Nghiên cứu một số hàm cơ sở bán kính và ứng dụng để tính đạo hàm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ NHÂM NGHIÊN CỨU MỘT SỐ HÀM CƠ SỞ BÁN KÍNH VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ TÍNH ĐẠO HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGHIÊN CỨU MỘT SỐ HÀM CƠ SỞ BÁN KÍNH VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ TÍNH ĐẠO HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS ĐẶNG THỊ OANH THÁI NGUYÊN - 2014 1 Mục lục Bảng ký hiệu 6 Danh mục bảng và hình vẽ 7 1 Hàm cơ sở bán kính 9 1.1 Cơ sở của bài toán nội suy hàm số với dữ liệu phân tán . . 9 1.1.1 Bài toán nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Một số phương pháp nội suy đa thức . . . . . . . . . 9 1.1.3 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Nội suy hàm số với dữ liệu phân tán . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Ma trận xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Hàm xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 Hàm bán kính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.4 Hàm cơ sở bán kính( Radial Basis Function-RBF ) . 13 1.2.5 Hàm bán kính xác định dương . . . . . . . . . . . . 13 1.2.6 Hàm bán kính xác định dương có điều kiện . . . . . 13 1.3 Một số hàm cơ sở bán kính và vấn đề tham số hình dạng . 14 1.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Nội suy hàm cơ sở bán kính và ứng dụng tính đạo hàm 16 2.1 Nội suy hàm cơ sở bán kính . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.1 Nội suy với độ chính xác đa thức . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Sai số, ổn định và hội tụ của nội suy hàm cơ sở theo bán kính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Xây dựng công thức tính gần đúng đạo hàm dựa vào nội suy hàm cơ sở theo bán kính . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1 Nội suy hàm cơ sở bán kính không thành phần đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2 Nội suy hàm cơ sở bán kính với độ chính xác đa thức 22 2.3 Phương pháp tính đạo hàm nhờ nội suy RBF . . . . . . . . 24 2.3.1 Đạo hàm của hàm cơ sở bán kính . . . . . . . . . . 24 2.3.2 Tính đạo hàm nhờ nội suy RBF . . . . . . . . . . . 25 2 2.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 Thử nghiệm số 26 3.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Một số kết quả thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.1 Thử nghiệm trên bộ tâm thứ nhất . . . . . . . . . . 27 3.2.2 Thử nghiệm trên bộ tâm thứ hai . . . . . . . . . . . 30 3.2.3 Thử nghiệm trên bộ tâm thứ ba . . . . . . . . . . . 33 3.2.4 Thử nghiệm trên bộ tâm thứ tư . . . . . . . . . . . 36 3.2.5 Thử nghiệm trên bộ tâm thứ năm . . . . . . . . . . 39 3.3 Tổng hợp kết quả thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.1 Tổng hợp kết quả thử nghiệm với hàm Gaus . . . . . 42 3.3.2 Tổng hợp kết quả thử nghiệm với hàm MQ . . . . . 42 3.3.3 Tổng hợp kết quả thử nghiệm với hàm IMQ . . . . . 43 3.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 3 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình hoàn thành luận văn "Nghiên cứu một số hàm cơ sở bán kính và ứng dụng để tính đạo hàm" tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ, động viên của những cá nhân và tập thể. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới tất cả các cá nhân và tập thể đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Trước hết tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, các thầy cô Trường Đại học Khoa Học – Đại học Thái Nguyên, các thầy cô giáo Viện toán học Việt Nam đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành chương trình học tập và nghiên cứu. Có được kết quả này tôi vô cùng biết ơn và tỏ lòng kính trọng sâu sắc đối với TS Đặng Thị Oanh – Giảng viên Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin và Truyền Thông – Đại học Thái Nguyên người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Tôi cũng xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp và những người thân trong gia đình đã động viên, chia sẻ, giúp tôi vượt qua những khó khăn trong quá trình học tập và nghiên cứu. Thái Nguyên, ngày 05 tháng 05 năm 2014 Người thực hiện Nguyễn Thị Nhâm 4 Mở đầu Bài toán nội suy hàm số đã được rất nhiều các nhà toán học quan tâm nghiên cứu và đưa ra nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Trong đó phải kể đến một số phương pháp nội suy truyền thống như: Phương pháp nội suy Lagrange; Phương pháp nội suy Newton; Phương pháp bình phương bé nhất. Những phương pháp này giải quyết khá đầy đủ bài toán nội suy hàm một biến với công thức đơn giản, dễ tính. Tuy nhiên đối với bài toán nội suy hàm nhiều biến, đặc biệt là trên tập điểm phân bố không đều thì những phương pháp trên gặp khó khăn trong tính toán vì công thức tính toán phức tạp. Hàm cơ sở bán kính là một công cụ hữu hiệu để nội suy hàm số trên tập điểm phân tán trong không gian nhiều chiều. Phương pháp nội suy hàm cơ sở bán kính đã được đề xuất bởi Powell vào năm 1987. Các vấn đề cơ bản về lí thuyết của hàm cơ sở bán kính và ứng dụng của nó đã được nghiên cứu rộng rãi bởi nhiều tác giả như: Buhman,Wendland, Gregory E. Fasshauer, Một trong các ứng dụng quan trọng của phương pháp nội suy hàm cơ sở bán kính là tính gần đúng đạo hàm của hàm số dựa trên tập điểm lân cận, mà tại đó cần tính đạo hàm. Ưu thế lớn nhất của phương pháp là để giải bài toán nhiều chiều thì thay vì phải làm việc với hàm nhiều biến, ta chỉ cần làm việc với hàm một biến. Phương pháp cho thấy sự độc lập của nó đối với sự phân bố của các nút nội suy. Vì vậy, đây là một phương pháp nội suy phù hợp với các nút nội suy phân tán và phù hợp cho nhiều bài toán trong thực tiễn. Luận văn được trình bày trong 3 chương với những nội dung chính như sau: • Chương 1: Trình bày cơ sở của bài toán nội suy hàm số với dữ liệu phân tán; Nội suy hàm số với dữ liệu phân tán; Một số hàm cơ sở bán kính và vấn đề tham số hình dạng; Kết luận. • Chương 2: Nội suy hàm cơ sở bán kính; Xây dựng công thức tính gần đúng đạo hàm dựa vào nội suy hàm cơ sở bán kính và phương pháp 5 tính đạo hàm nhờ nội suy hàm cơ sở bán kính; Kết luận. • Chương 3: Thử nghiệm số. 6 Bảng ký hiệu const Hằng số RBF Radial Basis Function Gaus Hàm Gaussian MQ Hàm Multiquadric IMQ Hàm Inverse Multiquadric ||A|| Chuẩn của A ∀x Với mọi x ∃x Tồn tại x ∈ thuộc L n (x) Đa thức nội suy bậc không quá n P f Nội suy với độ chính xác đa thức R d Không gian thực d chiều max Giá trị lớn nhất min Giá trị nhỏ nhất Ξ Bộ tâm phân tán Σ Tổng  Tích Ω Bao đóng tập Ω N Φ (Ω) Không gian được sinh bởi Φ Cond(A) Số điều kiện của ma trận A φ  Đạo hàm của hàm φ φ  Đạo hàm cấp hai của hàm φ 7 Danh mục bảng và hình vẽ Bảng 1.1 Bảng một số hàm cơ sở bán kính. Bảng 1.2 Bảng một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng ε > 0. Bảng 3.1 Bảng giá trị (x; y) trong bộ tâm thứ nhất. Bảng 3.2 Bảng giá trị hàm số sin(2xy) với bộ tâm thứ nhất. Bảng 3.3 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.2. Bảng 3.4 Bảng giá trị hàm số e −x 2 −y 2 với bộ tâm thứ nhất. Bảng 3.5 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.4. Bảng 3.6 Bảng giá trị hàm số sin(πx) sin(πy) với bộ tâm thứ nhất. Bảng 3.7 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.6. Bảng 3.8 Bảng giá trị hàm số sin(3πx) sin(3πy) với bộ tâm thứ nhất. Bảng 3.9 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.8. Bảng 3.10 Bảng giá trị (x; y) trong bộ tâm