Hàm green đa phức với cực logarit tại vô cùng và định lý xấp xỉ của siciak

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––– NGUYỄN THỊ THU HÀ HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI CƢ̣C LOGARIT TẠI VÔ CÙNG VÀ ĐỊ NH LÝ XẤP XỈ CỦA SICIAK LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2013 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––– NGUYỄN THỊ THU HÀ HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI CƢ̣C LOGARIT TẠI VÔ CÙNG VÀ ĐỊ NH LÝ XẤP XỈ CỦA SICIAK Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các tài liệu tham khảo luận văn trung thực Luận văn chưa cơng bố cơng trình Thái Nguyên, tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hà i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS TS Phạm Hiến Bằng, cho phép gửi lời cám ơn chân thành tới thầy kinh nghiệm quý báu mà thầy tạo điều kiện q trình tơi hồn thành luận văn Xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Công nghệ Giao thông Vận tải đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt q trình học tập hồn thành luận văn Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hà ii Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hòa 1.2 Hàm đa điều hoà cực đại 1.3 Hàm cực trị tương đối 1.4 Đa thức, tính tập cân 13 Chƣơng 2: HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI CỰC TẠI VÔ CÙNG VÀ ĐỊNH LÝ XẤP XỈ CỦA SICIAK 18 2.1 Lớp Lelong 18 2.2 Hàm Green đa phức với cực logarit vơ 25 2.3 Tính liên tục hàm Green đa phức 28 2.4 Định lý xấp xỉ Siciak 32 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 iii Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hàm Green đa phức đóng vai trò quan trọng lý thuyết vị phức, nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu như: Siciak, Zaharjuta, Lelong, Klimek, Zeriahi, Dan Coman, Magnusson, đạt nhiều kết sâu sắc hàm Green đa phức xấp xỉ hàm chỉnh hình Đó tổng qt hố kết Siciak- Zaharjuta £ ¥ trường hợp đại số Một số kết hàm Green đa phức với cực logarit đa tạp siêu lồi, tổng qt hố hàm Green đa phức với cực hữu hạn, nghiên cứu Lelong, Klimek, Demailly, Zaharjuta, E Amar , P.J Thomas, Dan Coman Ở chọn đề tài "Hàm Green đa phức với cực vô định lý xấp xỉ Siciak" Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số kết việc nghiên cứu hàm Green đa phức với cực vô định lý xấp xỉ Siciak 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: - Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dưới, hàm đa điều hoà cực đại Một số kết đa thức, tính tập cân - Trình bày số kết Benedikt Steinar Magnusson năm 2007 hàm Green đa phức với cực vô định lý xấp xỉ Siciak Phƣơng pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp giải tích phức kết hợp với phương pháp lý thuyết đa vị phức - Sử dụng kết Benedikt Steinar Magnusson Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 43 