Cũng như đối với đạo hàm của hàm vectơ khả vi trong mục này chúng ta đề cập đến khái niệm Jacobian xấp xỉ của hàm vectơ. Những kết quả đã có về Jacobian của hàm thực mở rộng phần trước là cơ sở giúp ta trình bày các khái niệm, các kết quả tổng quát hơn. Ở đây ta chỉ xét hàm vectơ liên tục trong không gian hữu hạn chiều.
Ta kí hiệu L(Rn,Rm) là không gian các hàm tuyến tính liên tục từ Rn vào Rm. Đồng thời ta cũng thấy L(Rn,Rm) chính là tập hợp các ma trận cấpn×m kí hiệu Rm×n, tức ma trận gồm n hàng và m cột. Hơn nữa, với
M ∈ L(Rn,Rm), ta định nghĩa chuẩn Ơclit được xác định như sau
kMk = ((kM1k)2 +· · ·+ (kMnk)2),
với M1, . . . , Mn ∈ Rn là các hàng của ma trận M. Hình cầu đơn vị trong
L(Rn,Rm) được kí hiệu là Bm×n.
Cho hàm vectơ f : Rn → Rm, ta có thể viết f = (f1, f2, . . . , fm), vf :
Rn → R, i = 1, . . . , m. Với u ∈ Rm, ta kí hiệu: (vf)(x) = hv, f(x)i = m X i=1 vifi(x).
Định nghĩa 2.2.1. Cho hàm vectơ f :Rn → Rm.
(i) Ta nói rằng tập đóng của các ma trận cấp m×n, ∂∗f(x) ⊂ L(Rn,Rm)
là Jacobian xấp xỉ của f tại x, nếu với mọi u ∈ Rn, v ∈ Rm ta có:
(vf)+(x, u) ≤ sup
M∈∂∗f(x)
hv, M(u)i,
với (vf)+ là Đạo hàm Dini trên theo hướng u tại x của (vf).
Mọi phần tử của ∂∗f(x) được gọi là ma trận Jacobian xấp xỉ (hay gọn hơn: Jacobian xấp xỉ) của f tại x.
Nếu với mỗi x ∈ Rn, ∂∗f(x) là một Jacobian xấp xỉ của f tại thì ánh xạ đa trị ∂∗f : x 7→∂∗f(x) được gọi là ánh xạ Jacobian xấp xỉ của f. (ii) Ta nói hàm f có một Jacobian xấp xỉ chính quy ∂∗f(x) tại x ∈ Rn
nếu ∂∗f(x) ⊂ L(Rn,Rm) là tập đóng và với mỗi v ∈ Rm ta có:
(vf)+(x, u) = sup
M∈∂∗f(x)
Mệnh đề 2.2.2.
(i) Tập đóng ∂∗f(x) ⊂ L(Rn,Rm) là Jacobian xấp xỉ của f tại x khi và chỉ khi
(vf)−(x, u) ≥ inf
M∈∂∗f(x)
hv, M(u)i.
(ii) Nếu ∂∗f(x) ⊂ L(Rn,Rm) là Jacobian xấp xỉ của f tại x , mọi tập đóng A⊂ L(Rn,Rm) chứa ∂∗f(x) đều là Jacobian xấp xỉ của f tại x. (iii) Nếu {∂i∗f(x)}∞i=1 ⊂ L(Rn,Rm) là dãy giảm (theo bao hàm thức) của các Jacobian xấp xỉ, giới nội của f tại x, thì
∞ S i=1 ∂i∗f(x) cũng là Jacobian xấp xỉ của f tại x. Nhận xét 2.2.3.
(i) Nếu f khả vi tại x thì tập {J f(x)} là một Jacobian xấp xỉ của f tại x vì với mọi u ∈ Rn, v ∈ Rm có (vf)+(x, u) = hv, J f(x)(u)i. Như vậy ma trận Jacobi của f tại x là ma trận Jacobian xấp xỉ của f tại x.
