Nghiên cứu một số hàm cơ sở bán kính và ứng dụng để tính đạo hàm

Hàm cơ sở bán kính là một công cụ hữu hiệu để nội suy hàm số trên tậpđiểm phân tán trong không gian nhiều chiều.. Một trong các ứng dụng quan trọng của phương pháp nội suy hàm cơ sởbán k

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ HÀM CƠ

Mục lục

1.1 Cơ sở của bài toán nội suy hàm số với dữ liệu phân tán 9

1.1.1 Bài toán nội suy 9

1.1.2 Một số phương pháp nội suy đa thức 9

1.1.3 Nhận xét 10

1.2 Nội suy hàm số với dữ liệu phân tán 10

1.2.1 Ma trận xác định dương 12

1.2.2 Hàm xác định dương 12

1.2.3 Hàm bán kính 13

1.2.4 Hàm cơ sở bán kính( Radial Basis Function-RBF ) 13 1.2.5 Hàm bán kính xác định dương 13

1.2.6 Hàm bán kính xác định dương có điều kiện 13

1.3 Một số hàm cơ sở bán kính và vấn đề tham số hình dạng 14 1.4 Kết luận 15

2 Nội suy hàm cơ sở bán kính và ứng dụng tính đạo hàm 16 2.1 Nội suy hàm cơ sở bán kính 16

2.1.1 Nội suy với độ chính xác đa thức 17

2.1.2 Sai số, ổn định và hội tụ của nội suy hàm cơ sở theo bán kính 18

2.2 Xây dựng công thức tính gần đúng đạo hàm dựa vào nội suy hàm cơ sở theo bán kính 20

2.2.1 Nội suy hàm cơ sở bán kính không thành phần đa thức 20

2.2.2 Nội suy hàm cơ sở bán kính với độ chính xác đa thức 22 2.3 Phương pháp tính đạo hàm nhờ nội suy RBF 24

2.3.1 Đạo hàm của hàm cơ sở bán kính 24

2.3.2 Tính đạo hàm nhờ nội suy RBF 25

2.4 Kết luận 25

3 Thử nghiệm số 26 3.1 Bài toán 26

3.2 Một số kết quả thử nghiệm 26

3.2.1 Thử nghiệm trên bộ tâm thứ nhất 27

3.2.2 Thử nghiệm trên bộ tâm thứ hai 30

3.2.3 Thử nghiệm trên bộ tâm thứ ba 33

3.2.4 Thử nghiệm trên bộ tâm thứ tư 36

3.2.5 Thử nghiệm trên bộ tâm thứ năm 39

3.3 Tổng hợp kết quả thử nghiệm 42

3.3.1 Tổng hợp kết quả thử nghiệm với hàm Gaus 42

3.3.2 Tổng hợp kết quả thử nghiệm với hàm MQ 42

3.3.3 Tổng hợp kết quả thử nghiệm với hàm IMQ 43

3.4 Kết luận 43

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình hoàn thành luận văn "Nghiên cứu một số hàm cơ sởbán kính và ứng dụng để tính đạo hàm" tôi đã nhận được sự hướng dẫn,giúp đỡ, động viên của những cá nhân và tập thể Tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới tất cả các cá nhân và tập thể đã tạo điều kiện và giúp đỡtôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Trước hết tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, các thầy cô TrườngĐại học Khoa Học – Đại học Thái Nguyên, các thầy cô giáo Viện toán họcViệt Nam đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành chương trình họctập và nghiên cứu

Có được kết quả này tôi vô cùng biết ơn và tỏ lòng kính trọng sâusắc đối với TS Đặng Thị Oanh – Giảng viên Trường Đại học Công NghệThông Tin và Truyền Thông – Đại học Thái Nguyên người đã tận tìnhhướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.Tôi cũng xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp và những người thân tronggia đình đã động viên, chia sẻ, giúp tôi vượt qua những khó khăn trongquá trình học tập và nghiên cứu

