Hàm green đa phức với hai cực của hình cầu đơn vị trong £n

đại học thái nguyên tr-ờng đại học s- phạm  - ph¹m thị minh hạnh hàm green đa phức với hai cực hình cầu đơn vị Ê n Luận văn thạc sỹ toán học TháI nguyên - 2010 đại học thái nguyên tr-ờng đại học s- phạm - - Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ph¹m thị minh hạnh hàm green đa phức với hai cực hình cầu đơn vị Ê n Chuyên ngành: giải tích MÃ số: 60.46.01 Luận văn thạc sỹ toán häc Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: pgs.TS Ph¹m HiÕn B»ng TháI nguyên - 2010 S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Khoa Trường Đại học KTCN - ĐHTN đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi thời gian công tác quan, giúp yên tâm học tập hoàn thành luận văn Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng 08 năm 2010 Tác giả Phạm Thị Minh Hạnh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm điều hoà 1.2 Hàm đa điều hoà 1.3 Hàm đa điều hồ cực đại 12 1.4 Tốn tử Monge –Ampe 14 CHƢƠNG HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI HAI CỰC CỦA HÌNH CẦU ĐƠN VỊ TRONG 15 Ên 2.1 Hàm Green đa phức 15 2.2 Hàm Geen đa phức với hai cực hình cầu đơn vị £ n 18 54 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hàm Green đa phức đóng vai trò quan trọng lý thuyết vị phức, nhiều nhà tốn học nước quan tâm nghiên cứu như: Siciak, Zaharjuta, Lelong, Klimek, Zeriahi, Dan Coman đạt nhiều kết sâu sắc hàm Green đa phức xấp xỉ hàm chỉnh hình Đó tổng qt hố kết Siciak- Zaharjuta £ ¥ trường hợp đại số Một số kết hàm Green đa phức với cực logarit đa tạp siêu lồi, tổng qt hố hàm Green đa phức với cực hữu hạn, nghiên cứu Lelong, Klimek, Demailly, Zaharjuta, E Amar , P.J Thomas, Dan Coman Tuy nhiên cấu trúc hàm Green đa phức với nhiều cực biết Ở chúng tơi chọn đề tài ” Hàm Green đa phức với hai cực hình cầu đơn vị £ n ” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn tìm cơng thức Green đa phức hình cầu đơn vị £ n với hai cực 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: + Xây dựng công thức cho hàm Green đa phức hình cầu đơn vị £ n với hai cực có trọng + Chỉ tồn hình cầu (kỳ dị cực) đĩa giải tích nhẵn qua hai cực, cho hạn chế hàm Green đa phức tới đĩa điều hồ xa cực Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn + Sử dụng biểu thức hàm Green dọc theo tờ lá, xây dựng cơng thức tồn hình cầu Phƣơng pháp nghiên cứu: - Sử dụng phương pháp giải tích phức kết hợp với phương pháp giải tích hàm đại - Sử dụng phương pháp lý thuyết vị phức - Kế thừa phương pháp kết E Amar P.J Thomas, Dan Coman Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 56 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày số kiến thức như: Hàm điều hoà, hàm đa điều hoà, hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực trị, hàm Green phức, hàm Green đa phức, toán tử Monge-Ampere Chương mang tên “ Hàm Green đa phức với hai cực hình cầu đơn vị £ n ” Nội dung chương trình bày việc xây dựng công thức cho hàm Green đa phức hình cầu đơn vị £ n với hai cực có trọng nhau, Chỉ tồn hình cầu (kỳ dị cực) đĩa giải tích nhẵn qua hai cực Sử dụng biểu thức hàm Green dọc theo tờ lá, xây dựng cơng thức tồn hình cầu Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các hàm điều hồ dƣới 1.1.1 Định nghĩa Cho W khơng gian mờtric Mt hm u : Wđ [- Ơ , ¥ ) gọi nửa liên tục với c Ỵ ¡ tập hợp {x Ỵ W: u(x ) < c } mở Một hàm u gọi nửa liên tục - u nửa liên tục 1.1.2 Định nghĩa Cho W tập mở ¡ n , u : Wđ [- Ơ , Ơ ) l mt hàm nửa liên tục khơng trùng - ¥ thành phần liên thông W Hàm u gọi điều hoà W với tập mở compact tương đối G W hàm h Ỵ H (G ) Ç C (G ) ta có u £ h trờn ả G ị u Ê h trờn G Trong trường hợp ta viết u Ỵ SH (W) Định lý sau cho đặc trưng hàm điều hoà 1.1.3 Định lý Giả sử u : Wđ [- Ơ , Ơ ) l na liờn tc khơng đồng - ¥ thành phần liên thơng W Khi điều kiện sau tương đương (i ) u Ỵ SH (W) (ii ) Nếu B (a, r ) Ð W, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn u (x ) £ r m - 2L (P (y - a, x - a )u (y );a, r ) với x Î B (a, r ) ; (iii ) Nếu B (a, r ) Ð W, u(a ) £ L (u;a, r ) ; (iv ) Nếu B (a, r ) Ð W, u(a ) £ A(u;a, r ) Hơn nữa, tính điều hồ tính chất địa phương, tức u Ỵ SH (W) điều hồ lân cận điểm W Chứng minh (i )  (ii ) : giả sử u Ỵ SH (W) B (a, r ) Ð W Theo [K2], Mệnh đề 2.3.3 tr37 tồn dãy giảm {u j } hàm liên tục ¶ B (a, r ) hội tụ tới u ¶ B (a,r ) Theo [K2] (Định lý 2.2.6 tr30), tồn dãy hàm {u j } Ỵ H (B (a, r )) Ç C (B (a, r )) cho U j ¶ B (a ,r ) = u j Từ u £ U j B (a, r ) vi mi j ẻ Ơ Rừ rng, dãy {U j } giảm Lấy x Ỵ B (a, r ) Áp dụng định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue, ta có u (x ) £ lim U j (x ) = lim r m - 2L (P (y - a, x - a )u j (y );a, r ) jđ Ơ jđ Ơ = r m - 2L(P (y - a, x - a) lim u j (y );a, r ) jđ Ơ Gi s (ii ) thoả mãn Đặt x = a ta (iii ) (iii )  (iv ) suy trực tiếp từ [K2], hệ 2.1.3 tr24 Trước kết thúc chứng minh định lý, cần kết sau, xem nguyên lý cực đại hàm điều hồ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.4 Định lý Giả sử W tập mở liên thông bị chặn ¡ m u Î SH (W) Khi u với x Ỵ W íï ü ïï ï ï u (x ) < sup ì lim sup u (y )ùý ùù z ẻ ả Wù ùù yy ẻđWz ùỵ ù ợù Chng minh Nh trờn, ta u thoả mãn điều kiện (iv ) Định lý 1.1.3 Khơng tính tổng quát, giả sử vế phải bất đẳng thức nhỏ ¥ Đặt u (x ) (x Ỵ W) ïíï ïï v(x ) = ì lim sup u (y ) (x ẻ ả W) ùù y đ x ùùợ y ẻ X Khi ú v l nửa liên tục trên, đạt cực đại, gọi M giá trị cực đại v W Đặt A = {x Ỵ W: u(x ) = M } Ta chứng minh A ¹ Ỉ, A = W Rõ ràng A đóng W u nửa liên tục Nếu a Ỵ A B (a, r ) Ð W B (a, r ) Ð A Thực vậy, điều khơng xảy tồn điểm b Ỵ B (a, r ) cho u(b) < M Do tính nửa liên tục u suy u < M lân cận b Ta có u(a ) £ A(u;a, r ) < A(M ;a, r ) = u(a ) điều khơng thể xảy Vậy B (a, r ) Ð A Bởi A mở, mà W liên thơng nên ta có A = W Bây ta quay trở lại chứng minh Định lý 1.1.3 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh (iv ) Þ (i ) : Giả sử (iv ) thoả mãn, G tập mở compact tương đối W, v h ẻ H (G ) ầ C (G ) cho u £ h ¶ G Do [K2] (Định lý 2.2.4 tr30), hàm u - h thoả mãn (iv ) G Từ phép chứng minh nguyên lý cực đại hàm điều hoà suy u - h £ G tức u £ h G Từ u Î SH (W) Kết luận cuối Định lý 1.1.3 suy từ chứng minh Định lý 1.1.4 chứng minh (iv ) Þ (i ) 1.1.5 Định nghĩa Một tập E ¡ m gọi cực cho mỗt điểm a  E có lân cận V a hàm u Ỵ SH (V ) cho u(x ) = - Ơ vi x ẻ E ầV 1.2 Hm đa điều hoà dƣới 1.2.1 Định nghĩa Cho W tập mở £ n u : Wđ [- Ơ , Ơ ) l mt hm na liên tục khơng trùng với - ¥ thành phần liên thông W Hàm u gọi đa điều hoà với a Ỵ W b Ỵ £ n , hàm l a u(a + l b) điều hoà trùng - ¥ thành phần tập hợp {l Ỵ £ : a + l b Î W} Trong trường hợp này, ta viết u Î P SH (W) (ở P SH (W) lớp hàm đa điều hoà W) 1.2.2 Định lý Cho u : Wđ [- Ơ , Ơ ) hàm nửa liên tục không trùng - ¥ thành phần liên thơng WÐ £ n Khi u Ỵ P SH (W) với a Ỵ W b Ỵ £ n cho {a + l b : l Ỵ £ , l £ 1}Ð W, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... 1.1 Hàm điều hoà 1.2 Hàm đa điều hoà 1.3 Hàm đa điều hoà cực đại 12 1.4 Toán tử Monge –Ampe 14 CHƢƠNG HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI HAI CỰC CỦA HÌNH CẦU ĐƠN VỊ TRONG 15 Ên 2.1 Hàm Green đa phức 15 2.2 Hàm. .. như: Hàm điều hoà, hàm đa điều hoà, hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực trị, hàm Green phức, hàm Green đa phức, toán tử Monge-Ampere Chương mang tên “ Hàm Green đa phức với hai cực hình cầu. .. thức Green đa phức hình cầu đơn vị £ n với hai cực 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: + Xây dựng công thức cho hàm Green đa phức hình cầu đơn vị £ n với hai cực có