(ii) Giả sử f Lipschitz địa phương tại x. Ta có kết quả: Jacobian suy rộng Clarke ∂f(x) = co lim
n→∞J f(xn) : xn ∈/ Ωf, xn → x ( Ωf là tập hợp các điểm mà tại đó hàm f không khả vi), là tập khác rỗng, lồi, compact trong
Rm×n. Mặt khác, với mọi v ∈ Rm ta có ∂f(x)Tv = ∂0(vf)(x), trong đó (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
∂f(x)T gồm tất cả các ma trận chuyển vị MT với M ∈ ∂f(x). Do đó: ∀u∈ Rn (vf)0(x, u) = max ξ∈∂0(vf)(x)hξ, ui = max M∈∂f(x)hMTv, ui = max M∈∂f(x)hv, M(u)i. Vì (vf)+(x, u) ≤(vf)0(x, u),∀v ∈ Rm,∀u ∈ Rn nên (vf)+(x, u) ≤ max M∈∂f(x) hv, M(u)i,∀v ∈ Rm,∀u ∈ Rn.
Vậy Jacobian suy rộng Clarke ∂f(x) là một Jacobian xấp xỉ lồi, compact của f tại x.
Ví dụ sau đây sẽ cho ta thấy Jacobian suy rộng Clarke còn có thể chứa thật sự một bao lồi của Jacobian xấp xỉ.
Ví dụ 5. Cho hàm f :R2 →R2 xác định bởi:
Khi đó, f có một Jacobian xấp xỉ tại (0, 0) là ∂∗f(0,0) = 1 1 −1 1 , −1 1 1 1 .
Mặt khác Jacobian suy rộng Clarke của f tại (0, 0)
∂f(0,0) = co 1 1 −1 1 , −1 1 1 1 , −1 1 −1 1 , 1 1 1 1 .
cũng là một Jacobian xấp xỉ của f tại (0, 0) và chứa thực sự co(∂∗f(0,0)).
Sau đây ta sẽ chứng minh các tính chất cơ bản của Jacobian xấp xỉ đối với hàm vectơ.
Định lý 2.2.4. Hàm liên tục f : Rn → Rm là khả vi Gateaux tại x0 khi và chỉ khi nó có một Jacobian xấp xỉ gồm một phần tử duy nhất tại x0.
Chứng minh: Giả sử f khả vi Gateaux tại x0 với đạo hàm Gateaux
fG0 (x0) = M. Khi đó: ∀v ∈ Rm,∀u ∈ Rn ta có (vf)0(x0, u) = hM(u), vi. Vậy {M} là một Jacobian xấp xỉ gồm một phần tử duy nhất của f tại x0. Ngược lại, giả sử f có một Jacobian xấp xỉ tại x0 chỉ gồm một phần tử duy nhất là ∂∗(x0) = {A}. Khi đó, với mỗi v ∈ Rm ta có:
(vf)+(x0, u) = hA(u), vi và (vf)−(x0, u) =hA(u), vi,∀u ∈ Rn.
Ta suy ra (vf)0(x0, u) = hA(u), vi,∀u ∈ Rn. Do đó vf khả vi Gateaux tại x0 với mọi v ∈ Rm.
Vậy f khả vi Gateaux tại x0 và fG0 (x0) =A. Định lý được chứng minh. Định lý 2.2.5. Nếu f khả vi Gateaux tại x0 thì với mọi Jacobian xấp xỉ của f tại x0, bao lồi đóng của nó chứa đạo hàm Gateaux tại x0.
Chứng minh: Gỉa sử f khả vi Gateaux tại x0 với đạo hàm Gateaux
fG0 (x0) =M. Khi đó ∀v ∈ Rm,∀u ∈ Rn
(vf)0(x0, u) =hM(u), vi.