Thái Nguyên, ngày 05 tháng 05 năm 2014

Người thực hiện

Nguyễn Thị Nhâm

Mở đầu

Bài toán nội suy hàm số đã được rất nhiều các nhà toán học quan tâmnghiên cứu và đưa ra nhiều ứng dụng trong thực tiễn Trong đó phải kểđến một số phương pháp nội suy truyền thống như: Phương pháp nội suyLagrange; Phương pháp nội suy Newton; Phương pháp bình phương bénhất

Những phương pháp này giải quyết khá đầy đủ bài toán nội suy hàm mộtbiến với công thức đơn giản, dễ tính Tuy nhiên đối với bài toán nội suyhàm nhiều biến, đặc biệt là trên tập điểm phân bố không đều thì nhữngphương pháp trên gặp khó khăn trong tính toán vì công thức tính toánphức tạp

Hàm cơ sở bán kính là một công cụ hữu hiệu để nội suy hàm số trên tậpđiểm phân tán trong không gian nhiều chiều Phương pháp nội suy hàm

cơ sở bán kính đã được đề xuất bởi Powell vào năm 1987 Các vấn đề cơbản về lí thuyết của hàm cơ sở bán kính và ứng dụng của nó đã đượcnghiên cứu rộng rãi bởi nhiều tác giả như: Buhman,Wendland, Gregory E.Fasshauer,

Một trong các ứng dụng quan trọng của phương pháp nội suy hàm cơ sởbán kính là tính gần đúng đạo hàm của hàm số dựa trên tập điểm lân cận,

mà tại đó cần tính đạo hàm Ưu thế lớn nhất của phương pháp là để giảibài toán nhiều chiều thì thay vì phải làm việc với hàm nhiều biến, ta chỉcần làm việc với hàm một biến Phương pháp cho thấy sự độc lập của nóđối với sự phân bố của các nút nội suy Vì vậy, đây là một phương phápnội suy phù hợp với các nút nội suy phân tán và phù hợp cho nhiều bàitoán trong thực tiễn

Luận văn được trình bày trong 3 chương với những nội dung chính nhưsau:

• Chương 1: Trình bày cơ sở của bài toán nội suy hàm số với dữ liệuphân tán; Nội suy hàm số với dữ liệu phân tán; Một số hàm cơ sởbán kính và vấn đề tham số hình dạng; Kết luận

• Chương 2: Nội suy hàm cơ sở bán kính; Xây dựng công thức tính gầnđúng đạo hàm dựa vào nội suy hàm cơ sở bán kính và phương pháp

tính đạo hàm nhờ nội suy hàm cơ sở bán kính; Kết luận.

• Chương 3: Thử nghiệm số

Ln(x) Đa thức nội suy bậc không quá n

P f Nội suy với độ chính xác đa thức

Rd Không gian thực d chiều

Danh mục bảng và hình vẽ

Bảng 1.1 Bảng một số hàm cơ sở bán kính

Bảng 1.2 Bảng một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng

ε > 0.Bảng 3.1 Bảng giá trị (x; y) trong bộ tâm thứ nhất

Bảng 3.2 Bảng giá trị hàm số sin(2xy) với bộ tâm thứ nhất

Bảng 3.3 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.2

Bảng 3.4 Bảng giá trị hàm số e−x2−y2 với bộ tâm thứ nhất

Bảng 3.5 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.4

Bảng 3.6 Bảng giá trị hàm số sin(πx) sin(πy) với bộ tâm thứ nhất.Bảng 3.7 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.6

Bảng 3.8 Bảng giá trị hàm số sin(3πx) sin(3πy) với bộ tâm thứ nhất.Bảng 3.9 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.8

Bảng 3.10 Bảng giá trị (x; y) trong bộ tâm thứ hai

Bảng 3.11 Bảng giá trị hàm số sin(2xy) với bộ tâm thứ hai

Bảng 3.12 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.11

Bảng 3.13 Bảng giá trị hàm số e−x2−y2 với bộ tâm thứ hai

Bảng 3.14 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.13

Bảng 3.15 Bảng giá trị hàm số sin(πx) sin(πy) với bộ tâm thứ hai.Bảng 3.16 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.15

