Tìm cực tieơu hàm loăi moơt biên f(x) tređn đốn [u,v] thuoơc đường thẳng sô thực R1. Hàm moơt biên f(x) gĩi là loăi tređn đốn [u,v] nêu thỏa mãn:
f(λx+(1 - λ)y) ≤ λf(x) + (1 - λ)f(y)
∀x,y ∈ [u,v], λ ∈ (0,1). b) Thuaơt toán giại
Thuaơt toán lát caĩt vàng sử dúng hai haỉng sô (gĩi là các haỉng sô Phi-bođ-nát- si):
F1 = (3 - 5)/2 ≈ 0.38197,
F2 = ( 5 - 1)/2 = 1- F2 ≈ 0.61803
Hai sô này có tính chât đaịc bieơt : F1 = (F2)2. Thuaơt toán lát caĩt vàng tìm cực tieơu hàm f(x) goăm các bước sau:
Bước 1 : Chia ba đốn [u,v] bởi các đieơm ω1, ω2 và tính giá trị cụa hàm tái các đieơm này, tức là tính
ω1 = u + F1 * (v - u), z1 = f(ω1),
ω2 = u + F2 * (v - u), z2 = f(ω2).
Bước 2 : So sánh z1 và z2, nêu z1 ≤ z2 thì chuyeơn tới Bước 3, nêu z1 > z2 thì chuyeơn tới Bước 4.
Bước 3 : Lây đốn [u’,v’] mới với u’ = u, v’ = ω2.
Nêu |v’ – u’| ≤ε thì đieơm cực tieơu là x* = ω1 và f(x*) = z1, dừng tính toán.
Nêu |v’ – u’| > ε thì chia đốn [u’,v’] thành ba đốn bởi hai đieơm chia ω1’, ω2’:
Đieơm ω2’ lây chính là đieơm ω1 cũ, như vaơy z2’=f(ω2’) = z1.
Đieơm được ω1’ tính theo cođng thức:
ω1’ = u’ + F1 * (v’ – u’),
sau đó tính z1’ = f(ω1’).
Chuyeơn tới Bước 2 với sự thay đoơi vai trò z1, z2 bởi z1’, z2’. Bước 4 : Lây đốn [u’,v’] mới với u’ = ω1, v’ = v.
Nêu |v’ – u’| ≤ε thì đieơm cực tieơu là x* = ω2 và f(x*) = z2, dừng tính toán.
Nêu |v’ – u’| > ε thì chia đốn [u’,v’] thành ba đốn bởi hai đieơm chia ω1’, ω2’:
Đieơm ω1’ lây chính là đieơm ω2 cũ, như vaơy z1’=f(ω1’) = z2.
Đieơm được ω2’ tính theo cođng thức:
ω2’ = u’ + F2 * (v’ – u’),
sau đó tính z2’ = f(ω2’).
Chuyeơn tới Bước 2 với sự thay đoơi vai trò z1, z2 bởi z1’, z2’.
Ưu đieơm cơ bạn cụa phương pháp lát caĩt vàng: đốn [u’,v’] cụa moơt bước được chia làm ba đốn bởi các đieơm chia ω1’, ω2’ nhưng chư caăn tính giá trị cụa hàm tái moơt đieơm mới, đieău đó giạm được đáng keơ thời gian tính toán so với các phương pháp khác. Ưu đieơm này có được chính là do tính chât đaịc bieơt cụa các sô Phi-bođ-nát-si.
Thuaơt toán tređn cũng dùng đeơ tìm cực đái moơt hàm lõm h(x). Khi đó Max h(x)=-Min f(x) với f(x) = - h(x) và f(x) loêi.