Định lí liểu marty về họ chuẩn tắc của các hàm phân hình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ THANH THẢO ĐỊNH LÍ KIỂU MARTY VỀ HỌ CHUẨN TẮC CỦA CÁC HÀM PHÂN HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ THANH THẢO ĐỊNH LÍ KIỂU MARTY VỀ HỌ CHUẨN TẮC CỦA CÁC HÀM PHÂN HÌNH Chun ngành: Giải Tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TSKH TRẦN VĂN TẤN THÁI NGUYÊN - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn "Định lí kiểu Marty họ chuẩn tắc hàm phân hình" cơng trình nghiên cứu khoa học độc lập riêng hướng dẫn khoa học PGS.TSKH Trần Văn Tấn Các nội dung nghiên cứu, kết luận văn trung thực chưa cơng bố hình thức trước đây; kết kết tác giả khác có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu phát gian lận tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm nội dung luận văn Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2020 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Thảo Xác nhận khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn PGS.TSKH Trần Văn Tấn i Lời cảm ơn Để hoàn thành đề tài luận văn kết thúc khóa học, với tình cảm chân thành, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới trường Đại học Sư phạm Thái Ngun tạo điều kiện cho tơi có mơi trường học tập tốt suốt thời gian học tập, nghiên cứu trường Tôi xin gửi lời cảm ơn tới PGS.TSKH Trần Văn Tấn giúp đỡ suốt trình nghiên cứu trực tiếp hướng dẫn tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp Đồng thời, tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn tới thầy Khoa Tốn, bạn bè giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập hồn thiện luận văn tốt nghiệp Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2020 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Thảo ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Lời mở đầu 1 Định lí Marty 1.1 Định lí Marty 1.2 Một mở rộng Định lí Marty Hinkkanen Một mở rộng Định lí Marty Grahl Nevo 10 Đaọ hàm cầu trường hợp chiều cao 21 3.1 Một dạng mở rộng Định lí thứ hai 3.2 Tiêu chuẩn ánh xạ chuẩn tắc điều kiện bị chặn đạo hàm cầu 21 30 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 iii Lời mở đầu Lý chọn đề tài Định lí Marty (1957) tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc hàm phân hình miền mặt phẳng phức, điều kiện đạo hàm cầu bị chặn tập compact đóng vai trị quan trọng nghiên cứu họ chuẩn tắc hàm phân hình Với mong muốn tìm hiểu vấn đề họ chuẩn tắc hàm phân hình thơng qua kết có ảnh hưởng lớn này, chúng tơi chọn đề tài “Định lí kiểu Marty họ chuẩn tắc hàm phân hình” nhằm tìm hiểu kết gốc Marty số phát triển nhà tốn học sau Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu trình bày lại cách có hệ thống chi tiết tiêu chuẩn Marty họ chuẩn tắc, mở rộng Định lí Marty Hinkkanen (1993), Grahl Nevo (2014) Trần Văn Tấn (2020) Đối tượng nghiên cứu Họ chuẩn tắc hàm phân hình, Lí thuyết Nevanlinna phân bố hàm phân hình Nội dung nghiên cứu Chúng nghiên cứu tiêu chuẩn Marty họ chuẩn tắc hàm phân hình có đạo hàm cầu bị chặn tập compact Từ nghiên cứu mở rộng định lí tới trường hợp mà đạo hàm cầu bị chặn tập nhỏ hơn; trường hợp biến dạng đạo hàm cầu; trường hợp chiều cao Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương trình bày Định lí Marty cổ điển mở rộng Định lí Marty tới trường hợp đạo hàm cầu bị chặn tập compact giao tập ảnh ngược điểm phân biệt; Chương trình bày kết mở rộng Định lí Marty Grahl Nevo tới trường hợp kiểu đạo hàm cầu; Chương trình bày tiêu chuẩn chuẩn tắc Trần Văn Tấn