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo phần phụ lục Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dưới, hàm đa điều hoà cực đại, hàm cực trị tương đối Cuối chương trình bày số kết đa thức, tính tập cân Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày kết nghiên cứu hàm Green đa phức với cực vô định lý xấp xỉ Siciak Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hòa dƣới 1.1.1 Định nghĩa Cho W tập mở £ n u : Wđ ộờở- Ơ , Ơ ) l mt hm nửa liên tục khơng trùng với - ¥ thành phần liên thông W Hàm u gọi đa điều hoà với a Ỵ W b Ỵ £ n , hàm l a u(a + l b) điều hồ trùng - ¥ thành phần tập hợp {l Ỵ £ : a + l b Ỵ W} Trong trường hợp này, ta viết u Î P SH (W) (ở P SH (W) lớp hàm đa điều hoà W) 1.1.2 nh lý Cho u : Wđ ộờở- Ơ , Ơ trùng - ¥ ) hàm nửa liên tục không thành phần liên thông WÐ £ n Khi u Ỵ P SH (W) với a Ỵ W b Ỵ £ n cho {a + l b : l } Ỵ £ , l £ Ð W, u(a ) £ l(u;a, b) , ta có l(u ;a, b) = 2p 2p ò u (a + e it b)dt Ngoài ra, tính đa điều hồ tính chất địa phương Một số tính chất quan trọng hàm đa điều hồ suy từ kết Tương tự trường hợp hàm điều hồ dưới, ta gọi định lý xấp xỉ cho hàm đa điều hồ 1.1.3 Định lý Cho W tập mở £ n u Ỵ P SH (W) Nu e > cho We ặ, thỡ u * l e é C Ơ ầ P SH (We )  Hơn nữa, u * l e đơn điệu giảm e giảm, lim u * l e (z ) = u(z ) với z Ỵ W e® Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phép chứng minh giống chứng minh định lý xấp xỉ cho hàm điều hồ Trước tiên ta cần bổ đề sau: 1.1.4 Bổ đề Cho WÐ £ n tập mở u Ỵ L1loc (W) Giả thiết { } a Ỵ W, b Î £ n , a + l b : l Ỵ £ , l £ Ð W Khi (l(u ;., b) * c e )(a ) = l(u * l e ;a, b) Chứng minh Vế trỏi ca ng thc bng ổ1 ỗ ũ ỗỗỗỗ2p Ên è ÷ ị u(a + e b - w)dt ÷÷÷÷c e (w)dl (w) ø 2p it Do định lý Fubini, vế phải đẳng thức Bây chứng minh định lý Chứng minh Theo Mệnh đề 2.5.2 (i ) [3], u * l e ẻ C Ơ (We ) Ta có u * l e Ỵ P SH (We ) Sử dụng lập luận Bổ đề 2.5.3 [3], biến riêng, chứng minh (bằng qui nạp theo j ) ước lượng sau : u *l e ³ ò I (w1, , wj - 1, wj + 1, , wn )dl ( w1, , wj - 1, wj + 1, , wn ) , C n- Trong I ( w1, , wj - 1, wj + 1, , wn ) = ò u(z1 + e2w1, , z j + e2wj , z j + + e1wj + 1, , z n + e1wn )c ( w)dl ( wj ) , C £ e2 < e1 z = (z 1, , z n ) Ỵ We Từ (u * l e )(z ) ³ (u * l e )(z ) ³ u(z ) Phần lại chứng minh Định lý 2.5.5 [3] Bây trình bày vài hệ định lý xấp xỉ 1.1.5 Hệ Cho W W¢ tập mở £ n £ k , tương ứng Nếu u Ỵ P SH (W) f : WÂđ W l mt ỏnh x chnh hỡnh, u o f đa điều hồ W¢ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Nếu u - u đa điều hồ dưới, u Ỵ C (W) Bởi Lu (a )b, b = với a, b thích hợp, u Ỵ P H (W) Điều ngược lại tầm thường Vì hàm đa điều hồ điều hồ nên ta phát biểu vài tính chất khác: 1.1.6 Hệ Nếu u, v Ỵ P SH (W) u = v hầu khắp nơi W, u º v 1.1.7 Hệ Hàm đa điều hoà thoả mãn nguyên lý cực trị miền bị chặn, tức W tập mở liên thông bị chặn £ n u Ỵ P SH (W) , u với z Ỵ W u (z ) < sup lim sup u(y ) wẻ ả W yđ w yẻ W 1.1.8 nh ngha Tp hp E Ð £ n gọi đa cực với điểm a Ỵ E có lân cận V a hàm u Ỵ P SH (V ) cho E ầV é {z ẻ V : u (z ) = - ¥ } Cho W tập mở £ n Ta nói ánh xạ chỉnh hình f : W® £ m khơng suy biến W thành phần liên thơng W tìm điểm z cho hạng ¶ z f m 1.1.9 Mệnh đề Cho f : W® £ m ánh xạ chỉnh hình không suy biến tập mở WÐ £ m W¢là lân cận mở f (W) £ m Cho {u a }a Ỵ A Ð P SH (W¢) cho bao u = sup u a bị chặn địa A phương Khi (u o f )* = (u * o f ) Chứng minh Đặt A = {z Î W: det ¶ z f = 0} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn u (z ) £ a £ q(z ) ta tìm u l Ỵ CƠ ( Ê n ) ầ L cho u d ³ u u d - e / £ a Vì u d liên tục q nửa liên tục nên tồn lân cận U z cho a - e / £ q(z ) với z Ỵ U Như u d (z ) - e £ q(z ), z Ỵ U Do tính compact K nên ta giả sử điều xảy tồn K Vì thế, cho d ® e ® ta thấy V K ,q cận bé hàm liên tục nửa liên tục 2.3.3 Mệnh đề Nếu V X*,q £ q X, VX, q nửa liên tục Chứng minh Do V X*,q £ q < + ¥ X , nên X không L -cực V X*,q Ỵ L Khi theo định nghĩa V X ,q ta có V X*,q £ V X ,q Hiển nhiên V X*,q ³ V X ,q nên suy V X ,q = V X*,q nửa liên tục 2.3.4 Mệnh đề Nếu X mở q hàm nửa liên tục V X*,q £ q X VX, q nửa liên tục trên, đồng thời V X ,q Ỵ L Chứng minh Do X mở, nên ta có V X*,q (z ) = lim supV X ,q ( w) £ lim sup q( w) = q(z ), z ẻ X wđ z w® z W 2.3.5 Mệnh đề Nếu K tập compact VK, q liên tục K VK, q liên tục £ n Chứng minh Hiển nhiên ta bỏ qua trường hợp V K ,q = + ¥ , ta giả sử V K*,q Ỵ L Theo Mnh 2.1.8 tn ti V d ẻ L ầ C¥ cho V d ] V K*,q d ® Khi V d ] V K ,q K , V K ,q liên tục K xảy với e > tìm d0 > cho: V d - V K ,q < e K , với < d < d0 30 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Như V d - e £ V K ,q £ q K V d - e £ V K ,q £ V K*,q £ V d C n Do V K ,q giới hạn C¥ - hàm liên tục ¥ 2.3.6 Mệnh đề Cho {X j } j= dãy tăng tập mở bị chặn X = È j X j v q : X đ ộờở- Ơ , + ¥ ù ú û hàm nửa liên tục Khi ú lim V X jđ Ơ Chng minh Rừ rng cú V X VX o ,q jđ Ơ lim V X j ,q ³ V X ,q Vì hàm V X lim V X j ,q £ q X Khi V X j® ¥ = V X ,q j ,q 1,q ³ ³ V X ,q tồn giới hạn Ỵ L j ,q V X j ,q £ q X j nên { } dãy giảm hàm đa điều hòa j ,q j dưới, nên giới hạn hàm đa điều hịa Ta có: lim V X j® ¥ j ,q £ VX o ,q £ log+ + c V X o ,q định nghĩa V X ,q suy lim V X jđ Ơ ẻ L , nờn gii hn ny nm L j ,q = V X ,q 2.3.7 Mệnh đề Giả sử X Ð £ n tập mở q j dãy tăng hàm nửa liên tục trên X hội tụ hàm q cho q- (- ¥ ) đa cực Khi đó: lim V X ,q = V X ,q jđ Ơ j Chng minh V X ,q £ q j X Mệnhh đề 2.3.6, từ j lim V X ,q £ lim q j = q trờn X jđ Ơ jđ Ơ j Do tính hội tụ đơn điệu, ta thấy lim V X ,q ẻ L v lim V X jđ ¥ j® ¥ j Nhưng với j , ta có V X ,q ³ V X ,q nên suy lim V X ,q = V jđ Ơ j j X ,q j ,q 31 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn £ V X ,q W 2.4 Định lý xấp xỉ Siciak 2.4.1 Định lý Cho K tập compact C n q : K ® R hàm liên tục K Khi đó: V K ,q = log F K ,q Chứng minh Rõ ràng V K ,q ³ log F K ,q , điều đủ để chứng minh u Ỵ L u £ q K , e u £ F K ,q Để chứng minh bất đẳng thức ta lấy p Ỵ C n e > Do mệnh đề 2.1.2 hàm { } v : Cn + \ z = (z 0, z ) Ỵ Cn + 1, zo = ® R xác định ỉz ÷ v (zo , z ) = u ỗỗỗ ữ + log z o ữ ữ ỗốz ø thác triển tới v Ỵ P S H( C n + \ {0}) h = exp(v%) nằm H+n + xác định C n + , h(0) = tính Theo Định lý 1.4.4 ( ) tồn dãy giảm h j Ỵ H+n + Ç C  n + cho h j  h Do ta thêm số hạng e j z vào h j nên ta giả sử h j- 1({0}) = {0} Theo Định lý 2.1.9 ii ) hàm u j xác định u j (z ) = log h j (1, z ) nằm { } hội tụ L , dãy u j u Vì q hàm liên tục nên ta chọn j cho u j £ q + e K với j ³ j Theo Định lý 2.1.9 i ) với j ³ j tồn đa thức phức Q j 1/ d j h j (1, p ) £ e e Q j (1, p ) cho Qj 1/ d j £ hj , d j = degQ j Điều suy đa thức P j ed  n xác định Pj (z ) = e jQ j (1, z ) có bậc £ dj 32 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Pj 1/ d j £ eq + 2e K Từ Pj e u ( p ) = lim e u j ( p) jđ Ơ 1/ d j £ F K ,q + 2e ta nhận = lim h j (1, p) £ lim Pj ( p) jđ Ơ jđ Ơ 1/ d j Ê F K ,q + 2e ( p) = e 2eF K ,q Vì e > tùy ý nên ta kết luận e u ( p ) £ F K ,q ( p) 2.4.2 Hệ Với K tập compact  n Ta có: i ) V K = V K ii ) VK >  n \ K Chứng minh i ) Với đa thức P  n cho P £ K thỏa mãn P £ Kˆ theo định nghĩa Kˆ , F K £ F Kˆ , V K £ V Kˆ Các bất đẳng thức khác hiển nhiên K Ð Kˆ ii ) Nếu z Ỵ  n \ K tồn đa thức P cho P (z ) > P Q= P/ P K , Q £ K F K (z ) ³ Q (z ) 1/ degQ K Đặt > Suy V K (z ) = log F K (z ) > W Trong [10] Siciak đưa chứng minh định lý sử dụng hàm cực trị F K ,0 Siciak đưa định nghĩa F K ,q sử dụng điểm cực trị tương tự định nghĩa điểm Fekete tập C n Định nghĩa sau trở thành định nghĩa tiêu chuẩn hàm cực trị Siciak { F K ,q (z ) = sup p(z ) 1/ deg P :P 1/ deg P £ exp(q) K , p đa thức C n } với z Ỵ C n , compact K Ð C n q hàm thực bị chặn K Ở ta chứng minh định lý xấp xỉ cách sử dụng phương pháp Zeriahi [15] , giới thiệu hàm green đa phức 33 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn không gian Stein parabolic Ta dùng V K công cụ lý thuyết đa vị với cơng cụ giải tích hàm Trước tiên ta xem xét hàm cực trị Siciak F K ,q Từ định nghĩa F K ,q ta có biểu diễn khác bất đẳng thức Berstein-Walsh (2.4) Với đa thức P cho P £ M exp(q)deg P K , ta có: P (z ) £ M F K ,q (z )deg P , z Ỵ C n (2.5) Siciak nghiên cứu vài ứng dụng cơng trình [1012], giống xấp xỉ đa thức hàm chỉnh hình, hội tụ chuỗi đa thức hàm chỉnh hình tách Các bất đẳng thức đa thức công cụ tốt để nghiên cứu vấn đề đó, đặc biệt bất đẳng thức BernsteinWalsh nhờ ta có hai bất đẳng thức (2.4) (2.5) Nội dung phần xấp xỉ đa thức thác triển hàm chỉnh hình Đó điều kiện cần đủ hàm chỉnh hình có thác triển chỉnh hình tới tập mức V K tập hợp đủ rộng lớn cho việc thác triển tồn Ta nhắc lại vài ký hiệu định nghĩa liên quan đến đa thức hàm Green: Đặt Pd = P Î  éêëz 1, , z n ù ú û: deg(P ) £ d { } Nếu f hàm chỉnh hình lân cận tập compact K ta đặt ed (f , K ) = inf f - P P Ỵ Pd K = inf sup f (z ) - P (z ) P Ỵ Pd z Ỵ K Tập mức V X quan trọng ta giới thiệu ký hiệu đặc biệt chúng { } WR (X ) = z Ỵ  n : V X (z ) < log R Nếu X rõ ràng khơng sợ nhầm lẫn ta viết WR 34 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.4.3 Định lý Giả sử K Ð  n tập compact VK liên tục Khi với r > q > tồn số c = c(r , q) > cho ed (f , K ) £ c rd f Wr + q , " f Ỵ O (Wr + q ), d ³ Chứng minh Với a Ỵ ùúû0,1éëê ta định nghĩa hàm không âm ha  n + vi: ớù ổ ùù ỗỗaV z exp ỗỗ K ï o  = ì è ïï ïï 0, ùợ ổz ữữ ỗỗ ữ ữ , zo ẻ \ {0}, z ẻ n ữ ỗỗz ÷ ÷ ÷ ÷ è o øø zo = 0, z Ỵ  n Do tính liên tục V K V K Ỵ L , nên hàm ha liên tục nằm H+n + Ta thấy K tập compact K = {1}´ K  n + ha (1, z ) = exp(aV K (z )) Tương tự Wr với r Ỵ  ta định nghĩa tập mức ha Dr = z Ỵ  n + : ha (z) < r { Dễ thấy D ( } ) Ç {1}´  n = {1}´ Wr Chú ý D ra miền chỉnh hình tập mức hàm đa điều hòa liên tục Chọn a Î ùúû0,1éêë cho r < (r + q)a < r + q đặt K r = = r , z Ỵ K , K r tập compact D {(l , l z ) : l } a (r + q) a ha (l , l z ) = l exp (aV K (z )) = r < (r + q) Với f Î O (D a (r + q) ), ký hiệu f = f(1,.) hàm tương ứng O (Wr + q ) Bây ta ánh xạ hạn chế T : O (D a ) ® O (Wr ) , f  f ánh xạ mở r tồn ánh 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tập {1}´ Wr + q đa tạp nhúng thực D a (r + q) có số chiều n Nó biểu diễn cách qui địa phương tồn hàm chỉnh hình g cho g(z 0, z ) = z - , {1}´ Wr + q = g- (0) Ç D(r + q) a Khi áp dụng Định lý Cartan B ([5], Định lý 7.2.8), suy T tồn ánh Ta có O (D a (r + q) ) O (Wr + q ) không gian Fréchet T liên tục, tuyến tính tồn ánh nên tính mở T suy từ định lý ánh xạ mở (xem [9], Định lý 24.30) Khi ảnh ïíï   ì f Ỵ O (D a ) : f ïỵï (r + q) ïü < 1ïý ùỵù K r qua ỏnh x T l mt lõn cận mở 0, tức là, chứa tập có dạng {f Ỵ O (W r+ q : f L < eL )} L Ð Wr + q tập compact eL > Cố định f Ỵ O (Wr + q ) lấy f Ỵ O (D a (r + q) đặt g = ) cho T (f) = f Chọn e < eL e f ef Khi T (g) = , suy f f L L T (g) = e g L K r £ Từ ta có 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f Vì D = D a (r + q) K r = g f K r f e £ L e L , ( f Ỵ O Wr + q ) (2.6) lân cận cân gốc  n + , nên theo Định lý 1.4.3 ta viết: ¥ å f(z) = Pj (z), z Ỵ D, j= Pj đa thức bậc j chuỗi hội tụ tập compact D Biểu diễn f suy ước lượng sau ed ( f, K ) : ¥ å ed ( f, K ) £ Pj j=d+ K ,d , d ³ Cũng giống chứng minh Bổ đề 1.4.2 ta áp dụng ước lượng Cauchy cho hàm chỉnh hình l  f(l z) = ¥ å Pj (z)l j với (1, z ) = z Î K j= Kết hợp với định nghĩa K r ta có ước lượng 1  Pj (z) £ sup f (l z ) £ f r j l =r rj K r Bất đẳng thức (2.6) cho ta ed ( f, K ) £ ¥ å j=d+ Pj ¥ K  £ å f j r j=d+ K r f  Kr r = r - rd+ Nhưng cho ước lượng ed (f , K ) , tập hợp hạn chế {1}´  n đa thức n + biến có bậc £ d đồng với tập hợp 37 