3 ỨNG DỤNG CỦA JACOBIAN XẤP XỈ
3.3Bài toán tối ưu không ràng buộc
Xét bài toán:
min
x∈D f(x). (3.3)
vớiD ⊂ X là tập con khác rỗng và X là không gian Banach. Giả thiết các đạo hàm cấp 1, cấp 2, Df(x), D2f(x) của f tồn tại và liên tục đều trong lân cận của điểm cho trước x0 ∈ D. Trước hết ta hãy xét các điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm tối ưu cho bài toán không ràng buộc. Định lý 3.3.1. (Điều kiện tối ưu 1)
(i) Nếu x0 là điểm cực tiểu địa phương của f trên tập D thì
Df(x0)(v) ≥0, với mọi v ∈ K(D, x0).
(ii) Ngược lại, nếu x0 ∈ D (với D là tập con của không gian hữu hạn chiều X) mà
Df(x0)(v) > 0, với mọi v ∈ K(D, x0).
thì x0 là cực tiểu chặt của f trên D. Chứng minh:
(i) Lấy v ∈ K(D, x0). Khi đó, tồn tại vi ∈ X, vi → v, ti ∈ R, ti ↓ 0 và
xi = x0 +tivi ∈ D. Theo định lý giá trị trung bình, ta có
f(xi)−f(x0) = Df(yi)(tivi) với yi ∈ [x0, xi].
Do Df liên tục đều, nên
lim
i→+∞Df(yi)(vi) = Df(x0)(v).
Nếu x0 là cực tiểu địa phương, ta có
Df(x0)(v) = lim i→+∞Df(yi)(vi) = lim i→+∞ f(xi)−f(x0) ti ≥ 0.
(ii) Giả sử ngược lại, x0 không là cực tiểu chặt. Khi ấy, tồn tại xi ∈
D, xi 6= x0,limi→+∞xi = x0, f(xi) ≤ f(x0). Ta suy ra:
vi = xi−x0 kxi−x0k → v ∈ X, trong đó xi = x0 +kxi−x0kvi ∈ D. Do đó v ∈ K(D, x0). Ta lại có Df(x0)(v) = lim i→+∞Df(yi)(vi) = lim i→+∞ f(xi)−f(x0) ti ≤ 0.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Định lý được chứng minh. Định lý 3.3.2. (Điều kiện tối ưu 2)
(i) Giả thiếtx0 là điểm cực tiểu địa phương của f trên tập D và Df(x0) = 0. Khi đó, với mọi v ∈ K(D, x0), ta có
D2f(x0)(v, v) ≥ 0.
(ii) Ngược lại, nếu D là tập con của không gian hữu hạn chiều X, x0 ∈
D, Df(x0) = 0, và với mọi v ∈ K(D, x0), v 6= 0, D2f(x0)(v, v) > 0, thì
x0 là điểm cực tiểu địa phương chặt của f trên D. Chứng minh:
(i) Lấy v ∈ K(D, x0), suy ra tồn tại vi ∈ X, vi → v, ti ∈ R, ti ↓ 0 và
xi = x0 +tivi ∈ D. Vì D2f(x) liên tục đều, nên
f(xi)−f(x0) = Df(x0)(xi−x0)+1 2D 2f(x0)(xi−x0, xi−x0)+r(xi−x0), với kr(xi−x0)k k(xi−x0)k2 → 0, xi →x0. Từ đó suy ra D2f(x0)(v, v) = 2 lim i→+∞ f(xi)−f(x0)−Df(x0)(xi −x0) t2i ≥0.
(ii) Giả sử ngược lại, x0 không là cực tiểu địa phương chặt của f trên D. Khi đó, tồn tại xi ∈ D, xi 6= x0, lim
i→+∞xi = x0, f(xi) ≤ f(x0). Ta có thể giả thiết (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
vi = xi−x0
kxi−x0k → v ∈ X,
Từ đây suy ra v ∈ K(D, x0) và D2f(x0)(v, v) ≤ 0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Định lý được chứng minh.