Tối ưu số cho bài toán tối ưu một mục tiêu

Luận án tốt nghiệp Phần 0 Phần 0 MỞ ĐẦU MỞ ĐẦU 1 Luận án tốt nghiệp Ngày nay, các bài toán tối ưu thường xuất hiện trong kinh tế và kỹ thuật, chúng có nhiều ứng dụng rất rộng rãi và đa dạng. Trên thế giới có rất nhiều giải thuật để giải các bài toán tối ưu. Trong đó, các giải thuật tiến hóa áp dụng cho các bài toán tối ưu một mục tiêu hay đa mục tiêu đã chứng tỏ tính hiệu quả của nó một cách rộng rãi trong những năm gần đây thông qua một số lượng lớn các áp dụng. Tuy nhiên, hầu hết các nghiên cứu hiện hành trên các ứng dụng của giải thuật tiến hóa để giải các bài toán tối ưu một hay nhiều mục tiêu đều tập trung trên các chiến lược xử lý các hàm mục tiêu, gán giá trò fitness và chọn lọc nhằm cố gắng đạt được mục đích là hướng dẫn việc tìm kiếm của giải thuật đến một miền thu hẹp có chứa lời giải tối ưu đối với bài toán tối ưu một mục tiêu hay biên tối ưu Pareto đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu. Tuy nhiên các lời giải tìm được thường là các lời giải xấp xỉ khá tốt nhưng không phải lời giải tối ưu (một mục tiêu) hay tối ưu Pareto (đa mục tiêu). Mặc dù các toán tử sinh sản như lai ghép và đột biến đã được cải tiến rất nhiều nhưng chúng vẫn sản sinh ra các cá thể con mà hoàn toàn không biết đến các cá thể con đó có khả năng tốt hơn hay xấu hơn cha mẹ của chúng như thế nào. Nói cách khác, lý do để các giải thuật tiến hóa thường không đạt được các lời giải tối ưu (một mục tiêu) hay tối ưu Pareto (đa mục tiêu) là các toán tử di truyền như lai ghép và đột biến theo kiểu truyền thống không đủ mạnh để sản sinh ra các cá thể tốt nhất như mong muốn. Để vượt qua khó khăn đó, người ta đề xuất một hướng tiếp cận mới, được gọi là giải thuật Tìm Kiếm Ngẫu Nhiên Theo Xác Suất (TKNNTXS), để giải các bài toán tối ưu một hay nhiều mục tiêu. Hướng tiếp cận này có những đặc điểm sau - Không cần thiết kế một hàm phụ trợ như các hàm phạt. Việc xử lý các hàm mục tiêu và các ràng buộc được tách biệt nhau. Xử lý trực tiếp trên các chữ số của biến quyết đònh để phát sinh lời giải khả thi tốt hơn và sử dụng chính các hàm mục tiêu làm hàm đo độ tốt của lời giải. - Không sử dụng kỹ thuật di truyền truyền thống như lai ghép và đột biến tại một hay nhiều điểm. Việc sản sinh và tìm kiếm lời giải tối ưu là ngẫu nhiên được hướng dẫn bởi xác suất. 2 Luận án tốt nghiệp Phần 1 Phần 1 TỔNG QUAN TỔNG QUAN 3 Luận án tốt nghiệp I.Khái quát: Phần mềm áp dụng giải thuật Tìm Kiếm Ngẫu Nhiên Theo Xác Suất để tìm ra các đáp số tối ưu cho bài toán một mục tiêu (Bài toán Min hoặc bài toán Max). Tuy nhiên, phân mềm không đưa ra các đáp số đã tìm được là tối ưu nhất, chỉ là tương đối. Mục đích của phần mềm này là:  Đưa ra đáp số tối ưu cho bài toán một mục tiêu. Từ đó, có thể giúp mọi người giải quyết vấn đề của họ.  Giúp người học giải các bài toán tối ưu bằng máy tính. 2. Phạm vi sử dụng: Chương trình sẽ được sử dụng trong các trường học để giúp cho người học tìm ra các đáp án tối ưu cho bài toán tối ưu với độ chính xác cao nhất. Sử dụng trong việc tìm ra phương án tối ưu để giải quyết các vấn đề phức tạp. III. Người sử dụng: Các lập trình viên, người phân tích thiết kế và mọi người. IV.Nhiệm vụ: Tìm ra các phương án tối ưu cho bài toán một mục tiêu. Ngôn ngữ cài đặt cho chương trình là Visual Basic 6.0. 