Lý thuyết jacobian xấp xỉ

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN TH± LƯU LÝ THUYET JACOBIAN XAP XI Chun ngành: Tốn Giai tích Mã so: 60460102 LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: GS TSKH NGUYEN XUÂN TAN HÀ N®I- 2014 Mnc lnc Lài nói đau Hàm kha vi 1.1 Hàm kha vi tù R đen R 1.2 Hàm kha vi tù Rn đen R 1.2.1 1.2.2 Các đ%nh nghĩa tính chat Các phép tính đao hàm 13 1.3 Hàm kha vi tù Rn đen Rm 14 1.3.1 1.3.2 Các đ%nh nghĩa tính chat 14 Phép tính cna đao hàm 16 1.4 Bài toán toi ưu trơn 17 1.4.1 1.4.2 Bài tốn trơn khơng có ràng bu®c 17 Bài tốn trơn vói ràng bu®c thúc 18 Jacobian xap xi 20 2.1 Jacobian xap xi cna hàm thnc mo r®ng 20 2.2 Phép tính Jacobian xap xi 32 2.2.1 Phép nhân vơ hưóng 32 2.2.2 Phép c®ng 33 2.2.3 Phép lay maximum 34 2.2.4 Đ%nh lý giá tr% trung bình 35 2.2.5 2.3 Jacobian xap xi cna hàm hop 40 Jacobian xap xi cna hàm vectơ 42 2.4 Hessian xap xi 58 2.4.1 2.4.2 Hessian xap xi cna hàm vơ hưóng 58 Hessian xap xi cna hàm vectơ 62 Úng dnng cua Jacobian xap xi 64 3.1 Nón khái ni¾m liên quan 65 3.2 Đieu ki¾n toi ưu cap hai cho toán toi ưu vectơ 67 3.2.1 Bài tốn toi ưu khơng ràng bu®c 67 3.2.2 Bài tốn toi ưu có ràng bu®c 73 Ket lu¼n 79 Tài li¼u tham khao 80 LèI NÓI ĐAU Vào nua sau the ky XVII, ong thũi v đc lắp, nh toỏn HQc ngưịi Đúc Leibniz nhà tốn HQc ngưịi Anh Newton phát minh phép tính vi phân, m®t cơng cu đac lnc đe giai nhieu tốn v¾t lý, HQc, hóa HQ c, ky thu¾t Nhưng phép tính vi phân mà Leibniz Newton phát minh chi áp dung đưoc cho lóp hàm có tính chat tot M®t van đe đ¾t đoi vói hàm khơng kha vi, đao hàm cna chúng khơng ton tai nên có the thay the khái ni¾m đao hàm bang khái ni¾m khác đưoc khơng? Đây van đe nghiên cúu cna nhieu nhà toán HQc vào nua cuoi the ky XX Tù đó, mơn giai tích khơng trơn địi Mơn HQc giai quyet tốn lóp hàm khơng có đao hàm theo nghĩa thơng thưịng, bang cách đưa khái ni¾m dưói vi phân khác đe thay the khái ni¾m đao hàm, tai m®t điem cho trưóc hàm đưoc xap xi boi m®t HQ hàm tuyen tính Tù nhung năm cuoi cna the ky XX, đau the ky XXI, V Jeyakumar D T Luc đưa khái ni¾m mói ve dưói vi phân GQI Jacobian xap xi cho hàm liên tuc Khái ni¾m cho ta m®t cơng cu huu ích đe nghiên cúu nhung tốn ve hàm liên tuc Jacobian xap xi có nhung phép tính tot, tương úng vói phép tính cna đao hàm thơng thưịng phép lay tích, tőng, hop, đ%nh lý giá tr% trung bình Đ¾c bi¾t, nhieu dưói vi phân Jacobian xap xi dưói vi phân cna hàm loi, hàm Lipschitz nhieu dưói vi phân khác cna Michel - Penot, Moduchovich Vì v¾y, nhung ket qua thu đưoc bang su dung Jacobian xap xi cho hàm có dưói vi phân Hơn nua, hàm Lipschitz đ%a phương có the có m®t Jacobian xap xi mà bao loi cna chúa th¾t sn dưói vi phân suy r®ng Clarke Khác vói nhung dưói vi phân đe c¾p đen, Jacobian xap xi o chi t¾p đóng, khơng nhat thiet b% ch¾n ho¾c loi Nhị tính khơng loi khơng b% chắn m ta cú the dựng e ắc trng mđt so tính chat cna hàm liên tuc tính Lipschitz đ%a phương, tính loi, tính đơn đi¾u Viắc nghiờn cỳu Jacobian xap xi ó mo rđng, thong nhat làm sâu sac nhieu ket qua giai tích khơng trơn toi ưu hóa Lý thuyet Jacobian xap xi đe tài đưoc nhieu nhà toán HQc quan tâm nghiên cúu Trong pham vi lu¾n văn cao HQc, tác gia t¾p trung trình bày có h¾ thong m®t so ket qua ve Jacobian xap xi cna m®t hàm liên tuc khơng gian huu han chieu, trưóc het hàm vơ hưóng, tiep theo hàm vectơ dna so ket qua mà V Jeyakumar D T Luc c®ng sn nghiờn cỳu Vúi nđi dung ny, ban luắn oc bo cuc sau: Chương trình bày kien thúc ban ve hàm vơ hưóng hàm vectơ nhieu bien kha vi như: Các khái ni¾m, tính chat, phép tốn úng dung cna tốn cnc tr% Chương trình bày khái ni¾m, tính chat phép tính ve Jacobian xap xi cna hàm thnc mo r®ng, hàm vectơ Phan cuoi cna chương trình bày khái ni¾m Hessian xap xi cơng thúc Taylor đoi vói hàm kha vi liên tuc Chương trình bày úng dung cna Jacobian xap xi tốn toi ưu e đây, ta đưa m®t so đieu ki¾n can đn cap hai cho tốn toi ưu vói hàm vectơ kha vi liên tuc khơng gian huu han chieu Trong q trình thnc hi¾n lu¾n văn thac sĩ, tác gia nh¾n đưoc sn giúp đõ, tao đieu ki¾n nhi¾t tình q báu cna nhieu cá nhân, t¾p the Lịi đau tiên, tác gia xin đưoc bày to lòng biet ơn sâu sac tói thay giáo GS TSKH Nguyen Xn Tan, ngưịi thay trnc tiep hưóng dan, chi bao t¾n tình giúp đõ tác gia suot q trình làm lu¾n văn Tác gia xin đưoc gui lòi cam ơn chân thành tói thay giáo nhà trưịng, đ¾c bi¾t thay giáo chun ngành Giai tích, khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên - Đai HQc Quoc Gia H Nđi ó tắn tỡnh giỳp tỏc gia suot thịi gian theo HQc, thnc hi¾n hồn thành lu¾n văn Cuoi cùng, tác gia xin đưoc gui lịi cam ơn đen ngưịi thân, gia đình, ban bè luụn đng viờn giỳp v tao ieu kiắn cho tác gia suot thịi gian HQc t¾p hồn thnh luắn cna mỡnh H Nđi, thỏng 11 nm 2014 Nguyen Th% Lưu Bang kí hi¾u R = R ∪ {±∞} L(Rn, Rm) : không gian ánh xa tuyen tính liên tuc tù Rn vào Rm Bn : hình cau đơn v% Rn n m B m×n : hình cau đơn v% L(R , R ) coA : bao loi cna t¾p A coA : bao loi đóng t¾p AA Int(A) : phan trongcna cna t¾p Ext(A) : điem cnc biên cna t¾p A Qf (a) : vectơ gradient cna f tai a Df hàm cnaDini hàmtrên vectơ f tai a f +(a) (x, :v)đao : đao hàm fd− (x, v) : đao hàm Dini dưói d f J (x, v) : đao hàm theo hưóng f ◦ (x, v) : đao hàm suy rông Clarke f ❑ (x, v) : đao hàm Michel-Penot ∂ ◦ f (x0 ) : gradient suy r®ng Clarke cna f tai x0 ∂ ❑ f (x0 ) : dưói vi phân Michel-Penot ∂ (x) :: Hessian xi fconeC nón sinh xap boi C C J : nón cnc cna nón C T nón tiep tiep tuyen tuyen cap cap21cna cnaDDtai taixx0 T12(D, (D, xx00)) :: nón min(A \ C) ho¾c min(A): t¾p điem huu đoi Avói WMin(A\C) ho¾c WMin(A): t¾p điem huuhi¾u hi¾ucna yeuAcna đoinón vóiCnón C Chương Hàm kha vi ta thưịng g¾p nhung toán đưoccác quy ve dang te f (x), Trong cu®c song, nhat ngành kytốn thu¾t kinh chúng x∈D D l mđt khụng gian Rn, f l m®t hàm so xác đ%nh D Thơng thưịng, hàm f có nhieu tính chat Ta can tìm nhung tính chat quan TRQNG đe tốn có nghi¾m v thuắt toỏn giai nghiắm Ta xột mđt lúp hàm v¾y, lóp hàm kha vi Trong chương ta se nhac lai m®t so kien thúc ban ve hàm kha vi phép tính vi phân cna hàm nhieu bien 1.1 Hàm kha vi tÈ R đen R Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho hàm f : (a, b) ⊂ R −→ R Hàm f đưoc GQI kha vi tai điem x0 ∈ (a, b) neu ton tai giói han lim f (x) − f (x0) x − x0 x→x0 Khi đó, đ¾t A = lim x→x0 f (x) − f (x 0) x − x0 A đưoc GQI đao hàm cna hàm f tai điem x0 , ký hi¾u f J (x0 ) Neu (a, hàm khoang b) f kha vi tai MQI điem x ∈ (a, b), ta nói