Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình PAdic

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ BÍCH THÙY PHÂN BỐ GIÁ TRỊ ĐỐI VỚI ĐƠN THỨC VI PHÂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH P - ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ BÍCH THÙY PHÂN BỐ GIÁ TRỊ ĐỐI VỚI ĐƠN THỨC VI PHÂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH P - ADIC Chun ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Vũ Hồi An THÁI NGUN - 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực, khơng trùng lặp với các đề tài khác và các thơng tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Ngun, tháng 4 năm 2014 Học viên Nguyễn Thị Bích Thùy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i Mục lục Các kí hiệu ii Mở đầu 1 1 Phân bố giá trị của hàm phân hình p - adic 4 1.1 Hàm đặc trưng của hàm phân hình p-adic . . . . . . . 4 1.1.1 Khơng gian C p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Hai Định lý chính của lý thuyết Nevanlinna p-adic . 9 1.2.1 Hai Định lý chính . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Các chú ý về Định lý chính thứ hai . . . . . . 13 2 Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p-adic 15 2.1 Giả thuyết Hayman p - adic . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii Các kí hiệu • C p : Trường số phức p - adic • f : Hàm phân hình p - adic • N f (a, r): Hàm đếm của f tại a • m f (∞, r) : Hàm xấp xỉ của f • T f (r): Hàm đặc trưng của f. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1 MỞ ĐẦU Lý do chọn luận văn Lý thuyết phân bố giá trị do Nevanlinna xây dựng được xem là thành tựu tốn học đẹp đẽ nhất của tốn học thế kỷ XX, mà ngày nay được gọi là Lý thuyết Nevanlinna. Nội dung chính của Lý thuyết phân bố giá trị là hai định lý cơ bản. Định lý cơ bản thứ nhất là mở rộng Định lý cơ bản của đại số, mơ tả sự phân b ố đều giá trị của hàm phân hình khác hằng trên mặt phẳng phức C . Định lý cơ bản thứ hai là mở rộng Định lý Picard, mơ tả ảnh hưởng của đạo hàm đến sự phân bố giá trị của hàm phân hình. Hà Huy Khối là người đầu tiên xây dựng tương tự Lý thuyết phân bố giá trị cho trường hợp p - adic. Ơng và các học trò đã tương tự lý thuyết Nevanlinna cho trường số phức p - adic mà ngày nay thường gọi là lý thuyết Nevanlinna p - adic. Họ đã đưa ra hai Định lý chính cho hàm phân hình và ánh xạ chỉnh hình p - adic. Một trong những ứng dụng sâ u sắc của lý thuyết phân bố giá trị (phức và p - adic) là Vấn đề xác định duy nhất cho các hàm phân hình khác hằng (phức và p-adic) qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm mà ngày nay được gọi là Định lý 5 điể m của Nevanlinna (hoặc tương tự của Định lý 5 điểm cho trường hợp p-adic). Phân bố giá trị và vấn đề xác định duy nhất đã được nhiều nhà tốn học trong và ngồi nước xét trong mối liên hệ với đạo hàm của hàm phân hình và ảnh ngược c ủa các điểm riêng rẽ. Người khởi xướng hướng nghiên cứu này là Hayman. Năm 1967, Hayman đã chứng minh kết quả sau đây: Định lí A[4]. Cho f là hàm phân hình trên C . Nếu f (z) = 0 và f (k) (z) = 1 với k là một số ngun dương nào đó và với mọi z ∈ C, thì f là hằng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2 Năm 1967, Hayman cũng đưa ra giả thuyết sau đây: Giả thuyết Hayman[4]. Nếu một hàm ngun f thỏa mãn f n (z) f ′ (z) = 1 với n là một số ngun dương nào đó và với mọi z ∈ C , thì f là hằng. Giả thuyết Hayman đã được Hayman kiểm tra đối với hàm ngun siêu việt và n > 1 , đã được Clunie ki ểm tra đối với n ≥ 1 . Các kết quả này và các vấn đề liên quan đã hình thành nhánh nghiên cứu được gọi là sự lựa chọn của Hayman. Tiếp đó, đối với các hàm ngun f và g, C. C. Yang và G. G. Gundersen đã nghiên cứu trường hợp ở đó f (k) và g (k) nhận giá trị 0 CM, k = 0, 1. Cơng trình quan trọng đầu tiên thúc đẩy hướng nghiên cứu này thuộc về C.C.Yang – X.H. Hua.Năm 1997, hai ơng đã chứng minh định lý sau đây: Định lí B[13]. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, n ≥ 11 là một số ngun và a ∈ C - {0} . Nếu f n f ′ và g n g ′ nhận giá trị a CM thì hoặcf = dg với d n+1 = 1 hoặc g (z) = c 1 e cz và f (z) = c 2 e −cz , ở đó c, c 1 , c 2 là các hằng số và thỏa mãn (c 1 c 2 ) n+1 c 2 = −a 2 . Từ đó, hướng nghiên cứu trên phát triển mạnh mẽ với những kết quả sâu sắc của I. Lahiri, Q. Han – H. X. Yi, W. Bergweiler, J. K. Langley, K. Liu, L. Z. Yang, L. C. Hong, M. L. Fang, B. Q. Li, P. C. Hu - C.C.Yang, A. Eremenko, G. Frank - X. Hua – R. Vaillancourt . . Cơng cụ sử dụng ở đó là một số kiểu định lí chính thứ hai cho đa thức vi phân cùng với với các ước lượng giữa hàm đặc trưng, hàm đếm của hàm và đạo hàm. Trong trường hợp p-adic, kết quả đầu tiên theo hướng nghiên cứu này thuộc về J. Ojeda[11]. Năm 2008, J. Ojeda đã xét vấn đề nhận giá trị của f ′ + T f n với T là hàm hữu tỷ. Ở đó, J. Ojeda đã nhận được kết quả sau: Định lí C[11]. Cho f là hàm phân hình trên C p , n ≥ 2 là một số ngun và a ∈ C p - {0}. Khi đó nếu f n (z) f ′ (z) = a với mọi z ∈ C p thì f là hằng. Năm 2011, Hà Huy Khối và Vũ Hồi An đã thiết lập các kết quả tương tự cho đơn thức vi phân dạng f n (z)  f (k) (z)  m . Họ đã nhận được kết quả sau: Định lí D[4]. Cho f là hàm phân hình trên C p , thỏa mãn điều kiện f n (z) (f (k) ) m (z) = 1 với mọi z ∈ C p và n,m k là các số ngun khơng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3 âm.Khi đó f là đa thức bậc < k nếu một trong các điều kiện sau xảy ra: 1. f là một hàm ngun. 2. k > 0 và hoặc m = 1, n > 1+ √ 1+4k 2 hoặc m > 1, n ≥ 1. 3.n ≥ 0, m > 0, k > 0, và tồn tại hằng số C, r 0 sao cho |f| r < C với mọi r > r 0 . Theo hướng nghiên cứu này, đề tài nhằm nghiên cứu vấn đề: Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm ph ân hình p-adic. Đây là một vấn đề có tính thời sự của giải tích p-adic. Phương pháp được dùng ở đây là : Vận dụng các kiểu của Định lý chính thứ hai trong trường p-adic để xét phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p-adic. Ngồi phần mở đầu và tài li ệu tham khảo luận văn gồm: Chương 1. Phân bố giá trị của hàm phân hình p-adic. Chương 2. Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p-adic. Luận văn được hồn thành tại Khoa Sau Đại Học, Đại Học Sư Phạm Thái Ngun dưới sự hướng dẫn của Tiến Sĩ Vũ Hồi An. Nhân dịp này, tơi xin cảm ơn Tiến Sĩ Vũ Hồi An, người đã hướng dẫn giúp đỡ tơi trong suốt q trình thực hiện luận văn. Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến các nhà tốn học Khoa Tốn, Đại Học Sư phạm - Đại Họ c Thái Ngun. Tuy có nhiều c ố gắ ng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cơ c ùng tồn thể bạn đọc. Thái Ngun, tháng 04 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Bích Thùy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4 Chương 1 Phân bố giá trị của hàm phân hình p - adic Hiện nay tập bài gi ảng nhập mơn Giải tích p-adic [2] của Hà Trần Phương là tài liệ u tiếng Việt được dùng cho cao học ngành giải tích của Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Thái Ngun. Sách chun khảo về hàm phân hình khơng Acsimet của Hu-Yang [9] là tài liệu tham khảo tiếng Anh rất tốt cho cao học, nghiên c ứu sinh và những người muốn tìm hiểu về lý thuyết phân bố giá trị p-adic. Trên cơ sở các tài liệu này, trong chương 1 chúng tơi trình bày một số kiến thức về phân bố giá trị của hàm phân hình p-adic để dùng cho chương 2. 