Xác định duy nhất của hàm phân hình P Adic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CAO THỊ HÀ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P −ADIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CAO THỊ HÀ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P −ADIC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS HÀ TRẦN PHƯƠNG Thái Nguyên - Năm 2012 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu 1 1 Một số vấn đề về Lý thuyết Nevanlinna p−adic 3 1.1 Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Hai định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic 16 2.1 Hàm phân hình chung nhau các giá trị . . . . . . . . . . 16 2.1.1 Định lý duy nhất kiểu Adams-Straus . . . . . . . 16 2.1.2 Giá trị bội của hàm phân hình . . . . . . . . . . 20 2.2 Đa thức duy nhất của hàm phân hình . . . . . . . . . . 24 2.2.1 Đa thức duy nhất kiểu Y n,m . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2 Đa thức duy nhất kiểu F n,b . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Hàm phân hình chung nhau tập hợp . . . . . . . . . . . 30 2.3.1 Tập duy nhất cho hàm phân hình p−adic . . . . 30 2.3.2 Tập duy nhất kiểu F o n,b . . . . . . . . . . . . . . 35 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 48 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mở đầu 1. Lý do chọn luận văn Vấn đề nghiên cứu sự xác định duy nhất của các hàm hay ánh xạ phân hình thông qua ảnh ngược của một tập hữu hạn thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước: G.Pólya, R.Nevanlinna, F. Gross, và thu được nhiều kết quả quan trọng. Năm 1926, R.Nevanlinna đã chứng minh: Nếu hai hàm phân hình f và g chung nhau 5 giá trị phân biệt thì trùng nhau. Kết quả này của Nevanlinna cho thấy một hàm phân hình phức được xác định một cách duy nhất bởi ảnh ngược, không kể bội, của 5 giá trị phân biệt. Công trình này của Ông được xem là khởi nguồn cho các công trình nghiên cứu về sự xác định duy nhất hàm hay ánh xạ phân hình. Một vấn đề tự nhiên được đưa ra bởi F. Gross (xem [6]), đó là không xét ảnh ngược của các điểm rời rạc mà xét ảnh ngược của một tập hợp điểm. Từ đó đến nay, vấn đề này được nghiên cứu một cách liên tục và mạnh mẽ với những kết quả của H. Fujimoto, W. Stoll, L. Smiley, M. Ru, Z. Tu, C. C. Yang, G. Frank, M. Reinders,. . Kí hiệu C p là trường các số phức p−adic. Ta biết C p là một trường đóng đại số, có đặc số 0 và đầy đủ với chuẩn không acsimet. Song song với việc nghiên cứu vấn đề duy nhất cho các hàm phân hình trên C, các nhà toán học còn nghiên cứu vấn đề duy nhất cho các hàm phân hình trên C p . Hướng nghiên cứu cũng này hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học và thu được nhiều kết quả quan trọng. 2. Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm và đọc tài liệu từ các tạp chí toán học trong nước và quốc 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 tế liên quan đến việc ứng dụng Lý Thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình p-adic. Qua đó, tìm hiểu và nghiên cứu về vấn đề này. 3. Mục đích của luận văn Với mục đích trình bày lại một số kết quả nghiên cứu về tính duy nhất của hàm phân hình không Acsimet, chúng tôi chọn đề tài "Xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic". 4. Nội dung của Luận văn Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1 : Một số vấn đề về lý thuyết Nevanlinna p-adic. Trong chương này chúng tôi trình bày những kiến thức cơ sở cần thiết cho việc chứng minh trong chương 2 như: Các hàm Nevanlinna, định lí cơ bản thứ nhất, định lí cơ bản thứ hai. Chương 2:Xác định duy nhất của hàm phân hình p- adic. Chương này chúng tôi trình bày một số kết quả trong nghiên cứu tính duy nhất của hàm phân hình. Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn, tôi đã nhận được sự dạy bảo tận tình của các thầy cô giáo ở trường ĐHSP Thái Nguyên, ĐHSP Hà Nội, Viện Toán học. Đặc biệt là sự chỉ bảo, hướng dẫn trực tiếp của thày giáo TS Hà Trần Phương. Qua đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thày giáo TS Hà Trần Phương, tới các thày cô giáo và các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua. Thái Nguyên, ngày 19 tháng 08 năm 2012 Tác Giả Cao Thị Hà 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương 1 Một số vấn đề về Lý thuyết Nevanlinna p−adic 1.1 Hàm đặc trưng Trong phần này ta luôn quy ước các số thực ρ 0 , r, ρ thỏa mãn 0 < ρ 0 < r < ρ ≤ ∞. Giả sử f ∈ A (ρ (C p ) là một hàm nguyên, khi đó f(z) = ∞  n=0 a n z n , (a n ∈ C p ). (1.1) Hiển nhiên ta có thể gán cho f(z) giá trị của chuỗi ∞  n=0 a n z n với mỗi z ∈ C p mà |a n z n | → 0 khi n → ∞ (vì khi đó chuỗi hội tụ). Bán kính hội tụ ρ của chuỗi (1.1) được tính bởi công thức 1 ρ = lim sup n−→∞ |a n | 1 n . Giả sử chuỗi lũy thừa f(z) = ∞  n=0 a n z n có bán kính hội tụ là ρ: 0 < ρ  +∞. Với mỗi r ∈ R + : 0 < r < ρ. Ta định nghĩa số hạng lớn nhất µ(r, f) = max n0 |a n |r n 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 liên kết với chỉ số trung tâm ν(r, f) = max n0 {n : |a n |r n = µ(r, f)}. Nhận xét. 1. Với mỗi r : 0 < r < ρ, µ(r, f) luôn tồn tại hữu hạn. Thật vậy, do chuỗi ∞  n=0 a n z n hội tụ tại z ∈ C p : |z| = r, nên lim n−→∞ |a n |r n = 0, kéo theo dãy {|a n |r n } bị chặn trong R + . 2. Hàm µ(r, f) liên tục theo r. 3. Với mỗi r, chỉ số trung tâm ν(r, f) luôn tồn tại hữu hạn và là một số nguyên không âm. Theo định nghĩa ta có µ(r, f) = |a ν(r,f) |r ν(r,f) . 