Lý thuyết jacobian xấp xỉ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ LƯU LÝ THUYẾT JACOBIAN XẤP XỈ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN HÀ NỘI- 2014 Mục lục Lời nói đầu Hàm khả vi 1.1 Hàm khả vi từ R đến R 1.2 Hàm khả vi từ Rn đến R 1.2.1 Các định nghĩa tính chất 1.2.2 Các phép tính đạo hàm 13 Hàm khả vi từ Rn đến Rm 14 1.3.1 Các định nghĩa tính chất 14 1.3.2 Phép tính đạo hàm 16 Bài toán tối ưu trơn 17 1.4.1 Bài tốn trơn khơng có ràng buộc 17 1.4.2 Bài toán trơn với ràng buộc đẳng thức 18 1.3 1.4 Jacobian xấp xỉ 20 2.1 Jacobian xấp xỉ hàm thực mở rộng 20 2.2 Phép tính Jacobian xấp xỉ 32 2.2.1 Phép nhân vô hướng 32 2.2.2 Phép cộng 33 2.2.3 Phép lấy maximum 34 2.2.4 Định lý giá trị trung bình 35 2.2.5 Jacobian xấp xỉ hàm hợp 40 2.3 Jacobian xấp xỉ hàm vectơ 42 2.4 Hessian xấp xỉ 58 2.4.1 Hessian xấp xỉ hàm vô hướng 58 2.4.2 Hessian xấp xỉ hàm vectơ 62 Ứng dụng Jacobian xấp xỉ 64 3.1 Nón khái niệm liên quan 65 3.2 Điều kiện tối ưu cấp hai cho toán tối ưu vectơ 67 3.2.1 Bài toán tối ưu không ràng buộc 67 3.2.2 Bài toán tối ưu có ràng buộc 73 Kết luận 79 Tài liệu tham khảo 80 LỜI NÓI ĐẦU Vào nửa sau kỷ XVII, đồng thời độc lập, nhà toán học người Đức Leibniz nhà toán học người Anh Newton phát minh phép tính vi phân, công cụ đắc lực để giải nhiều tốn vật lý, học, hóa học, kỹ thuật Nhưng phép tính vi phân mà Leibniz Newton phát minh áp dụng cho lớp hàm có tính chất tốt Một vấn đề đặt hàm không khả vi, đạo hàm chúng khơng tồn nên thay khái niệm đạo hàm khái niệm khác không? Đây vấn đề nghiên cứu nhiều nhà toán học vào nửa cuối kỷ XX Từ đó, mơn giải tích khơng trơn đời Mơn học giải tốn lớp hàm khơng có đạo hàm theo nghĩa thông thường, cách đưa khái niệm vi phân khác để thay khái niệm đạo hàm, điểm cho trước hàm xấp xỉ họ hàm tuyến tính Từ năm cuối kỷ XX, đầu kỷ XXI, V Jeyakumar D T Lục đưa khái niệm vi phân gọi Jacobian xấp xỉ cho hàm liên tục Khái niệm cho ta cơng cụ hữu ích để nghiên cứu tốn hàm liên tục Jacobian xấp xỉ có phép tính tốt, tương ứng với phép tính đạo hàm thơng thường phép lấy tích, tổng, hợp, định lý giá trị trung bình Đặc biệt, nhiều vi phân Jacobian xấp xỉ vi phân hàm lồi, hàm Lipschitz nhiều vi phân khác Michel - Penot, Moduchovich Vì vậy, kết thu sử dụng Jacobian xấp xỉ cho hàm có vi phân Hơn nữa, hàm Lipschitz địa phương có Jacobian xấp xỉ mà bao lồi chứa thật vi phân suy rộng Clarke Khác với vi phân đề cập đến, Jacobian xấp xỉ tập đóng, khơng thiết bị chặn lồi Nhờ tính khơng lồi khơng bị chặn mà ta dùng để đặc trưng số tính chất hàm liên tục tính Lipschitz địa phương, tính lồi, tính đơn điệu Việc nghiên cứu Jacobian xấp xỉ mở rộng, thống làm sâu