Giả sử ∂∗f(x0) là một Jacobian xấp xỉ bất kỳ của f tại x0. Khi đó ∀v ∈
Rm,∀u ∈ Rn ta có:
inf
N∈∂∗f(x0)hN(u), vi ≤ (vf)+(x0, u) ≤ sup
N∈∂∗f(x0)
Do đó
inf
N∈∂∗f(x0)
hN(u), vi ≤ hM(u), vi ≤ sup
N∈∂∗f(x0)
hN(u), vi.
Ta suy ra M ∈ co(∂∗f(x0)). Định lý được chứng minh. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cũng như đối với Jacobian xấp cỉ của hàm thực mở rộng, ta có một số phép toán cơ bản của hàm vectơ như sau
Định lý 2.2.6. Cho f : Rn → Rm là hàm liên tục. Giả sử rằng ∂∗f(x)
là một Jacobian xấp xỉ của f tại x. Khi đó với mọi số λ > 0 thì λ∂∗f(x)
là Jacobian xấp xỉ của λf tại x. Chứng minh:
Từ giả thiết∂∗f(x)là Jacobian xấp xỉ của f tại x nên∂∗f(x) ⊆ L(Rn,Rm)
là tập đóng và ∀v ∈ Rm ta có: (vf)+(x, u) ≤ sup M∈∂∗f(x) hv, M(u)i,∀u ∈ Rn. Khi đó ∀λ > 0 có λ∂∗f(x) ⊆ L(Rn,Rm) là tập đóng và ∀v ∈ Rm, ∀u∈ Rn: (v(λf))+(x, u) = λ(vf)+(x, u) ≤ λ sup M∈∂∗f(x) hv, M(u)i = sup M∈∂∗f(x) h(λM)(u), vi = sup N∈∂∗f(x) hN(u), vi.
Vậy λ∂∗f(x) là Jacobian xấp xỉ của λf tại x.
Định lý 2.2.7. Cho f, g : Rn → Rm là liên tục. Giả sử ∂∗f(x) và
∂∗g(x) tương ứng là các Jacobian xấp xỉ của f và g tại x. Khi đó tập hợp
∂∗f(x) +∂∗g(x) là một Jacobian xấp xỉ của f + g tại x.
L(Rn,Rm). Hơn nữa, với mọi v ∈ Rm, u ∈ Rn ta có: [v(f +g)]+(x, u) = lim sup t↓0 hv, f(x+tu)−f(x) + g(x+ tu)−g(x)i t ≤ lim sup t↓0 hv, f(x+tu)−f(x)i t + lim sup t↓0 hv, g(x+ tu)−g(x)i t = (vf)+(x, u) + (vg)+(x, u) ≤ sup M∈∂∗f(x) hM(u), vi+ sup N∈∂∗f(x) hN(u), vi = sup P∈(∂∗f(x)+∂∗g(x)) hP(u), vi ≤ sup P∈∂∗f(x)+∂∗g(x) hP(u), vi.
Vậy ∂∗f(x) +∂∗g(x) là Jacobian xấp xỉ của f + g tại x. Định lý được chứng minh.
Từ định lý trên ta có ngay hệ quả sau
Hệ quả 2.2.8. Nếu một trong hai Jacobian xấp xỉ ∂∗f(x) hoặc ∂∗g(x)
là Jacobian bị chặn thì tập ∂∗f(x) +∂∗g(x) là Jacobian xấp xỉ của f + g tại x.
Dưới đây ta phát biểu và chứng minh định lý giá trị trung bình đối với hàm vectơ liên tục, mở rộng định lý giá trị trung bình đối với hàm thực. Định lý 2.2.9. (Định lý giá trị trung bình cho hàm vectơ)
Cho a, b ∈ Rn và hàm f :Rn → Rm là liên tục. Giả sử với mỗi x ∈ [a, b], hàm f có một Jacobian xấp xỉ ∂∗f(x) tại x. Khi đó:
f(b)−f(a) ∈ co(∂∗f([a, b])(b−a)).
( Với co(∂∗f([a, b])(b −a)) là tập tất cả các điểm dạng M(b - a), trong đó M ∈ ∂∗f(u) với u ∈ [a, b]).
