Vấn đề duy nhất của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh và tính rẽ nhánh của ánh xạ gauss của mặt cực tiểu đầy

Luận văn

✐ ▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ♠î✐✱ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr➯♥ ❝→❝ t↕♣ ❝❤➼ ❚♦→♥ ❤å❝ ✉② t➼♥ tr♦♥❣ ✈➔ ♥❣♦➔✐ ♥÷î❝✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ✈✐➳t ❝❤✉♥❣ ✤➣ ✤÷ñ❝ sü ✤ç♥❣ þ ❝õ❛ ❝→❝ ✤ç♥❣ t→❝ ❣✐↔ ❦❤✐ ✤÷❛ ✈➔♦ ❧✉➟♥ →♥✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ♥➯✉ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ tr✉♥❣ t❤ü❝ ✈➔ ❝❤÷❛ tø♥❣ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❜➜t ❦ý ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥➔♦ ❦❤→❝✳ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ s✐♥❤✿ P❤↕♠ ❍♦➔♥❣ ❍➔ ữủ t ợ sỹ ú ù ừ ở ừ ữớ ợ ỏ t ỡ t t tổ ố ỷ ớ ỡ s s tợ tt ỳ ừ ở ú ù tổ t r t tổ ố ỷ ỳ ớ t ỡ t t tợ ữớ ữợ ừ ộ ự r t ỳ ữớ t ỏ ú ù ở tổ tứ ỳ ữợ t ỳ ổ ố ũ ừ t ộ ự ỏ ữớ t tổ ỳ ữợ t tr ồ t ự t ồ ổ ố ỷ ớ ỡ rữớ ồ ữ ở rữớ ồ ờ ủ rst ở ỏ P sỹ ú ù t t ủ rữớ tổ t rữớ ồ ữ ở ỡ tổ ồ t ổ t ổ tọ sỹ t ỡ t ử t ợ ữợ ự ồ t ú ù ừ ở tổ t ổ ố ỷ ớ ỡ tợ ừ ỗ tr ỗ tr sr ự ồ ự ồ số ú ù tổ rt tr sốt q tr ổ ụ ố tọ ỏ t ỡ t Pỏ ồ rữớ ồ ữ ở ú tổ sợ t từ tử tt ố ũ tổ ố tọ sỹ t ỡ tợ tổ ỳ ữớ ổ tổ ở s ợ tổ ỳ t õ tr q tr t ▼ö❝ ❧ö❝ ▼ët sè q✉② ÷î❝ ✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ ✈ ▼ð ✤➛✉ ✶ ✶ ✣à♥❤ ❧þ ❞✉② ♥❤➜t ✈î✐ ❜ë✐ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❝❤♦ ♠ö❝ t✐➯✉ ❝è ✤à♥❤ ✼ ✶✳✶ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❧þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✷ ✣à♥❤ ❧þ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈î✐ 2N + 2 s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ ✈➔ ❜ë✐ ❜à ❝❤➦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ✶✳✸ ✣à♥❤ ❧þ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈î✐ ♠ö❝ t✐➯✉ ❝è ✤à♥❤ ✈➔ ❝❤➦♥ ❜ë✐ ❝â r➩ ♥❤→♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✶✳✹ ✣à♥❤ ❧þ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈î✐ ♠ö❝ t✐➯✉ ❝è ✤à♥❤ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤↕♦ ❤➔♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽ ✷ ✣à♥❤ ❧þ ❞✉② ♥❤➜t ✈î✐ ❜ë✐ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❝❤♦ ♠ö❝ t✐➯✉ ❞✐ ✤ë♥❣ ✹✷ ✷✳✶ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❜ê trñ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✹ ✷✳✷ ✣à♥❤ ❧þ ❞✉② ♥❤➜t ✈î✐ ❜ë✐ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❝❤♦ ♠ö❝ t✐➯✉ ❞✐ ✤ë♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺ ✷✳✸ ✣à♥❤ ❧þ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤↕♦ ❤➔♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✸ ✸ ❙ü ♣❤➙♥ ❜è ❣✐→ trà ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ●❛✉ss ❝õ❛ ♠➦t ❝ü❝ t✐➸✉ t↕✐ t➟♣ ❞↕♥❣ ✐✐✐ ✐✈ ✈➔♥❤ ❦❤✉②➯♥ ✻✷ ✸✳✶ ▼➦t ❝ü❝ t✐➸✉ tr♦♥❣ R m ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✸ ✸✳✷ ⑩♥❤ ①↕ ●❛✉ss ❝õ❛ ♠➦t ❝ü❝ t✐➸✉ tr♦♥❣ R m ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✽ ✸✳✸ ❚➼♥❤ r➩ ♥❤→♥❤ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✶ ✸✳✹ ❚➼♥❤ r➩ ♥❤→♥❤ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ●❛✉ss ❝õ❛ ♠➦t ❝ü❝ t✐➸✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✻ ❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❦✐➳♥ ♥❣❤à ✽✺ ❉❛♥❤ ♠ö❝ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ →♥ ✽✻ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✽✼ ✈ ▼❐❚ ❙➮ ◗❯❨ ×❰❈ ❱⑨ ❑➑ ❍■➏❯ ❚r♦♥❣ t♦➔♥ ❜ë ❧✉➟♥ →♥✱ t❛ t❤è♥❣ ♥❤➜t ♠ët sè ❦➼ ❤✐➺✉ ♥❤÷ s❛✉✳ • P N (C)✿ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ①↕ ↔♥❤ ♣❤ù❝ N− ❝❤✐➲✉✳ • z =  |z 1 | 2 + ··· + |z n | 2  1/2 ✈î✐ z = (z 1 , . . . , z n ) ∈ C n • B(r) := {z ∈ C n : z < r} ❧➔ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ♠ð ❜→♥ ❦➼♥❤ r tr♦♥❣ C n • S(r) := {z ∈ C n : z = r} ❧➔ ♠➦t ❝➛✉ ❜→♥ ❦➼♥❤ r tr♦♥❣ C n • d = ∂ + ∂, d c := √ −1 4π (∂ − ∂)✿ ❝→❝ t♦→♥ tû ✈✐ ♣❤➙♥✳ • υ := (dd c z 2 ) n−1 ✱ σ := d c ❧♦❣z 2 ∧ (dd c ❧♦❣z 2 ) n−1 ✿ ❝→❝ ❞↕♥❣ ✈✐ ♣❤➙♥✳ • O(1)✿ ❤➔♠ ❜à ❝❤➦♥ ✤è✐ ✈î✐ r✳ • O(r)✿ ✈æ ❝ò♥❣ ❧î♥ ❝ò♥❣ ❜➟❝ ✈î✐ r ❦❤✐ r → +∞✳ • o(r)✿ ✈æ ❝ò♥❣ ❜➨ ❜➟❝ ❝❛♦ ❤ì♥ r ❦❤✐ r → +∞✳ • ❧♦❣ + r = ♠❛①④❧♦❣ r, 0}, x  0✳ •  || P  ✿ ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ ♠➺♥❤ ✤➲ P ✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐ r ∈ [0, +∞) ♥➡♠ ♥❣♦➔✐ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❇♦r❡❧ E ❝õ❛ [0, +∞) t❤♦↔ ♠➣♥  E dr < +∞✳ •  S✿ ❧ü❝ ❧÷ñ♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ S✳ é ỵ ồ t ỵ tt ố tr ỏ ồ ỵ tt ữủ ỹ tứ ố t ừ t ởt t t tr ỵ tt tr t ởt tr ỳ ỵ tt t ừ ồ ợ ự ử ỳ ỹ ừ ồ ừ ú tổ t tr t ự ởt ử t tr ỵ tt õ ỗ P t ừ t tr t ừ ợ r ở ừ sr ữủ ự t r r f g tr t ự C õ ũ ữủ ừ 5 tr t t f = g 1975, t tờ qt t q ừ trữớ ủ tứ C n P N (C) ự ữủ r ố ợ f g tứ C n P N (C) ởt tr f g ổ s t t ú õ ũ ữủ t ở ừ (3N + 2) s tr tờ qt tr P N (C), t f g ỡ ỳ f g tứ C n P N (C) õ ũ ữủ t ở ừ (3N + 1) s tr tờ qt tr P N (C) t tỗ t ởt ờ L tứ P N (C) õ tọ g = L(f) tứ õ t ữủ ự ởt s s t ồ ữ t t t ữớ ỳ t t q ú t ữ ởt số s sỷ f ổ s t t tứ C n P N (C) ợ ộ s H tr ổ P N (C) ú t (f,H) (z), z C n ở ừ ừ f ợ H t f(z) ợ ộ z C n t (f,H),k (z) = 0 (f,H) (z) > k, (f,H) (z) (f,H) (z) k, (f,H),>k (z) = (f,H) (z) (f,H) (z) > k, 0 (f,H) (z) k. sỷ k, d số ữỡ + t q s H 1 ,ããã , H q tr tờ qt tr ổ P N (C) tọ dim{z : (f,H i ),k (z) > 0 (f,H j ),k (z) > 0} n 2 ợ ồ 1 i < j q ú t F {H j } q j=1 , f, k, d) t tt ổ s t t g tứ C n P N (C) tọ min{ (g,H j ),k (z), d} = min{ (f,H j ),k (z), d}, j {1,ããã , q} t õ r ở ữủ t k, d g = f tr q j=1 {z : (f,H j ),k (z) > 0}. k = + t t ũ F {H j } q j=1 , f, d) ỡ t ừ tứ C n P N (C) t ú t t ừ q k, d s t F {H j } q j=1 , f, k, d) ự ởt ỵ t t rở ỡ ú t ự ỹ ữủ ừ t F {H j } q j=1 , f, k, d) t r ố q ỳ tr t ủ ởt số ọ tỹ ữủ t r ữ s ọ ố s ử t ố tr P N (C) tt õ số q tốt ọ ở d k tốt ọ ử t ố s õ t ữủ rở t trữớ ủ ử t ở s ở trữớ ủ s t ọ ú tổ t ởt t q tốt t ữủ t ỗ F(f,{H i } 3N+2 i=1 , 1) = 1, ✸ ✰✮ ❚❤→✐✲◗✉❛♥❣ ❬✻✷❪  F(f,{H i } 3N+1 i=1 , 1) = 1, N ≥ 2, ✰✮ ❉❡t❤❧♦❢❢✲❚➜♥ ❬✶✺❪  F(f,{H i } [2.75N] i=1 , 1) = 1 ✈î✐ N ≥ N 0 ✭ð ✤â N 0 ❝â ❝æ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ❝ö t❤➸✮ ✈➔ ✰✮ ❈❤❡♥✲❨❛♥ ❬✻❪  F(f,{H i } 2N+3 i=1 , 1) = 1. ❑❤✐ q < 2N + 3, ❝â ♠ët ✈➔✐ ❦➳t q✉↔ ❣➛♥ ✤➙② ✤÷ñ❝ ✤÷❛ r❛ ❜ð✐ ❚➜♥ ❬✻✵❪ ✈➔ ◗✉❛♥❣ ❬✹✾❪✱❬✺✵❪✳ ◆❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ♥➔② ❣ñ✐ ♠ð ✤➳♥ ❝➙✉ ❤ä✐ tü ♥❤✐➯♥ ❧➔✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ♥â✐ ❣➻ ✈➲ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧þ ❞✉② ♥❤➜t ✈î✐ ❜ë✐ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ q ≤ 2N + 2❄ ▼ö❝ t✐➯✉ ✤➛✉ t✐➯♥ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➜♥ ✤➲ ✈ø❛ ♥➯✉ tr➯♥✳ ❚r÷î❝ ❤➳t ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤÷❛ r❛ ♥❤ú♥❣ ✤à♥❤ ❧þ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ q = 2N + 2. ▼➦t ❦❤→❝✱ ❝â ♥❤✐➲✉ ❦➳t q✉↔ t❤ó ✈à ✈➲ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ C ❝❤♦ ❜ð✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤↕♦ ❤➔♠ ❤♦➦❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜ë✐ ❜à ❝❤➦♥ r➩ ♥❤→♥❤✳ ❈❤ó♥❣ tæ✐ ❝ô♥❣ ✤➣ tê♥❣ q✉→t ✈➔ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✈➲ ✈➜♥ ✤➲ ♥➔② ❝❤♦ →♥❤ ①↕ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ ♣❤ù❝✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❝➙✉ ❤ä✐ ✸✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ❝↔✐ t✐➳♥ t❤ü❝ sü ❝õ❛ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ tr÷î❝ ✤â ❝õ❛ ❘✉ ❬✺✸❪✱ ❉❡t❤❧♦❢❢✲❚➜♥ ❬✶✹❪✱ ❚❤→✐✲◗✉❛♥❣ ❬✻✶❪✳ ❙♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ sü ♣❤→t tr✐➸♥ ❝õ❛ ❧þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✱ ❧þ t❤✉②➳t ♣❤➙♥ ❜è ❣✐→ trà ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ●❛✉ss ❝õ❛ ♠➦t ❝ü❝ t✐➸✉ ♥❤ó♥❣ tr♦♥❣ R m ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜ð✐ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ♥❤÷ ❘✳ ❖ss❡r♠❛♥ ❬✹✺❪✱ ❙✳❙✳ ❈❤❡r♥ ❬✼❪✱ ❋✳ ❳❛✈✐❡r ❬✻✺❪✱ ❍✳ ❋✉❥✐♠♦t♦ ❬✷✵❪✲❬✷✹❪✱ ❙✳ ❏✳ ❑❛♦ ❬✸✽❪✱ ▼✳ ❘✉ ❬✺✶❪✲❬✺✷❪ ✈➔ ♥❤✐➲✉ ♥❣÷í✐ ❦❤→❝ ♥ú❛✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ①➨t M ❧➔ ♠ët ♠➦t ❝ü❝ t✐➸✉ ❦❤æ♥❣ ♣❤➥♥❣ tr♦♥❣ R 3 , ❝ö t❤➸ ❤ì♥ ❧➔ ♠ët ♠➦t ❝ü❝ t✐➸✉ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ❤÷î♥❣ tr♦♥❣ R 3 . ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝ê ✤✐➸♥✱ →♥❤ ①↕ ●❛✉ss G ❝õ❛ ♠➦t M ❧➔ →♥❤ ①↕ ❜✐➳♥ ♠å✐ ✤✐➸♠ p ∈ M t❤➔♥❤ ✈➨❝ tì trü❝ ❣✐❛♦ G(p) ∈ S 2 ❝õ❛ M t↕✐ p. ❚❤❛② ❝❤♦ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ G, ❝❤ó♥❣ t❛ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ →♥❤ ①↕ g := π◦ G : M → C := C∪{∞}(= P 1 (C)) ✈î✐ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♥ê✐ π tø S 2 ❧➯♥ P 1 (C). ❇➡♥❣ ❝→❝❤ ❞ò♥❣ ❤➺ tå❛ ✤ë ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ z = u + √ −1v ✤è✐ ✈î✐ ♠é✐ ❤➺ tå❛ ✤ë ✤➥♥❣ ♥❤✐➺t ❞÷ì♥❣ (u, v), t❛ ❝â t❤➸ ①❡♠ M ♥❤÷ ❧➔ ♠ët ♠➦t ❘✐❡♠❛♥♥ ♠ð ✈î✐ ♠ët ♠➯✲tr➼❝ ❜↔♦ ❣✐→❝ ds 2 . ❉♦ ✤â✱ tø ❣✐↔ t❤✐➳t ✈➲ t➼♥❤ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ M, g s➩ ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ M. ❇➡♥❣ ❝→❝❤ t÷ì♥❣ tü✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✤÷ñ❝ →♥❤ ①↕ ●❛✉ss ❝õ❛ ♠➦t ✹ ❝ü❝ t✐➸✉ tr♦♥❣ R m . ❈❤♦ ✤➳♥ ♥❛② ❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ✤➣ ❝æ♥❣ ❜è ♥❤✐➲✉ ❦➳t q✉↔ ✤➭♣ ✤➩ ✈➲ →♥❤ ①↕ ●❛✉ss t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ✈➲ →♥❤ ①↕ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ❧þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✳ ▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ♥❤÷ t❤➳ ❧➔ ✤à♥❤ ❧þ P✐❝❛r❞ ♥❤ä✳ ◆➠♠ ✶✾✻✹✱ ❘✳ ❖ss❡r♠❛♥ ❬✹✺❪ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ♣❤➛♥ ❜ò ❝õ❛ ↔♥❤ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ●❛✉ss ❝õ❛ ♠➦t ❝ü❝ t✐➸✉ ✤➛② ❦❤æ♥❣ ♣❤➥♥❣ tr♦♥❣ R 3 ❝â ✤ë ✤♦ ❧æ✲❣❛✲r➼t ❜➡♥❣ ❦❤æ♥❣ tr♦♥❣ P 1 (C). ◆➠♠ ✶✾✽✶✱ ♠ët ❦➳t q✉↔ ✤ët ♣❤→ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜ð✐ ❋✳ ❳❛✈✐❡r ❬✻✺❪ r➡♥❣ →♥❤ ①↕ ●❛✉ss ❝õ❛ ♠➦t ❝ü❝ t✐➸✉ ✤➛② ❦❤æ♥❣ ♣❤➥♥❣ tr♦♥❣ R 3 ❝❤➾ ❝â t❤➸ ❜ä ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ✻ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ P 1 (C). ◆➠♠ ✶✾✽✽✱ ❍✳ ❋✉❥✐♠♦t♦ ❬✷✵❪ ❣✐↔♠ sè ✤✐➸♠ tø ✻ ①✉è♥❣ ✹✳ ◆❤÷ ❝❤ó♥❣ t❛ ✤➣ ❜✐➳t✱ →♥❤ ①↕ ●❛✉ss ❝õ❛ ♠➦t ❝ü❝ t✐➸✉ ❙❝❤❡r❦ ❝❤➾ ❜ä ✤÷ñ❝ ✹ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ P 1 (C) ♥➯♥ sè ✹ ❧➔ tè✐ ÷✉✳ ◆➠♠ ✶✾✾✶✱ ❙✳ ❏✳ ❑❛♦ ❬✸✽❪ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ r➡♥❣ →♥❤ ①↕ ●❛✉ss t↕✐ t➟♣ ❞↕♥❣ ✈➔♥❤ ❦❤✉②➯♥ ✭tù❝ ❧➔ t➟♣ ❜↔♦ ❣✐→❝ ✈î✐ ❤➻♥❤ ✈➔♥❤ ❦❤✉②➯♥ {z| 0 < 1/r < |z| < r}✮ ❝õ❛ ♠➦t ❝ü❝ t✐➸✉ ✤➛② tr♦♥❣ R 3 ❝ô♥❣ ♥❤➟♥ ♠å✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ P 1 (C) trø ✤✐ ❦❤æ♥❣ q✉→ ✹ ✤✐➸♠✳ ◆➠♠ ✷✵✵✼✱ ❏✐♥✲❘✉ ❬✸✼❪ ♠ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❑❛♦ ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ m > 3. ▼➦t ❦❤→❝✱ ✈➔♦ ♥➠♠ ✶✾✾✸✱ ▼✳ ❘✉ ❬✺✷❪ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ →♥❤ ①↕ ●❛✉ss ❝õ❛ ♠➦t ❝ü❝ t✐➸✉ tr♦♥❣ R m (m ≥ 3) ✈î✐ t➼♥❤ ❝❤➜t