4 Luận án tốt nghiệp Phần 2 Phần 2 GIỚI THIỆU CÁC PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU CỔ ĐIỂN GIỚI THIỆU CÁC PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU CỔ ĐIỂN 5 Luận án tốt nghiệp A.MỞ ĐẦU I. ĐỐI TƯNG NGHIÊN CỨU Các thuật toán tối ưu có rất nhiều ứng dụng trong kinh tế và trong khoa học kỹ thuật. Đối với mỗi thuật toán, cần phải xây dựng cơ sở lý thuyết của thuật toán, chứng minh tính hữu hạn hay hội tụ của nó, thuật toán cần phải lập trình được và chạy có hiệu quả trên máy tính. 1. BÀI TOÁN TỐI ƯU TỔNG QUÁT : Bài toán tối ưu tổng quát được phát biểu như sau. Cực đại hóa (cực tiểu hóa) hàm f(x) → max (min) (1) với các điều kiện gi(x) (≤,=,≥) bi, i=1, ….,m (2) x ∈ X ⊂ Rn (3) Bài toán (1)-(3) được gọi là một quy hoạch, hàm f(x) được gọi là hàm mục tiêu, các hàm gi(x), i=1, ….,m được gọi là các hàm ràng buộc, mỗi đẳng thức hoặc bất đẳng thức trong hệ (2) được gọi là một ràng buộc. Tập hợp D= x ∈ X | g i (x) (≤,=,≥) b i , i=1, ….,m (4) được gọi là miền ràng buộc (hay miền chấp nhận được). Mỗi điểm x=(x 1 ,x 2 , ….,x n ) ∈ D được gọi là một phương án (hay một lời giải chấp nhận được). Một phương án x* ∈ D đạt cực đại (hay cực tiểu) của hàm mục tiêu, cụ thể là: f(x*) ≥ f(x) , ∀x ∈ D (đối với bài toán MAX) f(x*) ≤ f(x) , ∀x ∈ D (đối với bài toán MIN) được gọi là phương án tối ưu (lời giải tối ưu). Khi đó giá trò f(x*) được gọi là giá trò tối ưu của bài toán. 6 Luận án tốt nghiệp 2. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN : Một trong những phương pháp hiển nhiên nhất để giải bài toán đặt ra là phương pháp duyệt toàn bộ: tìm giá trò hàm mục tiêu f(x) trên tất cả các phương án, sau đó so sánh các giá trò tính được để tìm ra giá trò tối ưu và phương án tối ưu của bài toán. Tuy nhiên cách giải quyết này khó có thể thực hiện được, ngay cả khi kích thước của bài toán không lớn (số biến n và số ràng buộc m) là không lớn, bởi vì tập D thông thường gồm một số rất lớn phần tử, trong nhiều trường hợp là không đếm được. Vì vậy cần phải có những nghiên cứu trước về mặt lý thuyết để có thể tách ra từ bài toán tổng quát những lớp bài toán dễ giải. Các nghiên cứu lý thuyết đó thường là nghiên cứu các tính chất của các thành phần bài toán (hàm mục tiêu, các hàm ràng buộc, các biến số, các hệ số …), các điều kiện tồn tại lời giải chấp nhận được, các điều kiện cần và đủ của cực trò, tính chất của các đối tượng nghiên cứu. Các tính chất của các thành phần của bài toán và đối tượng nghiên cứu giúp ta phân loại các bài toán. Một bài toán tối ưu được gọi là:  Quy hoạch tuyến tính (QHTT) nếu hàm mục tiêu f(x) và tất cả các hàm ràng buộc g i (x), i=1, ….,m là tuyến tính. Tập X là một tập lồi đa diện. Một trường hợp riêng quan trọng của quy hoạch tuyến tính là bài toán vận tải.  Quy hoạch tham số nếu các hệ số trong biểu thức của hàm mục tiêu và của các ràng buộc phụ thuộc vào tham số.  Quy hoạch động nếu đối tượng xét là các quá trình có nhiều giai đoạn nói chung, hay các quá trình phát triển theo thời gian nói riêng.  Quy hoạch phi tuyến nếu f(x) hoặc có ít nhất một trong các hàm g i (x) là phi tuyến, hoặc cả hai trường hợp đó cùng xảy ra.  Quy hoạch lồi nếu tìm cực tiểu của hàm lồi f(x) trên tập lồi D.  Quy hoạch lõm nếu tìm cực tiểu hàm lõm f(x) trên tập lồi D.  