Chứng minh: Lấy v ∈ Rm bất kì và cố định v. Xét hàm thực g : [0,1] →R xác định bởi:
Khi đó g liên tục trên [0, 1] và g(0) = g(1) = 0, do đó tồn tại t0 ∈ (0,1)
sao cho g đạt cực trị tạit0.Giả sửt0 là điểm cực tiểu, ta suy rag−(t0, α) ≥
0,∀α ∈ R. Ta có: g−(t0, α) = lim inf t↓0 g(t0 +tα)−g(t0) t . Mặt khác: g(t0 +tα)−g(t0) =hv, f(a+ (t0 +tα)(b−a))−f(a) +
+ (t0 +tα)(f(a)−f(b))−f(a+t0(b−a)) +f(a)−t0(f(a)−f(b))i
= hv, f(a+t0(b−a) +tα(b−a))−f(a+t0(b−a)) +tα(f(a)−f(b))i.
Từ đây ta suy ra ∀α ∈ R g−(t0, α) = lim inf t↓0 hv, f(a+ t0(b−a) +tα(b−a))−f(a+t0(b−a))i t + + hv, α(f(a)−f(b))i
= (vf)−(a+t0(b−a), α(b−a)) +αhv, f(a)−f(b)i.
Vì vậy α ∈ R
(vf)−(a+ t0(b−a), α(b−a)) ≥ αhv, f(b)−f(a)i.
Ta lấy α = 1 và α = −1 thì ta được (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
−(vf)−(a+t0(b−a), b−a) ≤ hv, f(b)−f(a)i
≤ (vf)−(a+t0(b−a), b−a).
Vì a+t0(b−a) ∈ [a, b] nên f có một Jacobian xấp xỉ tại a+t0(b−a) là
∂∗f(a+t0(b−a)). Do đó −(vf)−(a+ t0(b−a), b−a) ≤ (vf)+(a+t0(b−a), b−a) ≤ sup M∈∂∗f(a+t0(b−a)) hM(b−a), vi. Vì vậy inf M∈∂∗f(a+t0(b−a)) hM(b−a), vi ≤ hv, f(a)−f(b)i ≤ sup M∈∂∗f(a+t0(b−a)) hM(b−a), vi.
Ta suy ra hv, f(b)−f(a)i ∈ hco(∂∗f(a+t0(b−a))(b−a)), vi.
Vì thế hv, f(b)−f(a)i ∈ hco(∂∗f(a+t0(b−a)), vi.
Điều này đúng với ∀v ∈ Rm nên ta có:
f(b)−f(a) ∈ co(∂∗f([a, b])(b−a)).
Trường hợp t0 là điểm cực đại thì g+(t0, α) ≤ 0,∀α ∈ R, bằng lập luận tương tự như trên ta cũng đi đến kết quả
f(b)−f(a) ∈ co(∂∗f([a, b])(b−a)).
Định lý được chứng minh.
Hệ quả 2.2.10. Cho a, b ∈ Rn và hàm f : Rn → Rm là liên tục. Giả sử với mỗi x ∈ [a, b], hàm f có một Jacobian xấp xỉ bị chặn ∂∗f(x) tại x. Khi đó:
f(b)−f(a) ∈ co(∂∗f([a, b])(b−a)).
Chứng minh: Do với mỗi x ∈ [a, b] tập ∂∗f(x) compact nên
co(∂∗f([a, b])(b−a)) = co(∂∗f([a, b])(b−a)).
Vì vậy từ định lý suy ra điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.2.11. Choa, b ∈ Rn và hàm f :Rn → Rm Lipschitz địa phương trên Rn. Khi đó f(b) − f(a) ∈ co(∂f([a, b])(b −a)), trong đó ∂f(x) là Jacobian suy rộng Clarke của f tại x.
Chứng minh: Với mỗi x ∈ [a, b], vì Jacobian suy rộng Clarke ∂f(x)
là Jacobian lồi, compact của f tại x nên từ hệ quả 2.3.10 ta suy ra ngay hệ quả 2.3.11.