1.1 Hàm đặc trưng của hàm phân hình p-adic 1.1.1 Khơng gian C p Với p là một số ngun tố cố định, Ostowski đã khẳng định: Chỉ có hai cách trang bị chuẩn khơng tầm thường cho trường hữu tỉ Q. Mở rộng theo chuẩn thơng thường ta có trường số thực R, mở rộng theo chuẩn p - adic ta có trường số Q p . Kí hiệu C p =  Q p là bổ sung của bao đóng đại số của Q p . Ta gọi C p là trường số phức p-a di c. Chuẩn trên C p được mở rộng tự nhiên của chuẩn p-adic trên Q p . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 5 Kí hiệu: D r = {z ∈ C p : |z| ≤ r}, D <r> = {z ∈ C p : |z| = r}. Giả sử f(z) là hàm chỉnh hình trên D r được biểu di ễn bởi f(z) =  n≥0 a n z n . Do lim n−→∞ |a n ||z n | = 0 nên tồn tại n ∈ N ∗ để |a n ||z n | đạt giá trị lớn nhất. Khi đó ta đặt: |f| r = max n≥0 {|a n ||z n |}. Trong suốt luận văn ta quy ước lo g là log p . 1.1.2 Hàm đặc trưng Giả sử f là một một hàm chỉnh hì nh khác hằng trên C p . Với mỗi a ∈ C p , f viết f =  P i (z − a) với P i các đa thức bậc i. Định nghĩa v f (a) = min {i : P i = 0}. Cho d ∈ C p , Định nghĩa một hàm v d f : ∈ C p −→ N xác định b ởi v d f (a) = v f−d (a). Cố định số thực ρ 0 với 0 < ρ 0 ≤r. Định nghĩa N f (a, r) = 1 lnp  r ρ 0 n f (a, x) x dx ở đó n f (a, x) là số nghiệm của phương trình f(z) = a tính cả bội trên đĩa |z| ≤ x. Nếu a = 0 thì đặt N f (r) = N f (0, r). Cho l là m ột số ngun dương. Đặt N l,f (a, r) = 1 lnp int r ρ 0 n l,f (a, x) x dx, n l,f (a, x)=  |z|≤r min {v f−a (z), l} Cho k là một số ngun dương, Ta định nghĩa hàm v ≤k f từ C p vào N xác định bởi: v ≤k f (z) =    0 nếu v f (z) > k v f (z) nếu v f (z) ≤ k và n ≤k f (r) =  |z|≤r v ≤k f (z), n ≤k f (a, r) = n ≤k f−a (r). Định nghĩa N ≤k f (a, r) = 1 lnp  r ρ 0 n ≤k f (a, x) x dx. Nếu a = 0 thì đặt N ≤k f (r) = N ≤k f (0, r). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p-adic Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p-adic là vấn đề mới mẻ Năm 2008, Ojeda [11] là người đầu tiên đã xét phân bố giá trị của f n f ′ với f là hàm phân hình p - adic Trong [11] J.Ojeda đã chứng minh cho hàm phân hình siêu vi t trên trường đóng đại số có đặc số khơng, thỏa mãn giá trị tuyệt đối trên K khơng Archimedean, hàm f... O(1) F −1 Từ f khác hằng và n ≥ 5 ta có F nhận giá trị 1, một mâu thuẫn Vậy f là hằng Câu hỏi: Với n = 1, , 4, thì Định lý 2.7 còn đúng nữa hay khơng? ≤ N1(r, F ) + N1 (r, 2.2 Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p-adic Để chứng minh Định lí D ta cần các bổ đề sau: Bổ đề 2.8 Cho f là hàm phân hình khác hằng trên Cp thỏa mãn f (k) ≡ 0 với n, k, m là các số ngun dương Khi đó : 1.Tf... là hàm đếm khơng điểm của f’ tại 0, xảy ra tại các điểm khác với nghiệm của phương trình f (z) = ai với i = 1, 2, , q), 0 ≤ ρ ≤ r KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 Trong chương 1, chúng tơi đã trình bày các khái niệm cơ bản và hai định lý chính cùng các hệ quả của nó, của lý thuyết phân bố giá trị của hàm phân hình p-adic Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 15 Chương 2 Phân bố giá trị