sắc nhiều kết giải tích khơng trơn tối ưu hóa Lý thuyết Jacobian xấp xỉ đề tài nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Trong phạm vi luận văn cao học, tác giả tập trung trình bày có hệ thống số kết Jacobian xấp xỉ hàm liên tục không gian hữu hạn chiều, trước hết hàm vô hướng, hàm vectơ dựa sở kết mà V Jeyakumar D T Lục cộng nghiên cứu Với nội dung này, luận văn bố cục sau: Chương trình bày kiến thức hàm vô hướng hàm vectơ nhiều biến khả vi như: Các khái niệm, tính chất, phép tốn ứng dụng tốn cực trị Chương trình bày khái niệm, tính chất phép tính Jacobian xấp xỉ hàm thực mở rộng, hàm vectơ Phần cuối chương trình bày khái niệm Hessian xấp xỉ công thức Taylor hàm khả vi liên tục Chương trình bày ứng dụng Jacobian xấp xỉ toán tối ưu Ở đây, ta đưa số điều kiện cần đủ cấp hai cho toán tối ưu với hàm vectơ khả vi liên tục khơng gian hữu hạn chiều Trong q trình thực luận văn thạc sĩ, tác giả nhận giúp đỡ, tạo điều kiện nhiệt tình quý báu nhiều cá nhân, tập thể Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, người thầy trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo nhà trường, đặc biệt thầy cô giáo chun ngành Giải tích, khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội tận tình giúp đỡ tác giả suốt thời gian theo học, thực hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến người thân, gia đình, bạn bè động viên giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Nguyễn Thị Lưu Bảng kí hiệu R = R ∪ {±∞} L(Rn , Rm ) : khơng gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ Rn vào Rm Bn : hình cầu đơn vị Rn Bm×n : hình cầu đơn vị L(Rn , Rm ) coA : bao lồi tập A coA : bao lồi đóng tập A Int(A) : phần tập A Ext(A) : điểm cực biên tập A f (a) : vectơ gradient f a Df (a) : đạo hàm hàm vectơ f a fd+ (x, v) : đạo hàm Dini fd− (x, v) : đạo hàm Dini f (x, v) : đạo hàm theo hướng f ◦ (x, v) : đạo hàm suy rông Clarke f (x, v) : đạo hàm Michel-Penot ∂ ◦ f (x0 ) : gradient suy rộng Clarke f x0 ∂ f (x0 ) : vi phân Michel-Penot ∂ f (x) : Hessian xấp xỉ coneC : nón sinh C C : nón cực nón C T1 (D, x0 ) : nón tiếp tuyến cấp D x0 T2 (D, x0 ) : nón tiếp tuyến cấp D x0 min(A \ C) min(A): tập điểm hữu hiệu A nón C W M in(A\C) W M in(A): tập điểm hữu hiệu yếu A nón C Chương Hàm khả vi Trong sống, ngành kỹ thuật kinh tế thường gặp toán quy toán dạng f (x), x∈D n D tập khơng gian R , f hàm số xác định D Thơng thường, hàm f có nhiều tính chất Ta cần tìm tính chất quan trọng để tốn có nghiệm thuật tốn giải nghiệm Ta xét lớp hàm vậy, lớp hàm khả vi Trong chương ta nhắc lại số kiến thức hàm khả vi phép tính vi phân hàm nhiều biến 1.1 Hàm khả vi từ R đến R Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm f : (a, b) ⊂ R −→ R Hàm f gọi khả vi điểm x0 ∈ (a, b) tồn giới hạn lim x→x0 f (x) − f (x0 ) x − x0 Khi đó, đặt A = lim x→x0 f (x) − f (x0 ) x − x0 A gọi đạo hàm hàm f điểm x0 , ký hiệu f (x0 ) Nếu hàm f khả vi điểm x ∈ (a, b), ta nói f khả vi khoảng (a, b) Định lý 1.1.1 [1] Cho f, g : (a, b) ⊂ R → R hàm khả vi x0 ∈ (a, b) Khi hàm f ± g, cf (c thuộc R), f · g f g g(x0 ) = hàm khả vi x0 ta có i) ii) iii) iv) (f ± g) (x0 ) = f (x0 ) ± g (x0 ); (cf ) (x0 ) = cf (x0 ); (f g) (x0 ) = f (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g (x0 ); f g (x0 ) = f (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g (x0 ) g (x0 ) Định lý 1.1.2 (Đạo hàm hàm hợp) Cho (a, b), (c, d) ⊂ R hàm f : (a, b) → (c, d), g : (c, d) → R Giả sử f khả vi x0 ∈ (a, b) g khả vi y0 = f (x0 ) ∈ (c, d) Khi đó, hàm hợp g · f khả vi x0 (g.f ) (x0 ) = g [f (x0 )]f (x0 ) Định lý 1.1.3 (Đạo hàm hàm ngược) Giả sử 1) Hàm số f : (a, b) → R liên tục đơn điệu thực (a, b) 2) f có đạo hàm f (x0 ) = x0 ∈ (a, b) Khi hàm ngược g = f −1 hàm f có đạo hàm điểm y0 = f (x0 ) g (y0 ) = f (x0 ) Định lý 1.1.4 (Định lý giá trị trung bình) Giả sử hàm số f : [a, b] → R có tính chất: 1) f liên tục [a, b]; 2) f khả vi (a, b); Khi tồn điểm c ∈ (a, b) cho f (b) − f (a) = f (c)(b − a) 1.2 Hàm khả vi từ Rn đến R 1.2.1 Các định nghĩa tính chất Cho U tập mở Rn , hàm f : U → R, a = (a1 , a2 , , an ), a ∈ U Ta ký hiệu L(Rn , R) không gian hàm tuyến tính liên tục từ Rn đến R Định nghĩa 1.2.1 Hàm f gọi khả vi điểm a tồn hàm tuyến tính liên tục L ∈ L(Rn , R) cho f (a + h) − f (a) = L(h) + (h)||h||, h = (h1 , h2 , , hn ) ∈ Rn , (h) → h → Hàm tuyến tính liên tục L gọi đạo hàm f a, ký hiệu f (a) hay Df (a) Hàm f gọi khả vi U khả vi x ∈ U Định lý 1.2.1 [2] Nếu f khả vi a đạo hàm tương ứng xác định Định lý 1.2.2 [2] Nếu f khả vi a f liên tục a Định nghĩa 1.2.2 Ta nói f khả vi theo hướng v ∈ Rn a tồn giới hạn f (a + tv) − f (a) t→0 t lim Khi đó, giới hạn gọi đạo hàm f theo hướng v a, ký hiệu f (a, v) Trường hợp đặc biệt, v vectơ sở tắc {e1 , e2 , , en } Rn (v = e1 = (1, 0, , 0) e2 = (0, 1, , 0)) ta có khái niệm sau Định nghĩa 1.2.3 Nếu f (a, ei ) tồn gọi đạo hàm riêng thứ i hàm f a, hay đạo hàm riêng theo biến xi hàm f a ký hiệu ∂f ∂xi (a) hay Di f (a) fxi (a) Định nghĩa 3.1.6 Cho D ⊂ Rn tập khác rỗng x0 ∈ D Nón tiếp tuyến cấp cấp D x0 tương ứng định nghĩa sau T1 (D, x0 ) :={u ∈ Rn : ∃ ti > 0, xi = x0 + ti u + 0(ti ) ∈ D}, T2 (D, x0 ) :={(u, v) ∈ Rn × Rn : ∃ ti > 0, xi = x0 + ti u + t2i v + 0(t2i ) ∈ D} Với δ > 0, ta ký hiệu Dδ (x0 ) := {t(x − x0 ) : t ≥ 0, x ∈ D, ||x − x0 || ≤ δ} Tiếp theo, ta định nghĩa quan hệ thứ tự phần (≥C ) Rm sau: Cho C nón Rm Với x, y ∈ Rm ta viết x ≥C y x − y ∈ C Để đơn giản ta viết x ≥ y Ta ký hiệu x > y x − y ∈ C \ l(C) x ≥ y x − y ∈ intC Ta thấy rằng, C nón lồi quan hệ ≥ quan hệ thứ tự phần tuyến tính Rm Hơn nữa, C nón nhọn quan hệ có tính chất phản xứng, nhghĩa x ≥ y y ≥ x x = y Khái niệm hữu hiệu khái niệm tảng tối ưu vectơ, nhờ mà ta hiểu phương án tối ưu toán tối ưu vectơ Người ta đưa nhiều khái niệm điểm hữu hiệu khác ta đề cập tới khái niệm điểm hữu hiệu điểm hữu hiệu yếu Định nghĩa 3.1.7 Giả sử Rm thứ tự nón lồi C Cho A tập Rm Ta nói i) Điểm x ∈ A điểm hữu hiệu hay cực tiểu Pareto A nón C, có y ∈ A để x ≥ y y ≥ x Tập điểm hữu hiệu A nón C ký hiệu min(A \ C) min(A) ii) Điểm x ∈ A gọi điểm hữu hiệu yếu hay cực tiểu Pareto yếu (khi intC = ∅, C = Rm ) A nón C, x ∈ min(A \ {0} ∪ intC) Tức 66 x điểm hữu hiệu yếu A nón C ký hiệu W M in(A \ C) W M inA Chú ý 3.1.2 Ta có A ⊆ W M inA 3.2 Điều kiện tối ưu cấp hai cho toán tối ưu vectơ 3.2.1 Bài toán tối ưu khơng ràng buộc Xét tốn f (x), x∈D (P ) với f : Rn → Rm , D ⊆ Rn tập khác rỗng Rm thứ tự nón lồi đóng, nhọn C có intC = ∅ Dựa khái niệm điểm hữu hiệu điểm hữu hiệu yếu tập hợp, toán ta xét đến hai loại nghiệm: nghiệm hữu hiệu địa phương nghiệm hữu hiệu yếu địa phương Định nghĩa 3.2.1 Ta gọi i) Điểm x0 ∈ D gọi nghiệm hữu hiệu địa phương (P) tồn lân cận V x0 cho f (x0 ) ∈ M in(f (D ∩ V )) ii) Điểm x0 ∈ D gọi nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (P) tồn lân cận V x0 cho f (x0 ) ∈ W M in(f (D ∩ V )) Chú ý 3.2.1 Ta thấy i) Điểm x0 ∈ D gọi nghiệm hữu hiệu địa phương (P) tồn lân cận V x0 cho không tồn x ∈ D ∩ V mà f (x0 ) > f (x) hay f (x) − f (x0 ) ∈ / (−C \ {0}), ∀x ∈ D ∩ V ii) Điểm x0 ∈ D gọi nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (P) tồn lân cận V x0 cho không tồn x ∈ D ∩ V mà f (x0 ) >> f (x) 67 hay f (x) − f (x0 ) ∈ / (−intC), ∀x ∈ D ∩ V Ta có điều kiện cần cấp hai cho tốn (P) sau Định lý 3.2.1 [6] Giả sử f hàm khả vi liên tục, x0 ∈ D nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (P), ∂ f ánh xạ Hessian xấp xỉ f nửa liên tục x0 Khi đó, với (u, v) ∈ T2 (D, x0 ) ta có i) Tồn λ ∈ Λ cho λ, ii) Nếu f (x0 )(u) ≥ f (x0 )(u) = 0, tồn λ ∈ Λ cho λ, f (x0 )(v) + M (u, u) ≥ 0, với M thuộc co∂ f (x0 ), λ , M∗ (u, u) ≥ 0, với M∗ thuộc (co∂ f (x0 ))∞ \ {0} Hơn nữa, nón C nón đa diện i) λ, f (x0 )(u) ≥ bất đẳng thức ii) với λ = λ Chứng minh Lấy (u, v) ∈ T2 (D, x0 ) ta có xi = x0 + ti u + t2i v + 0(t2i ) ∈ D, (3.1) {ti } dãy số dương tiến tới Vì x0 nghiệm hữu hiệu địa phương, nên tồn i0 ≥ cho f (xi ) − f (x0 ) ∈ / (−intC), i ≥ i0 Do f khả vi liên tục nên ta viết f (xi ) − f (x0 ) = f (x0 )(xi − x0 ) + 0(xi − x0 ) Kết hợp với (3.2) ta suy f (x0 )(u) ∈ / (−intC) 68 (3.2) Điều chứng tỏ tồn λ ∈ Λ cho λ, f (x0 )(u) ≥ Như vậy, phần i) chứng minh Giả sử f (x0 )(u) = Do ∂ f nửa liên tục x0 , nên với > 0, tồn δ > cho ∂ f (x) ⊆ ∂ f (x0 ) + B, ∀x : ||x − x0 || < δ Ở B hình cầu đóng đơn vị khơng gian L(Rn , L(Rn , Rm )) Do đó, tồn i1 > i0 cho co∂ f ([x0 , xi ]) ⊆ co(∂ f (x0 )) + B, i ≥ i1 Tiếp theo, áp dụng cơng thức khai triển Taylor ta tìm Mi ∈ co(∂ f (x0 ))+ B cho f (xi ) − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 ) + Mi (xi − x0 , xi − x0 ), i ≥ i1 Thay (3.1) vào đẳng thức ta f (xi ) − f (x0 ) = t ( f (x0 )(v) + Mi (u, v)) + αi , i với αi = 12 Mi ( 12 t2i v + 0(t2i ), ti u + 12 t2i v + 0(t2i )) + f (x0 )(0(t2i )) Kết hợp với (3.2) ta f (x0 )(v) + Mi (u, v) + αi ∈ / (−intC), i ≥ i1 t2i (3.3) Xét dãy {Mi } Nếu dãy {Mi } giới nội, ta giả thiết rằng, {Mi } tiến tới M0 với M0 ∈ co∂ f (x0 ) + B Vì αi t2i → i → ∞ (3.3) ta suy f (x0 )(v) + M0 (u, v) ∈ / (−intC) 69 Do bất kỳ, nên tồn M ∈ co∂ f (x0 ) cho f (x0 )(v) + M (u, v) ∈ / (−intC) Điều tương đương với việc tồn λ ∈ Λ cho λ, f (x0 )(v) + M (u, u) ≥ Nếu dãy {Mi } không giới nội, tức limi→∞ ||Mi || = ∞, ta giả thiết Mi = M∗ ∈ (co∂ f (x0 ))∞ \ {0} i→∞ ||Mi || lim Bằng cách chia (3.3) cho ||Mi || qua giới hạn i → ∞, ta M∗ (u, u) ∈ / (−intC) Điều chứng tỏ tồn λ ∈ Λ cho λ , M∗ (u, u) ≥ Bây giờ, giả sử C nón đa diện Từ (3.2) suy tồn λ ∈ Λ cho λ, f (xi ) − f (x0 ) ≥ 0, i ≥ i0 Bằng cách lấy dãy con, ta giả thiết điều với i = 1, 2, , Vì f khả vi liên tục nên λ, Khi λ, f (x0 )(u) f (x0 )(u) ≥ = 0, lý luận tương tự ta tìm Mi ∈ co∂ f (x0 ) + B cho ≤ λ, f (xi ) − f (x0 ) = λ, t2i ( f (x0 )(v) + Mi (u, v)) + αi Từ hai bất đẳng thức (ii) thay λ = λ Định lý chứng minh 70 Các định lý sau cho ta điều kiện đủ cấp hai Định lý 3.2.2 [6] Cho f hàm khả vi liên tục, ∂ f ánh xạ Hessian xấp xỉ f , nửa liên tục x0 ∈ D Một điều kiện sau điều kiện đủ để x0 nghiệm hữu hiệu địa phương (P) i) Với u ∈ T1 (D, x0 ) \ {0} tồn ξ ∈ Λ cho ξ, f (x0 )(u) > ii) Tồn δ > cho với v ∈ Dδ (x0 ) u ∈ T1 (D, x0 ) ta có ξ, f (x0 )(u) ≥ 0, với ξ0 thuộc Λ, ξ, M (u, u) > 0, ∀ξ ∈ Λ, M ∈ co∂ f (x0 ) ∪ [(co∂ f (x0 ))∞ \ {0}] Chứng minh Giả sử ngược lại, x0 không nghiệm hữu hiệu địa phương (P) Khi đó, tồn xi ∈ D, xi → x0 cho f (xi ) − f (x0 ) ∈ −C (3.4) Ta giả thiết xi − x0 → u ∈ T1 (D, x0 ), i → ∞ ||xi − x0 || Bằng cách chia (3.4) cho ||xi − x0 || chuyển qua giới hạn ta suy f (x0 )(u) ∈ −C Điều mâu thuẫn với i) Điều kiện đủ thứ chứng minh Xét điều kiện đủ thứ hai Với > cho trước, áp dụng khai triển Taylor ta tìm Mi ∈ co(∂ f (x0 ))+ B cho f (xi ) − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 ) + Mi (xi − x0 , xi − x0 ) 71 (3.5) Từ bất đẳng thức thứ ii) ta có f (x0 )(x − x0 ) ∈ / (−intC), với i đủ lớn Với i tồn ξi ∈ Λ cho f (x0 )(x − x0 ) ≥ ξi , (3.6) Từ (3.4) suy ξi , f (xi ) − f (x0 ) ≤ Kết hợp (3.5) (3.6) ta ξi , Mi (xi − x0 )(xi − x0 ) ≤ 0, với i đủ lớn Hơn nữa, Λ compact, ta giả thiết ξi → ξ ∈ Λ Xét trường hợp {Mi } Định lý 3.2.2, ta suy ξ, M (u, u) ≤ 0, với M thuộc co∂ f (x0 ) ∪ (co∂ f (x0 ))∞ \ {0} Điều mâu thuẫn với giả thiết ii) Định lý chứng minh Định lý 3.2.3 [6] Giả sử f hàm khả vi liên tục ∂ f Hessian xấp xỉ f Nếu tồn δ > cho ∀v ∈ Dδ (x0 ), ξ0 , f (x0 )(v) ≥ 0, ∀ξ0 ∈ Λ, ξ, M (v, v) ≥ 0, ∀ξ ∈ Λ, M ∈ ∂ f (x), với ||x − x0 || < δ x0 nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (P) Chứng minh Giả sử x0 không nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (P) Khi đó, tồn x ¯ ∈ D, với ||¯ x − x0 || ≤ δ cho f (¯ x) − f (x0 ) ∈ −intC 72 (3.7) Lấy v = x ¯ − x0 , ta suy v ∈ Dδ (x0 ) Từ bất đẳng thức ta khẳng định f (x0 )(v) ∈ / (−intC), M (v, v) ∈ C, với M ∈ ∂ f (x), ||x − x0 || ≤ δ Vì C nón lồi đóng, nên từ bao hàm thức ta kết luận co∂ f (x) ⊆ C Áp dụng khai triển Taylor ta nhận f (x0 )(v) + co{∂ f [x0 , x ¯](v, v)} f (¯ x) − f (x0 ) ∈ ⊆ (−intC)C + C ⊆ (−intC)C Điều trái với (3.7) Định lý chứng minh 3.2.2 Bài tốn tối ưu có ràng buộc Xét toán f (x), x∈D (CP ) với D tập ràng buộc D = {x ∈ Rn : g(x) ≤ 0, h(x) = 0}, g : Rn → Rp , h : Rn → Rq ánh xạ cho trước Với ξ ∈ C , β ∈ Rp γ ∈ Rq , hàm Lagrange xác định L(x, ξ, β, γ) := λ, f (x) + β, g(x) + γ, h(x) Đặt D0 := {x ∈ Rn : gi (x) = βi > 0, gi (x) ≤ βi = h(x) = 0} Với (ξ, β, γ) cho trước, ta viết L(x) thay cho L(x, ξ, β, γ) L(x, ξ, β, γ) theo biến x 73 L gradient Ta có điều kiện cần cấp hai sau Định lý 3.2.4 [6] Giả sử f, g, h hàm khả vi liên tục, C nón đa diện lồi, ∂ L Hessian xấp xỉ L, nửa liên tục x0 Nếu x0 nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (CP) tồn vectơ khác khơng (ξ0 , β, γ) ∈ C × Rp+ × Rq+ cho L(x0 , ξ0 , β, γ) = Và với (u, v) ∈ T2 (D, x0 ), tồn ξ ∈ Λ cho L(x0 , ξ, β, γ)(u) ≥ Trong trường hợp L(x0 , ξ, β, γ)(u) = 0, ta có L(x0 , ξ, β, γ)(v) + M (u, u) ≥ 0, với M thuộc co∂ L(x0 , ξ, β, γ) M∗ (u, u) ≥ 0, với M∗ thuộc (co∂ L(x0 , ξ, β, γ))∞ \ {0} Chứng minh Ta dễ dàng thấy rằng, với nón C lồi, đóng có intC = ∅ x0 nghiệm hữu hiệu yếu tốn (CP) ln tồn (ξ0 , β, γ) để L(x0 , ξ0 , β, γ) = Lấy (u, v) ∈ T2 (D0 , x0 ) xi = x0 + ti v + t2i v + 0(t2i ) ∈ D0 , với ti > i → ∞ Vì x0 nghiệm hữu hiệu yếu địa phương toán (CP) nên tồn i0 ≥ cho f (xi ) − f (x0 ) ∈ (−intC)C , ∀i ≥ i0 74 Hơn nữa, C nón đa diện, nên tồn ξ ∈ Λ cho ξ, f (xi ) − f (x0 ) ≥ 0, (3.8) với i đủ lớn Ta giả thiết điều với i ≥ i0 Vì ∂ L nửa