Hệ quả này chính là định lý giá trị trung bình cho hàm vectơ Lipschitz địa phương đã biết.
Sử dụng định lý giá trị trung bình ta cũng chứng minh được điều kiện cần và đủ để một hàm vectơ liên tục trở thành Lipschitz địa phương. Định lý 2.2.12. Cho hàm f : Rn → Rm liên tục. Khi đó f có ánh xạ Jacobian xấp xỉ ∂∗f bị chặn địa phương tại x khi và chỉ khi f Lipschitz địa phương tại x.
Chứng minh: Giả sử ∂∗f bị chặn địa phương tại x. Theo định nghĩa tồn tại một lân cận U của x, một sốα > 0sao chokAk ≤ α,∀A ∈ ∂∗f(U).
Ta có thể giả thiết rằng U là tập lồi. Lấy x1, x2 bất kì thuộc U thì
[x1, x2] ⊂ U. Từ định lý giá trị trung bình ta có
f(x1)−f(x2) ∈ co(∂∗f([x1, x2])(x1 −x2)) ⊂co(∂∗f(U)(x1 −x2)).
Do đó
kf(x1)−f(x2)k ≤ kx1 −x2kmax{kAk :A ∈ ∂∗f(U)} ≤ αkx1 −x2k.
Vậy hàm f Lipschitz địa phương tại x.
Ngược lại, giả sử hàm f là Lipschitz địa phương tại x. Như ta đã biết Jacobian suy rộng Clarke∂f của f là bị chặn địa phương tại x. Khi đó có thể chọn nó là ánh xạ Jacobian xấp xỉa của f. Định lý được chứng minh.
Sau đây ta đưa ra phép toán về Jacobian của hàm hợp. Bổ đề 2.2.13. Cho Γ1 ⊆ L(Rm,Rk), Γ2 ⊆ L(Rn,Rm). Khi đó (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
co(Γ1)◦co(Γ2) ⊆ co(Γ1 ◦Γ2).
(ở đây ta kí hiệu Γ1 ◦Γ2 là tập hợp {M ◦N : M ∈ Γ1, N ∈ Γ2})
Chứng minh: Lấy M ∈ co(Γ1) và N ∈ co(Γ2). Khi đó tồn tại Mi ∈
Γ1, Nj ∈ Γ2 và các số dương λi, µj với i = 1, l, j = 1, k sao cho
l P i=1 λi = k P j=1 µj = 1 và M = l P i=1 λiMi, N = k P j=1 µjNj. Khi đó M ◦N = l X i=1 λiMi ◦ k X j=1 µjNj = l X i=1 λi k X j=1 µjMi ◦Nj ,
Suy ra M ◦N ∈ co(co(Γ1 ◦Γ2)) = co(Γ1 ◦Γ2).
Vậy co(Γ1)◦co(Γ2) ⊆co(Γ1 ◦Γ2). Bổ đề được chứng minh. Sử dụng bổ đề ta chứng minh định lý sau đây.
Định lý 2.2.14. Cho f :Rn → Rm và g : Rm → Rk là các hàm liên tục. Cho ∂f và ∂g tương ứng là các ánh xạ Jacobian xấp xỉ của f và g. Khi đó với mỗi 1, 2 > 0 bao đóng của tập hợp S
x∈x0+1Bn y∈f(x0)+2Bm)
∂g(y)◦∂f(x) là
Chứng minh: Với 1, 2 > 0, ta kí hiệu D1 = x0 +1Bn, D2 = f(x0) +2Bm, và Γ1 = ∂f(D1) = S x∈D1 ∂f(x),Γ2 = ∂f(D2) = S y∈D2 ∂g(y). Khi đó S x∈x0+1Bn y∈f(x0)+2Bm) ∂g(y)◦∂f(x) = Γ2 ◦Γ1.