thứ hai. Bảng 3.11 Bảng giá trị hàm số sin(2xy) với bộ tâm thứ hai. Bảng 3.12 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.11. Bảng 3.13 Bảng giá trị hàm số e −x 2 −y 2 với bộ tâm thứ hai. Bảng 3.14 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.13. Bảng 3.15 Bảng giá trị hàm số sin(πx) sin(πy) với bộ tâm thứ hai. Bảng 3.16 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.15. Bảng 3.17 Bảng giá trị hàm số sin(3πx) sin(3πy) với bộ tâm thứ hai. Bảng 3.18 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.17. Bảng 3.19 Bảng giá trị (x; y) trong bộ tâm thứ ba. Bảng 3.20 Bảng giá trị hàm số sin(2xy) với bộ tâm thứ ba. Bảng 3.21 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.20. Bảng 3.22 Bảng giá trị hàm số e −x 2 −y 2 với bộ tâm thứ ba. Bảng 3.23 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.22. Bảng 3.24 Bảng giá trị hàm số sin(πx) sin(πy) với bộ tâm thứ ba. Bảng 3.25 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.24. Bảng 3.26 Bảng giá trị hàm số sin(3πx) sin(3πy) với bộ tâm thứ ba. Bảng 3.27 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.26. Bảng 3.28 Bảng giá trị (x; y) trong bộ tâm thứ tư. Bảng 3.29 Bảng giá trị hàm số sin(2xy) với bộ tâm thứ tư. Bảng 3.30 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.29. Bảng 3.31 Bảng giá trị hàm số e −x 2 −y 2 với bộ tâm thứ ba. Bảng 3.32 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.31. 8 Bảng 3.33 Bảng giá trị hàm số sin(πx) sin(πy) với bộ tâm thứ tư. Bảng 3.34 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.33. Bảng 3.35 Bảng giá trị hàm số sin(3πx) sin(3πy) với bộ tâm thứ tư. Bảng 3.36 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.35. Bảng 3.37 Bảng giá trị (x; y) trong bộ tâm thứ năm. Bảng 3.38 Bảng giá trị hàm số sin(2xy) với bộ tâm thứ năm. Bảng 3.39 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.38. Bảng 3.40 Bảng giá trị hàm số e −x 2 −y 2 với bộ tâm thứ năm. Bảng 3.41 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.40. Bảng 3.42 Bảng giá trị hàm số sin(πx) sin(πy) với bộ tâm thứ năm. Bảng 3.43 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.42. Bảng 3.44 Bảng giá trị hàm số sin(3πx) sin(3πy) với bộ tâm thứ năm. Bảng 3.45 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.44. Bảng 3.46 Tổng hợp kết quả thử nghiệm với hàm Gaus. Bảng 3.47 Tổng hợp kết quả thử nghiệm với hàm MQ. Bảng 3.48 Tổng hợp kết quả thử nghiệm với hàm IMQ. Hình 3.1 Mô phỏng vị trí các điểm trong Bảng 3.1 Hình 3.2 Mô phỏng vị trí các điểm trong Bảng 3.10 Hình 3.3 Mô phỏng vị trí các điểm trong Bảng 3.19 Hình 3.4 Mô phỏng vị trí các điểm trong Bảng 3.28 Hình 3.5 Mô phỏng vị trí các điểm trong Bảng 3.37 9 [...]... của hàm số tại một số điểm cho trước Cụ thể: Nghiên cứu bài toán nội suy hàm cơ sở bán kính không thành phần đa thức và bài toán nội suy với độ chính xác đa thức trên tập điểm phân tán Từ đó đánh giá sai số, tính ổn định và sự hội tụ của nội suy hàm cơ sở theo bán kính Trên cơ sở đó, chúng tôi xây dựng công thức và đưa ra phương pháp tính gần đúng đạo hàm của hàm số dựa vào hàm nội suy theo bán kính. ..Chương 1 Hàm cơ sở bán kính Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm cơ sở bán kính; hàm xác định dương; hàm bán kính xác định dương, hàm bán kính xác định dương có điều kiện; cơ sở của bài toán nội suy hàm số với dữ liệu phân tán 1.1 1.1.1 Cơ sở của bài toán nội suy hàm số với dữ liệu phân tán Bài toán nội suy Trong thực tế nhiều khi phải phục hồi một hàm số f (x) tại... nội suy hàm cơ sở theo bán kính Trong thực tế, nhiều khi ta cần tính gần đúng đạo hàm của một hàm số y = f (x) nhưng hàm này chỉ biết được các giá trị y1 , y2 , · · · , yn của hàm số tại các điểm x1 , x2 , · · · , xn hoặc biểu thức giải tích của hàm f (x) quá phức tạp Khi đó thay cho hàm f (x) ta xét hàm nội suy s(x) và xem đạo hàm của hàm f (x) xấp xỉ bằng đạo hàm của hàm s(x) với một sai số nào đó... Nội suy hàm cơ sở bán kính và ứng dụng tính đạo hàm 2.1 Nội suy hàm cơ sở bán kính Cho bài toán 1.1 và bộ Φk , k = 1, 2, · · · , n sao cho Φk (x) = Φ(x − xk ) = φ ( x − xk ) với k = 1, 2, , n và x ∈ Rd (2.1) Khi đó nội suy hàm số dựa trên các hàm bán kính có nghĩa là tìm n P f (x) = n ck φ(||x − xk ||), ck Φk (x) = k=1 (2.2) k=1 thỏa mãn điều kiện (1.2), trong đó xk gọi là tâm của hàm bán kính Φk... : R+ −→ R là hàm liên tục và đủ trơn, D là toán tử vi phân tuyến tính và hàm nội suy cơ sở bán kính s(x) của hàm u(x) được biểu diễn dưới dạng (2.14) - (2.15) Khi đó véc tơ trọng số w của vi phân số tại x được tìm bằng cách giải hệ phương trình (2.21), hay véc tơ trọng số là các hệ số của nội suy hàm cơ sở bán kính với dữ liệu được cho bởi hàm DΦ(x − ·)|X 22 2.2.2 Nội suy hàm cơ sở bán kính với độ... Tham số hình dạng cho một số hàm cơ sở bán kính [5] 15 Tên hàm Multiquadric Tên viết tắt Biểu thức tham số hóa hình dạng √ MQ φmq (εr) = ε2 + r2 1 Inverse multiquadric IMQ φimq (εr) = √ ε22 + r2 r Gaussian Gaus φ(r) = e− 2 Bảng 1.2: Bảng một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng ε > 0 1.4 Kết luận Trong chương này chúng tôi đã trình bày một số vấn đề cơ bản nhất về lí thuyết của hàm bán kính, hàm. .. thay vì sử dụng hàm nhiều biến Φ(x) bởi hàm một biến φ cho tất cả số chiều d 1.2.3 Hàm bán kính Định nghĩa 1.2.7 [7] Hàm Φ : Rd → R được gọi là hàm bán kính nếu tồn tại hàm một biến φ : [0, ∞) → R sao cho Φ(x) = φ(||x||) với ∀x ∈ Rd (Trong đó ||x|| là một chuẩn nào đó trong Rd , ta thường dùng chuẩn Ơcơlit) 1.2.4 Hàm cơ sở bán kính( Radial Basis Function-RBF ) Định nghĩa 1.2.8 [7] Cho hàm bán kính Φ :... đa thức và nội suy với độ chính xác đa thức Phần cuối của chương chúng tôi đưa vào công thức đạo hàm của một số hàm cơ sở bán kính để phục vụ cho chương tiếp theo 26 Chương 3 Thử nghiệm số 3.1 Bài toán Input: Cho hàm bán kính và giá trị hàm số f (x, y) tại các điểm (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), , (xn , yn ) Output: Giá trị đạo hàm của hàm nội suy s(x, y) tại điểm (x0 , y0 ) 3.2 Một số kết quả... thuyết của hàm bán kính, hàm cơ sở bán kính, hàm bán kính xác định dương và ma trận xác định dương Đó là những kiến thức cơ bản nhất để phục vụ cho chương 2 Cũng trong chương này, chúng tôi trình bày bài toán nội suy hàm số trên tập dữ liệu phân tán Đồng thời giới thiệu một số hàm cơ sở bán kính cùng với vấn đề cần thiết phải đưa vào một tham số hình dạng > 0, sao cho số điều kiện của ma trận nội suy... Trong khuôn khổ luận văn này tôi trình bày một số hàm cơ sở bán kính thông dụng, với r = x − xk Tên hàm Multiquadric Tên viết tắt MQ Inverse multiquadric IMQ Gaussian Gaus Định nghĩa √ φmq (r) = 1 + r2 1 φimq (r) = √ 1 + r2 −r2 φ(r) = e Bảng 1.1: Bảng một số hàm cơ sở bán kính dùng trong luận văn.[5] Hàm cơ sở bán kính φ(x) là xác định dương nếu ta nhân r với một số dương ε thì φ(rε) vẫn là xác định dương . NHÂM NGHIÊN CỨU MỘT SỐ HÀM CƠ SỞ BÁN KÍNH VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ TÍNH ĐẠO HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGHIÊN CỨU MỘT SỐ HÀM CƠ SỞ BÁN KÍNH. Φ Cond(A) Số điều kiện của ma trận A φ  Đạo hàm của hàm φ φ  Đạo hàm cấp hai của hàm φ 7 Danh mục bảng và hình vẽ Bảng 1.1 Bảng một số hàm cơ sở bán kính. Bảng 1.2 Bảng một số hàm cơ sở bán kính. Nội suy hàm số với dữ liệu phân tán; Một số hàm cơ sở bán kính và vấn đề tham số hình dạng; Kết luận. • Chương 2: Nội suy hàm cơ sở bán kính; Xây dựng công thức tính gần đúng đạo hàm dựa vào nội