trường hợp ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian xạ ảnh Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp truyền thống Giải tích phức, Ứng dụng Lí thuyết Nevanlinna ánh xạ chỉnh hình Chương Định lí Marty 1.1 Định lí Marty Năm 1912, Montel đưa khái niệm sau họ chuẩn tắc hàm phân hình Định nghĩa 1.1 Một họ F hàm phân hình miền D ⊂ C gọi chuẩn tắc nấu dãy {fk } ⊂ F tồn dãy hội tụ theo metric cầu tập compact D (hay tương đương hội tụ địa phương) tới hàm phân hình hàm đồng vô Định lý 1.2 Một họ F gồm hàm phân hình miền D ⊂ C chuẩn tắc đạo hàm cầu hàm F bị chặn tập compact D (hay tương đương bị chặn địa phương), nghĩa là, với tập compact K ⊂ D, tồn số dương c(K) cho f # (z) := |f (z)| ≤ c(K) + |f (z)|2 với z ∈ K f ∈ F Chứng minh Giả sử F họ chuẩn tắc, bất đẳng thức khơng Khi đó, tồn tập compact K ⊂ D dãy {fk } ⊂ F , {zk } ⊂ K , cho fk hội tụ tới hàm chỉnh hình f fk# (zk ) dần tới vô Do K tập compact, nên ta coi zk hội tụ tới điểm z0 thuộc K Khi f # (z0 ) = limk→∞ = fk# (zk ) = ∞ Điều dẫn tới mâu thuẫn Bây ta chứng minh chiều ngược lại Với điểm z0 thuộc D với > tùy ý, lấy r > cho K := {z : |z − z0 | ≤ r} ⊂ D Khi đó, theo giả thiết, tồn c(K) > cho f # (z) := |f (z)| ≤ c(K) + |f (z)|2 với z ∈ K f ∈ F Với z ∈ K , lấy γ : [0, 1] → D, γ(t) = (1 − t)z0 + tz đoạn nối z0 với z Gọi dσ khoảng cách cầu C Khi đó, dγ (f (z), f (z0 )) ≤ (f ◦ γ) (t) σ,f ◦γ(t) = 2f ◦ γ (t) |γ (t)|dt + |γ(t)2 ≤ c(K) |γ (t)|dt ≤ c(K) z − z0 với z ∈ K f ∈ F Do đó, F đồng liên tục Mặt khác, C compact, nên F chuẩn tắc 1.2 Một mở rộng Định lí Marty Hinkkanen Trong phần này, ta xét chiều mở rộng Định lí Marty đưa Hinkkanen [2] Định lý 1.3 Một họ F gồm hàm phân hình miền D ⊂ C chuẩn tắc tồn điểm phân biệt a1 , , a5 thuộc C cho với tập compact K ⊂ D, tồn số dương c(K) cho f # (z) ≤ c(K) với z ∈ K ∩5j=1 f −1 (aj ) f ∈ F Để chứng minh Định lí Hinkkanen, trước hết ta phát biểu chứng minh Bổ đề Zalcmann Định lý 1.4 Họ F hàm phân hình D không chuẩn tắc điểm z0 tồn 1) số thực r, < r < 1; 2) điểm zn , |zn | < r, zn → z0 ; 3) dãy số dương ρn → 0+ ; 4) hàm fn ∈ F cho gn (ξ) := gn (zn + ρn ξ) → g(ξ) hội tụ tập compact C theo metric cầu, đó, g(ξ) hàm phân hình khác g # (ξ) ≤ g # (0) = Chứng minh Giả sử F không chuẩn tắc D Khi theo Định lí Marty, tồn số r∗ , < r∗ < 1, dãy điểm zn∗ đĩa đóng có tâm gốc tọa độ, bán kính r∗ hàm fn thuộc F cho fn# (zn∗ ) → ∞ Cố định giá trị r cho r∗ < r < 1, với n đặt |z|2 Mn = max |z| ≤ r − r |z|2 = − fn# (zn ) r fn# (z) (1.1) fn có bội số p Do hàm (k) p fn dn := (2.11) fnp+k p f (k) chỉnh hình ∆(z0 , 2r) với n ≥ N Vì chúng hội tụ đến f p+k ∂∆(z0 , r), từ nguyên tắc tối đa suy có số C < ∞ cho |dn (z)| ≤ C với z ∈ ∆(z0 , r) n đủ lớn Đặc biệt, với z = zn n đủ lớn, ta có p (k) |fn (zn )| + |fn (zn )|α (k) |fn (zn )|p ≤ ≤ C; |fn (zn )|p+k Ở sử dụng |fn (zn )| ≥ αp ≥ k + p Mâu thuẫn với (2.10) Trường hợp f ≡ ∞ Nhắc lại, cực fn có bội số p := k α−1 Từ Định lí 2.2 (b) thấy chuỗi {dn }n dn định nghĩa (2.11) hội tụ địa phương D theo nhận xét k + (1 − α)p ≤ k + (1 − α) · k α−1 = ta suy (k) |fn | ≤ |dn | · |fn |k+(1−α)p α + |fn | n → ∞, mâu thuẫn với (2.10) 20 1/p =⇒ Chương Đaọ hàm cầu trường hợp chiều cao Trong chương này, chúng tơi trình bày kết gần Trần Văn Tấn [5] cho đạo hàm cầu trường hợp chiều cao 3.1 Một dạng mở rộng Định lí thứ hai Cho f ánh xạ chỉnh hình từ miền thuộc C vào P n (C) (f0 : · · · : fn ) biểu diễn rút gọn f lân cận z Khi đó, đạo hàm f # f z tính cơng thức ∂2 (f ) (z) = log ∂z∂z n # |fi |2 = i=0 0≤s 2n + (n ≥ 2), nên q0 > q0 − (q − q0 ) − (q − 2n − 1) − p = 2[n − (q − q0 )] − p + 30 Bây ta chứng minh g # (ξ) = với ξ ∈ ∪qj=1 g −1 (Hj ) = 0 ∪qj=1 g −1 (Hj ) Muốn vậy, ta xét điểm ξ0 ∈ ∪qj=1 g −1 (Hj ) Lấy j0 ∈ {1, , q0 } cho ξ0 ∈ g −1 (Hj0 ) = Theo Định lí Hurwitz, tồn {ξk } (với k đủ lớn), ξk → ξ0 cho ξk ∈ gk−1 (Hj0 ), hay là, zk + rk ξk ∈ f −1 (Hj0 ) Do đó, theo giả thiết, tồn số dương M cho (1 − |zk + rk ξk |2 )f # (zk + rk ξk ) < M với k đủ lớn Ta có g # (ξ0 ) = limk→∞ gk# (ξk ) = lim rk f # (zk + rk ξk ) = limk→∞ zk rk ( 1−|z − | 1−|z + k| k| rk −1 1−|zk | ξk |) (1 − |zk |)(1 + |zk + rk ξk |) (1 − |zk + rk ξk |2 )f # (zk + rk ξk ) = 0, (3.16) rk (để ý limk→∞ 1−|z = k| rk 1−|zk | |ξk | 1−|zk | |zk | zk rk − | 1−|z + ξ | ≥ ( − )− k | 1−|z | 1−|z | 1−|z k k k k| > 12 , với k đủ lớn) Do đó, theo (3.1) ta có    0≤t n2 (n + 1) ≥ 6n) Tuy vậy, Định lí thứ hai Nevanlinna (g(Hj ))0 ≥ g −1 (Hj ), với j ∈ {1, , q0 }) cho thấy điều xảy Trường hợp p ≥ Theo Hệ 3.4, ta có q0 ≤ (n − (q − q0 )) (p2 + p − 1) − p + p Do 2n(p2 + p − 1) 2(p2 + p − 1) − (q − q0 ) −1 −p+1 p p 2n(p2 + p − 1) −p+1 ≤ p 2n(n2 + n − 1) ≤ −n+1 n q = q0 + (q − q0 ) ≤ = 2n2 + n − Điều trái với giả thiết q > 2n2 + n − Kết sau tiêu chuẩn họ chuẩn tắc tương ứng với Định lí 3.5 Định lý 3.7 Cho F họ ánh xạ chỉnh hình từ miền thuộc D ⊂ Cm vào P n (C) Với f ∈ F , xét q ánh xạ chỉnh hình H1f , , Hqf từ D vào P n (C) thỏa mãn: Với tập compact K D, tồn số dương δK cho dF S (Hj0 f (z), , Hjn f (z)) ≥ δK (3.17) với {j0 , , jn } ⊂ {1, , q} z ∈ K, f ∈ F Gọi E hàm độ dài ứng với metric Fubini-Study P n (C) Giả sử với tập compact K ⊂ D tồn số dương c(K) cho E (f (z), f∗,z (ξ)) ≤ c(K) · ξ với z ∈ K ∩ ∪qj=1 f −1 (Hjf ) , ξ ∈ Tz D Cm , f ∈ F Nếu q > 2n2 + n − F chuẩn tắc D 32 Kết luận Luận văn trình bày cách chi tiết có hệ thống vấn đề sau: - Định lí Marty tiêu chuẩn họ chuẩn tắc hàm phân hình miền mặt phẳng phức; - Mở rộng Định lí Marty Hinkkanen tới trường hợp đạo hàm cầu bị chặn tập compact giao tập ảnh ngược giá trị phân biệt; - Mở rộng Định lí Mary Grahl Nevo tới trường hợp đạo hàm bậc cao; - Tiêu chuẩn chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian xạ ảnh điều kiện đạo hàm cầu bị chặn tập ảnh ngược siêu phẳng vị trí tổng quát 33 Tài liệu tham khảo [1] H Fujimoto (1993), Value distribution theory of the Gauss map of minimal surfaces in Rm , Vieweg-Verlag, Braunschweig [2] A Hinkkanen (1993), Normal families and Ahlfors’s Five Island Theorem, N Z J Math 22, 39–41 [3] J Grahl and S Nevo (2014), An extension of one direction in Martys normality criterion, Monatshefte fă ur Mathematik, 174, 205-217 [4] Trần Văn Tấn (2020), Ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian xạ ảnh điều kiện tạo ảnh mục tiêu, NXB Đại học sư phạm [5] T V Tan (2020), Higher dimensional generalizations of some theorems on normality of meromorphic functions, Michigan Math J (2020) 34 ... hiểu vấn đề họ chuẩn tắc hàm phân hình thơng qua kết có ảnh hưởng lớn này, chọn đề tài ? ?Định lí kiểu Marty họ chuẩn tắc hàm phân hình? ?? nhằm tìm hiểu kết gốc Marty số phát triển nhà toán học sau Mục... lại cách có hệ thống chi tiết tiêu chuẩn Marty họ chuẩn tắc, mở rộng Định lí Marty Hinkkanen (1993), Grahl Nevo (2014) Trần Văn Tấn (2020) Đối tượng nghiên cứu Họ chuẩn tắc hàm phân hình, Lí thuyết... F chuẩn tắc 1.2 Một mở rộng Định lí Marty Hinkkanen Trong phần này, ta xét chiều mở rộng Định lí Marty đưa Hinkkanen [2] Định lý 1.3 Một họ F gồm hàm phân hình miền D ⊂ C chuẩn tắc tồn điểm phân