Tính chuẩn tắc của họ hàm phân hình một biến và bài toán duy nhất đối với đa thức vi phân

I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM NGUYN VN THèN TNH CHUN TC CA H HM PHN HèNH MT BIN V BI TON DUY NHT I VI A THC VI PHN TểM TT LUN N TIN S TON HC THI NGUYấN - 2016 Cụng trỡnh c hon thnh ti: Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn Ngi hng dn khoa hc: PGS TSKH Trn Vn Tn PGS TS H Trn Phng Phn bin 1: GS TSKH c Thỏi Phn bin 2: PGS TSKH T Th Hoi An Lun ỏn ó c bo v trc Hi ng chm lun ỏn cp c s hp ti: i hc S phm i hc Thỏi Nguyờn Vo hi gi 30 ngy 10 thỏng nm 2016 ử t ỵ tt t ởt số ỵ t t t ỵ t ỹ t ợ tự q s ởt ọ ỹ t ợ tự ởt ọ ỹ t ợ tự q s ởt ọ t ỵ t ữủ t tứ ỳ t ợ ỗ ố tứ ỳ ổ tr r Pr r t ổ tr ỵ tt ổ t út ữủ sỹ q t t tr ữợ t ữủ t q s s õ ự tr ởt số ỹ t ữ ự ỵ tt số ốt ó ỵ tt ỵ ữủ ỵ ỡ tự t tự ỹ t ủ ỵ t tổ t sỹ ố tr ộ t tỹ t ữủ ỵ tữớ t ự tr ự ữủ qt t t ụ ỹ ỳ ỵ ỡ tữỡ t r tỹ t õ ú tổ t t ởt t t ố ợ tự ự ự t ỵ tt qt ữủ tr ữ tr ổ t sỷ t q t ỵ tt ú tổ tt ỳ ỵ ỡ tự ũ ủ ợ t ố t t r ú tổ tt ỡ ố s tứ ự t ữủ ỗ tứ ỳ t ổ tr P t P t P t ữ r t ởt F tr D C ữủ t ợ {fn } F ổ ự ởt {fnk } tử tr ộ t t D t tợ f rt ữ r t q trồ t t ởt F f tr ởt D C t tr ộ t t K D, |f (z)| f ởt số C(K) tở K f # (z) = + |f (z)|2 ữ ổ tở f ỵ õ r ộ ỵ Pr t ởt tữỡ ự ợ ởt t t tr ỵ ữ r t q sỹ tr ởt t r sỹ ổ tỗ t tử tr t t tợ ởt ổ t tr t ữủ t q q trồ s F tr ỡ U s ổ tr F õ t t p ỹ õ t t q số tỹ tọ p < < q õ F ổ t t z0 U tỗ t số tỹ < r < 1, zn : |zn | < r zn z0 , fn F số tỹ ữỡ n 0+ s gn () = n fn (zn + n ) tử t tr ộ t t C g(), tr õ g tr C, ổ ỹ g õ tữỡ ự t t p q ỡ ỳ g # () g # (0) = t q tr tữớ ữủ ỵ r t tr t t ữủ tử g r õ ởt tr ỳ ự ỵ tt õ t t tr ởt tứ ỵ ỡ tự t ỵ ỡ tự t ỵ Pr ởt tr t ự õ ổ tr t ữ ố q trồ t t sỷ ỵ tt ự ỵ tt t q tr ỵ Pr ự ợ t t s t ởt F tr D t ộ tr ọ q tr t trữợ õ số tr ọ q tr ỵ Pr ự ởt ỵ Pr ởt f f ổ trt t f (k) ổ tr 1, tr õ k số ữỡ trữợ ỹ t ỵ ữ r tt t t tữỡ ự ợ ỵ tr t ủ t rt ỵ tt rs tr tt tr trữớ ủ õ tr tt ữ s k số ữỡ ởt F f tr D tr t ự ổ trt t s t f (k) = k f ổ tr ợ f F ú ỵ r tr t q tr tợ tr ộ f f (k) tr ởt tr r ởt sỹ ố số ố ởt t ữủ t q tữỡ tỹ õ tr ữủ t t (f n )(k) = 1, ợ n, k số tỹ trữợ tọ n k + r trữớ ủ ự n k + õ t t n k + ụ tờ qt t q ữủ t q F ổ õ ổ tr D s t f (k) õ t k ổ t ợ ộ f F, tr õ k số ữỡ ổ tr t ữ P P rr ụ ự t t ữợ ổ tự t r ố ữ ú tổ t r tự t tr ự t t ự ợ tr tự tờ qt ữủ qt tr ữỡ q t tợ t t õ ữủ t ự tứ ổ tr sr t rt ởt f tr ỡ U ữủ t {f : T } t tr U, tr õ T t tt U õ t rt r r f tr ỡ U C t supzU (1 |z|2 )f # (z) < N t t tr U ỵ ợ ởt |z w| t f, t ổ õ (f (z), f (w)) ||f ||N sup[z,w] , tr ||2 õ ||f ||N = supzU (1 |z|2 )f # (z) st t q tr t rt Pr ữ r ọ số tỹ M > 0, õ tỗ t t E ỳ s ợ ộ f tr ỡ U tọ (1 |z|2 )f # (z) M ợ z f (E) t f t P tr ọ tr ổ r tỗ t t E C ỗ t P ự t q tữỡ tỹ t ởt F tr D C t ợ ộ t t K D, tỗ t t E C ự t số ữỡ M s sup{f # (z) : f F, z f (E) K} < M ự tự tr t ỵ trữớ ủ t ỡ ữủ qt tr ữỡ ự sỹ t ữợ ởt t ủ ữủ ỗ tứ ổ tr ổ ự r tr t ự õ ũ ữủ ổ t t t ú trũ ú t t õ ũ ữủ t t tứ õ t út ữủ sỹ q t t tr ữợ ữ Pữỡ rs rs r t t t ữợ tự f n f , ự r f g s tự f n f g n g õ ũ ổ t ợ n ữỡ õ n 11) t f = c1 ecz g = c2 ecz f = tg, tr õ số c1 , c2 , c t tọ 4(c1 c2 )n+1 c2 = 1, tn+1 = tứ t t ữủ t q t ữợ ự tự ss ssst r ú ỵ r t ỳ tự t ụ tt ữủ ỵ ỡ tự tữỡ t ỵ tt ữủ ự t tỷ q s tr ổ tr r sỹ tứ õ ự ự ỵ tt t tỷ q s t út ữủ sỹ q t t tr t ợ ữ r tr r ự t ữợ t tr sỹ t t ủ ợ tự q s ố tr tự q s ữỡ tr q s ố tr tự q s r ự ởt t q ố tr tự q s f n (z)f (qz) ỗ tớ ổ ụ ự t q t tự q s f (z) g(z) s t ợ ổ sỷ r q số ự ổ n ởt số ữỡ tọ n n f n (z)f (qz) g n (z)g(qz) õ ũ số ổ ỹ t f tg, tr õ t số tọ tn+1 = ự r (f n (z)f (qz + c))(k) õ ổ ổ f (z) s t ợ ổ tr õ q = 0, c số ự n, k số ữỡ tọ n > k + ỡ ỳ ụ ự ỵ t tữỡ ự s t f (z) g(z) ợ ổ tọ (f n (z)f (qz + c))(k) (g n (z)g(qz + c))(k) õ ũ số ổ t f tg, tr õ q = 0, c số ự n, k số ữỡ t số tọ tn+1 = 1, n > 2k + ự tự tr rở t q t f n ởt tự P (f ) ữủ qt tr ữỡ t tự t t tt t t ố ợ trữớ ủ tự tờ qt t tự t ữ t trữợ tự t tt t t ữợ tr t t ởt số tr tự t ự t t ữợ ữủ tự q s ố tr tự q s t ủ ợ ố tữủ ự t t t t ợ tự q s ố tr tự q s t ủ Pữỡ ổ ự sỷ ữỡ tt t ự ởt ỵ tt ị õ s s t ỳ ự ự ỵ tt tr t t t t t ố tr tự trú t q t t t ữủ ữỡ tữỡ ự ợ ự ữỡ ự t t ữợ t ổ tự r ữỡ ú tổ ự t t q õ trỏ q trồ tr t q ú tổ ự t q ởt t ú tổ tt ỵ Pr t ú tổ sỷ ỵ õ tr tr t ố ỵ Pr ú tổ ổ t ỵ ỵ ỵ t t ữợ ổ tự tờ qt r ỵ q = = +, ú tổ ữủ q n = k = 1, q t q r ỵ q = = +, ú tổ ữủ q q ỵ tờ qt t q ữ ỵ ỵ ỵ ỳ rở t ữỡ r ữỡ ú tổ ự ự ỵ tt tr ỵ tt t t t ữủ t q s ỵ ỵ t ữợ ổ tự tờ qt t q rở t q ỵ ỵ Pr ỵ rở t q ỵ t ổ õ ổ t q rở ởt t q ữỡ ởt số ỵ t t r ữỡ ú tổ ự ợ t ởt rở ợ t ú tổ ự ởt số t ợ r ú tổ ụ tt t tữỡ ự t t E õ số t ỡ ữỡ ữủ ổ ố tr t r ú tổ t ợ t trỡ ữ s trỡ ởt t : [0, 1) (0, ) ữủ t (r)(1 r) ợ r [0, 1) Ra (z) = (|a + z/(|a|)|) (|a|) tr ộ t t C |a| ởt t trỡ t õ r f tr ỡ U t f # (z) sup < zU (|z|) tọ õ 1r tr t t r (r) = 1r t t q s t : [0, 1) (0, ) t trỡ f tr ỡ D ổ ỹ õ t t p q số tỹ tọ p < < q f ổ (r) = t õ tỗ t (i) {an } D an zn (ii) {zn } D zn z wn = an + (|an |) (iii) n 0+ n s gn() = n f wn + (|a tử tr ộ t t n |) C t g(), tr õ g tr C, ổ ỹ õ tữỡ ự t t p q ú tổ tt ỵ ố t : [0, 1) (0, ) t trỡ f tr ỡ U sỷ r tỗ t t E = {a1, a2, a3, a4} C ỗ t s ỵ f # (z) < (|z|) zf (E) sup sup (f )# (z) < zf (E\{}) õ f t ỵ : [0, 1) (0, ) t trỡ f tr ỡ U sỷ r E = {a1, a2, a3} C ỗ t s f # (z) < , zf (E) (|z|) sup (f )# (z) < sup zf (E) sup (|z|)(f )# (z) < zf (E) õ f t ú tổ ữủ q tữỡ |z| ự s ỵ ỵ trữớ ủ t q f tr ỡ U E C (|z|) = ởt t ự ố t sỷ r sup (1 |z|)f # (z) < , zf (E) sup (f )# (z) < zf (E\{}) õ f t q f tr ỡ U E C t ự t sỷ r sup (1 |z|)f # (z) < , zf (E) sup (f )# (z) < zf (E) (f )# (z) < zf (E) (1 |z|) sup õ f t ỵ t r ú tổ tt ỵ ợ ố t t q ú tổ ữ s F tr D C sỷ r ợ ộ t t K D, tỗ t E = E(K) C ự ố t số ữỡ M = M (K) s max f # (z) M max (f )# (z) M ợ f F zKf (E) zKf (E\{}) ỵ 1 õ F t ỵ F tr D C sỷ r ợ ộ t t K D, tỗ t t E = E(K) C ự t số ữỡ M = M (K) s f # (z) M, (f )# (z) M (f )# (z) M ợ f F ợ z K f 1(E) õ F t t r ỵ f (E) = , õ f # (z) M, (f )# (z) M (f )# (z) M ợ f F ợ z K f (E) tỹ õ tứ ỵ ú tổ ỵ t F tr D C sỷ r ợ ộ t t K D, tỗ t E = E(K) C ự ố t số ữỡ M = M (K) s ỵ max zKf f # (z) M (E) |f (z)| M (E\{}) + |f (z)|2 max zKf ợ f F õ F t ỵ F tr D C sỷ r ợ ộ t t K D, tỗ t t E = E(K) C ự t số ữỡ M = M (K) s f # (z) M, |f (z)| M + |f (z)|2 |f (z)| + M |f (z)|2 ợ f F ợ z K f 1(E) õ F t P ự t q s t n k số ữỡ a C \ {0} F tr D C ổ õ t t k sỷ r f nf (k) a ổ trt t ợ f F õ F t tr D ỵ t ú tổ tt ỵ ợ ú ởt t tú t q s t ởt rở ỵ tr trữớ ủ f n f (k) a õ ổ tr D n, k số ữỡ s n > k + + k2 F tr D C ổ t t k sỷ r ợ ộ t t K D, tỗ t a C \{0} số ữỡ M = M (K) s (f n f (k) )# (z) M ợ f F z K {f n f (k) = a} õ F t ỵ t ữỡ r ữỡ ú tổ ự ự ỵ tt tr ỵ tt t t t ữủ t q ỵ ỵ t ợ ố (|z|) = , t ữủ t q |z| tữỡ ự t õ q q ỵ ỵ ỵ ỵ t ợ ố t E ỗ ỵ ỵ ỵ t ỡ ỳ t f tự f n f (k) , ú tổ ữủ ỵ ợ ú ởt ữỡ ỹ t ợ tự q s ởt ọ r ữỡ ú tổ ự ự ỵ tt tr t ố tr tự q s t tổ q ữủ tự q s t q ữỡ ữủ ổ ố tr ỹ t ợ tự ởt ọ rữợ t ú tổ tr ởt số ỡ tr ỵ tt tt t ự ỵ tr ữỡ f, g tr t ự C a C {} õ r f g tr a CM f a g a õ ũ số ổ t ỡ ỳ f a g a õ ũ số ổ ổ t t õ f g tr a IM f tr C ởt ữủ ọ f T (r, ) = S(r, f ) ọ f Mf (C) f t ỵ t ọ f Af (C) tr C õ r f g CM f g õ ũ số ổ f g õ ũ số ổ ổ õ t õ r f g IM t t t tự [f n P (f )](k) t ữủ t q ữ s ỵ f (z) g(z) s t a(z) ọ f n, k m số ữỡ tọ n > 4m + 9k + 14 P (z) = am z m + am1 z m1 + ã ã ã + a1 z + a0 P (z) c0 , tr õ a0 = 0, a1 , , am1 , am = 0, c0 = số ự [f nP (f )](k) [gnP (g)](k) a(z) IM t ởt tr s ú (i) P (z) = am z m + am1 z m1 + ã ã ã + a1 z + a0 , ởt tr s ú (i1) f (z) = tg(z) ợ t số tọ td = 1, tr õ d = (n + m, , n + m i, , n), ami = ợ i {0, 1, , m}, (i2) f g tọ ữỡ tr số R(f, g) = 0, tr õ R(w1 , w2 ) = w1n (am w1m + am1 w1m1 + ã ã ã + a0 ) w2n (am w2m + am1 w2m1 + ã ã ã + a0 ); (ii) P (z) c0 , f (z) = tg(z) ợ t (iii) [f n P (f )](k) [g n P (g)](k) = a2 (z) số tọ tn = 1; ỡ ỳ max{1, 2} < t (iii) ổ r tr õ 2m m+1 2k + m + + +1 n + m 2k n + m + 2k n + m + k k) (0, P (f )) k1) (0, P (f )), 2m m+1 2k + m = + + +1 n + m 2k n + m + 2k n + m + k k) (0, P (g)) k1) (0, P (g)) = r ú tổ t ỵ t tr t ố ổ õ max{1 , } < ố ợ ởt ợ tự P t ú tổ ự t t tự õ [f n P (f )](k) , tr õ P (z) = (z b1 )m1 (z bv )mv Q(z), v, mi , i = 1, , v số ữỡ Q(z) ởt tự ỵ f (z) g(z) s t ổ ỹ õ t t s p, tr õ s p số ữỡ (z) Mf (C) Mg (C), a(z) n, m, v k ố số ữỡ tọ 4k + 5k + n k + 1, n > + + 4m p s tự P (z) = am z m + am1 z m1 + ã ã ã + a1 z + a0 = (z b1 )m1 (z bv )mv Q(z), tr õ mi k +1 ợ i = 1, , v, v 1+ p1 , m = deg Q+ vi=1 mi a0 = 0, a1, , am1, am = số ự sỷ [f nP (f )](k) [gnP (g)](k) (z)IM, õ f (z) tg(z) ợ t số tọ td = 1, tr õ d = (n + m, , n + m i, , n), ami = ợ i {0, 1, , m} f g tọ ữỡ tr số R(f, g) = 0, tr õ R(w1 , w2 ) = w1n (am w1m + am1 w1m1 + ã ã ã + a0 ) w2n (am w2m + am1 w2m1 + ã ã ã + a0 ) t max{1 , } < õ t ọ q tr ởt ợ tự P t q ỏ ú ỹ t ợ tự q s ởt ọ r ú tổ ự ố tr tự q s sỹ t ợ tự q s ởt ọ f (z) s t ợ ổ q c số ự q = k số ữỡ tự P (z) = anz n + an1z n1 + ã ã ã + a1z + a0 ợ số a0 , a1 , , an1 , an = m số ổ t P (z) sỷ r n m(k + 1) + (n m(k + 1) + 3), õ (P (f (z))f (qz + c))(k) a(z) õ ổ ổ tr õ a(z) ọ f ỵ t r ỵ m = 1, ú tổ t q k số ữỡ f (z) s