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn đa thức có n biến số có bậc £ d Như ed ( f, K ) = e d ( f , K ) (2.6) ta có f L d e (r - 1) r ed (f , K ) £ Đặt c = 1 ta có điều phải chứng minh L Ð Wr + q er- Cuối cùng, Ta có định lý xấp xỉ Siciak 2.4.4 Định lý Giả sử K tập compact  n cho VK liên tục f Ỵ O (K ), R > Khi f có thác triển chỉnh hình đến tập mức { WR = z Ỵ  n : V K (z ) < log R 1/ d lim sup ed (f , K ) dđ Ơ Ê } R { } Chứng minh Nếu f chỉnh hình WR = z Ỵ  n : V K (z ) < log R với e Ỵ ù0, R é , đặt r = R - e q = e / Khi f Î O (W ) theo úû êë r+ q Định lý 2.4.3 tồn số c cho: 1/ d 1/ d ( ed (f , K ) £ c f Wr + q ) r Từ 1/ d lim sup ed (f , K ) dđ Ơ ổ ỗỗ Ê lim sup ỗỗc f dđ Ơ ỗ ỗố 1/ d ữ ữ 1 ÷ = ÷ W e÷ r R e ÷ R- ø ÷ 1/ d Vì e > bé tùy ý nên cho e ® ta nhận lim sup ed (f , K ) d® ¥ Ngược lại,, lấy r > £ R 1/ d Khi tập d Ỵ  : ed (f , K ) > r hữu hạn, Do R { } tồn số C cho 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ed (f , K ) £ C r d với d ³ Với d tồn đa thức Pd Ỵ Pd cho ed (f , K ) = f - Pd K Để chứng minh điều ta ý đa thức P , degP £ d xấp xỉ f tốt hàm không, tức f- P K £ f K suy P K £ f- P K + f K £ f K Do hệ số đa thức chứa tập compact  f - P K hàm liên tục hệ số nên tồn đa thức Pd cho f - Pd K = ed (f , K ) Đặt Q1 = P1 Qd = Pd - Pd - với d ³ Khi ta có ỉ 1ư d ữr , z ẻ K , d Qd (z ) £ C r d + r d - = C ỗỗ1 + ữ ỗố ữ rữ ø ( ) ỉ 1ư d Theo bất đẳng thức Berntein - Walsh (2.5), vi M ging nh C ỗỗ1 + ữ ữ r ữ ữ ỗố rứ ta cú ổ 1ử ữ Qd (z ) Ê C ỗỗ1 + ÷ ( r F K (z ))d , z Ỵ Cn , d ữ ỗố rữ ứ Ơ Từ đó, chuỗi å Qd hội tụ tập compact tập hợp d= {z Î  n : F K (z ) < / r } ta có thác triển chỉnh hình hàm f , điều xảy với r > tuỳ ý nên xảy R 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn {z Ỵ }  n : V K (z ) £ log R W 2.4.5 Bổ đề Cho K tập compact  n cho VK liên tục f Ỵ O (K ) Khi với R Ỵ éêë1, + Ơ ự ỳ, ỷ { WR = z ẻ  n : V K (z ) < log R } tập mức lớn VK mà với f có thác triển chỉnh hình 1/ d lim sup ed (f , K ) dđ Ơ = R 40 S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại - Một số kết đa thức, tính tập cân - Một số kết hàm đa điều hòa thuộc lớp Lelong tính liên tục hàm Green đa phức - Một số kết Benedikt Steinar Magnusson năm 2007 hàm Green đa phức với cực vô - Định lý xấp xỉ Siciak Cụ thể là: Nếu K tập compact  n cho V K liên tục f Î O (K ), R > , f có thác triển chỉnh hình { } đến tập mức WR = z Ỵ  n : V K (z ) < log R 1/ d lim sup ed (f , K ) dđ Ơ £ / R 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: é1ù Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải, Cơ sở lí thuyết đa vị, NXB Đại êë úû học sư phạm Hà Nội, (2009) Tiếng Anh: é2ù B Josefson, On the equivalence between locally polar and globally polar êë ú û sets for plurisuvharmonic function on  n , Ark Mat., 16 (1978), pp 109-115 é3ù M Klimex, Pluripotential theory, vol of London Mathematical Society êë ú û Monographs New Series, The Clarendon Press Oxford University Press, New York, 1991., Oxford Science Publications é4 ù S G Krantz, Partial differential equations and complex analysis, Studies êë ú û in Advanced Mathematics, CRC Press, Boca Raton, FL, 1992 Lecture notes prepared by Estela A Gavosto and Marco M Peloso é5ù S G Krantz , Function theory of several complex variables, AMS Chelsea ú ëê û Publishing, Providence, RI, 2001 Reprint of the 1992 edition é6ù F Larusson and R Sigurdsson, Plurisubharmonic functions and analytic ú ëê û discs on manifolds, J Reine Angew Math., 501 (1998), pp – 39 é7 ù F Larusson and R Sigurdsson , Plurisubharmonicity of envelopes of disc ú ëê û functionals on manifolds, J Reine Angew Math., 555 (2003), pp 27 – 38 é8 ù F Larusson and R Sigurdsson, The Siciak- Zahariuta extremal function as êë ú û the envelope of disc functionals, Ann Polon Math., 86 (2005), pp 177 – 192 é9ù R Meise and D.Vogt, Introduction to functional analysis , vol of Oxford êë ú û Graduate Texts in Mathematics, The Clarendon Press Oxford University Press, New York, 1997, Translated from German by M S Ramanujan and revised by the authors 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn é10ù J Siciak, On some extremal fucntions and their appliacations in the êë ú û theory of analytic functions of several complex variables, Trans Amer Math Soc., 105 (1962), pp 322 – 357 é11ù J Siciak , Extremal plurisubharmonic functions in £ n , Ann Polon êë ú û Math.,39 (1981), pp 175 – 211 é12ù J Siciak, Extremal plurisubharmonic functions and capacities in £ n , êë ú û Sophia Kokyuroku in Mathamatics , 14 (1982) é13ù J Walsh, Interpolation and approximation, American Mathematical ú ëê û Society, 1935 é14ù V P Zaharjuta, Extremal plurisubharmonic functions , orthogonal êë ú û polynomials , and the Bernstein – Walsh theorem for functions of several complex variables, in Proceedings of the Sixth Conference on Anlaytic Functions ( Krakow, 1974 ) vol 33, 1976/77, pp 137 – 148 é15ù A Zeriahi, Fonction de Green pluricomplexe pôle l’infini sur êë ú û espace de Stein parabolique et applications, Math Scand., 69 (1991), pp 89 – 126 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... 1.3 Hàm cực trị tương đối 1.4 Đa thức, tính tập cân 13 Chƣơng 2: HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI CỰC TẠI VÔ CÙNG VÀ ĐỊNH LÝ XẤP XỈ CỦA SICIAK 18 2.1 Lớp Lelong 18 2.2 Hàm Green đa phức với. .. sắc hàm Green đa phức xấp xỉ hàm chỉnh hình Đó tổng qt hố kết Siciak- Zaharjuta £ ¥ trường hợp đại số Một số kết hàm Green đa phức với cực logarit đa tạp siêu lồi, tổng quát hoá hàm Green đa phức. .. cứu hàm Green đa phức với cực vô định lý xấp xỉ Siciak 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: - Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dưới, hàm đa