liên tục x0 , với > tùy ý cho trước, áp dụng khai triển Taylor cho L ta tìm Mi ∈ co∂ L(x0 ) + B, cho L(x0 )(xi − x0 ) + Mi (xi − x0 , xi x0 ), L(xi ) − L(x0 ) = với i đủ lớn Thay biểu thức xi − x0 = ti u + t2i v + 0(t2i ) vào đẳng thức sử dụng bất đẳng thức (3.8) ta ≤ ti L(x0 )(u) + t2i ( L(x0 )(v) + Mi (u, u)) + αi , αi = 1 Mi t v + 0(t2i ), ti u + 2 i 1 + Mi ti u, t2i v + 0(t2i ) 2 t v + 0(t2i ) i + L(x0 )(0(t2i )) Chia bất đẳng thức cho ti lấy giới hạn ti → ta L(x0 )(u) ≥ Khi L(x0 )(u) = 0, từ bất đẳng thức ta có 0≤ L(x0 )(v) + Mi (u, u) + αi t2i Lập luận tương tự Định lý 3.2.1, ta chứng minh bất đẳng thức lại Định lý chứng minh 75 Ta có điều kiện đủ sau cho toán ràng buộc Định lý 3.2.5 [6] Giả sử f, g, h hàm khả vi liên tục với u ∈ T1 (D, x0 ) \ {0}, tồn (ξ, β, γ) ∈ Λ × Rp+ × Rq+ cho L(x0 , ξ0 , β, γ) = 0, β, g(x0 ) = 0, M (u, u) > với M ∈ co∂ L(x0 ) ∪ (co∂ L(x0 ) ∞ \ {0}), với ∂ L Hessian xấp xỉ L, nửa liên tục x0 Khi đó, x0 nghiệm hữu hiệu địa phương tốn (CP) Chứng minh Nếu x0 khơng nghiệm hữu hiệu địa phương tốn (CP) tồn xi ∈ D, xi → cho f (xi ) − f (x0 ) ∈ −C Ta giả thiết xi − x0 → u ∈ T1 (D, x0 ) ||xi − x0 || Từ suy L(xi ) − L(x0 ) ≤ 0, ∀i ≥ Áp dụng khai triển Taylor cho L tính nửa liên tục ∂ L, ta L(xi ) − L(x0 )− L(x0 )(xi − x0 ) ∈ ⊆ co ∂ L[x0 , xi ](xi − x0 , xi − x0 ) co∂ L(x0 ) + ||xi − x0 ||B (xi − x0 , xi − x0 ), với i đủ lớn Hệ thức chứng tỏ Mi (xi − x0 , xi − x0 ) ≤ 0, với Mi ∈ co∂ L(x0 ) + ||xi − x0 ||B với i đủ lớn Bằng cách lập luận tương tự chứng minh Định lý 3.2.1 ta suy tồn ma trậns M ∈ co∂ L(x0 ) ∪ ((co∂ L(x0 ))∞ \ {0}) cho M (u, u) ≤ Điều trái với giả thiết Đinhk lý chứng minh 76 Định lý 3.2.6 [6] Giả sử f, g, h hàm khả vi liên tục tồn δ > cho với v ∈ Dδ (x0 ), tồn vectơ (ξ, β, γ) ∈ Λ × Rp+ × Rq+ L để L(x0 , ξ, β, γ) = 0, β, g(x0 ) = 0, M (u, u) ≥ với M ∈ ∂ L(x, ξ, β, γ), ||xi − x0 || ≤ δ Khi ấy, x0 là nghiệm hữu hiệu địa phương toán (CP) Định lý chứng minh tương tự Định lý 3.2.2 Phần cuối mục này, ta đưa ví dụ minh họa cho Định lý 3.2.4 điều kiện cần tốn tối ưu có ràng buộc Xét toán tối ưu hai mục tiêu sau (x, x4/3 − y ) −x2 +y ≤0 Không gian R2 thứ tự phần nón R2+ Ta thấy rằng, (0, 0) nghiệm hữu hiệu địa phương toán Lấy ξ0 = (0, 1) β = 1, hàm Lagrange toán L((x, y), ξ0 , β) = x4/3 − y − x2 + y = x4/3 − x2 Từ suy L((0, 0), ξ0 , β) = (0, 0), tập D0 xác định D0 = {(x, y) ∈ R2 : x2 = y } Lấy u = (0, 1) v = (−2, 0) Hiển nhiên (u, v) ∈ T2 (D0 , (0, 0)) Như vậy, theo Định lý 3.2.4, tồn ξ = (ξ1 , ξ2 ) ∈ R2+ với ||ξ|| = cho L((0, 0), ξ, β)(u) ≥ Bằng tính tốn ta có L((0, 0), ξ, β) = (ξ1 , 0) 77 Cho nên L((0, 0), ξ, β)(u) = Như vậy, kết luận Hơn nữa, bất đẳng thức xảy dấu