r➩ ♥❤→♥❤✳ ✣â ❧➔ ♠ët sü ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈ø❛ ✤➲ ❝➟♣ ð tr➯♥✳ ▼ët ❝➙✉ ❤ä✐ tü ♥❤✐➯♥ ♥↔② s✐♥❤ ❧➔ ❧✐➺✉ ❝â t❤➸ ♥â✐ ❣➻ ✈➲ →♥❤ ①↕ ●❛✉ss ❝õ❛ ♠➦t ❝ü❝ t✐➸✉ t↕✐ ❝→❝ t➟♣ ❞↕♥❣ ✈➔♥❤ ❦❤✉②➯♥ ✈î✐ t➼♥❤ ❝❤➜t r➩ ♥❤→♥❤❄ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ tr↔ ❧í✐ ❝❤♦ ❝➙✉ ❤ä✐ ♥➔② ❦❤✐ m = 3; 4. ❈❤ó♥❣ tæ✐ ❝ô♥❣ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ✤➳♥ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❉❡t❤❧♦❢❢✲❍➔✲❚❤♦❛♥ ❬✶✵❪ ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ m > 3. ❈❤ó♥❣ tæ✐ ❝ô♥❣ ❧÷✉ þ r➡♥❣ ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❦❤→❝ s♦ ✈î✐ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❉❡t❤❧♦❢❢✲❍➔✲❚❤♦❛♥ ❬✶✵❪ ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ m = 4. ✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tø C n ✈➔♦ P N (C) ✤è✐ ✈î✐ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ ❝è ✤à♥❤✱ s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ ❞✐ ✤ë♥❣ ✈➔ ❝â ❜ë✐ ❜à ❝❤➦♥✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❧✉➟♥ →♥ ❝ô♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ r➩ ♥❤→♥❤ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ●❛✉ss ❝õ❛ ♠➦t ❝ü❝ t✐➸✉ tr♦♥❣ R m (m = 3; 4) ✸✳ ✣è✐ t÷ñ♥❣ ✈➔ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ◆❤÷ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ð ♣❤➛♥ ❧þ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✱ ✤è✐ t÷ñ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tø C n ✈➔♦ P N (C) ✈➔ t➼♥❤ r➩ ♥❤→♥❤ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ss ừ t ỹ t tr R m (m = 3; 4) r t q t ữủ rở t q t Pữỡ ự qt ỳ t r tr ú tổ sỷ ử ữỡ ự ừ ỵ tt ố tr t ự ồ ự ỗ tớ ú tổ ụ ữ r ỳ tt ợ qt t q t ữủ ỵ ừ t ữủ t ữỡ ữỡ ự ỵ t ợ ở ừ tứ ổ ự ổ ự ử t ố ử t s ợ t t q ỡ ừ ỵ tt ú tổ ự ỵ t trữớ ủ q = 2N + 2 õ ú tổ rở ởt t q ừ tr trữớ ủ ở r P ố ừ ữỡ tr ởt ỵ t ự ợ ữỡ ự ỵ t ợ ở ừ ử t ở r ú tổ ụ ữ r ởt ỵ t ừ ự ợ r ữỡ ú tổ ợ t ss rở ừ t ỹ t tr R m ú tổ ự t t r ừ s t t ừ t ỹ t tr R 3 , R 4 ử t ú tổ rở t q trữợ õ ừ tr trữớ ủ m = 3. trú ố ử ừ ử ử ỗ ữỡ ữủ t t tữ tữ tứ ữỡ ừ ữủ t ỹ tr ố ổ tr tr õ ổ tr ữủ ổ tr ữủ ỷ ổ ố ữỡ ỵ t ợ ở ừ ử t ố ữỡ ỵ t ợ ở ừ ử t