t ợ ổ q, c số ự tr õ q = tự P (z) = an z n + an1 z n1 + ã ã ã + a1 z + a0 ợ số a0 , a1 , , an1 , an = m số ổ t P (z) sỷ r n m + 3, (k) õ (P (f (z))f (qz + c)) õ ổ ổ ỵ t r ỵ m = 1, n 5, ú tổ ữủ ởt t t q ỡ ỳ số n ổ tở k ự ỵ ú ợ n > k + m = f (z) g(z) s t ợ ổ q = 0, c số ự k số ữỡ ỵ a(z) ọ f, g tự P (z) = an z n +an1 z n1 +ã ã ã+a1 z+a0 ợ số a0 , a1 , , an1 , an = m số ổ t P (z) sỷ r n 2m(k + 1) + 2k + (n 2m(k + 1) + 4), (P (f (z))f (qz + c))(k) (P (g(z))g(qz + c))(k) a(z), CM, õ ởt tr s ú (1) f (z) tg(z) ợ t số tọ td = 1, tr õ d = LCM {j : j = 0, 1, , n} ọ t j (j = 0, 1, , n) j + a = j ; j = n + a = j (2) f (z) g(z) tọ ữỡ tr số R(f, g) = 0, tr õ R(w1 , w2 ) = P (w1 )w1 (qz + c) P (w2 )w2 (qz + c) t r ỵ m = 1, ú tổ t q ỡ ỳ ỵ ởt rở t q s t ợ ổ t ữỡ r ữỡ ú tổ ự ự ỵ tt tr t ố tr tự q s t tổ q ữủ tự q s t t ữủ t q s ỵ sỹ t ợ tự ởt ọ ỵ ỵ ố tr tự q s ỵ sỹ t ợ tự q s ởt ọ t q rở t q t ự ỳ ự ỵ tt tr t t t t ợ tự q s ố tr tự q s t q ỗ ởt số t t ữợ ổ tự ổ õ ổ ởt số t t t ợ số t ỡ ởt số t q t t ữợ ữủ tự q s ố tr tự q s ú tổ t ởt số ữợ ự t t ự ự ỵ tt tr ữỡ tr ự ự số t t ự t ự t t ữỡ tr ự DANH MC CễNG TRèNH CễNG B LIấN QUAN N LUN N [1] G Dethloff, T V Tan and N V Thin (2014), Normal criteria for families of meromorphic functions, J Math Anal Appl, 411, 675-683 (SCI) [2] N V Thin and B T K Oanh (2016), Normality criteria for families of zerofree meromorphic functions, Analysis, 36(3), 211-222, SCOPUS [3] T V Tan and N V Thin (2016), On Lappan's five point theorem, To appear in Comput Methods Funct Theory, doi: 10.1007/s40315-016-1068-9, (SCIE) [4] N V Thin (2016), Uniqueness of meromorphic functions and q- difference polynomials sharing small function, To appear in Bull Iranian Math Soc (SCIE) [...]... , k số ữỡ õ ú tổ t tự õ uI (z)f nI (f n1I )(t1I ) ã ã ã (f nkI )(tkI ) , H(f ) = f n (f n1 )(t1 ) ã ã ã (f nk )(tk ) + I tr õ uI (z) tr D nI , njI , tjI số ổ tọ I = nI + k v=1 tvI k v=1 nvI + + 4m p s tự P (z) = am z m + am1 z m1 + ã ã ã + a1 z + a0 = (z b1 )m1 (z bv )mv Q(z), tr õ mi k +1 ợ ồ i = 1, , v, v 1+ p1 , m = deg Q+ vi= 1 mi a0 = 0, a1, , am1, am = 0 số ự sỷ [f nP (f )](k) [gnP (g)](k) (z)IM, õ f (z) tg(z) ợ t số tọ td = 1, tr õ d = (n + m, , n + m i, , n), ami = 0 ợ i {0, 1, , m} f g tọ