4. Hiển nhiên, nếu z ∈ C p mà |z|  r thì |f(z)|  max n0 |a n ||z| n  max n0 |a n |r n = µ(r, f). Ta kí hiệu µ(0, f) = lim r−→0 + µ(r, f), ν(0, f) = lim r−→0 + ν(r, f). Dễ thấy chỉ số trung tâm ν(r, f) tăng khi r → ρ và thoả mãn log µ(r, f) = log |a ν(0,f ) | +  r 0 ν(t, f) − ν(0, f) t dt + ν(0, f) log r, (0 < r < ρ) (1.2) trong đó log là kí hiệu logarit thực cơ số e. Kí hiệu vành của chuỗi luỹ thừa f(z) = ∞  n=0 a n z n (a n ∈ C p ) mà thoả mãn điều kiện lim n−→∞ |a n |r n = 0 bởi A r (C p ). Hiển nhiên nếu r 1 < r 2 và lim n−→∞ |a n |r n 2 = 0 thì lim n−→∞ |a n |r n 1 = 0. Do đó A r 2 (C p ) ⊂ A r 1 (C p ). Kí hiệu A (r (C p ) là tập hợp các chuỗi luỹ thừa của z mà bán kính hội tụ là lớn hơn hoặc bằng r. Hiển nhiên, f ∈ A (r (C p ) nếu và chỉ nếu f ∈  s<r A s (C p ). Ta viết ngắn gọn A(C p ) = A (∞ (C p ) 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Từ công thức (1.2) ta có với mỗi f ∈ A(C p ), hàm µ(r, f) tăng khi r → ρ. Hai định lý sau cho ta một số tính chất của hàm µ(r, f). Định lý 1.1. Với r > 0 hàm µ(r, .) : A r (C p ) → R + thoả mãn tính chất sau 1) µ(r, f) = 0 nếu và chỉ nếu f ≡ 0; 2) µ(r, f + g)  max{µ(r, f), µ(r, g)}; 3) µ(r, fg) = µ(r, f)µ(r, g). Định lý 1.2. Giả sử chuỗi luỹ thừa (1.1) có bán kính hội tụ ρ > 0. Với mỗi z ∈ C p , nếu f(z) hội tụ thì tồn tại đạo hàm f  (z) được tính theo công thức: f  (z) = ∞  n=1 na n z n−1 . (1.3) Bán kính hội tụ của chuỗi (1.3) bằng bán kính tụ của f. Hơn nữa f  thoả mãn µ(r, f  )  1 r µ(r, f) (0 < r < ρ). Bây giờ ta định nghĩa hàm đếm tại các không điểm và cực điểm. Giả sử f ∈ A (ρ (C p ) là một hàm nguyên. Với a ∈ C p , kí hiệu n  r, 1 f−a  là số không điểm của f tại a kể cả bội, n  r, 1 f−a  là số không điểm của f tại a không kể bội. Ta định nghĩa các hàm đếm tại các không điểm của f − a kể cả bội, không kể bội bởi N  r, 1 f − a  =  r ρ 0 n(t, 1 f−a ) t dt với ρ 0 < r < ρ; N  r, 1 f − a  =  r ρ 0 n(t, 1 f−a ) t dt với ρ 0 < r < ρ. Với a = ∞, kí hiệu n(r, f) là số cực điểm của f kể cả bội, n(r, f) là số cực điểm của f tại a không cả bội. Ta định nghĩa các hàm đếm tại các cực điểm f kể cả bội, không kể bội bởi N(r, f) =  r ρ 0 n(t, f) t dt với ρ 0 < r < ρ; 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 N(r, f) =  r ρ 0 n(t, f) t dt với ρ 0 < r < ρ. Giả sử f ∈ M (ρ (C p ) là một hàm phân hình, khi đó tồn tại hai hàm f 0 , f 1 ∈ A r (C p ) sao cho f 0 , f 1 không có nhân tử chung trong A r (C p ) và f = f 1 f 0 . Với a ∈ C p ∪ {∞}, ta định nghĩa hàm đếm số không điểm n  r, 1 f−a  của f tại a (hay còn gọi là hàm đếm số a− điểm của f) bởi n  r, 1 f − a  =  n(r, f) = n(r, 1 f 0 ) : a = ∞ n(r, 1 f 1 −af 0 ) : a = ∞ . Định nghĩa hàm đếm N(r, 1 f−a ) của f tại a bởi N  r, 1 f − a  =  N(r, f) = N(r, 1 f 0 ) : a = ∞ N(r, 1 f 1 −af 0 ) : a = ∞ . Kí hiệu N(r, f = a) =  N(r, f) = N(r, f 0 = 0) : a = ∞ N(r, f 1 − af 0 = 0) : a = ∞ . Tương tự ta cũng định nghĩa được các hàm n(r, f), N(r, f), n(r, 1 f−a ), N(r, 1 f−a ). Giả sử f 1 = ∞  n=m 1 a n z n ; f 0 = ∞  n=m 0 b n z n , trong đó m 0 , m 1 ∈ N và a m 1 = 0, b m 0 = 0. Theo công thức Jensen ta có N(r, f = 0) = N(r, f 1 = 0) = log µ(r, f 1 ) − log |a m 1 |, N(r, f = ∞) = N(r, f 0 = 0) = log µ(r, f 0 ) − log |b m 0 |. Kéo theo N(r, f = 0) − N(r, f = ∞) = log µ(r, f) − log |a m 1 | |b m 0 | = log µ(r, f) − log |f ∗ (0)|. (1.4) 