bằng, nên tồn M ∈ co∂ L(0, 0) M∗ ∈ (co∂ L(x0 ))∞ \ {0} thỏa mãn kết luận lại Định lý 3.2.4 Với ξ trên, ta chọn ξ2 > định nghĩa      ξ x− 32 −2 2   ∂ L(x, y) = ,x = ,   12(1 − ξ2 )y     4ξ α − 9 2   ,α ≥ ∂ L(0, y) =  ξ2  12(1 − ξ )y − α Khi đó, ánh xạ đa trị (x, y) → ∂ L(x, y) ánh xạ Hessian xấp xỉ L nửa liên tục (0, 0) Hơn nữa, ∀M ∈ co∂ L(0, 0) ta có L(0, 0)(v) + M (u, u) = −2ξ1 − < α Như vậy, bất đẳng thức thứ điều kiện cấp hai định lý không đúng,   4ξ α − 2 ∂ L(0, 0) = ∂ L(0, y) =     ,α ≥ , ξ2  −1  α nên nón lùi xa ∂ L(0, 0) xác định     α    (∂ L(0, 0))∞ = ,α ≥  0   Lấy M∗ =  0   ∈ (co∂ L(0, 0))∞ \ {0} Ta có M∗ (u, u) ≥ Như điều kiện lại định lý 78 KẾT LUẬN Luận văn trình bày lý thuyết Jacobian xấp xỉ hàm liên tục không gian hữu hạn chiều dựa kết V Jeyakumar D T Lục Đây công cụ hữu hiệu ứng dụng toán tối ưu Sử dụng Jacobian xấp xỉ ta xây dựng số điều kiện cần đủ cấp hai cho toán tối ưu hàm vectơ liên tục không gian hữu hạn chiều Ngoài kết đề cập luận văn, Jacobian cịn dùng số khía cạnh khác, dùng Jacobian xấp xỉ đặc trưng cho tính tựa lồi, tính lồi, tính đơn điệu hàm liên tục Dựa vào lý thuyết trình bày luận văn ta mở rộng khái niệm kết có khơng gian vô hạn chiều Vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu cho toán tối ưu đa trị Tài liệu tham khảo [1] T Đ Long, N Đ Sang, H Q Toàn (2001), Giáo trình giải tích I, NXB Đại học Quốc Gia, Hà Nội [2] N V Mậu, Đ H Ruận, N T Thanh (2001), Phép tính vi phân tích phân hàm nhiều biến, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội [3] N V Khuê, P N Thao, L M Hải, N Đ Sang (1997), Toán cao cấp II, NXB Giáo Dục, Hà Nội [4] N X Tấn, N B Minh (2007), Lý thuyết tối ưu không trơn, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội [5] F H Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New York [6] V Jeyakumar and D T Luc (2000) , Nonsmooth Vector Functions and Continous Optimization, Springerl, New York [7] V Jeyakumar and D T Luc (1998), Approximate Jacobian Matrices for Nonsmooth Continous Maps and C - Optimization, Springer-Verlag, New York ... λ∂f (x0 ) Jacobian xấp xỉ λf x0 2.2.2 Phép cộng Định lý 2.2.2 [4] Nếu hàm f, g : Rn → R có Jacobian xấp xỉ ∂f (x0 ), ∂g(x0 ) x0 hai Jacobian xấp xỉ quy ∂f (x0 ) + ∂g(x0 ) Jacobian xấp xỉ hàm f... x∗ ∈∂f (x 0) ii) Nếu ∂f (x0 ) Jacobian xấp xỉ f x0 tập đóng A ⊂ Rn mà chứa ∂f (x0 ) Jacobian xấp xỉ f x0 Như vậy, Jacobian xấp xỉ f điểm không iii) Jacobian xấp xỉ không thiết lồi khơng thiết... nghĩa 2.1.8 Jacobian xấp xỉ ∂f (x0 ) f x0 gọi Jacobian xấp xỉ tối thiểu f x0 x0 không tồn Jacobian xấp xỉ C(x0 ) mà C(x0 ) ⊂ ∂f (x0 ), C(x0 ) = ∂f (x0 ) Ta biết ứng dụng, Jacobian xấp xỉ "càng nhỏ"