đối. .. C với mọi r > r0 Mặt khác, phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p-adic liên quan mật thiết với Giả thuyết Hayman p - adic Do đó, trước tiên chúng tơi trình bày các kết quả về Giả thuyết Hayman p - adic[1] Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 16 2.1 Giả thuyết Hayman p - adic Năm 1967, Hayman đưa ra giả thuyết sau đây: Giả thuyết Hayman [4] Nếu một hàm. .. với giá trị 1 ta có (1 − 4(n + 1) 1 )T (r, f nf ′ ) + log r ≤ N1(r, n ′ ) + O(1) n2 + 3n + 2 f f −1 Vì n > 1 ta nhận được 1− 4(n + 1) ≥ 0 n2 + 3n + 2 Do đó f nf ′ nhận giá trị 1, một mâu thuẫn Vậy f là hằng Câu hỏi: Với n = 1 thì Định lý 2.3 còn đúng nữa hay khơng? Tiếp theo, ta phát biểu tương tự Giả thuyết Hayman cho Tốn tử sai phân, Tích sai phân của hàm phân hình p− adic Cho f là một hàm phân hình. .. (z) = 1 với n là một số ngun dương nào đó và với mọi z ∈ Cp thì f là hằng Giả thuyết Hayman cho Tích sai phân p− adic Nếu một hàm phân hình p− adic f thỏa mãn f n (z) f (z + c) = 1 với n là một số ngun dương nào đó và với mọi z ∈ Cp thì f là hằng Bổ đề 2.4 Nếu hàm phân hình f trên Cp thỏa mãn ∆cf (z) = 0 với mọi z ∈ Cp thì f là hằng Chứng minh Giả sử ngược lại, f khác hằng Do f là một hàm phân hình trên... Giả thuyết Hayman p− adic [1] Nếu một hàm phân hình p− adic f ′ thỏa mãn f n (z) f (z) = 1 với n là một số ngun dương nào đó và với mọi z ∈ Cp thì f là hằng Trong mục này chúng ta trình bầy các kết quả của Giả thuyết Hayman cho hàm phân hình p− adic Giả sử f là hàm chỉnh hình khác hằng trên Cp (hàm phân hình p− adic), a ∈ Cp , k, l là các số ngun dương Ta định nghĩa hàm µ≤k từ Cp vào N xác định bởi: f... hàm ngun f thỏa mãn f n (z) f (z) = ′ 1 với n là một số ngun dương nào đó và với mọi z ∈ C, thì f là hằng Giả thuyết Hayman và các vấn đề liên quan đối với hàm phân hình là một trong những vấn đề cơ bản của Giải tích phức Các kết quả liên quan đến Giả thuyết Hayman đã hình thành và phát triển hướng nghiên cứu: Sự lựa chọn Hayman Giả thuyết Hayman đối với hàm phân hình được giải quyết năm 2005 Từ năm 2008,... sai phân của f như sau: ∆c f = f (z + c) − f (z) ở đó c ∈ Cp là một hằng số khác 0 và Tích sai phân của f như sau: f n (z) f (z + c) ở đó c ∈ Cp là một hằng số khác 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 21 Giả thuyết Hayman được phát biểu cho Tốn tử sai phân, Tích sai phân của hàm phân hình p− adic như sau: Giả thuyết Hayman cho Tốn tử sai phân p− adic Nếu một hàm phân hình. .. log |f |ρ0 Tiếp theo ta định nghĩa hàm xấp xỉ của hàm f bởi cơng thức mf (∞, r) = max {0, log|f |r } Với mỗi a ∈ Cp , đặt mf (a, r) = m 1 (∞, r) Ta có f −a mf (0, r) = log+ µf (0, r) = max {0, − log |f |r } Sau đây ta có một số tính chất đơn giản của hàm đếm và hàm xấp xỉ Mệnh đề 1.1 [2] Giả sử fi là hàm phân hình khơng đồng nhất trên Cp , i = 1, 2, , k Khi đó với mỗi r > 0, ta có k Nk fi (∞, r) . thuyết phân bố giá trị của hàm phân hình p-adic. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 15 Chương 2 Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p-adic Phân bố. li ệu tham khảo luận văn gồm: Chương 1. Phân bố giá trị của hàm phân hình p-adic. Chương 2. Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p-adic. Luận văn được hồn thành tại Khoa. p-adic Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p-adic là vấn đề mới mẻ. Năm 2008, Ojeda [ 11 ] là người đầu tiên đã xét phân bố giá trị của f n f ′ với f là hàm phân hình p - adic. Trong