2 Xác định duy nhất của hàm phân hình p adic
2.3.1 Tập duy nhất cho hàm phân hình p−adic
Cho f là hàm phân hình khác hằng trên Cp và S ⊂ Cp ∪ {∞} là một tập không rỗng. Ký hiệu Ef(S) = [ a∈S {(µaf(z), z) : z ∈ Cp} = [ a∈S Ef(a)
và định nghĩa tập ảnh ngược của S bởi f:
Ef(S) = f−1(S) = [
a∈S
{z ∈ Cp : µaf(z) > 0}.
Cho họ F ⊂ M(Cp). Một tập khác rỗng S ⊂ Cp∪ {∞} được gọi là
urscm(tương ứng mộtursim) cho họ hàmF nếu với mọi cặp hàm khác hằng f, g ∈ F thỏa mãn Ef(S) = Eg(S) (tương ứng Ef(S) = Eg(S)), ta có f = g.
Kí hiệu urscm ở trên (tương ứng ursim) là tập duy nhất kể cả bội (tương ứng, tập duy nhất không kể bội). Nếu hai hàm f, g ∈ F thỏa mãn Ef(S) = Eg(S) (tương ứng, Ef(S) = Eg(S)) ta cũng nói rằng f
và g chung nhau tập S CM (tương ứng, IM).
Tổng quát, một bộ n tập S = (S1, . . . , Sn) của các tập khác rỗng
S1, . . . , Sn trongCp∪{∞}vớiSi∩Sj = ∅, (i 6= j)gọi là mộtn−urscm
(tương ứng, một n−ursim) cho họ hàm F nếu với mỗi cặp hàm khác hằng f, g ∈ F thỏa mãn Ef(S) = Eg(S) (tương ứng Ef(S) = Eg(S)), thì f = g, trong đó:
Ef(S) = (Ef(S1), . . . , Ef(Sn)), Ef(S) = (Ef(S1), . . . , Ef(Sn)).
Nếu hai hàm f, g ∈ F thỏa mãn Ef(S) =Eg(S) (tương ứng, Ef(S) =
Eg(S)) ta cũng nói f và g chung nhau bộ n tập hợp S CM, (tương ứng, IM). Với bộ n tập S = (S1, . . . , Sn) ta ký hiệu:
#S = #S1 +· · ·+ #Sn,
trong đó #Si là số phần tử của tập Si. Do đó, ta có hai số:
cn(F) = min{#S : S là n−urscm của F }
và
in(F) = min{#S :S là n−ursim của F }.
Hiển nhiên ta có:
vì một n−urscm cũng là n− ursim. Cho số nguyên dương n > 1, nếu S là một (n−1)−urscm hoặc (n−1)−ursim thì với mỗi tập
T ∈ Cp∪ {∞}, (S, T) là một n−urscm hoặc n−ursim và do đó
cn(F) ≤cn−1(F) + 1 ≤c1(F) +n−1, hoặc in(F) ≤in−1(F) + 1 ≤ i1(F) +n−1. Khi đó các Định lí 2.1 và Định lý 2.2 cho ta cn(M(Cp)) =in(M(Cp)) = n, (n≥ 4), cn(A(Cp)) = in(A(Cp)) =n, (n≥ 2). Từ Định lí 2.3 ta có: c3(M(Cp)) = 3.
Những vấn đề cơ bản, quan trọng trong việc nghiên cứu n−urscm
và n−ursim là:
(i) Tìm các dạng n−urscm và n−ursim;
(ii) Tìm các chặn tốt nhất của cn(F) và in(F);
(iii) Tìm các đặc trưng của n−urscm hoặc n−ursim.
Ký hiệu Aut(Cp) là nhóm của các đa thức tuyến tính khác hằng trong Cp[z], nghĩa là σ ∈ Aut(Cp) nếu và chỉ nếu σ(z) = az + b với
a 6= 0. Ký hiệu Id là ánh xạ đồng nhất trên Cp. Chú ý rằng một tập
S trong Cp là ursim cho Aut(Cp) nếu và chỉ nếu S là urscm cho
Aut(Cp). Lấy σ, η ∈ Aut(Cp). Ta thấy rằng σ−1(S) = η−1(S) nếu và chỉ nếu η ◦σ−1 = S. Do đó, S là một ursim cho Aut(Cp) nếu và chỉ nếu không tồn tại ξ ∈ Aut(Cp)− {Id} thỏa mãn ξ(S) = S. Tiếp theo ta xem xét một số ví dụ về urscm và ursim.
Ví dụ 1. ([7]) Lấy σ, η ∈ Aut(Cp) xác định bởi:
Rõ ràng ta có
σ({−1,0,1}) ={−1,0,1}, η(Ω3(Cp)) = Ω3(Cp).
