r❡❛♥ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳✱ ✸✷✭✷✮✱ ♣♣✳ ✸✶✶✲✸✷✼✳ ❬✹❪ ❇❛♥❡r❥❡❡ ❆✳✱ ▼❛✐❥✉♠❞❡r ❙✳ ✭✷✵✶✵✮✱ ✏❖♥❡ t❤❡ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ♣♦✇❡r ♦❢ ❛ ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ s❤❛r✐♥❣ ❛ s♠❛❧❧ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ♣♦✇❡r ♦❢ ✐ts ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✑✱ ❈♦♠♠❡♥t✳ ▼❛t❤✳ ❯♥✐✈✳ ❈❛r♦❧✐♥✳✱ ✺✶ ✭✹✮✱ ♣♣✳ ✺✻✺✲✺✼✻✳ ❬✺❪ ❇r✉❝❦ ❘✳ ✭✶✾✾✻✮✱ ✏❖♥ ❡♥t✐r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇❤✐❝❤ s❤❛r❡ ♦♥❡ ✈❛❧✉❡ ❈▼ ✇✐t❤ t❤❡✐r ❢✐st ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✑✱ ❘❡s✉❧ts ▼❛t❤✳✱ ✸✵ ✭✶✮✱ ♣♣✳ ✷✶✲✷✹✳ ❬✻❪ ❈❤❛❦r❛❜♦rt② ❇✳ ✭✷✵✶✼✮✱ ✏❆ s✐♠♣❧❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ❈❤✉❛♥❣✬s ✐♥❡q✉❛❧✐t②✑✱ ❆♥✳ ❯♥✐✈✳ ❱❡s ❚✐♠✐s✳ ❙❡r✳ ▼❛t✳ ■♥❢♦r♠✳✱ ✺✺ ✭✷✮✱ ♣♣✳ ✽✺✲✽✾✳ ❬✼❪ ❈❤❛❦r❛❜♦rt② ❇✳ ✭✷✵✶✾✮✱ ✏❯♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ♣♦✇❡r ♦❢ ❛ ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥s ✇✐t❤ ✐ts ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✑✱ ❚❛♠❦❛♥❣ ❏♦✉r✳ ♦❢ ▼❛t❤✳✱ ✺✵ ✭✷✮✱ ♣♣✳ ✶✸✸✲✶✹✼✳ ❬✽❪ ❈❤❛r❛❦ ❑✳❙✳✱ ▲❛❧ ❇✳ ✭✷✵✶✺✮✱ ✏❯♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ f n ❛♥❞ P [f ]✑✱ ❛r❳✐✈✿ ✶✺✵✶✳✵✺✵✾✷✈✶✳ ✹✷ ❬✾❪ ❈❤❡♥✳ ❆✳✱ ❩❤❛♥❣✳ ●✳ ✭✷✵✶✵✮✱ ✏❯♥✐❝✐t② ♦❢ ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♥❞ ✐ts ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✑✱ ❑②✉♥❣♣♦♦❦ ▼❛t❤✳ ❏✳✱ ✺✵ ✭✶✮✱ ♣♣✳ ✼✶✲✽✵✳ ❬✶✵❪ ▲❛❤✐r✐ ■✳✱ ❙❛r❦❛r ❆✳ ✭✷✵✵✹✮✱ ✏❯♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♥❞ ✐ts ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✑✱ ❏✳■♥❡q✉❛❧✳ P✉r❡ ❆♣♣❧✳ ▼❛t❤✳✱ ✹✭✶✮✱ ❆rt✐❝❧❡ ■❞✳✷✵✳ ❬✶✶❪ ▲✐ ❏✳❉✳✱ ❍✉❛♥❣✳ ●✳❳✳ ✭✷✵✶✺✮✱ ✏❖♥❡ ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s t❤❛t s❤❛r❡ ♦♥❡ s♠❛❧❧ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡✐r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✑✱ P❛❧❡st✐♥❡ ❏✳ ▼❛t❤✳✱ ✹ ✭✶✮✱ ♣♣✳ ✾✶✲✾✻✳ ❬✶✷❪ ▲✐ ◆✳✱ ❨❛♥❣ ❩✳ ✭✷✵✶✵✮✱ ✏▼❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ t❤❛t s❤❛r❡s ♦♥❡ s♠❛❧❧ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ✐ts ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✑✱ ❑②✉♥❣♣♦♦❦ ▼❛t❤✳ ❏✳✱ ✺✵ ✭✶✮✱ ♣♣✳ ✹✹✼✲✹✺✹✳ ❬✶✸❪ ▼♦❦❤♦♥✬❦♦ ❆✳❩✳ ✭✶✾✼✶✮✱ ✏❖♥ t❤❡ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝s ♦❢ s♦♠❡ ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ✐♥ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❋✉♥❝t✐♦♥s✱ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❛♥❛❧②s✐s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✑✱ ■③❞ ✲ ✈♦ ❑❤❛✬❦♦✈s❦✱ ❯♥✲t❛✱ ✶✹✱ ♣♣✳ ✽✸✲✽✼✳ ❬✶✹❪ ▼✉❡s ❊✳✱ ❙t❡✐♥♠❡t③ ◆✳ ✭✶✾✼✾✮✱ ✏▼❡r♦♠♦r♣❤❡ ❋✉♥❦t✐♦♥❡♥✱ ❞✐❡ ♠✐t ✐❤r❡r ❆❜❧❡✐t✉♥❣ ❲❡rt❡t❡✐❧❡♥✑✱ ▼❛♥✉s❝r✐♣t❛ ▼❛t❤✳✱ ✷✾✱ ♥♦✳ ✷✲✹✱ ♣♣✳ ✶✾✺✲✷✵✻✳ ❬✶✺❪ ❘✉❜❡❧ ▲✳❆✳✱ ❨❛♥❣ ❈✳❈✳ ✭✶✾✼✻✮✱ ✏❱❛❧✉❡s s❤❛r❡❞ ❜② ❛♥ ❡♥t✐r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♥❞ ✐ts ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✑✱ ❈♦♠♣❧❡① ❛♥❛❧②s✐s ✭Pr♦❝✳ ❈♦♥❢✳✱ ❯♥✐✈✳ ❑❡♥t✉❝❦②✱ ▲❡①✐♥❣t♦♥✱ ❑②✳✮✱ ✺✾✾✱ ♣♣✳✶✵✶✲✶✵✸✳ ❬✶✻❪ ❩❤❛♥❣ ❚✳❉✳✱ ▲☎ ✉ ❲✳❘✳ ✭✷✵✵✽✮✱ ✏◆♦t❡s ♦♥❡ ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s s❤❛r✐♥❣ ♦♥❡ s♠❛❧❧ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ✐ts ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✑✱ ❈♦♠♣❧❡① ❱❛r✳❊❧✐♣✳ ❊q♥✳✱ ✺✸ ✭✾✮✱ ♣♣✳ ✽✺✼✲✽✻✼✳ ✹✸