Đa tạp quán tính xấp xỉ và ứng dụng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN PHAM MANH HÙNG ĐA TAP QUÁN TÍNH XAP XI VÀ ÚNG DUNG LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Hà N®i - Năm 2014 PHAM MANH HÙNG ĐA TAP QUÁN TÍNH XAP XI VÀ ÚNG DUNG Chuyên ngành: TOÁN ÚNG DUNG Mã so : 60 46 01 12 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS TS CUNG THE ANH Hà N®i - Năm 2014 Mnc lnc Lài cam ơn Lài nói đau Kien thÉc chuan b% 1.1 Phát bieu tốn biên ban đau đoi vói h¾ Navier-Stokes 1.2 Các không gian hàm toán tu 1.2.1 Các không gian hàm .6 1.2.2 Các toán tu 1.3 Mđt so ket qua ve hắ phng trỡnh Navier-Stokes 11 1.3.1 Sn ton tai nhat nghi¾m 11 1.3.2 Sn ton tai t¾p hút tồn cuc 14 1.3.3 Tính őn đ%nh cna nghi¾m dùng .16 1.3.4 Đánh giá so chieu cna t¾p hút toàn cuc 18 Đa tap quán tính xap xi đoi vái h¾ phương trình Navier-Stokes Éng dnng 24 2.1 Đ¾t van đe 24 2.2 Đa tap quán tính xap xi Hm 25 2.3 Đa tap quán tính xap xi M0 .28 2.3.1 Phương trình cna đa tap 28 2.3.2 Các đánh giá ve khoang cách cna quy đao tói M0 30 2.3.3 Ví du minh hQa .31 MUC LUC Ket lu¾n 33 Tài li¾u tham khao 34 Lài cam ơn Ban lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan chi bao t¾n tình cna PGS TS Cung The Anh Thay dành nhieu thòi gian hưóng dan giai đáp thac mac cna tơi suot q trình làm lu¾n văn Tơi muon bày to lòng biet ơn sâu sac đen ngưòi thay cna Qua đây, tơi xin gui tói thay cơng tác tai Khoa Tốn-Cơ-Tin HQ c, Trưịng Đai HQ c Khoa HQ c Tn nhiên, Đai HQ c Quoc gia Hà N®i, thay tham gia giang day khóa Cao HQc 2011 - 2013 lịi cam ơn chân thành đoi vói cơng lao day thịi gian chúng tơi HQc t¾p tai trưịng Tơi xin gui lịi cam ơn chân thành tói gia đình, ban bè, nhung ngưịi ln cő v, đng viờn tụi suot quỏ trỡnh HQc cng nh lm luắn H Nđi, ngy 12 thỏng 11 năm 2014 HQc viên Pham Manh Hùng Lài nói đau Các phương trình h¾ phương trình HQc chat long xuat hi¾n mơ ta chuyen đ®ng cna chat long khí nưóc, khơng khí, dau mo, dưói nhung đieu ki¾n tương đoi tőng quỏt Mđt nhung lúp hắ phng trỡnh c ban quan TRQNG HQc chat long, miêu ta dòng chay cna chat long lí tưong, nhót, khơng nén h¾ phương trình Navier-Stokes H¾ phương trình Navier-Stokes đưoc xây dnng tự cỏc %nh luắt bao ton khoi long, đng lưong có dang:  ∂ u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x, t)  ∂t ∇.u = Ω, 0, x∈ x ∈ Ω, t > t > 0, (1) o đó, u = u(x, t); p = p(x, t) tương úng hàm vectơ v¾n toc hàm áp suat can tìm, hang so ν > h¾ so nhót f ngoai lnc Khi nghiên cúu phương trình h¾ phương trình HQc chat long, dáng đi¾u ti¾m c¾n cna nghi¾m thịi gian dan vơ m®t n®i dung quan TRQNG can đưoc nghiên cúu cho phép dn đốn xu hưóng phát trien cna h¾ tương lai, tù có nhung đieu chinh thích hop đe đat đưoc muc đích mong muon Dáng đi¾u ti¾m c¾n nghi¾m thưịng đưoc nghiên cúu bang cách su dung lí thuyet t¾p hút ho¾c tình huong đơn gian nghiên cúu tính őn đ%nh cna nghi¾m dùng (xem [10]) Tuy nhiên, t¾p hút tồn cuc thưịng có cau trúc hình HQc rat phúc tap khơng őn đ%nh đoi vói nhieu; v¾y khơng th¾t phù hop cho van đe xap xi so dáng đi¾u cna nghi¾m thịi gian lón Bên canh đó, lí thuyet đa tap qn tính (là m®t đa tap Lipschitz huu han chieu, bat bien hút mũ quy đao) công cu quan TRQNG đe nghiên cúu dáng đi¾u ti¾m c¾n nghi¾m cna phương trình đao hàm riêng tiêu hao (xem[1, 3]) Đa tap quán tính, neu ton tai, se chúa t¾p hút tồn cuc chúa đnng nhieu thơng tin ve dáng đi¾u ti¾m c¾n cna h¾ xét; nói riêng có the qui vi¾c nghiên cúu dáng đi¾u ti¾m c¾n cna h¾ xét ve nghiên cúu dáng đi¾u ti¾m c¾n cna h¾ rút GQN đa tap qn tính, h¾ huu han chieu Tuy nhiên, phương Lèi NÓI đA u pháp kien thiet đa tap quán tính biet đeu yêu cau đieu ki¾n ke ho phő đn lón, túc khoang cách giua hai giá tr% riêng liên tiep phai đn lón M¾c dù chi đieu ki¾n đn, đieu ki¾n rat ng¾t nhieu phương trình quan TRQNG v¾t lí tốn khơng thoa mãn Cho đen nay, sn ton tai đa tap qn tính đoi vói h¾ phương trình NavierStokes hai chieu van câu hoi mo Tuy nhiên, dna lí thuyet đa tap quán tính, Foias-Manley-Temam xây dnng đa tap quán tính xap xi M0 cho h¾ phương trình Navier-Stokes hai chieu Đa tap qn tính xap xi t¾p hút tồn cuc tot so vói su dung đa tap qn tính xap xi thơng thưịng Hm (là đa tap tuyen tính), nh¾n đưoc bang cách su dung phương pháp Galerkin cő đien Lu¾n văn trình bày ket qua ve sn ton tai đa tap quán tính xap xi M0 đoi vói h¾ phương trình Navier-Stokes hai chieu úng dung van e xap xi nghiắm Nđi dung chớnh cna lu¾n văn dna báo [2, 11] Danh muc tài li¾u tham khao Ngồi lịi mo đau, ket lu¾n tài li¾u tham khao, lu¾n văn đưoc chia thành hai chương: Chương 1: Kien thÉc chuan b% Trong chương này, chúng tơi trình bày m®t so ket qua ban ve sn ton tai nhat nghi¾m yeu t¾p hút tồn cuc đoi vói h¾ phương trình NavierStokes Ta biet rang sn ton tai t¾p hút tồn cuc vói so chieu fractal huu han đieu ki¾n can đe ton tai đa tap qn tính Chương 2: Đa tap qn tính xap xi đoi vái h¾ phương trình NavierStokes Éng dnng Trong chương này, trưóc het dna phương pháp Galerkin cő đien, trình bày dáng đi¾u cna dịng xốy nho cna h¾ phương trình Navier- Stokes bang cách su dung đa tap qn tính xap xi Hm Tiep theo, chúng tơi trình bày đa tap qn tính xap xi M0 đưa ưóc lưong ve khoang cách cna quy đao đen đa tap Cuoi chúng tơi trình bày mđt vớ du minh HQA cho tớnh u viắt cna đa tap M0 so vói đa tap Hm Chương Kien thÉc chuan b% Trong chương chúng tơi trình bày m®t so ket qua cő đien ve sn ton tai nhat