Jacobian xấp xỉ và ứng dụng cho bài toán tối ưu không trơn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ THU JACOBIAN XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ THU JACOBIAN XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN Thái Nguyên - Năm 2012 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu 1 1 HÀM KHẢ VI 4 1.1 Hàm khả vi từ R → R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Hàm khả vi từ R n → R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Các phép tính của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Hàm khả vi từ R n đến R m . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.1 Bài toán trơn không có ràng buộc . . . . . . . . . 10 1.4.2 Bài toán trơn với ràng buộc bất đẳng thức . . . . 11 2 JACOBIAN XẤP XỈ 12 2.1 Jacobian xấp xỉ của hàm vô hướng . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.2 Các phép tính của Jacobian xấp xỉ . . . . . . . . . 20 2.2 Jacobian xấp xỉ của hàm vectơ . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Hessian xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.1 Hessian xấp xỉ của hàm vô hướng . . . . . . . . . 39 2.3.2 Hessian xấp xỉ của hàm vectơ . . . . . . . . . . . . 42 3 ỨNG DỤNG CỦA JACOBIAN XẤP XỈ 44 3.1 Bài toán tối ưu tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2 Các loại bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3 Bài toán tối ưu không ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4 Bài toán tối ưu có ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 3.5 Điều kiện tối ưu cấp hai của bài toán tối ưu vectơ . . . . 52 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Vào nửa sau thế kỉ XVII, nhà toán học người Đức là Leibniz và đồng thời nhà toán học người Anh là Newton đã phát minh ra phép tính vi phân, một công cụ đắc lực để giải quyết nhiều bài toán trong vật lý, cơ học, hóa học, kỹ thuật, Nhưng phép tính vi phân mà Leibniz và Newton phát minh ra chỉ áp dụng được cho các lớp hàm có tính chất khá tốt. Một vấn đề đặt ra là đó là cách giải quyết đối với các hàm không khả vi. Đây là vấn đề nghiên cứu của nhiều nhà khoa học vào nửa cuối thế kỉ XX. Từ đó môn giải tích không trơn ra đời. Môn học này đã giải quyết các bài toán trên các lớp hàm không có đạo hàm theo nghĩa thông thường bằng cách đưa ra các khái niệm dưới vi phân khác nhau để thay thế khái niệm đạo hàm, tại một điểm cho trước hàm được xấp xỉ bằng một họ các hàm tuyến tính. Nhờ đó mà giải tích không trơn đã đem lại nhiều kết quả sâu sắc trong lý thuyết tối ưu, giải tích biến phân, phương trình vi phân, cơ học và lý thuyết điều khiển. Trong những năm gần đây nhiều nhà nghiên cứu về giải tích không trơn bằng cách tập trung phát triển các dưới vi phân suy rộng đảm bảo những tính chất tốt cũng như các điều kiện cần và đủ tối ưu đối với hàm không trơn như: F.H Clarke, R.T Rockafellar, D.Ralph và V.F.Demyanov và V.Jeyakumar, Rất gần đây, với hàm liên tục, V.Jeyakumar và D.T.Luc đã đưa ra khái niệm mới về dưới vi