Bảng 3.17 Bảng giá trị hàm số sin(3πx) sin(3πy) với bộ tâm thứ hai.Bảng 3.18 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.17

Bảng 3.19 Bảng giá trị (x; y) trong bộ tâm thứ ba

Bảng 3.20 Bảng giá trị hàm số sin(2xy) với bộ tâm thứ ba

Bảng 3.21 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.20

Bảng 3.22 Bảng giá trị hàm số e−x2−y2 với bộ tâm thứ ba

Bảng 3.23 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.22

Bảng 3.24 Bảng giá trị hàm số sin(πx) sin(πy) với bộ tâm thứ ba.Bảng 3.25 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.24

Bảng 3.26 Bảng giá trị hàm số sin(3πx) sin(3πy) với bộ tâm thứ ba.Bảng 3.27 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.26

Bảng 3.28 Bảng giá trị (x; y) trong bộ tâm thứ tư

Bảng 3.29 Bảng giá trị hàm số sin(2xy) với bộ tâm thứ tư

Bảng 3.30 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.29

Bảng 3.31 Bảng giá trị hàm số e−x2−y2 với bộ tâm thứ ba

Bảng 3.32 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.31

Bảng 3.33 Bảng giá trị hàm số sin(πx) sin(πy) với bộ tâm thứ tư.Bảng 3.34 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.33.

Bảng 3.35 Bảng giá trị hàm số sin(3πx) sin(3πy) với bộ tâm thứ tư.Bảng 3.36 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.35

Bảng 3.37 Bảng giá trị (x; y) trong bộ tâm thứ năm

Bảng 3.38 Bảng giá trị hàm số sin(2xy) với bộ tâm thứ năm

Bảng 3.39 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.38

Bảng 3.40 Bảng giá trị hàm số e−x2−y2 với bộ tâm thứ năm

Bảng 3.41 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.40

Bảng 3.42 Bảng giá trị hàm số sin(πx) sin(πy) với bộ tâm thứ năm.Bảng 3.43 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.42

Bảng 3.44 Bảng giá trị hàm số sin(3πx) sin(3πy) với bộ tâm thứ năm.Bảng 3.45 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.44

Bảng 3.46 Tổng hợp kết quả thử nghiệm với hàm Gaus

Bảng 3.47 Tổng hợp kết quả thử nghiệm với hàm MQ

Bảng 3.48 Tổng hợp kết quả thử nghiệm với hàm IMQ

Hình 3.1 Mô phỏng vị trí các điểm trong Bảng 3.1

Hình 3.2 Mô phỏng vị trí các điểm trong Bảng 3.10

Hình 3.3 Mô phỏng vị trí các điểm trong Bảng 3.19

Hình 3.4 Mô phỏng vị trí các điểm trong Bảng 3.28

Hình 3.5 Mô phỏng vị trí các điểm trong Bảng 3.37

Chương 1

Hàm cơ sở bán kính

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm

cơ sở bán kính; hàm xác định dương; hàm bán kính xác định dương, hàmbán kính xác định dương có điều kiện; cơ sở của bài toán nội suy hàm sốvới dữ liệu phân tán

phân tán

1.1.1 Bài toán nội suy

Trong thực tế nhiều khi phải phục hồi một hàm số f (x) tại mọi giá trịcủa x trên đoạn [a; b] mà chỉ biết một số hữu hạn giá trị của hàm số tạimột số hữu hạn các điểm rời rạc của đoạn đó Các giá trị đó được cungcấp qua thực nghiệm hay tính toán Vậy nảy sinh một vấn đề toán họcnhư sau:

Trên đoạn[a; b] cho một lưới các điểm chia (điểm nút)xi,i = 0, 1, 2, · · · , n

và tại các nút xi cho giá trị của hàm số y = f (x) là yi = f (xi), i =

0, 1, 2, · · · , n Cần xây dựng đa thức nội suy Pn(x) sao cho Pn(x) trùngvới f (x) tại các nút xi, nghĩa là:

Pn(xi) = yi; i = 0, 1, 2, · · · , n

1.1.2 Một số phương pháp nội suy đa thức

Một số phương pháp nội suy đa thức được đưa ra và giải quyết rất tốtbài toán trên, điển hình là phương pháp nội suy Lagrange và phương phápnội suy Newton

Đa thức nội suy Lagrange:

Đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút nội suy x0:

Phương pháp nội suy Newton khắc phục được nhược điểm của nội suyLagrange ở chỗ khi thêm vào lưới nội suy một nút nội suy mới xn+1, ta chỉcần thêm vào đa thức nội suy Pn(x) một số hạng

Tuy nhiên, khi số mốc nội suy lớn thì nội suy bằng đa thức thường xảy rahiện tượng phù hợp trội (overfitting) do bậc của đa thức thường tăng theo

số mốc nội suy Hơn nữa, đa số các bài toán nội suy trong các ứng dụngthực tiễn lại là bài toán nội suy nhiều biến

Một phương pháp nội suy được đề xuất bởi Powell vào năm 1987 là phươngpháp nội suy hàm cơ sở bán kính (Radial Basis Function-RBF) có thểchuyển từ bài toán nội suy hàm nhiều biến về nội suy hàm một biến Hơnnữa còn cho kết quả rất tốt, đặc biệt với bài toán nội suy hàm nhiều biếntrên tập dữ liệu phân tán

Bài toán 1.1 [8]

Cho bộ dữ liệu (xi; yi), i = 1, 2, , n, xi ∈ Rd; yi ∈ R, trong đó xi là các vịtrí đo; yi là kết quả đo được tại vị trí xi B1, B2, , Bn là các hàm cơ sởcủa không gian tuyến tính của các hàm liên tục d biến Ký hiệu:

Tuy nhiên khi d ≥ 2 ta có kết quả sau:

Định lý 1.2.1 (Mairhuber - Curtis) Nếu Ω ⊂ Rd, d ≥ 2 và chứa mộtđiểm trong thì không tồn tại không gian Haar các hàm liên tục trên Ω.Trong đó, không gian Haar được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.2.2

Cho Ω ⊂ Rd, và F ⊂ C(Ω) là không gian tuyến tính hữu hạn chiều có cơ

sở là {B1, B2, , Bn} Ta nói F là không gian Haar trên Ω nếu detA 6= 0

với mọi bộ tâm phân biệt {x1, x2, , xn} trong Ω Trong đó ma trận

A = (Ajk)n×n; Ajk = Bk(xj); j, k = 1, 2, , n

Bộ tâm phân biệt được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.2.3 (Bộ tâm phân biệt)

Bộ tâm phân biệt X là tập các điểm phân biệt của không gian Rd tronglân cận của điểm x0

Sự tồn tại của không gian Haar đảm bảo tính khả nghịch của ma trậnnội suy, nghĩa là tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán nội suy 1.1 Khônggian các đa thức một biến bậc n − 1 chính là không gian Haar n chiều vớitập dữ liệu (xj; yj), j = 1, n; xj ∈ R; yj ∈ R Định lí Mairhuber-Curtischo thấy rằng nếu muốn giải được bài toán nội suy dữ liệu phân tán trongkhông gian nhiều chiều thì cơ sở cần phụ thuộc vào các vị trí dữ liệu Đểthu được các không gian xấp xỉ phụ thuộc dữ liệu, chúng ta cần xét đếncác hàm xác định dương và các ma trận dương.

Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi c = (0, 0, , 0)T

Tính chất quan trọng của ma trận xác định dương là nó có tất cả cácgiá trị riêng đều dương và không suy biến

Nếu hệ cơ sở {Bk}n

k=1, trong bài toán 1.1 làm cho ma trận nội suy A xácđịnh dương thì hệ (1.4) có nghiệm duy nhất

1.2.2 Hàm xác định dương

Định nghĩa 1.2.5 Hàm liên tục Φ : Rd −→ R là xác định dương trên Rd

khi và chỉ khi nó là hàm chẵn và với mọi bộ tâm phân biệt từng đôi một

X = {x1, x2, , xn} ⊂ Rd; n ∈ N, và mọi vectơ c = (c1, c2, cn) ∈ Rn thìdạng toàn phương

Định nghĩa 1.2.6 Hàm một biến φ : [0, ∞) −→ R được gọi là xác định

dương trên Rd nếu hàm nhiều biến tương ứng Φ(x) = φ(||x||) với ∀x ∈ Rd

là xác định dương, (với ||x|| là một chuẩn nào đó trong Rd, ta thường dùngchuẩn Ơcơlit)

Từ định nghĩa trên và tính chất của ma trận xác định dương ta thấy

có thể sử dụng các hàm xác định dương Bk = Φ(x − xk) là hệ hàm cơ sở

1.2.3 Hàm bán kính

Định nghĩa 1.2.7 [7] Hàm Φ : Rd → R được gọi là hàm bán kính

nếu tồn tại hàm một biến φ : [0, ∞) → R sao cho Φ(x) = φ(||x||) với

∀x ∈ Rd.(Trong đó ||x|| là một chuẩn nào đó trong Rd, ta thường dùngchuẩn Ơcơlit)

1.2.4 Hàm cơ sở bán kính( Radial Basis Function-RBF )

Định nghĩa 1.2.8 [7] Cho hàm bán kính Φ : Rd → R Hàm số một biến

φ : [0; ∞) → R thỏa mãn: Φ(x) = φ(r), được gọi là hàm cơ sở bán kính(với r = ||x||, ||.|| là một chuẩn nào đó trong Rd ta thường dùng chuẩnƠcơlit)

1.2.5 Hàm bán kính xác định dương

Định nghĩa 1.2.9 [7] Cho hàm Φ : Rd →R với hàm cơ sở tương ứng là

φ Ta nói φ xác định dương trên Rd khi và chỉ khi Φ xác định dương trên

Rd

1.2.6 Hàm bán kính xác định dương có điều kiện

Định nghĩa 1.2.10 [7] Hàm chẵn, liên tục Φ : Rd → R được gọi là xác

định dương có điều kiện bậc l nếu với mọi bộ tâm phân biệt từng đôi một

{x1, x2, , xn} ⊂ Rd, n ∈ N, với mọi vectơ (c1, c2, , cn) ∈ Rn và mọi đathức p giá trị thực bậc nhỏ hơn l, thỏa mãn

và công thức trên là đẳng thức khi và chỉ khi c là vectơ 0.

Nhận xét

i) Nếu một hàm là xác định dương có điều kiện bậc l trong không gian Rdthì nó sẽ là xác định dương có điều kiện với mọi bậc lớn hơn l Cụ thể lànếu một hàm là xác định dương (l = 0) thì sẽ là xác định dương với mọibậc l ∈ N

ii) Ma trận A với các phần tử Ajk = Φ(xj− xk) tương ứng với hàm chẵn,liên tục và xác định dương có điều kiện bậc l, có thể được xem như là hàmxác định dương trên không gian vectơ c sao cho

Khi các mốc nội suy xác định thì giải pháp tối ưu là đưa vào hàm Φk mộttham số hình dạng εk Như vậy ta cần tìm εk để bài toán thỏa mãn điềukiện nội suy, đồng thời chất lượng nội suy là tốt nhất Khi đó εk còn gọi

là tham số tỉ lệ (scaling) của hàm cơ sở bán kính vì nó dùng để điều chỉnh

độ rộng của miền ảnh hưởng của hàm cơ sở φ Khi ||x − xk|| > ε − εk thìgiá trị hàm Φk(x) là rất nhỏ không có ý nghĩa vì nó gần triệt tiêu Vì vậy

ta nói hàm bán kính này chỉ có ảnh hưởng địa phương

* Tham số hình dạng cho một số hàm cơ sở bán kính [5]