rang f kha vi Đ%nh lý 1.1.1 [1] Cho f, g : (a, b) ⊂ R → R hàm kha vi tai x0 ∈ (a, b) Khi hàm f ± g, cf(c bat kỳ thu®c R), f · g f gneu g(x0) ƒ= hàm kha vi tai x0 ta có i) ii) (f ± g)J (x0 ) = f J (x0 ) ± g J (x0 ); (cf )J(x0) = cfJ(x0); iii) (f g)J (x0 ) = f J (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g J (x0 ); iv) 0) = fg Σj (x f J (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g J (x0 ) g2(x0) Đ%nh lý 1.1.2 hàm Cho (a, b), (c,xd)∈⊂(a, R b) và cácghàm f : (a, b) → (c,(Đao d), g hàm : (c, cna d) → R hop) Gia su f kha vi tai kha vi tai y0 = f (x0) ∈ (c, d) Khi đó, hàm hap g · f kha vi tai x0 (g.f )J (x0 ) = g J [f (x0 )]f J (x0 ) Đ%nh lý 1.1.3 (Đao hàm cna hàm ngưoc) Gia su rang 1) Hàm so f : (a, b) → R liên tnc đơn đi¾u thnc sn (a, b) 2) f có đao hàm f J (x0 ) tai x0 ∈ (a, b) Khi hàm ngưac g = f −1 cua hàm f có đao hàm tai điem y0 = f (x0 ) f t (x ) g J (y0 ) = Đ%nh lý 1.1.4 (Đ%nh lý giá tr% trung bình) Gia su rang hàm so f : [a, b] → R có tính chat: 1) f liên tnc [a, b]; 2) f kha vi (a, b); Khi ton tai nhat m®t điem c ∈ (a, b) cho f (b) − f (a) = f J (c)(b − a) ∞ =  ∈ (co∂2L(0, 0))  Lay M∗ ∞ 0 0  \ {0}  Ta có M∗(u, u) ≥ Như v¾y đieu ki¾n cịn lai cna đ%nh lý 0 80 KET LU¾N Lu¾n văn trình bày lý thuyet ve Jacobian xap xi cna hàm liên tuc không gian huu han chieu dna ket qua cna V Jeyakumar D T Luc Đây m®t cơng cu huu hi¾u đưoc úng dung tốn toi ưu Su dung Jacobian xap xi ta xây dnng đưoc mđt so ieu kiắn can v n cap hai cho tốn toi ưu đoi vói hàm vectơ liên tuc khơng gian huu han chieu Ngồi nhung ket qua đưoc đe c¾p lu¾n văn, Jacobian cịn đưoc dùng m®t so khía canh khác, dùng Jacobian xap xi có the đ¾c trưng cho tính tna loi, tính loi, tính đơn đi¾u cna hàm liên tuc Dna vào lý thuyet trình bày lu¾n văn ta cú the mo rđng cỏc khỏi niắm v ket qua có khơng gian vơ han chieu Van đe can đưoc tiep tuc nghiên cúu cho toán toi ưu đa tr% Tài li¾u tham khao [1]T Đ Long, N Đ Sang, H Q Tồn (2001), Giáo trình giai tích I, NXB Đai HQc Quoc Gia, H Nđi [2]N V Mắu, H Ru¾n, N T Thanh (2001), Phép tính vi phân tích phân hàm nhieu bien, NXB Đai HQc Quoc gia, Hà N®i [3]N V Khuê, P N Thao, L M Hai, N Đ Sang (1997), Toán cao cap II, NXB Giáo Duc, Hà N®i [4]N X Tan, N B Minh (2007), Lý thuyet toi ưu không trơn, NXB Đai HQc Quoc gia, Hà N®i [5]F H Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New York [6]V Jeyakumar and D T Luc (2000) , Nonsmooth Vector Functions and Continous Optimization, Springerl, New York [7]V Jeyakumar and D T Luc (1998), Approximate Jacobian Matrices for Nonsmooth Continous Maps and C - Optimization, Springer-Verlag, New York ( − ≤ − )≤ ... l mđt Jacobian xap xi cna λf tai x0 2.2.2 Phép c®ng Đ%nh lý 2.2.2 [4] Neu hàm f, g : Rn → R có m®t Jacobian xap xs ∂f (x0), ∂g(x0) tai x0 m®t hai Jacobian xap xs quy ∂f (x0) + ∂g(x0) m®t Jacobian. .. Σk i= ∂fi (x0 ) Jacobian xap xi cna f1 + f2 + · · · + fk Trong đ%nh lý dưói đây, se nh¾n đưoc ket qua manh đ %nh lý dưói đieu ki¾n kha vi Đ%nh lý 2.2.3 Neu hàm f : Rn → R có m®t Jacobian xap xs... Jacobian C(x0 ) nghĩa 2.1.8 Jacobian mà C(xxap ) xi⊂∂f (x ∂f0 ) cna (x ), ) ƒ= (x0 ) xap xi toi thieu cna f tai x0 0neu tai x0 không0 ton tai0 m®t Jacobian xap xi Ta biet rang úng dung, m®t Jacobian