Quy hoạch rời rạc nếu miền ràng buộc D là tập rời rạc. Trong trường hợp riêng khi các biến chỉ nhận giá trò nguyên ta có quy hoạch nguyên. Một 7 Luận án tốt nghiệp trường hợp riêng của quy hoạch nguyên là quy hoạch biến Boole khi các biến số chỉ nhận giá trò 0 hay 1.  Quy hoạch đa mục tiêu nếu trên cùng một miền ràng buộc ta xét đồng thời các hàm mục tiêu khác nhau. II.VẤN ĐỀ MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC 1. XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC CHO MỘT VẤN ĐỀ THỰC TẾ Việc mô hình hóa toán học cho một vấn đề thục tế có thể chia làm bốn bước.  Bước 1: Xây dựng mô hình đònh tính cho vấn đề thực tế, tức là xác đònh các yếu tố có ý nghóa quan trọng nhất và xác lập các quy luật mà chúng phải tuân theo. Nói một cách khác là phát biểu mô hình bằng lời và bằng những biểu đồ, các điều kiện về kinh tế kỹ thuật, tự nhiên, xã hội, các mục tiêu cần đạt được.  Bước 2: Xây dựng mô hình cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình đònh tính. Khi có một hệ thống, ta chọn các biến số đặc trưng cho các trạng thái của hệ thống. Mô hình toán học thiết lập mối liên hệ giữa các biến số và các hệ số điều khiển hiện tượng. Việc làm rất quan trọng ở bước này là phải xác đònh hàm mục tiêu, tức là một đặc trưng bằng số mà giá trò càng lớn (càng nhỏ) của nó tương ứng với hiệu quả càng tốt hơn giải quyết vấn đề mà người nhận lời giải mong muốn. Tiếp theo, phải diễn tả bằng các phương trình hay bất phương trình các điều kiện kinh tế kỹ thuật …, đó là các ràng buộc toán học mà các biến số phải tuân theo.  Bước 3: Sự dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành trong Bước 2. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù hợp. Tiếp đó, cụ thể hóa phương pháp bằng các thuật toán tối ưu. Vì các bài toán thực tế thường có kích thước lớn nên không thể giải bằng tay được mà phải sử dụng máy tính điện tử. Vậy cần phải chương trình hóa thuật toán bằng một ngôn ngữ lập trình thích hợp, sau đó đưa lên máy tính để chạy và in ra kết quả. 8 Luận án tốt nghiệp  Bước 4: Phân tích và kiểm đònh lại các kết quả thu được trong Bước 3. Trong bước này cần phải xác đònh mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế hoặc áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia. Ở đây có thể xảy ra một trong hai khả năng sau. − Khả năng 1: Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế. Khi đó cần lập một bảng tổng kết ghi rõ cách đặt vần đề, mô hình hóa toán học thuật toán tối ưu, chương trình, cách chuẩn bò số liệu để đưa vào máy tính, nghóa là toàn bộ các công việc cần thiết cho việc áp dụng mô hình và kết quả để giải quyết vấn đề thực tế đặt ra. Trong trường hợp mô hình cần được sử dụng nhiều lần thì phải xây dựng hệ thống phần mềm bảo đảm giao diện thuận tiện giữa người sử dụng và máy tính điện tử, không đòi hỏi người sử dụng phải có trình độ chuyên môn cao về toán. − Khả năng 2: Mô hình và các kết quả tính toán không phù hợp với thực tế. Trong trường hợp này cần phải xem xét các nguyên nhân của nó. Có thể nêu ra bốn nguyên nhân sau:  Các kết quả tính toán trong Bước 3 chưa đủ độ chính xác cần thiết. Khi đó cần phải xem lại các thuật toán cũng như các chương trình tính toán đã viết và sử dụng.  