Phương pháp này rât đơn giạn và thuaơn tieơn cho vieơc laơp chương trình tređn máy tính. Đieău kieơn áp dúng phương pháp này:
a. Hàm múc tieđu loăi chaịt.
b. Ràng buoơc có dáng bât đẳng thức và mieăn ràng buoơc có đieơm trong.
min < p,x > + < x,Cx > : Ax ≤ b
với C là ma traơn vuođng đôi xứng xác định dương (nghĩa là < x,Cx > > 0 với mĩi x ≠ 0) và có toăn tái x0 đeơ A x0 < b. (Đeơ ý raỉng ở đađy khođng đòi hỏi b ≥
0 và trong sô các ràng buoơc có theơ có các ràng buoơc veă dâu x ≥ 0).
Với các giạ thiêt đã neđu tređn, bài toán sẽ có nghieơm tôi ưu duy nhât. Đeơ tìm nghieơm này, ta chuyeơn qua xét bài toán đôi ngău, nhờ dựa vào tieđu chuaơn tôi ưu sau:
Ax + y = b, 2Cx + ATu = -pu ≥ 0, y ≥ 0, uTy = 0. u ≥ 0, y ≥ 0, uTy = 0.
Vì ma traơn C xác định dương neđn có ma traơn ngược C -1 và đẳng thức thứ hai vừa neđu có theơ giại theo u:
x(u) = - 21 C -1 (ATu + p) (1) Khi đó tieđu chuaơn tôi ưu có theơ viêt lái thành:
2Gu – y = -h.
u ≥ 0, y ≥ 0, uTy = 0.
với các ký hieơu mới:
h = 21A C -1p + b, G = 14A C -1 AT
Véctơ h có m thành phaăn, ma traơn G vuođng câp m, nửa xác định dương và có tính chât: các phaăn tử tređn đường chéo luođn luođn dương.
Đieău kieơn tôi ưu tređn cũng chính là đieău kieơn tôi ưu cụa bài toán sau, là đôi ngău cụa bài toán ban đaău:
Bài toán này cũng là bài toán quy hốch toàn phương nhưng ràng buoơc có dáng đơn giạn. Giại bài toán này ta sẽ suy ra được lời giại cụa bài toán ban đaău, theo cođng thức (1).
Cách tìm u như sau: xuât phát từ moơt xâp xư ban đaău, tùy ý u0 ≥ 0, thođng thường ta có theơ chĩn u0 = 0. Các thành phaăn cụa xâp xư tiêp theo u1 được tìm baỉng cách làm cực tieơu ϕ(u) laăn lượt theo từng tĩa đoơ. Tương tự, từ u1 ta nhaơn được u2, v.v... Nói chung, uk+1 với k = 0,1,2, ... được tính theo cođng thức: 1 + k i u = max(0, k+1 i ω )