Do đó,{−1,0,1}và Ω(Cp) đều không phải làursim củaAut(Cp). Chú ý rằng, với mỗi cặp phân biệt a, b ∈ Cp ánh xạ ξ ∈ Cp được xác định bởi:
ξ(z) = −z +a+b,
thỏa mãn ξ({a, b}) = {a, b}. Kéo theo mỗi một ursim cho Aut(Cp)
chứa ít nhất 3 giá trị. Do đó, c1(A(Cp)) ≥ 3.
Ví dụ 2. ([2, 7]) Lấy S = {a1, a2, a3} ⊂ Cp và đặt:
c = 1
3(a1 +a2 +a3), a = c−a1, ω ∈ Ω3(Cp)− {1}.
Khi đó,S không phải là mộtursim choAut(Cp) nếu và chỉ nếuS được biểu diễn bởi một trong hai dạng sau:
(i) S = {c−a, c, c+a}; (ii) S = {c+ a, c+ωa, ω2a}.
Hai ánh xạ của Aut(Cp) bất biến với S tương ứng là:
σ(z) =−z+ 2c, η(z) =ωz + (1−ω)c.
Năm 1997, Boutabaa, Escassut và Haddad ([2]) đã đặt ra câu hỏi "Có phải một tập hữu hạn S ⊂ Cp là urscm cho A(Cp) khi và chỉ khi
S là ursim cho Aut(Cp)". Họ khẳng định rằng điều này đúng trong trường hợp S có đúng 3 phần tử hoặcA(Cp) được thay thế bằng Cp[z]. Trường hợp tổng quát đã được Cherry và Yang chứng minh trong [4].
Định lý 2.17 ([4]). Một tập S hữu hạn khác rỗng trong Cp là urscm
cho A(Cp) nếu và chỉ nếu S là ursim của Aut(Cp).
Bổ đề 2.18 ([4]). Với f, g ∈ A(Cp)−Cp và F(x, y) là một đa thức hai ẩn với hệ số trong Cp. Nếu F(f, g) ≡ 0 thì tồn tại h ∈ A(Cp), p, q ∈ Cp[z] thỏa mãn f = p(h) và g = q(h).
Bổ đề 2.19 ([2]). Cho h ∈ A(Cp)−Cp và p, q, P ∈ Cp[z] thỏa mãn:
n= deg(P) ≥ 1, d = deg(p) ≥max{1,deg(q)}.
Giả sử c là một hằng số khác không sao cho P(p(h)) =cP(q(h)). Khi đó p(h) =Aq(h) +B, trong đó A, B ∈ Cp với An = c.
Ta tiếp tục chứng minh định lý. Giả sử S = {s1, . . . , sn}, đặt:
P(z) = (z −s1). . .(z−sn).
Lấy f, g ∈ A(Cp) −Cp chung nhau tập S kể cả bội. Khi đó, tồn tại một hằng số c thỏa mãn P(f) = cP(g). Áp dụng Bổ đề 2.18 cho F(x, y) = P(x)− cP(y) ta có: tồn tại h ∈ A(Cp), p, q ∈ Cp[z] thỏa mãn f = p(h) và g = q(h). Theo Bổ đề 2.19 ta có A và B là hằng số và An = c. Vì S ⊂ g(Cp) = Cp và chú ý rằng f−1(S) = g−1(S) nên g(g−1(S)) = S vàf(g−1(S)) = f(f−1(S)) =S. Ta viếtσ(z) = Az+B. Khi đó, S = f(g−1(S)) = (σ◦g)(g−1(S)) = σ(S).
Nếu S là một urscm cho A(Cp) thì hiển nhiên S là ursim cho
Aut(Cp). Ngược lại, giả sử S là một ursim cho Aut(Cp), khi đó f, g ∈ A(Cp)−Cp chung S CM có nghĩa là f = σ◦g và σ(S) = S theo chứng minh trên. Điều đó kéo theo σ = Id nên f = g. Suy ra S là urscm cho
A(Cp).
Định lý 2.20 ([7]). Với hai số bất kỳ a, b ∈ Cp, nếu hai hàm nguyên khác hằng f và g trên Cp thỏa mãn (f −a)(f −b) và (g −a)(g −b)
chung nhau giá trị 0 CM thì f = g hoặc f +g = a+b.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng a = 0
cho P(f) =cP(g). Áp dụng Bổ đề 2.18 cho hàm F(x, y) = P(x) −cP(y), tồn tại h ∈ A(Cp), p, q ∈ Cp[z] thỏa mãn f = p(h), g = q(h). Theo Bổ đề 2.19 ta có f = Ag+ B, trong đó A và B là hằng số và A2 = c. Do đó cg2 −cg = f(f −1) = A2g2 + (A(B −1) +AB)g +B(B−1).
Điều đó kéo theo
−c = A(B −1) +AB và B(B −1) = 0
vì g không phải là hằng số. Do đó B = 0, A = c = 1 hoặc A = −c =
−1. Điều này kéo theo kết luận của định lý.