Các số liệu ban đầu (các hệ số, thông số) không phản ánh đúng thực tế giá cả, hoặc chi phí trên thò trường, hoặc các đònh mức vật tư, hoặc các số liệu khác về công suất, khả năng máy móc, dự trữ tài nguyên, … Khi đó cần điều chỉnh lại một cách nghiêm túc, chính xác.  Mô hình đònh tính xây dựng chưa phản ánh được đầy đủ hiện tượng thực tế. Nếu vậy cần rà soát lại Bước 1 xem có yếu tố hoặc quy luật nào còn bò bỏ sót không?  Việc xây dựng mô hình toán học ở Bước 2 chưa thỏa đáng. Cần phải xây dựng lại cho phù hợp, mức độ tăng dần từ tuyến tính đến phi tuyến, từ tónh đến động. 2. MỘT SỐ MÔ HÌNH THỰC TẾ :  Bài toán lập kế hoạch sản xuất. 9 Luận án tốt nghiệp  Bài toán vận tải.  Bài toán cái túi. B. CÁC LOẠI BÀI TOÁN TỐI ƯU VÀ PHƯƠNG PHÁP CỔ ĐIỂN I. QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Quy hoạch tuyến tính (QHTT) là một trong những lớp bài toán tối ưu được nghiên cứu trọn vẹn cả về phương diện lý thuyết lẫn thực hành. QHTT bắt nguồn từ những nghiên cứu của nhà toán học Nga nổi tiếng, Viện sỹ Kantorovich L.V, trong một loạt các công trình về bài toán kế hoạch hóa sản xuất, công bố năm 1938. Năm 1947, nhà toán học Mỹ Dantzig đã nghiên cứu và đề xuất phương pháp đơn hình (Simplex method) để giải bài toán QHTT. Năm 1952 phương pháp đơn hình đã được chạy trên máy tính điện tử ở Mỹ. QHTT có một vò trí quan trọng trong tối ưu hóa vì 2 lý do. Lý do thứ nhất là mô hình tuyến tính đơn giản trong việc áp dụng. Lý do thứ hai là nhiều bài toán quy hoạch nguyên và quy hoạch phi tuyến có thể xấp xỉ với độ chính xác cao bởi một dãy các bài toán QHTT. 1. BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH a) Bài toán tổng quát : Để nhất quán lập luận ta xét bài toán tím cực đại, sau đó ta sẽ xét cách chuyển bài toán tìm cực tiểu sang tìm cực đại. Bài toán tổng quát của QHTT có dạng: ∑ = n j 1 c j x j → max (1) ∑ = n j 1 a ii x j (≤,=,≥) b i , i=1, ….,m (2) x j ≥ 0, j=1,…,n (3) 10 [...]... , i ∈ I3 4 Ý NGHĨA CẶP BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU a) Ý nghóa toán học Khi có cj ≥ 0, ∀j thì biết ngay được một phương án cực biên của bài toán đối ngẫu Nếu y là phương án cực biên của bài toán đối ngẫu thì khi bài toán gốc thêm một ràng buộc ta có (y,0) vẫn là phương án cực biên của bài toán đối ngẫu Đôi khi dùng cặp bài toán đối ngẫu để giải gần đúng theo ý nghóa sau: giải cả hai bài toán và nếu hiệu giữa các... đa diện lồi D có một số hữu hạn đỉnh Như vậy phải tồn tại thuật toán hữu hạn Thuật toán gồm hai giai đoạn:  Giai đoạn 1: tìm một phương án cực biên (một đỉnh)  Giai đoạn 2: kiểm tra điều kiện tối ưu đối với phương án tìm được ở giai đoạn 1 Nếu điều kiện tối ưu được thỏa mãn thì phương án đó là tối ưu Nếu không, ta chuyển sang phương án cực biên mới sao cho cải tiến giá trò hàm mục tiêu Tiếp theo lại... chuyển động 4 PHƯƠNG PHÁP MONTE-CARLO a) Phát biểu bài toán Trong kinh tế cũng như trong kỹ thuật, chúng ta thường gặp bài toán tối ưu mà hàm mục tiêu không phải là tuyến tính, không lồi, không lõm, còn miền ràng buộc cũng không lồi Nhiều khi hàm mục tiêu không viết được dưới dạng hiển mà chỉ có một quy trình tính toán phức tạp để được một giá trò Xét bài toán min f(x) (1) x∈ D (2) aj ≤ xj ≤ bj, j = 1,... thúc đẩy sản xuất 5 THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU: Nội dung của thuật toán là ta áp dụng thuật toán đơn hình để giải bài toán đối ngẫu nhưng ta lại diễn tả quá trính trong