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 trong đó f ∗ (0) = a m 1 b m 0 . Có thể thấy f ∗ (0) = lim z→0 z m 0 −m 1 f(z) ∈ C p − {0} Hơn nữa, sử dụng công thức Jensen cho các hàm f 1 và f 0 ta có: N(r, 1 f ) − N(r, f) = N(r, 1 f 1 ) − N(r, 1 f 0 ) = log µ(r, f 1 ) − log µ(ρ 0 , f 1 ) − log µ(r, f 0 ) + log µ(ρ 0 , f 0 ) = log µ(r, f 1 ) µ(r, f 0 ) − log µ(ρ 0 , f 1 ) µ(ρ 0 , f 0 ) = log µ(r, f) − log µ(ρ 0 , f). (1.5) Công thức (1.4) và (1.5) được gọi là công thức Jensen cho các hàm phân hình. Tiếp theo ta định nghĩa hàm bù (hay còn gọi là hàm xấp xỉ) của hàm f bởi công thức m(r, f) = log + µ(r, f) = max{0; log µ(r, f)}. Đặc biệt m  r, 1 f  = log + µ  r, 1 f  = log + 1 µ(r, f) = max{0, − log µ(r, f)}. Hơn nữa, 1 log p m  p t , 1 f  = γ + (t, f) = max{0; γ(r, f)}. Tiếp theo ta xem xét một số tính chất đơn giản của hàm đếm và hàm xấp xỉ. Mệnh đề 1.3. Giả sử f i ∈ M (p (C), (i = 1, 2, . . . , k). Khi đó với mỗi r > 0, ta có N  r, k  i=1 f i  ≤ k  i=1 N(r, f i ); N  r, k  i=1 f i  ≤ k  i=1 N(r, f i ). m  r, k  i=1 f i  ≤ k  i=1 m(r, f i ); m  r, k  i=1 f i  ≤ k  i=1 m(r, f i ). 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 Chương 2 Xác định duy nhất của hàm phân hình p- adic Trong chương này chúng tôi sẽ phát biểu và chứng minh lại một số định lý về xác định một hàm phân hình p adic thông qua ảnh ngược của một t p hữu hạn các phần tử 2.1 2.1.1 Hàm phân hình chung nhau các giá trị Định lý duy nhất kiểu Adams-Straus Kí hiệu Cp là trường các số phức p adic Ta biết Cp là một trường... tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 Năm 1971, Adams-Straus chứng minh định lý sau (được gọi là định lý 4 điểm) cho thấy một hàm phân hình khác hằng p adic được xác định duy nhất bởi ảnh ngược của 4 điểm phân biệt Định lý 2.1 ([1]) Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên Cp và a1 , a2 , a3 , a4 là bốn giá trị phân biệt trong Cp ∪ {∞} Khi đó nếu: E f (aj ) = E g (aj... duy nhất cho hàm phân hình p adic Cho f là hàm phân hình khác hằng trên Cp và S ⊂ Cp ∪ {∞} là một t p không rỗng Ký hiệu {(µa (z), z) : z ∈ Cp } = f Ef (S) = a∈S 33Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Ef (a) a∈S http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 và định nghĩa t p ảnh ngược của S bởi f : E f (S) = f −1 (S) = {z ∈ Cp : µa (z) > 0} f a∈S Cho họ F ⊂ M(Cp ) Một t p khác rỗng S ⊂ Cp ∪ {∞} được... 1 Đây chính là điều mâu thuẫn Do đó f ≡ g Định lý 2.7 cho ta một điều kiện đại số để hai hàm phân hình p adic bằng nhau Dựa vào định lý đó ta chứng minh được các hệ quả sau, cũng là các điều kiện đủ để xác định duy nhất một hàm phân hình p adic Hệ quả 2.8 ([7]) Cho f và g là hai hàm nguyên khác hằng trên Cp Lấy a1 , , aq là q giá trị khác nhau trên Cp và lấy kj ∈ Z+ ∪ {∞}, (j = 1, , q) với:... k), j = 1, , q, thì f ≡ g 2.2 Đa thức duy nhất của hàm phân hình 2.2.1 Đa thức duy nhất kiểu Yn,m Với mỗi n ∈ Z+ , ta kí hiệu t p các 0−điểm của z n − 1 trong Cp bởi Ωn (Cp ) Rõ ràng, Ωn (Cp ) gồm n phần tử phân biệt Hơn nữa, nếu n là một số nguyên tố thì: Ωn (Cp ) = {1, ω, ω 2 , , ω n−1 }, trong đó ω ∈ Ωn (Cp ) − {1} Kí hiệu (n, m) là ước chung lớn nhất của m và n Bổ đề 2.11 ([7]) Với hai số nguyên... sẽ giới thiệu hai định lí cơ bản trong lý thuyết phân bố giá trị p adic Ta kí hiệu |.