Để chứng minh được định lý ta chỉ cần chứng minh rằng: ∀v ∈ Rk
(v(g ◦f))+(x0, u) ≤ sup
P∈Γ2◦Γ1
hv, P(u)i ∀u ∈ Rn.
Lấy {ti} là dãy các số dương hội tụ tới 0 sao cho
(v(g◦f))+(x0, u) = lim
i→∞
hv,(g ◦f)(x0 +tiu)−(g◦f)(x0)i
ti .
Áp dụng định lý giá trị trung bình cho f và g ta có
f(x0 +tiu)−f(x0) ∈ co(∂f([x0, x0 +tiu])(tiu)) và
g(f(x0+tiu))−g(f(x0)) ∈ co(∂g([f(x0), f(x0+tiu)])(f(x0+tiu)−f(x0))).
Do f liên tục và x0 +tiu →x0 khi i → ∞ nên tồn tại i0 ≥ 1 sao cho:
[x0, x0 +tiu] ⊆D1 và [f(x0), f(x0 +tiu)] ⊆D2 ∀i ≥ i0.
Sử dụng bổ đề vừa chứng minh ta suy ra:
(v(g ◦f))+(x0, u) ≤ ≤lim sup
i→∞
1
tihv, ξi : ξ ∈ co(∂g(D2)◦co(∂f(D1)(tiu))) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
≤lim sup i→∞ 1 tihv, ξi : ξ ∈ co(co(∂g(D2))◦co(∂f(D1)))(tiu) ≤sup{hv, ξi : ξ ∈ (Γ2 ◦Γ1)(u)} = sup Λ∈Γ2◦Γ1 hv,Λ(u)i ≤ sup Λ∈S x∈D1,y∈D2∂g(y)◦∂f(x) hv,Λ(u)i.
Vậy bao đóng của tập hợp S
x∈x0+1Bn y∈f(x0)+2Bm)
∂g(y) ◦∂f(x) là Jacobian xấp xỉ
của g ◦f tại x0. Định lý được chứng minh. Từ định lý trên ta có một số hệ quả như sau:
Bổ đề 2.2.15. Cho f : Rn → Rm và g : Rm → Rk là các hàm liên tục. Cho ∂f và ∂g tương ứng là các ánh xạ Jacobian xấp xỉ của f và g, u.s.c tại x0 và f(x0). Khi đó với mỗi 1, 2 > 0 bao đóng của tập hợp
(∂g(f(x0)) +2Bk×m) ◦(∂f(x0) + 1Bm×n) là một Jacobian xấp xỉ của
g◦f tại x0.
Chứng minh: Từ giả thiết ∂f và ∂g là u.s.c tại x0 và f(x0) tương ứng. Ta suy ra ∀1, 2 > 0, ∃δ >0 sao cho
∂f(x) ⊂ ∂f(x0) +1Bm×n ∀x ∈ x0 +δBn, ∂g(y) ⊂ ∂g(f(x0)) +2Bk×m ∀y ∈ f(x0) +δBm. Ta suy ra: [ x∈x0+1Bn y∈f(x0)+2Bm) ∂g(y)◦∂f(x) ⊆ (∂g(f(x0)) +2Bk×m)◦(∂f(x0) +1Bm×n).
Theo đinh lý 2.2.14 thì bao đóng của tập hợp S
x∈x0+1Bn y∈f(x0)+2Bm)
∂g(y)◦∂f(x)
là một Jacobian xấp xỉ của g ◦f tại x0.
Do đó bao đóng của tập hợp(∂g(f(x0))+2Bk×m)◦(∂g(f(x0))+1Bm×n)
là một Jacobian xấp xỉ của g ◦f tại x0. Hệ quả được chứng minh.
Khi g có một Jacobian xấp xỉ bị chặn (như trường hợp g khả vi hay Lipschitz địa phương) thì định lý 2.2.14 có dạng đơn giản như hệ quả dưới đây.