ngôn ngữ của bài toán gốc, và bằng cách đó ta tìm được nghiệm của bài toán gốc Giả sử ta đã biết một phương án cực biên y 0 của bài toán đối ngẫu (P’), tức là ta biết một cơ sở đối ngẫu { Aj ≤ 0 , j ∈ J} sao cho ∆ j = 0 (∀j ∈ J) và... giá trò hàm mục tiêu 13 Luận án tốt nghiệp Z0 = ∑ j ∈J cj xj  Bước 2: kiểm tra tối ưu Nếu ∆k ≥ 0, ∀k ∉ J thì x là phương án tối ưu, dừng thuật toán Trái lại, chuyển sang bước 3  Bước 3: tìm véctơ đưa vào cơ sở Có 2 khả năng xảy ra:  Tồn tại k ∉ J sao cho ∆k < 0 và zjk ≤ 0, ∀ j ∈ J thì bài toán QHTT không có lời giải tối ưu (Z không bò chặn trên) Dừng thuật toán  Đối với mỗi k ∉ J sao cho ∆k < 0... đối ngẫu là một trong các khái niệm cơ bản của QHTT Trong rất nhiều trường hợp để có được những kết luận chấp nhận được cho một trong các bài toán trên thì việc nghiên cứu bài toán đối ngẫu của nó lại tỏ ra thậun tiện hơn Hơn nữa khi phân tích song song một cặp bài toán đối ngẫu ta có thể nhận được những kết luận hay, cả về toán học và cả về ý nghóa kinh tế 1 QHTT DƯỚI DẠNG CHUẨN, CẶP BÀI TOÁN TUYẾN... đầu cho giả phương án x với cơ sở đã cho Bảng đơn hình vẫn bố trí như củ Cột phương án tính theo công thức: xJ=AJ-1b Hàm mục tiêu: f = < cJ, xJ > Khai triển của véctơ Ak theo các véctơ cơ sở: Z K = AJ-1 Ak Dòng ước lượng tính theo công thức : ∆k= - ck  Bước 2: kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu cho giả phương án x Nếu x j ≥ 0, ∀j ∈ J, khi đó x là phương án tối ưu của bài toán (P), dừng tính toán. .. tra điều kiện tối ưu đối với phương án mới Người ta thực hiện một dãy các thủ tục như vậy cho đến khi nhận được phương án tối ưu, hoặc đến tình huống bài toán không có phương án tối ưu b) Thuật toán đơn hình: Giả sử ta đã đưa QHTT về dạng chính tắc: cx = Z → max Ax = b  Bước 1: xây dựng bảng đơn hình xuất phát Tìm một phương án cực biên xuất phát x và cơ sở của nó Aj, j ∈ J  Xác đònh các số zjk bởi... lâu mà giá trò hàm mục tiêu không cải tiến thêm thì dừng tính toán Khi dừng tính toán theo cách này mà số phương án sf = 0 thì ta nghi ngờ bài toán (1)-(3) không có phương án, cần xét lại cách đặt các ràng buộc sao cho hợp lý C KẾT LUẬN Qua các phương pháp nêu trên, ta thấy có rất nhiều phương pháp để giải bài toán tối ưu hóa Các phương pháp đều đưa ra được các lời giải tối ưu, nhưng chưa đạt được... được tiến hành nhờ giải một bài toán quy hoạch tuyến tính phụ với điều kiện (3)-(4) 2 PHƯƠNG PHÁP KARMARKAR Thuật toán Karmarkar có nhiều điểm chung với thuật toán đơn hình Trước hết đó là: cả hai đều là các thuật toán lặp và đều xuất phát từ một phương án chấp nhận được của bài toán cần giải Thứ hai là, ở mỗi bước lặp cả hai thuật toán đều di chuyển từ một phương án hiện có tới một phương án tốt hơn . tìm kiếm của giải thuật đến một miền thu hẹp có chứa lời giải tối ưu đối với bài toán tối ưu một mục tiêu hay biên tối ưu Pareto đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu. Tuy nhiên các lời giải. tìm ra các đáp số tối ưu cho bài toán một mục tiêu (Bài toán Min hoặc bài toán Max). Tuy nhiên, phân mềm không đưa ra các đáp số đã tìm được là tối ưu nhất, chỉ là tương đối. Mục đích của phần. thuật tiến hóa áp dụng cho các bài toán tối ưu một mục tiêu hay đa mục tiêu đã chứng tỏ tính hiệu quả của nó một cách rộng rãi trong những năm gần đây thông qua một số lượng lớn các áp dụng.