Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p adic ( Luận án tiến sĩ)

Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p adic ( Luận án tiến sĩ)Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p adic ( Luận án tiến sĩ)Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p adic ( Luận án tiến sĩ)Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p adic ( Luận án tiến sĩ)Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p adic ( Luận án tiến sĩ)Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p adic ( Luận án tiến sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ BÍCH THÙY PHÂN BỐ GIÁ TRỊ ĐỐI VỚI ĐƠN THỨC VI PHÂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH P - ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ BÍCH THÙY PHÂN BỐ GIÁ TRỊ ĐỐI VỚI ĐƠN THỨC VI PHÂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH P - ADIC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Vũ Hồi An THÁI NGUN - 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực, không trùng lặp với đề tài khác thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2014 Học viên Nguyễn Thị Bích Thùy Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i Mục lục Các kí hiệu ii Mở đầu 1 Phân bố giá trị hàm phân hình p - adic 1.1 Hàm đặc trưng hàm phân hình p-adic 1.1.1 Không gian Cp 1.1.2 Hàm đặc trưng 1.2 Hai Định lý lý thuyết Nevanlinna p-adic 1.2.1 Hai Định lý 1.2.2 Các ý Định lý thứ hai 13 Phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình p-adic 15 2.1 Giả thuyết Hayman p - adic 16 2.2 Phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình p-adic 25 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii Các kí hiệu • Cp : Trường số phức p - adic • f : Hàm phân hình p - adic • Nf (a, r): Hàm đếm f a • mf (∞, r) : Hàm xấp xỉ f • Tf (r): Hàm đặc trưng f Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Lý chọn luận văn Lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna xây dựng xem thành tựu toán học đẹp đẽ toán học kỷ XX, mà ngày gọi Lý thuyết Nevanlinna Nội dung Lý thuyết phân bố giá trị hai định lý Định lý thứ mở rộng Định lý đại số, mô tả phân bố giá trị hàm phân hình khác mặt phẳng phức C Định lý thứ hai mở rộng Định lý Picard, mô tả ảnh hưởng đạo hàm đến phân bố giá trị hàm phân hình Hà Huy Khoái người xây dựng tương tự Lý thuyết phân bố giá trị cho trường hợp p - adic Ơng học trò tương tự lý thuyết Nevanlinna cho trường số phức p - adic mà ngày thường gọi lý thuyết Nevanlinna p - adic Họ đưa hai Định lý cho hàm phân hình ánh xạ chỉnh hình p - adic Một ứng dụng sâu sắc lý thuyết phân bố giá trị (phức p - adic) Vấn đề xác định cho hàm phân hình khác (phức p-adic) qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm mà ngày gọi Định lý điểm Nevanlinna (hoặc tương tự Định lý điểm cho trường hợp p-adic) Phân bố giá trị vấn đề xác định nhiều nhà toán học nước xét mối liên hệ với đạo hàm hàm phân hình ảnh ngược điểm riêng rẽ Người khởi xướng hướng nghiên cứu Hayman Năm 1967, Hayman chứng minh kết sau đây: Định lí A[4] Cho f hàm phân hình C Nếu f (z) = f (k) (z) = với k số nguyên dương với z ∈ C, f Số hóa Trung tâm Học lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Năm 1967, Hayman đưa giả thuyết sau đây: Giả thuyết Hayman[4] Nếu hàm nguyên f thỏa mãn f n (z) f (z) = ′ với n số nguyên dương với z ∈ C , f Giả thuyết Hayman Hayman kiểm tra hàm nguyên siêu việt n > , Clunie kiểm tra n ≥ Các kết vấn đề liên quan hình thành nhánh nghiên cứu gọi lựa chọn Hayman Tiếp đó, hàm nguyên f g , C C Yang G G Gundersen nghiên cứu trường hợp f (k) g (k) nhận giá trị CM, k = 0, Cơng trình quan trọng thúc đẩy hướng nghiên cứu thuộc C.C.Yang – X.H Hua.Năm 1997, hai ông chứng minh định lý sau đây: Định lí B[13] Cho f g hai hàm phân hình khác hằng, n ≥ 11 ′ ′ số nguyên a ∈ C - {0} Nếu f nf g n g nhận giá trị a CM hoặcf = dg với dn+1 = g (z) = c1 ecz f (z) = c2 e−cz , c, c1 , c2 số thỏa mãn (c1 c2 )n+1 c2 = −a2 Từ đó, hướng nghiên cứu phát triển mạnh mẽ với kết sâu sắc I Lahiri, Q Han – H X Yi, W Bergweiler, J K Langley, K Liu, L Z Yang, L C Hong, M L Fang, B Q Li, P C Hu - C.C.Yang, A Eremenko, G Frank - X Hua – R Vaillancourt Công cụ sử dụng số kiểu định lí thứ hai cho đa thức vi phân với với ước lượng hàm đặc trưng, hàm đếm hàm đạo hàm Trong trường hợp p-adic, kết theo hướng nghiên cứu thuộc J Ojeda[11] Năm 2008, J Ojeda xét vấn đề nhận giá trị ′ f + T f n với T hàm hữu tỷ Ở đó, J Ojeda nhận kết sau: Định lí C[11] Cho f hàm phân hình Cp, n ≥ số nguyên ′ a ∈ Cp - {0} Khi f n (z) f (z) = a với z ∈ Cp f Năm 2011, Hà Huy Khối Vũ Hồi An thiết lập kết tương m tự cho đơn thức vi phân dạng f n (z) f (k) (z) Họ nhận kết sau: Định lí D[4] Cho f hàm phân hình Cp , thỏa mãn điều kiện f n (z) (f (k))m (z) = với z ∈ Cp n,m k số ngun khơng Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ âm.Khi f đa thức bậc < k điều kiện sau xảy ra: f hàm nguyên k > m = 1, n > √ 1+ 1+4k m > 1, n ≥ 3.n ≥ 0, m > 0, k > 0, tồn số C, r0 cho |f |r < C với r > r0 Theo hướng nghiên cứu này, đề tài nhằm nghiên cứu vấn đề: Phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình p-adic Đây vấn đề có tính thời giải tích p-adic Phương pháp dùng : Vận dụng kiểu Định lý thứ hai trường p-adic để xét phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình p-adic Ngồi phần mở đầu tài liệu tham khảo luận văn gồm: Chương Phân bố giá trị hàm phân hình p-adic Chương Phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình p-adic Luận văn hoàn thành Khoa Sau Đại Học, Đại Học Sư Phạm Thái Nguyên hướng dẫn Tiến Sĩ Vũ Hồi An Nhân dịp này, tơi xin cảm ơn Tiến Sĩ Vũ Hoài An, người hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt q trình thực luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến nhà toán học Khoa Toán, Đại Học Sư phạm - Đại Học Thái Nguyên Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Thái Ngun, tháng 04 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Bích Thùy Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Phân bố giá trị hàm phân hình p - adic Hiện tập giảng nhập mơn Giải tích p-adic [2] Hà Trần Phương tài liệu tiếng Việt dùng cho cao học ngành giải tích Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Thái Nguyên Sách chun khảo hàm phân hình khơng Acsimet Hu-Yang [9] tài liệu tham khảo tiếng Anh tốt cho cao học, nghiên cứu sinh người muốn tìm hiểu lý thuyết phân bố giá trị p-adic Trên sở tài liệu này, chương chúng tơi trình bày số kiến thức phân bố giá trị hàm phân hình p-adic để dùng cho chương 1.1 1.1.1 Hàm đặc trưng hàm phân hình p-adic Khơng gian Cp Với p số nguyên tố cố định, Ostowski khẳng định: Chỉ có hai cách trang bị chuẩn khơng tầm thường cho trường hữu tỉ Q Mở rộng theo chuẩn thông thường ta có trường số thực R, mở rộng theo chuẩn p-adic ta có trường số Qp Kí hiệu Cp = Qp bổ sung bao đóng đại số Qp Ta gọi Cp trường số phức p-adic Chuẩn Cp mở rộng tự nhiên chuẩn p-adic Qp Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Kí hiệu: Dr = {z ∈ Cp : |z| ≤ r}, D = {z ∈ Cp : |z| = r} Giả sử f (z) hàm chỉnh hình Dr biểu diễn f (z) = an z n n≥0 Do lim |an | |z | = nên tồn n ∈ N để |an | |z | đạt giá trị lớn ∗ n n−→∞ n Khi ta đặt: |f |r = max {|an | |z n |} n≥0 Trong suốt luận văn ta quy ước log logp 1.1.2 Hàm đặc trưng Giả sử f một hàm chỉnh hình khác Cp Với a ∈ Cp , f viết f = Pi (z − a) với Pi đa thức bậc i Định nghĩa vf (a) = {i : Pi = 0} Cho d ∈ Cp , Định nghĩa hàm vfd : ∈ Cp −→ N xác định vfd (a) = vf −d (a) nf (a, x) dx x nf (a, x) số nghiệm phương trình f (z) = a tính bội đĩa |z| ≤ x Nếu a = đặt Nf (r) = Nf (0, r) Cho l số nguyên dương Đặt nl,f (a, x) intrρ0 dx, nl,f (a, x)= {vf −a(z), l} Nl,f (a, r) = lnp x |z|≤r Cho k số nguyên dương, Ta định nghĩa hàm vf≤k từ Cp vào N xác định bởi:  0 v (z) > k f ≤k vf (z) = v (z) v (z) ≤ k Cố định số thực ρ0 với < ρ0 ≤ r Định nghĩa Nf (a, r) = lnp f f n≤k f (r) = |z|≤r ≤k vf≤k (z), n≤k f (a, r) = nf −a (r) ≤k r nf (a, x) dx Định nghĩa = lnp ρ0 x Nếu a = đặt Nf≤k (r) = Nf≤k (0, r) Nf≤k (a, r) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ r ρ0 ... thức vi phân hàm phân hình p- adic Ngồi phần mở đầu tài liệu tham khảo luận văn gồm: Chương Phân bố giá trị hàm phân hình p- adic Chương Phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình p- adic Luận. .. 13 Phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình p- adic 15 2.1 Giả thuyết Hayman p - adic 16 2.2 Phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình p- adic ... Phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình p- adic Đây vấn đề có tính thời giải tích p- adic Phương ph p dùng : Vận dụng kiểu Định lý thứ hai trường p- adic để xét phân bố giá trị đơn thức vi