Bổ đề 2.2.16. Cho f : Rn → Rm và g : Rm → Rk là các hàm liên tục. Cho ∂f là ánh xạ Jacobian xấp xỉ của f , u.s.c tại x0 và ∂g là một ánh xạ Jacobian xấp xỉ của g, bị chặn và u.s.c tại f(x0). Khi đó, với mỗi > 0, bao đóng của tập (∂g(f(x0)) +Bk×m) ◦∂f(x0) là một Jacobian xấp xỉ của g◦f tại x0.
Chứng minh: Với mỗi 1, 2 > 0, ta kí hiệu
D1 = x0 +1B1, D2 = f(x0) +2Bm Γ1 = [ x∈D1 ∂f(x),Γ2 = [ y∈D2 ∂g(y).
Ta có: (v(g ◦f))+(x0, u) ≤ sup M∈Γ2,N∈Γ1 hv,(M ◦N)(u)i ≤ sup M∈Γ2,N∈∂f(x0) hv,(M ◦N)(u)i + 1 sup M∈Γ2,N∈Bm×n hv,(M ◦N)(u)i.
Do ∂g bị chặn và là u.s.c tại f(x0) nên Γ2 bị chặn. Mặt khác 1 là tùy ý nên suy ra:
(v(g ◦f))+(x0, u) ≤ sup M∈Γ2,N∈Γ1 hv,(M ◦N)(u)i ≤ sup P∈(∂g(f(x0))+2Bk×m)◦∂f(x0) hv, P(u)i.
Vậy với mỗi >0ta có bao đóng của tập(∂g(f(x0))+2Bk×m)◦∂f(x0)
là một Jacobian xấp xỉ của g ◦f tại x0. Hệ quả được chứng minh.
Bổ đề 2.2.17. Cho f : Rn → Rm và g : Rm → Rk là các hàm liên tục. Cho∂f và ∂g tương ứng là các ánh xạ Jacobian xấp xỉ của f và g, bị chặn, u.s.c tại x0 và f(x0). Khi đó, tập ∂g(f(x0))◦∂f(x0) là một Jacobian xấp xỉ của g◦f tại x0.
Chứng minh:Từ giả thiết∂f và∂g tương ứng là các ánh xạ Jacobian xấp xỉ của f và g, bị chặn, u.s.c tại x0 và f(x0), theo chứng minh của hệ quả 2.3.16 ta có ∀2 > 0 (v(g ◦f))+(x0, u) ≤ sup M∈Γ2,N∈∂f(x0) hv,(M ◦N)(u)i ≤ sup M∈∂g(f(x0)),N∈∂f(x0) hv,(M ◦N)(u)i + 2 sup M∈Bk×m,N∈∂f(x0) hv,(M ◦N)(u)i. Do ∂f(x0) bị chặn và 2 > 0 tùy ý nên (v(g◦f))+(x0, u) ≤ sup P∈(∂g(f(x0))+2Bk×m)◦∂f(x0) hv, P(u)i.
Điều này khẳng định rằng tập đóng ∂g(f(x0))◦∂f(x0) là một Jacobian xấp xỉ của g◦f tại x0. Vậy hệ quả được chứng minh.
2.3 Hessian xấp xỉ
2.3.1 Hessian xấp xỉ của hàm vô hướng (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Giả sử hàm f : Rn → R khả vi liên tục. Khi ấy Gradient∇f của f là một hàm liên tục từ Rn vào Rn.
Định nghĩa 2.3.1. Ta nói hàm f có một Hessian xấp xỉ ∂2f(x) tại x nếu tập này là Jacobian xấp xỉ của ∇f tại x.
Như vậy: Tập ∂2f(x) là một Hessian xấp xỉ của f tại x nếu ∂2f(x) ⊆
L(Rn,Rn) là một tập đóng và với mọi u, v ∈ Rn ta có:
(v∇f)+(x, u) ≤ sup
M∈∂2f(x)
hv, M(u)i.
Mỗi phần tử M ∈ ∂2f(x) là một ma trận vuông cấp n và được gọi là ma