Phân bố giá trị và vấn đề xác định duy nhất đối với đạo hàm của hàm phân hình P ADIC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN QUANGVINH PHÂN BỐ GIÁ TRỊ VÀ VẤN ĐỀ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT ĐỐI VỚI ĐẠO HÀM CỦA HÀM... ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN QUANGV

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN QUANGVINH

PHÂN BỐ GIÁ TRỊ VÀ VẤN ĐỀ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT ĐỐI VỚI ĐẠO HÀM CỦA HÀM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN QUANGVINH

PHÂN BỐ GIÁ TRỊ VÀ VẤN ĐỀ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT ĐỐI VỚI ĐẠO HÀM CỦA HÀM

PHÂN HÌNH P - ADIC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Vũ Hoài An

Thái Nguyên, năm 2012

2.1 Ph¥n bè gi¡ trà v  v§n · x¡c ành duy nh§t èi

2.2 Ph¥n bè gi¡ trà v  v§n · x¡c ành duy nh§t èi

MÐ †U

Lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà do Nevanlinna x¥y düng ÷ñc xem l  th nhtüu to¡n håc µp ³ nh§t cõa to¡n håc th¸ k XX, m  ng y nay ÷ñcgåi l  Lþ thuy¸t Nevanlinna Nëi dung ch½nh cõa Lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡trà l  hai ành lþ cì b£n ành lþ cì b£n thù nh§t l  mð rëng ành lþ cìb£n cõa ¤i sè, mæ t£ sü ph¥n bè ·u gi¡ trà cõa h m ph¥n h¼nh kh¡c

Picard, mæ t£ £nh h÷ðng cõa ¤o h m ¸n sü ph¥n bè gi¡ trà cõa h mph¥n h¼nh H  Huy Kho¡i l  ng÷íi ¦u ti¶n x¥y düng t÷ìng tü Lþ thuy¸tph¥n bè gi¡ trà cho tr÷íng hñp p-adic Æng v  c¡c håc trá ¢ t÷ìng tü

lþ thuy¸t Nevanlinna cho tr÷íng sè phùc p-adic m  ng y nay th÷íng gåi

l  lþ thuy¸t Nevanlinna p-adic Hå ¢ ÷a ra hai ành lþ ch½nh cho h mph¥n h¼nh v  ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh p-adic Mët trong nhúng ùng döng s¥us­c cõa lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà (phùc v  p-adic) l  V§n · x¡c ànhduy nh§t cho c¡c h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng (phùc v  p-adic) qua i·uki»n £nh ng÷ñc cõa tªp hñp iºm m  ng y nay ÷ñc gåi l  ành lþ 5

iºm cõa Nevanlinna (ho°c t÷ìng tü cõa ành lþ 5 iºm cho tr÷íng hñpp-adic) Câ hai h÷îng mð rëng ành lþ 5 iºm

H÷îng thù nh§t sau ¥y l  sü mð rëng tü nhi¶n cõa ành lþ 5 iºm

1 X²t nghàch £nh ri¶ng r³ cõa iºm cho c¡c h m v  nghàch £nh ri¶ngr³ cõa si¶u ph¯ng, si¶u m°t cho c¡c ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh trong c¡c tr÷ínghñp phùc v  p-adic

V§n · x¡c ành duy nh§t theo h÷îng thù nh§t ÷ñc nghi¶n cùu li¶n töc

v  m¤nh m³ vîi k¸t qu£ cõa H.Fujimoto, M.Shirosaki, M.Ru, H.X.Yi,

P.C.Hu-C.C.Yang, H  Huy Kho¡i, I.Lahiri, G.Dethloff, é ùcTh¡i, A.Escassut, Ph¤m Vi»t ùc, H  Tr¦n Ph÷ìng, Vô Ho i An, .

N«m 1977, F.Gross ÷a ra mët þ t÷ðng mîi l  khæng x²t £nh ng÷ñc cõa

Ph¥n bè gi¡ trà v  v§n · x¡c ành duy nh§t ¢ ÷ñc nhi·u nh  to¡nhåc trong v  ngo i n÷îc x²t trong mèi li¶n h» vîi ¤o h m cõa h mph¥n h¼nh v  £nh ng÷ñc cõa c¡c iºm ri¶ng r³ Ng÷íi khði x÷îng h÷îngnghi¶n cùu n y l  Hayman N«m 1967, Hayman ¢ chùng minh k¸t qu£sau ¥y:

h¬ng N«m 1967, Hayman công ÷a ra gi£ thuy¸t sau ¥y:

Gi£ thuy¸t Hayman ¢ ÷ñc Hayman kiºm tra èi vîi h m nguy¶n si¶uvi»t v  n > 1, ¢ ÷ñc Clunie kiºm tra èi vîi n ≥ 1 C¡c k¸t qu£ n y

v  c¡c v§n · li¶n quan ¢ h¼nh th nh nh¡nh nghi¶n cùu ÷ñc gåi l  sü

lüa chån cõa Hayman.

Ti¸p â, èi vîi c¡c h m nguy¶n f v  g, C C Yang v  G G Gundersen

Cæng tr¼nh quan trång ¦u ti¶n thóc ©y h÷îng nghi¶n cùu n y thuëcv· C.C.Yang  X.H Hua N«m 1997, hai æng ¢ chùng minh ành lþ sau

¥y:

ành l½ B.[12] Cho f v  g l  hai h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng, n ≥ 11 l 

Tø â, h÷îng nghi¶n cùu tr¶n ph¡t triºn m¤nh m³ vîi nhúng k¸t qu£ s¥us­c cõa I Lahiri, Q Han  H X Yi, W Bergweiler, J K Langley, K.Liu, L Z Yang, L C Hong, M L Fang, B Q Li, P C Hu - C.C.Yang,

A Eremenko, G Frank - X Hua  R Vaillancourt Cæng cö sû döng

ð â l  mët sè kiºu ành l½ ch½nh thù hai cho a thùc vi ph¥n còng vîivîi c¡c ÷îc l÷ñng giúa h m °c tr÷ng, h m ¸m cõa h m v  ¤o h m.Trong tr÷íng hñp p-adic, k¸t qu£ ¦u ti¶n theo h÷îng nghi¶n cùu n ythuëc v· J Ojeda N«m 2008, J Ojeda ¢ x²t v§n · nhªn gi¡ trà cõa

h¬ng N«m 2011, H  Huy Kho¡i v  Vô Ho i An ¢ thi¸t lªp c¡c k¸t qu£

k¸t qu£ sau:

ành l½ D.[3] Cho m, n, k l  c¡c sè nguy¶n, f l  h m ph¥n h¼nh tr¶n

N«m 2012, H  Huy Kho¡i - Vô Ho i An - Nguy¹n Xu¥n Lai [6] ¢ x²t

Theo h÷îng nghi¶n cùu n y, · t i nh¬m nghi¶n cùu v§n ·:

Ph¥n bè gi¡ trà v  v§n · x¡c ành duy nh§t èi vîi ¤o h mcõa h m ph¥n h¼nh p-adic

¥y l  mët v§n · câ t½nh thíi sü cõa gi£i t½ch p-adic

Ph÷ìng ph¡p ÷ñc dòng ð ¥y l  :

Vªn döng c¡c kiºu cõa ành lþ ch½nh thù hai trong tr÷íng p-adic º x²tph¥n bè gi¡ trà v  v§n · x¡c ành duy nh§t èi vîi ¤o h m cõa h mph¥n h¼nh p-adic

Khi â khâ kh«n g°p ph£i l  t¼m ÷ñc c¡c b§t ¯ng thùc mæ t£ £nhh÷ðng cõa ¤o h m, °c bi»t l  ¤o h m c§p cao èi vîi h m ph¥n h¼nh

èi vîi ¤o h m c§p cao, khâ kh«n n y ÷ñc kh­c phöc bði Bê · 2.13

Bê · n y ¢ ÷ñc ph¡t biºu v  chùng minh trong [6] ành lþ 2.11 ÷a

ra ð ch÷ìng 2 l  t÷ìng tü p-adic cõa gi£ thuy¸t Hayman cho ¤o h mc§p cao Sû döng Bê · 2.13 v  c¡c ÷îc l÷ñng giúa h m ¸m v  h m

°c tr÷ng, chóng tæi tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ trong [6] (ành lþ 2.14, ành

lþ 2.15) Hai ành lþ n y l  t÷ìng tü p-adic cõa ành lþ B cho ¤o h mc§p cao

Ngo i ph¦n mð ¦u v  t i li»u tham kh£o luªn v«n gçm:

Ch÷ìng 1 Ph¥n bè gi¡ trà cõa h m ph¥n h¼nh p-adic

Ch÷ìng 2 Ph¥n bè gi¡ trà v  v§n · x¡c ành duy nh§t èi vîi ¤o h mcõa h m ph¥n h¼nh p-adic

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Khoa sau ¤i håc, ¤i håc S÷ ph¤m

-¤i håc Th¡i Nguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n cõa Ti¸n s¾ Vô Ho i An Nh¥ndàp n y, tæi xin c£m ìn Ti¸n s¾ Vô Ho i An, ng÷íi ¢ h÷îng d¨n gióp

ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh thüc hi»n luªn v«n Tëi xin b y tä láng bi¸t

ìn ¸n c¡c nh  to¡n håc cõa Khoa To¡n, ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håcTh¡i Nguy¶n

Tuy câ nhi·u cè g­ng, song thíi gian v  n«ng lüc cõa b£n th¥n câ h¤n

n¶n luªn v«n khâ tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât R§t mong v  xin ÷ñcc£m ìn þ ki¸n âng gâp cõa c¡c nh  khoa håc v  b¤n åc.

Th¡i Nguy¶n, ng y 10 th¡ng 8 n«m 2012

T¡c gi£

Tr¦n Quang Vinh

Ch֓ng 1

Ph¥n bè gi¡ trà cõa h m ph¥n h¼nh

p - adic

Hi»n nay gi¡o tr¼nh nhªp mæn Gi£i t½ch p-adic [1] cõa H  Tr¦n Ph÷ìng

l  t i li»u ti¸ng Vi»t ÷ñc dòng cho cao håc ng nh gi£i t½ch cõa Tr÷íng

¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n S¡ch chuy¶n kh£o v· h mph¥n h¼nh khæng Acsimet cõa Hu-Yang [8] l  t i li»u tham kh£o ti¸ngAnh r§t tèt cho cao håc, nghi¶n cùu sinh v  nhúng ng÷íi muèn t¼m hiºuv· lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà p-adic Tr¶n cì sð c¡c t i li»u n y, trongch÷ìng 1 chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· ph¥n bè gi¡ trà cõa

h m ph¥n h¼nh p-adic º dòng cho ch÷ìng 2

1.1 H m °c tr÷ng cõa h m ph¥n h¼nh p-adic

Vîi p l  mët sè nguy¶n tè cè ành, Ostrowski ¢ kh¯ng ành: Ch¿ câ hai

Nf<k(a, r), Nl,f<k(a, r), Nf>k(a, r), Nf≥k(a, r), Nl,f≥k(a, r), Nl,f>k(a, r).

h m ¸m sè a - iºm cõa f bði :

anzn , f2 =

∞Pn=m2

log|f1|ρ0 − log|f2|r − log|f2|ρ0 =log|f1|r

|f2|r − log

|f1|r0

|f2|r0 =log|f|r − log|f |ρ0.Ti¸p theo ta ành ngh¾a h m x§p x¿ cõa h m f bði cæng thùc

f − a

mf(0, r) = log+µf(0, r) = max {0, −log|f |r}

Sau ¥y ta câ mët sè t½nh ch§t ìn gi£n cõa h m ¸m v  h m x§p x¿.M»nh · 1.1 [1]

mfi(∞, r)+ O(1)

Chùng minh

fi2, trong â fi1, fi2 ∈ A (Cp) Khi â, vi¸t

Ngo i ra ta câ

log|

kP

M»nh · ÷ñc chùng minh.

Ti¸p theo ta ành ngh¾a H m °c tr÷ng cho bði cæng thùc

1≤i≤2log|fi|r + O(1)

Tfi(r) + O(1)

M»nh · 1.3 [2]

1.2 Hai ành l½ ch½nh cõa lþ thuy¸t Nevanlinna p-adic

1.2.1 Hai ành l½ ch½nh

Trong ph¦n n y chóng tæi s³ tr¼nh b y hai ành l½ ch½nh trong lþ thuy¸t

lþ ch½nh thù nh§t

ành lþ 1.4 [1]

mf(a, r) + Nf(a, r) = Tf(r) + O(1).

Chùng minh

Ta câ

mf(a, r) + Nf(a, r) = Tf(a, r) = Tf −a(r) − log|f − a|ρ0

Ta l¤i câ

Tf −a(r) ≤ Tf(r)+ log+|a|, Tf(r) ≤ Tf −a(r)+ log+|a|,

Tø â ta câ k¸t luªn cõa ành lþ

M»nh · sau l  Bê · ¤o h m logarit

f(i)

f(i−1)|r =

kQi=1

|f

(k)

rk.M»nh · ÷ñc chùng minh

Vîi mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng f trong Cp(0, ρ), ta ành ngh¾a

log|f − aj|ρ0 − log|f0|ρ0 + (q − 1)logA

f00 f10

f0 f1

|f (z)| = maxe

δ|Fβl(z)|, l = 0, , q − 1, trong âe

F0|.Khi â log|Fβl(z) Fβq−l| ≤ log|F0(z) Fq(z)|

log|F0(z)|r = log|f2|r = N2(0, r) + log|f2|ρ0 = Nf(∞, r) + log|f2|ρ0,log|W (z)|r = log|f0f10 − f1f00|r = NW(0, r) + log|W |ρ0 = NW(0, r) +log|f0|ρ0 + 2log|f2|ρ0

log|fi0| = log|Fi|r = log|f1 − aif2|r = Nf(ai, r) + log|f − ai|r + log|f2|ρ0,vîi méi i = 1, 2, , q v  chó þ r¬ng

logf (z)| = Te f(r) + log|f2|ρ0 ta thu ÷ñc

qPj=1

Nf(ai, r) − NW(0, r) − logr + Sf (1).Chó þ r¬ng W = f0f10 − f1f00 = f02f0

Ta câ

nW(0, r) = 2nf(∞, r) − nf0(∞, r) + nf0(0, r)

i·u â k²o theo

v  nf(∞, r) +

qPj=1

nf(ai, r) − nW(0, r) ≤ nf(∞, r) +

qPj=1

nf(ai, r) −

qPj=1

δf(a) = limr−→∞infmf(a, r)

ành lþ 1.7 ( Bê · quan h» sè khuy¸t) [1]

Pa∈C p S{∞}

K˜T LUŠN CH×ÌNG 1Trong ch÷ìng 1, chóng tæi ¢ tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m cì b£n v  hai ành

lþ ch½nh còng c¡c h» qu£ cõa nâ, cõa lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà cõa h mph¥n h¼nh p-adic

Ch֓ng 2

Ph¥n bè gi¡ trà v  v§n · x¡c ành duy nh§t èi vîi ¤o h m cõa h m ph¥n h¼nh p-adic

Ph¥n bè gi¡ trà v  v§n · x¡c ành duy nh§t èi vîi ¤o h m cõa h mph¥n h¼nh p-adic l  v§n · mîi m´ N«m 2008, Ojeda l  ng÷íi ¦u ti¶n

Công trong n«m 2008, H  Huy Kho¡i v  Vô Ho i An ¢ x²t ph¥n bègi¡ trà v  v§n · x¡c ành duy nh§t èi vîi ¤o h m bªc nh§t cõa h mph¥n h¼nh p-adic Hå ¢ t÷ìng tü ÷ñc k¸t qu£ cõa Yang-Hua (ành lþ

vîi ¤o h m bªc cao cõa h m ph¥n h¼nh p-adic l  v§n · mîi

N«m 2011, H  Huy Kho¡i v  Vô Ho i An ¢ thi¸t lªp k¸t qu£ v· ph¥n bè

gi¡ trà Khâ kh«n g°p ph£i trong tr÷íng hñp ¤o h m bªc cao l  thi¸tlªp c¡c ÷îc l÷ñng giúa h m °c tr÷ng, h m ¸m, h m x§p x¿ cõa athùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh vîi h m °c tr÷ng, h m ¸m, h m x§px¿ cõa h m ph¥n h¼nh ban ¦u Cæng vi»c n y câ li¶n h» mªt thi¸t vîit÷ìng tü cõa gi£ thuy¸t Hayman cho h m ph¥n h¼nh p-adic Kho¡i - An

- Lai [6] ¢ kh­c phöc khâ kh«n n y v  ÷ñc chóng tæi tr¼nh b y trong

luªn v«n l  Bê · 2.13 ành lþ 2.11 ÷a ra trong ch÷ìng n y l  t÷ìng

tü p-adic cõa gi£ thuy¸t Hayman cho ¤o h m c§p cao Sû döng Bê ·2.13 v  c¡c ÷îc l÷ñng giúa h m ¸m v  h m °c tr÷ng, chóng tæi tr¼nh

b y k¸t qu£ cõa Kho¡i - An [5], Kho¡i - An - Lai [6] ð c¡c ành lþ 2.4

v  ành lþ 2.6, ành lþ 2.14, ành lþ 2.15 C¡c ành lþ n y l  t÷ìng tüp-adic cõa ành lþ B cho ¤o h m c§p tòy þ

Trong ch÷ìng n y, ngo i c¡c ki¸n thùc ¢ bi¸t, tr÷îc ti¶n chóng tæi tr¼nh

b y c¡c k¸t qu£ cõa H  Huy Kho¡i v  Vô Ho i An trong [5] K¸t qu£mîi cõa ch÷ìng n y l  ành lþ 2.11

2.1 Ph¥n bè gi¡ trà v  v§n · x¡c ành duy nh§t èi vîi ¤o

h m bªc nh§t cõa h m ph¥n h¼nh p-adic

Tø ành lþ 1.6 ta câ

qPi=1

B¥y gií ta x²t hai tr÷íng hñp sau:

iºm cõa L Rã r ng l  t§t c£ c¡c cüc iºm cõa L câ bªc 1 Chóng tad¹ d ng th§y ð (1) l  b§t ký cüc iºm ìn cõa f v  g khæng l  mët cüc

N0,g0(r) + N1,g≥2(1, r) + Ng≥2(0, r) − N1,g≥2(0, r) ≤ Ng0(0, r).Hai b§t ¯ng thùc tr¶n d¨n ¸n

N0,g0(r) + N1,g≥2(1, r) ≤ N1,g(∞, r) + N1,g(0, r) + O(1).K¸t hñp b§t ¯ng thùc n y vîi (4) v  (5) chóng ta nhªn ÷ñc Tr÷ínghñp 1

B¥y gií chóng ta s³ x²t c¡c tr÷íng hñp nhä sau ¥y :

Tr÷íng hñp nhä 1 ac 6= 0 khi â ta câ

Nf0(0, r) + 2N1,g(∞, r) + 2Tg(r) + Ng0(0, r) − logr + O(1).V¼ vªy

Ta chùng minh f 6= 0 v  g 6= 0 Gi£ sû r¬ng f câ mët khæng iºm

n + 1) < 2 Tø ¥y suy ra n < 2.

B¥y gií ta chùng minh f ≡ g

º chùng minh ành lþ 2.6 ta nhî l¤i c¡c ành ngh¾a sau

g(a)

vf1(a) = v1g(a) ≥ 2 v  méi khæng iºm ÷ñc t½nh vîi bëi 1.

B¥y gií chóng ta c¦n bê · sau

th§y l  måi cüc iºm cõa L l  bªc 1 Tø (1) ta câ b§t ký cüc iºm ìncõa f v  g khæng l  cüc iºm cõa L v  cüc iºm cõa L ch¿ x£y ra t¤i

N1,f(1, r; vf1(a) > v1g(a)) ≤ Nf(1, r) − N1,f(1, r).V¼ vªy

N1,f(1, r; vf1(a)) > vg1(a) ≤ N1,f(∞, r) − N1,f(0, r) + O(1).T÷ìng tü ta câ

N1,g(1, r; v1g(a)) > v1f(a) ≤ N1,g(∞, r) − N1,g(0, r) + O(1)

trong Tr÷íng hñp 2 cõa ành lþ 2.4 ta nhªn ÷ñc m¥u thu¨n.

÷ñc f ≡ g ành lþ 2.6 ÷ñc chùng minh

2.2 Ph¥n bè gi¡ trà v  v§n · x¡c ành duy nh§t èi vîi ¤o

h m bªc cao cõa h m ph¥n h¼nh p-adic

Möc n y tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ cõa Kho¡i An Lai trong [6], cõa Lai Vinh trong [9] ch½nh cõa luªn v«n Tr÷îc ti¶n ta c¦n mët sè bê · sau

-Bê · 2.8 [6]

c¡c sè nguy¶n d÷ìng Khi â

ð â

p = vf∞(a), ϕk(a) 6= 0

Chùng minh Theo Bê · 2.10 ta câ

Nk+1,(f −ai)ni(0, r) +

qPi=1

miTf(r)

− logr + N1,(P (f ))(k)(a, r) + O(1).

Tø ¥y suy ra

(n − 1 − p(k + 1) −

qPi=1

mi)Tf(r) + logr ≤ N1,(P (f ))(k)(a, r) + O(1)

Bê · sau ¥y mæ t£ li¶n h» giúa h m °c tr÷ng, h m ¸m cõa ¤o

h m c§p cao vîi h m °c tr÷ng cõa cõa h m ban ¦u

cao cõa h m ph¥n h¼nh p-adic.

1 Theo Bê · 2.3 ta câ

TA(r) ≤ N1,A(∞, r) + N1,A≥2(∞, r) + N1,A(0, r) + N1,A≥2(0, r) + N1,B(∞, r) +

N1,B≥2(∞, r) + N1,B(0, r) + N1,B≥2(0, r) − logr + O(1)

TB(r) ≤ N1,B(∞, r) + N1,B≥2(∞, r) + N1,B(0, r) + N1,B≥2(0, r) + N1,A(∞, r) +

N1,A≥2(∞, r) + N1,A(0, r) + N1,B≥2(0, r) − logr + O(1)

Tø Bê · 2.13 v  c¡c b§t ¯ng thùc n y ta câ

≤ 4(N1,f(∞, r) + N1,f(0, r) + N1,g(∞, r) + N1,g(0, r)) + k(Tf(r) + Tg(r)) +

Do n ≥ 3k + 8 v  tø b§t ¯ng thùc n y ta câ m¥u thu¨n

2 (fn)(k)(gn)(k) = 1

Ta chùng minh f 6= 0, f 6= ∞, g 6= 0, g 6= ∞

Gi£ sû ng÷ñc l¤i f câ khæng iºm Gi£ sû a l  mët khæng iºm cõa fvîi bëi p, p ≥ 1 Khi â a l  mët cüc iºm cõa g vîi bëi q, q ≥ 1 saocho n p − k = nq + k tùc l  n(p − q) = 2k Tø n ≥ 3k + 8 v  ¯ng thùc

n y ta câ m¥u thu¨n

T÷ìng tü ta câ g 6= 0, f 6= ∞, g 6= ∞ Do f, g kh¡c h¬ng ta câ m¥uthu¨n

l  a thùc vîi bªc cõa p(z) ≤ k Ta chùng minh p(z) = 0

Theo Bê º 2.12 ta câ

Tfn(r) = nTf(r) + O(1) ≤ N1,fn(0, r) + N1,fn(∞, r) + N1,fn(p, r) + Sf(r)

≤ 2Tf(r) + Tg(r) + Sf(r) (3)

ành lþ sau ¥y l  mð rëng ành lþ 2.6 cõa H  Huy Kho¡i v  Vô Ho i

An cho ¤o h m c§p cao cõa h m ph¥n h¼nh p-adic

ành lþ 2.15 [6]

Ta x²t ba tr÷íng hñp sau ¥y t÷ìng tü nh÷ Bê · 2.3:

1 Theo Bê · 2.7 ta câ

T÷ìng tü nh÷ trong chùng minh ành lþ 2.14 ta câ

N2,A(0, r) = N1,A(0, r) + N1,A≥2(0, r) ≤ 2N1,f(0, r) + NP(0, r) + O(1),

i·u n y khæng x£y ra v¼ n ≥ 9k + 14.

- ành lþ 2.11 ¥y l  t÷ìng tü p-adic cõa gi£ thuy¸t Hayman èi vîi

¤o h m c§p cao cõa h m ph¥n h¼nh p-adic

K˜T LUŠNLuªn v«n nh¬m ÷a ra c¡c k¸t qu£ cõa v§n · ph¥n bè gi¡ trà v  x¡c

ành duy nh§t èi vîi ¤o h m cõa h m ph¥n h¼nh p-adic ¥y l  mët

· t i câ t½nh thíi sü Luªn v«n tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ cõa H  Huy Kho¡i

- Vô Ho i An, Huy Kho¡i - Vô Ho i An - Nguy¹n Xu¥n Lai

K¸t qu£ mîi thu ÷ñc l  ành lþ 2.11

T€I LI›U THAM KHƒOTi¸ng Vi»t

1 H  Tr¦n Ph÷ìng(2010), Nhªp mæn Gi£i tich p-adic, Gi¡o tr¼nh caohåc, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n

4 Ha Huy Khoai and Vu Hoai An(2012),Value sharing problem for adic meromorphic functions and their difference polynomials, UkranianMath J., Vol 64, N.2, pp 147-164

5 Ha Huy Khoai and Vu Hoai An(2008), Value sharing problem for adic meromorphic functions and their derivatives, preprint

p-6 Ha Huy Khoai and Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai(2012), P-adic

7 Ha Huy Khoai and Mai Van Tu(1995), p-adic Nevanlinna-Cartan orem, Internat J Math, pp 719-731

The-8 Hu, P.C and Yang, C.C (2000), Meromorphic functions over Archimedean fields, Kluwer

non-9 Nguyen Xuan Lai and Tran Quang Vinh(2012), Nevanlinna five-valuetheorem for derivatives of p-adic meromorphic functions, preprint

10 Ojeda, J (2008) Hayman's conjecture in a p-adic field, Taiwanese J.Math N.9, pp 2295-2313

11 J Ojeda (2008), Zeros of ultrametric meromorphic functions f0fn(f −

12 Yang, C.C and Hua, X.H (1997), Uniqueness and value-sharing ofmeromorphic functions, Ann.Acad.Sci.Fenn.Math, pp.395-406

... < /p>

δf(a) = limr−→∞infmf(a, r) < /p>

nh... tỹ p- adic cừa giÊ thuyát Hayman ối vợi < /p>

Ôo hm c? ?p cao cừa hm phƠn hẳnh p- adic < /p>

KT... cao cừa hm phƠn hẳnh p- adic l vĐn à mợi < /p>

Nôm 2011, H Huy KhoĂi v Vụ Hoi An  thiát l? ?p kát quÊ và phƠn bố < /p>

giĂ tr Khõ khôn gp phÊi trữớng h? ?p Ôo hm bêc cao l thiátl? ?p cĂc ữợc lữủng