phân và gọi là Jacobian xấp xỉ. Các khái niệm này cho ta một công cụ hữu ích để nghiên cứu những bài toán về hàm liên tục có Jacobian xấp xỉ và cũng có những phép tính khá tốt, tương 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 ứng với các phép tính của đạo hàm thông thường như phép lấy tích, tổng, hợp, định lý về giá trị trung bình, Đặc biệt, nhiều dưới vi phân cũng là Jacobian xấp xỉ, ví như dưới vi phân của hàm lồi, hàm Lipschitz và nhiều dưới vi phân khác như của Morduchovich, Michel-Penot, Treiman, Việc nghiên cứu Jacobian xấp xỉ đã mở rộng, thống nhất và làm sâu sắc nhiều kết quả trong giải tích không trơn và tối ưu hóa. Lý thuyết Jacobian xấp xỉ đang là đề tài được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu. Với mong muốn được tìm hiểu kỹ hơn về lý thuyết Jacobian xấp xỉ cùng với sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của GS. TSKH Nguyễn Xuân Tấn, tôi xin giới thiệu đề tài: " JACOBIAN XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN " 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của đề tài này là tập trung trình bày có hệ thống một số kết quả về Jacobian xấp xỉ của một hàm liên tục trong không gian hữu hạn chiều, trước hết là hàm vô hướng, sau đó là hàm vectơ dựa trên cơ sở các kết quả V.Jeyakumar, D.T.Luc và các cộng sự nghiên cứu. Lý thuyết tối ưu vô hướng, vectơ đã được phát triển mạnh trong những thập niên cuối thế kỉ 20 và đầu thế kỉ 21; đến nay lý thuyết này vẫn còn là đề tài nghiên cứu hấp dẫn đối với nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết Jacobian xấp xỉ và ứng dụng. - Sử dụng các kết quả đã được công bố để hệ thống lại theo cách hiểu của mình và vận dụng vào các bài toán không trơn trong thực tế. - Luôn gắn những bài toán trên vào các ứng dụng trong lý thuyết tối ưu, điều khiển tối ưu tới các hàm không trơn để tìm ra các kết quả mới trong lĩnh vực này. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Trước hết tìm hiểu thật kỹ các kiến thức cơ bản thuộc lĩnh vực giải tích hiện đại liên quan tới hàm vectơ và giải tích đa trị, đặc biệt là các tính chất của các hàm có Jacobian xấp xỉ. - Sử dụng các tính chất khác nhau của Jacobian xấp xỉ để tìm các điều 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 kiện cần và đủ cho việc tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu liên quan tới hàm có Jacobian xấp xỉ và đưa ra các ứng dụng trong các bài toán thực tế. - Phân tích đặc thù riêng của từng bài toán để tìm ra các phương pháp khác nhau cho việc áp dụng lý thuyết Jacobian xấp xỉ. 5. Phương pháp nghiên cứu - Dịch, đọc tài liệu, nghiên cứu toán học, các tài liệu chuyên khảo về lý thuyết tối ưu không trơn. - Phân tích, tổng hợp kiến thức để phục vụ cho mục đích nghiên cứu. 6. Những đóng góp của đề tài - Hoàn thành luận văn về đề tài lý thuyết tối ưu Jacobian xấp xỉ và ứng dụng, dày 64 trang. - Tìm ra những ứng dụng có ý nghĩa trong lý thuyết tối ưu liên quan tới các hàm có Jacobian xấp xỉ. - Làm rõ, hệ thống các kiến thức về hàm khả vi, Jacobian xấp xỉ, ứng dụng của Jacobian xấp xỉ. 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1 HÀM KHẢ VI 1.1 Hàm khả vi từ R → R Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm f : (a, b) ⊂ R → R. Ta nói hàm f khả vi tại điểm x ∈ (a, b), nếu tồn tại giới hạn f  (x) = lim h→0 f(x + h) − f(x) h . Giới hạn f  (x) được gọi là đạo hàm của f tại x. Định nghĩa 1.1.2. Nếu hàm f có đạo hàm tại mọi điểm x ∈ (a, b) thì ta nói f khả vi trong (a, b). Định lý 1.1.3. Nếu f khả vi tại x thì f liên tục tại x. 1.2 Hàm khả vi từ R n → R 1.2.1 Các định nghĩa và tính chất Cho U là tập mở trong R n , hàm f : U → R, x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ U. Ta kí hiệu L(R n , R) là không gian các hàm tuyến tính liên tục từ R n vào R. Định nghĩa 1.2.1. Hàm f được gọi là khả vi tại x nếu tồn tại một hàm tuyến tính liên tục L ∈ L(R n , R) sao cho f(x + h) − f(x) = L(h) + (h)||h||, 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 trong đó h = (h 1 , h 2 , . . . , h n ) ∈ R n , (h) → 0 khi h → 0. Hàm tuyến tính L được gọi là đạo hàm của f tại x, kí hiệu là f  (x) hay Df(x). Hàm f được gọi là khả vi trong U nếu nó khả vi tại mọi điểm x ∈ U. Từ định nghĩa ta có thể chứng minh được định lý sau Định lý 1.2.2. Nếu f khả vi tại x thì đạo hàm tương ứng được xác định duy nhất. Định nghĩa 1.2.3. Ta nói f khả vi theo hướng u ∈ R n tại x nếu tồn tại giới hạn lim h→0 f(x + hu) − f(x) h . Khi đó giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm f theo hướng u tại x, kí hiệu là f  (x, u). Định nghĩa 1.2.4. Cho u là một vectơ trong cơ sở chính tắc {e 1 , e 2 , . . . , e n } trong R n . Nếu f  (x, e i ) tồn tại thì được gọi là đạo hàm riêng thứ i của hàm f tại x, hay đạo hàm riêng theo biến x i của hàm f tại x và kí hiệu là ∂f ∂x i (x) hay D i f(x) hoặc f  x i (x). Ta có mối quan hệ giữa đạo hàm, đạo hàm riêng và đạo hàm theo hướng như sau Định lý 1.2.5. Nếu hàm f khả vi tại x thì có đạo hàm riêng theo mọi biến x và f  (x)(h) = n  i=1 ∂f ∂x i (x)h i , trong đó h = (h 1 , h 2 , . . . , h n ) ∈ R n . Từ định lý này ta suy ra f  (x) là hàm tuyến tính được xác định bởi ma trận  ∂f ∂x 1 (x), ∂f ∂x 2 (x), . . . , ∂f ∂x n (x)  và như vậy cũng có thể xem f  (x) như một vectơ của không gian R n gọi là vectơ gradient của f tại x, thường kí hiệu là ∇f(x). Định lý 1.2.6. Nếu hàm f có các đạo hàm riêng ∂f ∂x 1 (x), ∂f ∂x 2 (x), . . ., ∂f ∂x n (x) trong một lân cận nào đó tại điểm x và chúng là các hàm số liên 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 tục tại x thì hàm f khả vi liên tục tại x và f  (x)(h) = n  i=1 ∂f ∂x i (x)h i , trong đó h = (h 1 , h 2 , . . . , h n ) ∈ R n . Định lý 1.2.7. Nếu hàm f khả vi tại x thì nó có đạo hàm theo mọi hướng tại x và f  (x, u) = f  (x)(u) = ∇f(x), u, u = (u 1 , u 2 , . . . , u n ) ∈ R n . Cho U là tập mở trong R n , hàm f : U → R, x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ U. Giả sử D i f(x) tồn tại với mọi x ∈ U, khi đó ta có ánh xạ: D i f : U → R, x → D i f(x). Định nghĩa 1.2.8. Nếu hàm D i f có đạo hàm riêng theo biến thứ j tại x thì đạo hàm này được gọi là đạo hàm riêng cấp hai của f tại x theo biến thứ i và thứ j hay theo các biến x i và x j , kí hiệu là D ij f(x) hay ∂ 2 f ∂x i ∂x j (x). Định lý 1.2.9. (Định lý Schwarz) Cho U là tập mở trong R n , hàm f : U → R, x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ U. Nếu ∂ 2 f ∂x i ∂x j (x), ∂ 2 f ∂x j ∂x i (x) tồn tại trên U và liên tục tại x thì ta có ∂ 2 f ∂x i ∂x j (x) = ∂ 2 f ∂x j ∂x i (x). Áp dụng định lý Schwarz, ta có thể suy ra nếu f có các đạo hàm riêng liên tiếp đến cấp k trên U thì các đạo hàm riêng ∂ p f ∂x i 1 ∂x i 2 ∂x i p (x) (p ≤ k) không phụ thuộc vào thứ tự các biến lấy đạo hàm. Chúng luôn được viết dưới dạng chính tắc: ∂ |α| f ∂x α 1 1 ∂x α 2 2 ∂x α n n (x), với α = (α 1 , α 2 , . . . , α n ) là bộ n số nguyên không âm, |α| = α 1 + α 2 + ··· + α n = p. Giả sử f khả vi trong U, khi đó ta có ánh xạ f  : U → L(R n , R), x → f  (x). Định nghĩa 1.2.10. (i) Hàm f gọi là khả vi liên tục hay thuộc lớp C 1 trên U nếu f’ liên tục, kí hiệu là f ∈ C 1 (U). 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... cũng là Jacobian xấp xỉ của mọi hàm f : Rn → R Nhưng điều ta quan tâm ở đây là cho trước hàm số f : Rn → R, ta cần tìm Jacobian xấp xỉ của f tại x nhỏ nhất có thể được Theo định nghĩa, Jacobian xấp xỉ không nhất thiết là lồi và cũng không nhất thiết là tập compact Ví dụ 1 Cho hàm f : R → R xác định bởi: f (x) = −|x| Ta dễ dàng tính được ∂ x f (0) = {1, −1} là Jacobian xấp xỉ của f tại 0 Tập này không. .. hàm f : Rn → R khả vi theo hướng tại x và có một Jacobian xấp xỉ chính quy ∂ x f (x) tại x thì Ext(co(∂ x f (x))) là một Jacobian xấp xỉ tối thiểu của f tại x Chứng minh: Giả sử ∂ x f (x) là Jacobian xấp xỉ compact chính quy của f tại x Theo định lý 2.1.16 thì Ext(co(∂ x f (x))) là một Jacobian xấp xỉ của f tại x Lấy A ⊂ Ext(co(∂ x f (x))) là một Jacobian xấp xỉ nào đó 23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu... chỉ ra rằng ∂ 0 f (x) là Jacobian xấp xỉ của f tại x Hơn nữa, các ví dụ dưới đây sẽ cho ta thấy chúng còn có thể chứa thực sự bao lồi của một Jacobian xấp xỉ và trong trường hợp tại x hàm không Lipschitz địa phương thì tại đó f không có Gradient suy rộng Clarke, tuy nhiên vẫn có thể tồn tại Jacobian xấp xỉ của f tại x Nhờ đó mà những điều kiện nhận được bằng sử dụng Jacobian xấp xỉ sẽ sâu sắc hơn, ngay... (x), ∀x ∈ U ∩D Điểm x0 ∈ D được gọi là cực tiểu toàn cục của (1.1) nếu tồn tại một lân cận L của x0 sao cho f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ D Dưới đây ta sẽ đưa ra các điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán không có ràng buộc và bài toán với ràng buộc bất đẳng thức 1.4.1 Bài toán trơn không có ràng buộc Xét bài toán: min f (x) x∈Rn (1.2) Ta có: Điều kiện cần: Giả sử hàm f khả vi tại x0 , x0 là điểm cực tiểu địa... là Jacobian xấp xỉ của λf tại x Nhận xét 2.1.19 Định lý 2.1.19 cũng thỏa mãn đối với Jacobian xấp xỉ chính quy 