Tên hàm Tên viết tắt Biểu thức tham số hóa hình dạng

Trong chương này chúng tôi đã trình bày một số vấn đề cơ bản nhất về

lí thuyết của hàm bán kính, hàm cơ sở bán kính, hàm bán kính xác địnhdương và ma trận xác định dương Đó là những kiến thức cơ bản nhất đểphục vụ cho chương 2

Cũng trong chương này, chúng tôi trình bày bài toán nội suy hàm số trêntập dữ liệu phân tán Đồng thời giới thiệu một số hàm cơ sở bán kính cùngvới vấn đề cần thiết phải đưa vào một tham số hình dạng  > 0, sao cho

số điều kiện của ma trận nội suy chấp nhận được

Chương 2

Nội suy hàm cơ sở bán kính và ứng dụng tính đạo hàm

Cho bài toán 1.1 và bộ Φk, k = 1, 2, · · · , n sao cho

Φk(x) = Φ(x − xk) = φ (kx − xkk) với k = 1, 2, , n và x ∈ Rd (2.1)Khi đó nội suy hàm số dựa trên các hàm bán kính có nghĩa là tìm

trong đó Φ(x) là hàm xác định dương và được xác định theo (2.1)

Khi đó ma trận nội suy

Nhận xét:

i) Việc chọn hàm cơ sở phải gắn liền với đối tượng nghiên cứu Vì vậytrong việc giải phương trình đạo hàm riêng thì các hàm cơ sở bán kínhphải là các hàm khả vi liên tục và thậm chí phải khả vi liên tục vô hạnlần

ii) Để bài toán nội suy có nghiệm duy nhất ta cần chọn các hàm cơ sở Φk

phù hợp sao cho detA 6= 0 (A là ma trận nội suy)

2.1.1 Nội suy với độ chính xác đa thức

Nội suy với độ chính xác đa thức dựa trên hàm cơ sở bán kính có nghĩalà:

là số chiều của không gian các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng m − 1

của d biến và p1, p2, , pM là cơ sở của không gian đó

Theo điều kiện nội suy ta có

P = (pil) ; pil = pl(xi), l = 1, 2, , M ; i = 1, 2, , n; d = (d1, d2, , dM)T.

Đây là hệ n + M phương trình đối với các ẩn c1, c2, , cn và d1, d2, , dM

Hệ này có thể viết dưới dạng



=



y0



(2.8)

2.1.2 Sai số, ổn định và hội tụ của nội suy hàm cơ sở theo bán

kính

a) Ước lượng sai số

Cho f : Ω ⊆ Rd →R ta ký hiệu NΦ(Ω) là không gian được sinh bởi Φ, đó

là không gian Hilbert mà các phần tử của nó có dạng

Khi đó, với các hàm khả vi vô hạn lần như hàm Gauss và hàm IM Q thì

ta có độ hội tụ cao bất kỳ Nghĩa là, với Φ là hàm xác định dương bậc m,

∀l ∈ N và l ≥ max{|α|, m − 1} tồn tại các hằng số h0(l), Cl > 0 sao cho

Từ đó ta có sai số tuyệt đối

Định nghĩa 2.1.1 [6] (Số điều kiện của ma trận)

Giả sử A là ma trận khả nghịch Khi đó, số điều kiện của ma trận A đượctính bởi công thức

cond(A) = ||A||.||A−1||

Đối với ma trận xác định dương thì cond(A) = λmax

λmin trong đó λmax là giá

trị riêng lớn nhất, λmin là giá trị riêng nhỏ nhất

trong đó Cd là hằng số và qχ = 1

2mini6=j ||xi − xj|| là khoảng cách táchbiệt Hơn nữa ta thấy rằng:

Nếu cố định  và cho qχ −→ 0 thì cond(A) −→ ∞

Nếu cố định qχ và cho  −→ 0 thì cond(A) −→ ∞

Do đó, nếu chọn nhiều điểm hoặc chọn  quá nhỏ đều có thể dẫn đếnkết quả tính toán không ổn định Vì vậy vấn đề đặt ra là chọn số điểm nộisuy bằng bao nhiêu và  bằng bao nhiêu là tối ưu [5].

c) Sự hội tụ của nội suy hàm cơ sở bán kính

Đối với hàm Gauss và lớp hàm MQ năm 1991 Madych đã chứng minhđược rằng nếu f ∈ NΦ(Ω) thì tồn tại λ ∈ (0; 1) sao cho

dựa vào nội suy hàm cơ sở theo bán kính

Trong thực tế, nhiều khi ta cần tính gần đúng đạo hàm của một hàm

số y = f (x) nhưng hàm này chỉ biết được các giá trị y1, y2, · · · , yn củahàm số tại các điểm x1, x2, · · · , xn hoặc biểu thức giải tích của hàm f (x)

quá phức tạp Khi đó thay cho hàm f (x) ta xét hàm nội suy s(x) và xemđạo hàm của hàm f (x) xấp xỉ bằng đạo hàm của hàm s(x) với một sai sốnào đó

2.2.1 Nội suy hàm cơ sở bán kính không thành phần đa thức

Cho bộ tâm phân biệt từng đôi một X = {x1, x2, , xn} ⊂ Rd,

u : Rd → R là hàm liên tục và đủ trơn Giả sử φ : R+ → R là hàm xác

định dương và đủ trơn Khi đó hàm nội suy cơ sở bán kính s (x) của hàm

u (x) được viết dưới dạng

, u|X = [u(x1), u(x2), , u(xn)]T,

a = [a1, a2, , an]T

Khi đó ta có thể viết (2.16) dưới dạng ma trận:

Φ|Xa = u|X

Vì φ là hàm xác định dương nên ma trận Φ|X là xác định dương với bộtâm X phân biệt từng đôi một Do đó, véc tơ a được xác định duy nhấtbởi:

Hàm nội suy cơ sở bán kính s(x) là một xấp xỉ tốt của hàm u(x) nếu hàm

u(x) đủ trơn và các tâm x1, x2, , xn ∈ Rd đủ dầy trong lân cận của x.Hơn nữa, đạo hàm của hàm s(x) cũng xấp xỉ tốt với đạo hàm của hàm

u(x) nếu hàm φ đủ trơn Vì vậy nếu D là toán tử vi phân tuyến tính thì

Ds(x) là xấp xỉ của Du(x) được xét dưới dạng:

Mệnh đề 2.2.1 [5] Cho bộ tâm phân biệt từng đôi mộtX = {x1, x2, , xn} ⊂

Rd, u : R+ −→ R là hàm liên tục và đủ trơn, D là toán tử vi phân tuyếntính và hàm nội suy cơ sở bán kính s(x) của hàm u(x) được biểu diễn dướidạng (2.14) - (2.15) Khi đó véc tơ trọng số w của vi phân số tại x đượctìm bằng cách giải hệ phương trình (2.21), hay véc tơ trọng số là các hệ sốcủa nội suy hàm cơ sở bán kính với dữ liệu được cho bởi hàm DΦ(x − ·)|X

2.2.2 Nội suy hàm cơ sở bán kính với độ chính xác đa thức

Cho φ : R+ −→R là hàm xác định dương hoặc xác định dương có điều

kiện bậc cao nhất là l + 1, X = {x1, x2, , xn} ⊂ Rd là bộ tâm phân biệttừng đôi một và u :Rd −→ R là hàm liên tục.

Khi đó s là hàm nội suy cơ sở theo bán kính của hàm u được viết dướidạng: