Tập xác định đa thức vi phân Tổng quan TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU THUỘC LĨNH VỰC CỦA ĐỀ TÀI Ở TRONG VÀ NGOÀI NƯỚC Ngồi nước (phân tích, đánh giá tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài giới, liệt kê danh mục cơng trình nghiên cứu, tài liệu có liên quan đến đề tài trích dẫn đánh giá tổng quan) Lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna xây dựng thành tựu toán học đẹp đẽ kỷ XX mà ngày gọi Lý thuyết phân bố giá trị Lý thuyết Nevanlinna Nội dung Lý thuyết phân bố giá trị hai định lý Định lý thứ mở rộng Định lý đại số, mô tả phân bố giá trị hàm phân hình khác mặt phẳng phức Định lý thứ hai mở rộng Định lý Picard, mô tả ảnh hưởng đạo hàm đến phân bố giá trị hàm phân hình Một ứng dụng sâu sắc lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna xây dựng Vấn đề xác định cho hàm phân hình khác mặt phẳng phức qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm mà ngày gọi Định lý điểm Nevanlinna Cho đến nay, có hai hướng sau nhằm mở rộng Vấn đề xác định cho hàm phân hình khác - Xét nghịch ảnh riêng rẽ điểm cho hàm nghịch ảnh siêu phẳng, siêu mặt cho ánh xạ chỉnh hình, với tình khơng tính bội, có tính bội tính với bội bị chặn, trường hợp phức p-adic - Xét nghịch ảnh tập hợp điểm cho hàm với tình khơng tính bội, có tính bội tính với bội bị chặn, trường hợp phức p-adic Hướng thứ mở rộng tự nhiên Định lý điểm Kết trường hợp phức thuộc H.Fujimoto Năm 1975, ông chứng minh đuợc: Nếu hai ánh xạ phân hình khác f, g: có ảnh ngược tính bội 3n+1 siêu phẳng vị trí tổng qt tồn biến đổi tuyến tính xạ ảnh L cho L(f) = g Từ đó, vấn đề xác định theo hướng thứ nghiên cứu liên tục mạnh mẽ với kết H.Fujimoto, M.Shirosaki, M.Ru, H.X.Yi, P.C.Hu-C.C.Yang, I.Lahiri, G.Dethloff, T.V.Tan, D.D.Thai, Phạm Việt Đức, Sĩ Đức Quang, F.Gross người khởi xướng hướng thứ hai Năm 1977, ông đưa ý tưởng không xét ảnh ngược điểm riêng rẽ mà xét ảnh ngược tập hợp điểm Ông đưa hai câu hỏi sau: 1) Tồn hay không tập S để với hàm phân hình f, g thỏa mãn điều kiện Ef (S)=Eg (S) ta có f g? 2) Tồn hay không hai tập , i=1,2 để với hàm phân hình f, g thỏa mãn điều kiện i=1, ta có f g? Tập S thoả mãn Điều kiện gọi tập xác định (viết tắt URS) Tương tự thoả mãn điều kiện thứ hai gọi song xác đinh (viết tắt bi-URS) Đối với hàm nguyên trường hợp phức: Năm 1982, F.Gross C.C.Yang chứng minh tập có vơ hạn phần tử URS Năm 1994, H.X.Yi lần đưa URS hữu hạn gồm 15 phần tử Đối với hàm phân hình: Năm 1996, C.C.Yang-P.Li đưa ví dụ URS có 19 phần tử Năm 1995, E Mues-M.Reinders chứng tỏ tồn URS có 13 phần tử Năm 1998, G Frank M Reinders xây dựng URS có 11 phần tử Năm 1996, C.C.Yang-P.Li tồn bi-URS cho hàm phân hình phức dạng (S,{ }) S có 15 phần tử Đối với hàm phân hình p-adic : Năm 1999, P.C.Hu-C.C.Yang xây dựng URS có 10 phần tử Năm 1998, A.Boutaba - A.Escassut tồn cặp bi-URS cho hàm phân hình dạng ({ },w) với n Khi xét đến bội ảnh ngược, vấn đề đưa đến việc xác định tập hợp S cho điều kiện Ef (S)=Eg (S) kéo theo f=g Liên quan mật thiết đến tốn đó, Hà Huy Khối, C C Yang, A Escassut,…xét phương trình hàm P(f)=Q(g), P, Q hàm hữu tỷ Vấn đề nhiều nhà tốn học ngồi nước xét mối liên hệ với đạo hàm hàm phân hình ảnh ngược điểm riêng rẽ Người khởi xướng hướng nghiên cứu Hayman Năm 1959, Hayman chứng minh kết sau đây: Định lí A Cho f hàm phân hình Nếu với k số nguyên dương với , f Năm 1967, Hayman đưa giả thuyết sau đây: Giả thuyết Hayman Nếu hàm nguyên f thỏa mãn với n số ngun dương với , f Giả thuyết Hayman Hayman kiểm tra hàm nguyên siêu việt , Clunie kiểm tra Các kết vấn đề liên quan hình thành nhánh nghiên cứu gọi lựa chọn Hayman Tiếp đó, hàm nguyên f g, C C Yang G G Gundersen nghiên cứu trường hợp nhận giá trị Cơng trình quan trọng thúc đẩy hướng nghiên cứu thuộc C.C.Yang – X.H Hua Năm 1997, hai ông chứng minh định lý sau đây: Định lí B Cho f g hai hàm phân hình khác hằng, số nguyên {0} Nếu nhận giá trị với , số thỏa mãn Từ đó, hướng nghiên cứu phát triển mạnh mẽ với kết sâu sắc I Lahiri, Q Han – H X Yi, W Bergweiler, J K Langley, K Liu, L Z Yang, L C Hong, M L Fang, B Q Li, P C Hu C.C.Yang, A Eremenko, G Frank - X Hua – R Vaillancourt … Công cụ sử dụng số kiểu định lí thứ hai cho đa thức vi phân với với ước lượng hàm đặc trưng , hàm đếm hàm đạo hàm Trong trường hợp p- adic , kết theo hướng nghiên cứu thuộc J Ojeda Năm 2008, J Ojeda xét vấn đề nhận giá trị với T hàm hữu tỷ Ở đó, J Ojeda nhận kết sau: Định lí C Cho f hàm phân hình , số nguyên {0} Khi với f Gần đây, K Boussaf - A Ecassut – J Ojeda bắt đầu nghiên cứu hàm phân hình : , nhận hàm nhỏ 10.2 Trong nước (phân tích, đánh giá tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài Việt Nam, liệt kê danh mục công trình nghiên cứu, tài liệu có liên quan đến đề tài trích dẫn đánh giá tổng quan) Ở Việt nam, Hà Huy Khoái người tương tự Lý thuyết phân bố giá trị cho trường hợp padic Ơng học trị đưa hai định lý cho hàm phân hình ánh xạ chỉnh hình p-adic Như nói trên, ứng dụng sâu sắc lý thuyết phân bố giá trị (phức p-adic) Vấn đề xác định cho hàm phân hình khác (phức p-adic) qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm mà ngày gọi Định lý điểm Nevanlinna( tương tự Định lý điểm cho trường hợp p-adic) Ở nước, Vấn đề xác định theo hai hướng nói 10.1 nghiên cứu liên tục mạnh mẽ với kết Trần Văn Tấn, Đỗ Đức Thái, Phạm Việt Đức, Sĩ Đức Quang, Hà Trần Phương, Tạ Thị Hồi An, Vũ Hồi An, Trần Đình Đức, Hà Huy Khối, Đồn Quang Mạnh Cho đến nay, tập bi-URS tốt dạng ({ },w) với n thuộc Hà Huy Khoái -Tạ Thị Hồi An Năm 2011, Hà Huy Khối Vũ Hồi An thiết lập kết tương tự cho đơn thức vi phân dạng Họ nhận kết sau: Định lí D Cho f hàm phân hình , {0} thỏa mãn điều kiện với số nguyên dương n, k, m Khi f đa thức bậc < k điều kiện sau xảy ra: f hàm nguyên hoặc Đối với Vấn đề xác định nhất, năm 1999, Hà Huy Khoái đưa giả thuyết: Tập S đủ tổng quát với # S 7( # S 6) S xác định cho hàm phân hình phức( p-adic ) Cho đến nay, giả thuyết chưa giải Tập S thoả mãn Điều kiện gọi tập xác định (viết tắt URS) Tương tự thoả mãn điều kiện thứ hai gọi song xác đinh (viết tắt bi-URS) Đối với hàm nguyên trường hợp phức: Năm 1982, F.Gross C.C.Yang chứng minh tập có vơ hạn phần tử URS Năm 1994, H.X.Yi lần đưa URS hữu hạn gồm 15 phần tử Đối với hàm phân hình: Năm 1996, C.C.Yang-P.Li đưa ví dụ URS có 19 phần tử Năm 1995, E Mues-M.Reinders chứng tỏ tồn URS có 13 phần tử Năm 1998, G Frank M Reinders xây dựng URS có 11 phần tử Năm 1996, C.C.Yang-P.Li tồn bi-URS cho hàm phân hình phức dạng (S,{ }) S có 15 phần tử Đối với hàm phân hình p-adic : Năm 1999, P.C.Hu-C.C.Yang xây dựng URS có 10 phần tử Năm 1998, A.Boutaba - A.Escassut tồn cặp bi-URS cho hàm phân hình dạng ({ },w) với n Khi xét đến bội ảnh ngược, vấn đề đưa đến việc xác định tập hợp S cho điều kiện Ef (S)=Eg (S) kéo theo f=g Liên quan mật thiết đến tốn đó, Hà Huy Khối, C C Yang, A Escassut,…xét phương trình hàm P(f)=Q(g), P, Q hàm hữu tỷ Vấn đề nhiều nhà toán học nước xét mối liên hệ với đạo hàm hàm phân hình ảnh ngược điểm riêng rẽ Người khởi xướng hướng nghiên cứu Hayman Năm 1959, Hayman chứng minh kết sau đây: Định lí A Cho f hàm phân hình Nếu với k số nguyên dương với , f Năm 1967, Hayman đưa giả thuyết sau đây: Giả thuyết Hayman Nếu hàm nguyên f thỏa mãn với n số nguyên dương với , f Giả thuyết Hayman Hayman kiểm tra hàm nguyên siêu việt , Clunie kiểm tra Các kết vấn đề liên quan hình thành nhánh nghiên cứu gọi lựa chọn Hayman Tiếp đó, hàm nguyên f g, C C Yang G G Gundersen nghiên cứu trường hợp nhận giá trị Cơng trình quan trọng thúc đẩy hướng nghiên cứu thuộc C.C.Yang – X.H Hua Năm 1997, hai ông chứng minh định lý sau đây: Định lí B Cho f g hai hàm phân hình khác hằng, số nguyên {0} Nếu nhận giá trị với , số thỏa mãn Từ đó, hướng nghiên cứu phát triển mạnh mẽ với kết sâu sắc I Lahiri, Q Han – H X Yi, W Bergweiler, J K Langley, K Liu, L Z Yang, L C Hong, M L Fang, B Q Li, P C Hu C.C.Yang, A Eremenko, G Frank - X Hua – R Vaillancourt … Cơng cụ sử dụng số kiểu định lí thứ hai cho đa thức vi phân với với ước lượng hàm đặc trưng , hàm đếm hàm đạo hàm Trong trường hợp p- adic , kết theo hướng nghiên cứu thuộc J Ojeda Năm 2008, J Ojeda xét vấn đề nhận giá trị với T hàm hữu tỷ Ở đó, J Ojeda nhận kết sau: Định lí C Cho f hàm phân hình , số ngun {0} Khi với f Gần đây, K Boussaf - A Ecassut – J Ojeda bắt đầu nghiên cứu hàm phân hình : , nhận hàm nhỏ 2 Trong nước (phân tích, đánh giá tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài Việt Nam, liệt kê danh mục cơng trình nghiên cứu, tài liệu có liên quan đến đề tài trích dẫn đánh giá tổng quan) Ở Việt nam, Hà Huy Khoái người tương tự Lý thuyết phân bố giá trị cho trường hợp padic Ông học trị đưa hai định lý cho hàm phân hình ánh xạ chỉnh hình p-adic Như nói trên, ứng dụng sâu sắc lý thuyết phân bố giá trị (phức p-adic) Vấn đề xác định cho hàm phân hình khác (phức p-adic) qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm mà ngày gọi Định lý điểm Nevanlinna( tương tự Định lý điểm cho trường hợp p-adic) Ở nước, Vấn đề xác định theo hai hướng nói 10.1 nghiên cứu liên tục mạnh mẽ với kết Trần Văn Tấn, Đỗ Đức Thái, Phạm Việt Đức, Sĩ Đức Quang, Hà Trần Phương, Tạ Thị Hoài An, Vũ Hoài An, Trần Đình Đức, Hà Huy Khối, Đồn Quang Mạnh Cho đến nay, tập bi-URS tốt dạng ({ },w) với n thuộc Hà Huy Khối -Tạ Thị Hồi An Năm 2011, Hà Huy Khối Vũ Hồi An thiết lập kết tương tự cho đơn thức vi phân dạng Họ nhận kết sau: Định lí D Cho f hàm phân hình , {0} thỏa mãn điều kiện với số nguyên dương n, k, m Khi f đa thức bậc < k điều kiện sau xảy ra: f hàm nguyên hoặc Đối với Vấn đề xác định nhất, năm 1999, Hà Huy Khoái đưa giả thuyết: Tập S đủ tổng quát với # S 7( # S 6) S xác định cho hàm phân hình phức( p-adic ) Cho đến nay, giả thuyết chưa giải Tính cấp thiết Như nói trên, Vấn đề xác định nhiều nhà tốn học ngồi nước xét mối liên hệ với đạo hàm hàm phân hình ảnh ngược điểm riêng rẽ Hướng nghiên cứu phát triển mạnh mẽ với kết sâu sắc I Lahiri, Q Han – H X Yi, W Bergweiler, J K Langley, K Liu, L Z Yang, L C Hong, M L Fang, B Q Li, P C Hu - C.C.Yang, A Eremenko, G Frank X Hua – R Vaillancourt … Tuy nhiên, Việt nam, hướng nghiên cứu mẻ, kết lĩnh vực ỏi Nhằm thúc đẩy góp phần làm phong phú kết hướng nghiên cứu nước, đề tài nghiên cứu vấn đề: Tập xác định đa thức vi phân, xét cho hàm trường phức p-adic Đây vấn đề có tính thời giải tích phức số học Mục tiêu Vấn đề nghiên cứu : Vấn đề 1: Giả sử , hàm phân hình khác tập hợp điểm, P, Q đa thức vi phân Tìm mối liên hệ hàm , biết Vấn đề 2: Tương tự Vấn đề cho trường hợp p-adic Mục tiêu nghiên cứu : - Xây dựng định lý thứ hai số kiểu đa thức vi phân - Ứng dụng định lý thứ hai để đưa tập xác định cho hàm với điều kiện nêu 12.1 - Biên soạn Giáo trình Giải tích p-adic dùng trường đại học có đào tạo đại học, cao học nghiên cứu sinh chuyên ngành giải tích - Phục vụ cho việc đào tạo cao học nghiên cứu sinh chuyên ngành giải tích khoa Tốn trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên - Ứng dụng định lý thứ hai để đưa tập xác định cho hàm với điều kiện nêu 12.1 - Biên soạn Giáo trình Giải tích p-adic dùng trường đại học có đào tạo đại học, cao học nghiên cứu sinh chuyên ngành giải tích - Phục vụ cho việc đào tạo cao học nghiên cứu sinh chun ngành giải tích khoa Tốn trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên Nội dung Phần Công cụ chủ yếu để giải hai Vấn đề nghiên cứu lý thuyết phân bố giá trị (phức p-adic) cho đa thức vi phân Vì trước tiên cần tương tự Lý thuyết phân bố giá trị hàm phân hình cho đa thức vi phân: - Xét nghiệm phương trình hàm P(f)=Q(g) - Xây dựng khái niệm: hàm đặc trưng(hàm độ cao), hàm đếm, hàm xấp xỉ cho đa thức vi phân - Đưa định lý thứ nhất, thứ hai đa thức vi phân phức(p-adic) : Các bất đẳng thức hàm đặc trưng(hàm độ cao) với hàm đếm có liên quan đạo hàm cho trường hợp: , , , Phần Đưa số điều kiện tập xác định cho đa thức vi phân với tình khơng tính bội, có tính bội tính với bội bị chặn, trường hợp phức -adic: , nhận tập; , nhận cáct tập, , nhận tập, , nhận tập - Hệ thống hóa kết nghiên cứu tác giả theo hướng nghiên cứu để có Giáo trình phục vụ cho việc giảng dạy sau đại học: cao học nghiên cứu sinh Tải file Tập xác định đa thức vi phân PP nghiên cứu Nghiên cứu bản: Sử dụng Bổ đề đạo hàm loga, ước lượng hàm đặc trưng (hàm độ cao) với hàm đếm để đưa định lý thứ nhất, thứ hai đa thức vi phân phức(p-adic) Nhờ đó, ứng dụng định lý thứ nhất, thứ hai đa thức vi phân đưa tập xác định cho hàm từ điều kiện nghịch ảnh tập hợp điểm qua đa thức vi phân Hiệu KTXH - Góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy - Nâng cao chất lượng đội ngũ cán giáo viên tỉnh miền núi phía bắc - Cung cấp nguồn nhân lực có trình độ cao ĐV sử dụng