24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 2 Phép cộng Định lý 2.1.20 Nếu các hàm f, g : Rn → R có một Jacobian xấp xỉ tương ứng là ∂ x f (x), ∂ x g(x) tại x và một trong hai Jacobian xấp xỉ trên là chính qui, thì ∂ x f (x) + ∂ x g(x) là Jacobian xấp xỉ. .. thể chọn nó là ánh xạ Jacobian xấp xỉ của f Định lý được chứng minh 5 Jacobian xấp xỉ của hàm hợp 29Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 Định lý 2.1.30 Cho f = (f1 , , fm ) là hàm liên tục từ Rn tới Rm và cho g là hàm liên tục từ Rm tới R Giả sử, với mỗi i = 1, , m, fi có Jacobian xấp xỉ bị chặn ∂ x fi (x) tại x và g có Jacobian xấp xỉ bị chặn ∂ x g(f (x))... phần tử của ∂ ∗ f (x) được gọi là ma trận Jacobian xấp xỉ (hay gọn hơn: Jacobian xấp xỉ) của f tại x Nếu với mỗi x ∈ Rn , ∂ ∗ f (x) là một Jacobian xấp xỉ của f tại thì ánh xạ đa trị ∂ ∗ f : x → ∂ ∗ f (x) được gọi là ánh xạ Jacobian xấp xỉ của f (ii) Ta nói hàm f có một Jacobian xấp xỉ chính quy ∂ ∗ f (x) tại x ∈ Rn nếu ∂ ∗ f (x) ⊂ L(Rn , Rm ) là tập đóng và với mỗi v ∈ Rm ta có: (vf )+ (x, u) = sup... ) là Jacobian xấp xỉ của f tại x khi và chỉ khi (vf )− (x, u) ≥ inf v, M (u) ∗ M ∈∂ f (x) (ii) Nếu ∂ ∗ f (x) ⊂ L(Rn , Rm ) là Jacobian xấp xỉ của f tại x , mọi tập đóng A ⊂ L(Rn , Rm ) chứa ∂ ∗ f (x) đều là Jacobian xấp xỉ của f tại x (iii) Nếu {∂i∗ f (x)}∞ ⊂ L(Rn , Rm ) là dãy giảm (theo bao hàm thức) của i=1 ∞ các Jacobian xấp xỉ, giới nội của f tại x, thì i=1 ∂i∗ f (x) cũng là Jacobian xấp xỉ của... chứng minh Cũng như đối với Jacobian xấp cỉ của hàm thực mở rộng, ta có một số phép toán cơ bản của hàm vectơ như sau Định lý 2.2.6 Cho f : Rn → Rm là hàm liên tục Giả sử rằng ∂ ∗ f (x) là một Jacobian xấp xỉ của f tại x Khi đó với mọi số λ > 0 thì λ∂ ∗ f (x) là Jacobian xấp xỉ của λf tại x Chứng minh: Từ giả thiết ∂ ∗ f (x) là Jacobian xấp xỉ của f tại x nên ∂ ∗ f (x) ⊆ L(Rn , Rm ) là tập đóng và. .. vế ta được Ext(co(∂ x f (x))) ⊂ A = A Do đó Ext(co(∂ x f (x))) là một Jacobian xấp xỉ tối thiểu của f tại x Định lý được chứng minh 2.1.2 Các phép tính của Jacobian xấp xỉ 1 Phép nhân vô hướng Định lý 2.1.18 Nếu hàm số f : Rn → R có một Jacobian xấp xỉ ∂ x f (x) tại x, thì λ∂ x f (x) (với λ ∈ R) là Jacobian xấp xỉ của λf tại x Chứng minh: Ta có: f + (x; u) ≤ sup x∗ , u Với λ > 0 ta suy ra x∗ ∈∂ x f . JACOBIAN XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN " 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của đề tài này là tập trung trình bày có hệ thống một số kết quả về Jacobian xấp xỉ. http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 kiện cần và đủ cho việc tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu liên quan tới hàm có Jacobian xấp xỉ và đưa ra các ứng dụng trong các bài toán thực tế. - Phân tích đặc thù riêng của từng bài toán để. sẽ đưa ra các điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán không có ràng buộc và bài toán với ràng buộc bất đẳng thức. 1.4.1 Bài toán trơn không có ràng buộc Xét bài toán: min x∈R n f(x). (1.2) Ta có: Điều