| thay cho |. |p trên Cp Ta cố định hai số thực ρ và ρ0 sao cho 0 < ρ0 < ρ < ∞ Trước tiên ta chứng minh Định lí cơ bản thứ nhất, định lí này tương tự trường h p phức Định lý 1.5 (Định lý cơ bản thứ nhất) Nếu f là hàm phân hình khác hằng trên Cp (0; ρ) thì với mọi a ∈ Cp ta có m r, 1 f −a + N r, 1 f −a = T (r, f ) +... nghĩa 2.12 ([9]) Cho P là đa thức khác hằng trên Cp và F ⊂ M(Cp ) là một họ các hàm số Nếu điều kiện P (f ) = P (g) kéo theo f = g với mọi c p f, g ∈ F − Cp thì P được gọi là đa thức duy nhất cho F Bây giờ chúng ta xem xét một dạng đa thức duy nhất cho l p hàm phân hình kiểu Yn,m Kí hiệu Yn,m (z) = Yn,m (a, b : z) = z n − az m + b, (n, m ∈ Z+ , n > m), trong đó a, b ∈ C∗ thỏa mãn p an bn−m nn = m m... định nghĩa hàm đặc trưng Nevanlinna Hàm đặc trưng Nevanlinna của một hàm phân hình p adic f được xác định bởi: T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ) (ρ0 < r < ∞) Chú ý rằng log µ(r, f ) = log+ µ(r, f ) − log+ 1 1 = m(r, f ) − m r, µ(r, f ) f Nên công thức (1.5) được viết lại là T r, 1 f = T (r, f ) − log µ(ρ0 , f ) (1.6) Nếu hàm f là hàm phân hình khác hằng trên Cp thì f phải có các không điểm hoặc cực điểm,... đều không phải là ursim của Aut(Cp ) Chú ý rằng, với mỗi c p phân biệt a, b ∈ Cp ánh xạ ξ ∈ Cp được xác định bởi: ξ(z) = −z + a + b, thỏa mãn ξ({a, b}) = {a, b} Kéo theo mỗi một ursim cho Aut(Cp ) chứa ít nhất 3 giá trị Do đó, c1 (A(Cp )) ≥ 3 Ví dụ 2 ([2, 7]) Lấy S = {a1 , a2 , a3 } ⊂ Cp và đặt: 1 c = (a1 + a2 + a3 ), 3 a = c − a1 , ω ∈ Ω3 (Cp ) − {1} Khi đó, S không phải là một ursim cho Aut(Cp ) nếu... Giả sử f và g là hai hàm nguyên khác hằng trên Cp và tồn tại hai giá trị a1 , a2 ∈ Cp sao cho: Ef (a1 ) = Eg (a1 ); E f (a2 ) ∩ E g (a2 ) = ∅ Khi đó f ≡ g 22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 2.1.2 Giá trị bội của hàm phân hình Cho f là một hàm phân hình trên Cp và a ∈ Cp ∪ {∞} Với số nguyên dương k , ta kí hiệu: E f (a, k) = z ∈ Cp : µa (z) = 1 f,k Đặt . Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 Chương 2 Xác định duy nhất của hàm phân hình p- adic Trong chương này chúng tôi sẽ phát biểu và chứng minh lại một số định lý về xác định một hàm phân hình p adic. Xác định duy nhất của hàm phân hình p- adic 16 2.1 Hàm phân hình chung nhau các giá trị . . . . . . . . . . 16 2.1.1 Định lý duy nhất kiểu Adams-Straus . . . . . . . 16 2.1.2 Giá trị bội của hàm. hai. Chương 2 :Xác định duy nhất của hàm phân hình p- adic. Chương này chúng tôi trình bày một số kết quả trong nghiên cứu tính duy nhất của hàm phân hình. Trong quá trình học t p và thực hiện