nghi¾m dáng đi¾u ti¾m c¾n nghi¾m cna h¾ phương trình Navier-Stokes hai chieu mien b% ch¾n Các ket qua chương dna theo [9, 10] 1.1 Phát bieu toán biên ban đau đoi vái h¾ Navier-Stokes Gia su Ω mien b% ch¾n R2 vói biên ∂Ω trơn Xét tốn biên ban đau đoi vói h¾ phương trình Navier-Stokes hai chieu: ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f, x ∈ ∂ Ω, t > 0,  t x ∈ Ω, t > ∇ · u = 0, u(x, t) = x ∈ ∂Ω, t > 0,   u(x, 0) = u0 (x) (1.1) x ∈ Ω, u = (u1, u2)T hàm vectơ v¾n toc, p : Ω → R hàm áp suat, hang so ν > h¾ so nhót 1.2 Các khơng gian hàm tốn tE Trong muc ta giói thi¾u khơng gian hàm tốn tu thưịng dùng nghiên cúu h¾ phương trình Navier-Stokes 1.2.1 Các khơng gian hàm Kí hi¾u: V = {u ∈ (C0∞ (Ω) )2 : ∇ · u = 0} Chương Kien thúc chuan b Đe nghiên cúu toán (1.1), ta xét không gian hàm sau: (H (Ω)) V =V = {u ∈ (H1(Ω))2 : ∇ · u = 0} bao đóng cna V (H1(Ω))2, H= V (L2(Ω))2 0 bao đóng cna V (L (Ω)) 2 Khi H V khơng gian Hilbert vói tích vơ hưóng lan lưot là: ∫ ∫ u · vdx uiv = (u, v) = (u, v)H = Ω Ω ((u, v)) = (u, v)V = Σ dx , i Σi=1 ∂ui ∂v ∇ui · ∇vidx = ∫ i dx, Σ ∫ Ω i=1 Ω i,j=1 ∂xj ∂xj u = (u1, u2)T , v = (v1, v2)T GQI H ⊥ phan bù trnc giao cna H (L2 (Ω))2 Tù ket qua Temam [8], ta có H⊥ = {u ∈ (L2(Ω))2 : u = gradp, p ∈ H1(Ω)} GQI V J không gian đoi ngau cna V Ta kí hi¾u |.|, ǁ.ǁ lan lưot chuan H V , ǁ.ǁ∗ chuan V J 1.2.2 Các toán tE ∗ Toán tE A: Gia su A : V → V J toán tu xác đ%nh boi (Au, v) = ((u, v)), ∀u, v ∈ V Kí hi¾u D(A) mien xác đ%nh cna A, ta có: D(A) = {u ∈ H : Au ∈ H} = (H2(Ω))2 ∩ V De thay A toán tu tuyen tính khơng b% ch¾n, tn liên hop, xác đ%nh dương có ngh%ch đao A−1 : H → D(A) compact phép nhúng H1(Ω) ‹→ L2(Ω) compact Do đó, phő cna A gom tồn giá tr% riêng {λi }∞i=1 vói < λ1 ≤ λ2 ≤ ≤ λn ≤ , λn → +∞ n → +∞, 10 Tài li¾u tham khao 56 Tài li¾u tham khao 57 Tài li¾u tham khao 58 Tài li¾u tham khao 59 Tài li¾u tham khao 60 Tài li¾u tham khao 61 Tài li¾u tham khao 62 Tài li¾u tham khao 63 Tài li¾u tham khao 64 Tài li¾u tham khao 65 Tài li¾u tham khao 66 Tài li¾u tham khao 67 Tài li¾u tham khao 68 Tài li¾u tham khao 69 Tài li¾u tham khao 70 ... có the xap xi nghi¾m u(t) boi nghi¾m đa tap quán tính xap xi Hm Đa tap Hm rat đơn gian đa tap tuyen tính 2.3 Đa tap qn tính xap xi M0 2.3.1 Phương trình cua đa tap Trong phương pháp xap xi Galerkin... nay, sn ton tai đa tap quán tính đoi vói h¾ phương trình NavierStokes hai chieu van câu hoi mo Tuy nhiên, dna lí thuyet đa tap quán tính, Foias-Manley-Temam xây dnng đa tap qn tính xap xi M0 cho... dung đa tap quán tính xap xi Hm Tiep theo, chúng tơi trình bày đa tap qn tính xap xi M0 đưa ưóc lưong ve khoang cách cna quy đao đen đa tap Cuoi chúng tơi trình bày m®t ví du minh HQA cho tính