Đang tải... (xem toàn văn)
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kết quả cổ điển về sự tồn tại duy nhất nghiệm và dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều trong miền bị chặn.. Te[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
PHẠM MẠNH HÙNG
ĐA TẠP QUÁN TÍNH XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG
(2)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
PHẠM MẠNH HÙNG
ĐA TẠP QUÁN TÍNH XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS CUNG THẾ ANH
(3)Mục lục
Lời cảm ơn
Lời nói đầu
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Phát biểu toán biên ban đầu hệ Navier-Stokes
1.2 Các không gian hàm toán tử
1.2.1 Các không gian hàm
1.2.2 Các toán tử
1.3 Một số kết hệ phương trình Navier-Stokes 11
1.3.1 Sự tồn nghiệm 11
1.3.2 Sự tồn tập hút tồn cục 14
1.3.3 Tính ổn định nghiệm dừng 16
1.3.4 Đánh giá số chiều tập hút toàn cục 18
2 Đa tạp quán tính xấp xỉ hệ phương trình Navier-Stokes ứng dụng 24 2.1 Đặt vấn đề 24
2.2 Đa tạp quán tính xấp xỉ Hm 25
2.3 Đa tạp quán tính xấp xỉ M0 28
2.3.1 Phương trình đa tạp 28
2.3.2 Các đánh giá khoảng cách quỹ đạo tới M0 30
(4)MỤC LỤC
Kết luận 33
Tài liệu tham khảo 34
(5)Lời cảm ơn
Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình PGS TS Cung Thế Anh Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy
Qua đây, xin gửi tới thầy cô công tác Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy tham gia giảng dạy khóa Cao học 2011 - 2013 lời cảm ơn chân thành công lao dạy dỗ thời gian học tập trường
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người cổ vũ, động viên suốt trình học tập làm luận văn
Hà Nội, ngày 12 tháng 11 năm 2014
Học viên
(6)Lời nói đầu
Các phương trình hệ phương trình học chất lỏng xuất mô tả chuyển động chất lỏng khí nước, khơng khí, dầu mỏ, điều kiện tương đối tổng quát Một lớp hệ phương trình quan trọng học chất lỏng, miêu tả dòng chảy chất lỏng lí tưởng, nhớt, khơng nén hệ phương trình Navier-Stokes
Hệ phương trình Navier-Stokes xây dựng từ định luật bảo tồn khối lượng, động lượng có dạng:
∂u
∂t −ν∆u+ (u· ∇)u+∇p=f(x, t) x∈Ω, t >0,
∇.u= x∈Ω, t >0,
(1)
ở đó, u=u(x, t);p=p(x, t) tương ứng hàm vectơ vận tốc hàm áp suất cần tìm, số ν >0 hệ số nhớt f ngoại lực
Khi nghiên cứu phương trình hệ phương trình học chất lỏng, dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian dần vô nội dung quan trọng cần nghiên cứu cho phép dự đoán xu hướng phát triển hệ tương lai, từ có điều chỉnh thích hợp để đạt mục đích mong muốn
Dáng điệu tiệm cận nghiệm thường nghiên cứu cách sử dụng lí thuyết tập hút tình đơn giản nghiên cứu tính ổn định nghiệm dừng (xem [10]) Tuy nhiên, tập hút toàn cục thường có cấu trúc hình học phức tạp khơng ổn định nhiễu; khơng thật phù hợp cho vấn đề xấp xỉ số dáng điệu nghiệm thời gian lớn Bên cạnh đó, lí thuyết đa tạp qn tính (là đa tạp Lipschitz hữu hạn chiều, bất biến hút mũ quỹ đạo) công cụ quan trọng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình đạo hàm riêng tiêu hao (xem[1, 3]) Đa tạp qn tính, tồn tại, chứa tập hút tồn cục chứa đựng nhiều thông tin dáng điệu tiệm cận hệ xét; nói riêng qui việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận hệ xét nghiên cứu dáng điệu tiệm cận hệ rút gọn đa tạp quán tính, hệ hữu hạn chiều Tuy nhiên, phương
(7)Lời nói đầu
pháp kiến thiết đa tạp quán tính biết yêu cầu điều kiện kẽ hở phổ đủ lớn, tức khoảng cách hai giá trị riêng liên tiếp phải đủ lớn Mặc dù điều kiện đủ, điều kiện ngặt nhiều phương trình quan trọng vật lí tốn khơng thỏa mãn
Cho đến nay, tồn đa tạp quán tính hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều câu hỏi mở Tuy nhiên, dựa lí thuyết đa tạp quán tính, Foias-Manley-Temam xây dựng đa tạp quán tính xấp xỉ M0 cho hệ
phương trình Navier-Stokes hai chiều Đa tạp qn tính xấp xỉ tập hút tồn cục tốt so với sử dụng đa tạp quán tính xấp xỉ thơng thường Hm (là đa tạp tuyến tính), nhận cách sử dụng phương pháp Galerkin cổ điển Luận văn trình bày kết tồn đa tạp quán tính xấp xỉ M0
đối với hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều ứng dụng vấn đề xấp xỉ nghiệm Nội dung luận văn dựa báo [2, 11] Danh mục tài liệu tham khảo Ngoài lời mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tơi trình bày số kết tồn nghiệm yếu tập hút toàn cục hệ phương trình Navier-Stokes Ta biết tồn tập hút toàn cục với số chiều fractal hữu hạn điều kiện cần để tồn đa tạp quán tính
Chương 2: Đa tạp quán tính xấp xỉ hệ phương trình Navier-Stokes ứng dụng
Trong chương này, trước hết dựa phương pháp Galerkin cổ điển, chúng tơi trình bày dáng điệu dịng xốy nhỏ hệ phương trình Navier-Stokes cách sử dụng đa tạp quán tính xấp xỉ Hm Tiếp theo, chúng tơi trình bày đa tạp qn tính xấp xỉ M0 đưa ước lượng khoảng cách
(8)Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương trình bày số kết cổ điển tồn nghiệm dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều miền bị chặn Các kết chương dựa theo [9, 10]
1.1 Phát biểu toán biên ban đầu hệ Navier-Stokes
Giả sử Ω miền bị chặn R2 với biên ∂Ω trơn Xét toán biên ban
đầu hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều:
∂u
∂t −ν∆u+ (u· ∇)u+∇p=f, x∈Ω, t >0,
∇ ·u= x∈Ω, t >0,
u(x, t) = x∈∂Ω, t >0,
u(x,0) =u0(x) x∈Ω,
(1.1)
trong u = (u1, u2)T hàm vectơ vận tốc, p: Ω→ R hàm áp suất, số
ν >0 hệ số nhớt
1.2 Các khơng gian hàm tốn tử
Trong mục ta giới thiệu không gian hàm toán tử thường dùng nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes
1.2.1 Các khơng gian hàm
Kí hiệu:
V ={u∈(C0∞(Ω))2:∇ ·u= 0}
(9)Chương Kiến thức chuẩn bị
Để nghiên cứu tốn (1.1), ta xét khơng gian hàm sau: V =V(H
1 0(Ω))2
={u∈(H01(Ω))2 :∇ ·u= 0} bao đóng V (H01(Ω))2, H =V(L
2
(Ω))2
là bao đóng V (L2(Ω))2
Khi H V khơng gian Hilbert với tích vơ hướng là:
(u, v) = (u, v)H =
Z
Ω
u·vdx= Z
Ω X
i=1
uividx,
((u, v)) = (u, v)V =
Z
Ω X
i=1
∇ui· ∇vidx= Z Ω X i,j=1 ∂ui ∂xj ∂vi ∂xj dx,
trong u= (u1, u2)T, v = (v1, v2)T
Gọi H⊥ phần bù trực giao H (L2(Ω))2 Từ kết Temam [8], ta có
H⊥ ={u∈(L2(Ω))2 :u=gradp, p ∈H1(Ω)}
Gọi V0 không gian đối ngẫu V Ta kí hiệu |.|,k.k chuẩn H V, k.k∗ chuẩn V0
1.2.2 Các toán tử
∗ Toán tử A:
Giả sử A:V →V0 toán tử xác định
hAu, vi= ((u, v)), ∀u, v ∈V Kí hiệu D(A) miền xác định A, ta có:
D(A) = {u∈H :Au ∈H}= (H2(Ω))2∩V
Dễ thấy A tốn tử tuyến tính khơng bị chặn, tự liên hợp, xác định dương có nghịch đảo A−1 : H → D(A) compact phép nhúng H01(Ω) ,→ L2(Ω) compact Do đó, phổ A gồm toàn giá trị riêng {λi}∞i=1 với
0< λ1 ≤λ2 ≤ ≤λn ≤ , λn →+∞khin →+∞,
và hàm riêng tương ứng {wj}∞j=1 ⊂ D(A) lập thành sở trực chuẩn H
Ta có:
(10)Chương Kiến thức chuẩn bị
∗ Toán tử B: Đặt
b(u, v, w) = X i,j=1 Z Ω ui ∂vj ∂xi
wjdx
Khi đó, b(., , ) dạng 3-tuyến tính liên tục (H01(Ω))2, hay nói riêng V
Chứng minh
|b(u, v, w)|= Z Ω X i,j=1 ui ∂vj ∂xiwjdx
≤ X i,j=1 Z Ω
|ui|4dx
14Z
Ω ∂vj ∂xi | 2dx 2Z
Ω
|wj|4dx
14
≤CkukL4kvkH1
0kwkL4 ≤CkukH01kvkH01kwkH01, ta sử dụng phép nhúng H1(Ω) ,→L4(Ω)
Ngoài ra, ta có
b(u, v, w) =−b(u, w, v) ∀u, v, w ∈V Nói riêng
b(u, v, v) = 0, ∀u, v ∈V
Bổ đề 1.2.1 (Bất đẳng thức Laydyzhenskaya n = 2) Với tập mở
Ω ⊂ R2, ta có:
kνkL4(Ω)≤2 4kνk
1
L2(Ω)k∇νk
L2(Ω), ∀ν∈H
1
0(Ω) (1.3)
Chứng minh Vì C0∞(Ω) trù mật H01(Ω) nên ta cần chứng minh (1.3) với ν ∈C0∞(Ω) Với ν ∈C0∞(Ω), ta có
ν2(x) =
x1
Z
−∞
ν(ξ1, x2)
∂ν ∂x1
(ξ2, x2)dξ1
Suy ν2(x)≤2ν1(x2),
ν1(x2) = +∞ Z
−∞
|ν(ξ1, x2)|
∂ν ∂x1
(ξ1, x2) dξ1
Tương tự, ta có ν2(x)≤2ν2(x1), với
ν2(x1) = +∞ Z
−∞
|ν(x1, ξ2)|
∂ν ∂x1
(x1, ξ2) dξ2
(11)Tài liệu tham khảo
[1] P Constantin, C Foias, B Nicolaenko and R Temam (1988), Integral Man-ifolds and Inertial ManMan-ifolds for Dissipative Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York
[2] C Foias, O Manley and R Temam (1988), Modelling of the interation of small and large eddies in two dimentional turbulent flows, RAIRO Modél Math Anal Numér 22, 93-118
[3] C Foias, G R Sell and R Temam (1988), Inertial manifolds for nonlinear evolutionary equations, J Differential Equations, 309-353
[4] B García-Archilla, J Novo and E Titi (1999), An approximate inertial manifolds approach to postprocessing the Galerkin method for the Navier-Stokes equations, Math Comp 68, 893-911
[5] A.A Ilyin (1993), Lieb-Thirring inequalitices on the N-sphere and in the plane, and some applications, Proc Lond Math Soc 67, 159-182
[6] L.G Margolin, E Titi and S Wynne (2003), The postprocessing Galerkin and nonlinear Galerkin methods – a truncation analysis point of view,SIAM J Numer Anal 41, 695-714
[7] G Metivier (1978), Valeurs propres d’opérateurs definis par la restriction de systèmes variationels a des sous-espaces, J Math Pures Appl 57, 133-156 [8] R Temam (1979), Navier-Stokes Equations Theory and Numerical
Analy-sis, 2ndedition, Amsterdam: North-Holland
[9] R Temam (1995),Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Anal-ysis, 2nd edition, SIAM Philadelphia
[10] R Temam (1997), Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, 2nd edition, Springer-Verlag