Hàm green đa phức với hai cực của hình cầu đơn vị trong £n

đại học thái nguyên tr-ờng đại học s- phạm  - phạm thị minh hạnh hàm green đa phức với hai cực hình cầu đơn vị Ê n Luận văn thạc sỹ toán học TháI nguyên - 2010 đại học thái nguyên tr-ờng đại học s- phạm - - Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn phạm thị minh hạnh hàm green đa phức với hai cực hình cầu đơn vị Ê n Chuyên ngành: giải tích Mà số: 60.46.01 Luận văn thạc sỹ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: pgs.TS Phạm Hiến Bằng TháI nguyên - 2010 S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Khoa Trường Đại học KTCN - ĐHTN đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi thời gian công tác quan, giúp yên tâm học tập hoàn thành luận văn Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng 08 năm 2010 Tác giả Phạm Thị Minh Hạnh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm điều hoà 1.2 Hàm đa điều hoà 1.3 Hàm đa điều hoà cực đại 12 1.4 Toán tử Monge –Ampe 14 CHƢƠNG HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI HAI CỰC CỦA HÌNH CẦU ĐƠN VỊ TRONG 15 Ên 2.1 Hàm Green đa phức 15 2.2 Hàm Geen đa phức với hai cực hình cầu đơn vÞ £ n 18 54 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hàm Green đa phức đóng vai trị quan trọng lý thuyết vị phức, nhiều nhà tốn học nước quan tâm nghiên cứu như: Siciak, Zaharjuta, Lelong, Klimek, Zeriahi, Dan Coman đạt nhiều kết sâu sắc hàm Green đa phức xấp xỉ hàm chỉnh hình Đó tổng qt hố kết Siciak- Zaharjuta £ ¥ trường hợp đại số Một số kết hàm Green đa phức với cực logarit đa tạp siêu lồi, tổng qt hố hàm Green đa phức với cực hữu hạn, nghiên cứu Lelong, Klimek, Demailly, Zaharjuta, E Amar , P.J Thomas, Dan Coman Tuy nhiên cấu trúc hàm Green đa phức với nhiều cực biết Ở chúng tơi chọn đề tài ” Hàm Green đa phức với hai cực hình cầu đơn vị £ n ” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn tìm cơng thức Green đa phức hình cầu đơn vị £ n với hai cực 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: + Xây dựng công thức cho hàm Green đa phức hình cầu đơn vị £ n với hai cực có trọng + Chỉ tồn hình cầu (kỳ dị cực) đĩa giải tích nhẵn qua hai cực, cho hạn chế hàm Green đa phức tới đĩa điều hồ xa cực Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn + Sử dụng biểu thức hàm Green dọc theo tờ lá, xây dựng cơng thức tồn hình cầu Phƣơng pháp nghiên cứu: - Sử dụng phương pháp giải tích phức kết hợp với phương pháp giải tích hàm đại - Sử dụng phương pháp lý thuyết vị phức - Kế thừa phương pháp kết E Amar P.J Thomas, Dan Coman Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 56 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày số kiến thức như: Hàm điều hoà, hàm đa điều hoà, hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực trị, hàm Green phức, hàm Green đa phức, toán tử Monge-Ampere Chương mang tên “ Hàm Green đa phức với hai cực hình cầu đơn vị £ n ” Nội dung chương trình bày việc xây dựng công thức cho hàm Green đa phức hình cầu đơn vị £ n với hai cực có trọng nhau, Chỉ tồn hình cầu (kỳ dị cực) đĩa giải tích nhẵn qua hai cực Sử dụng biểu thức hàm Green dọc theo tờ lá, xây dựng cơng thức tồn hình cầu Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các hàm điều hoà dƣới 1.1.1 Định nghĩa Cho W khụng gian mờtric Mt hm u : Wđ [- Ơ , ¥ ) gọi nửa liên tục với c Ỵ ¡ tập hợp {x Ỵ W: u(x ) < c } mở Một hàm u gọi nửa liên tục - u nửa liên tục 1.1.2 Định nghĩa Cho W tập mở ¡ n , v u : Wđ [- Ơ , Ơ ) l hàm nửa liên tục khơng trùng - ¥ thành phần liên thông W Hàm u gọi điều hoà W với tập mở compact tương đối G W hàm h Ỵ H (G ) Ç C (G ) ta có u £ h trờn ả G ị u Ê h trờn G Trong trường hợp ta viết u Ỵ SH (W) Định lý sau cho đặc trưng hàm điều hoà 1.1.3 Định lý Giả sử u : Wđ [- Ơ , Ơ ) l na liờn tục khơng đồng - ¥ thành phần liên thơng W Khi điều kiện sau tương đương (i ) u Î SH (W) (ii ) Nếu B (a, r ) Ð W, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn u (x ) £ r m - 2L (P (y - a, x - a )u (y );a, r ) với x Ỵ B (a, r ) ; (iii ) Nếu B (a, r ) Ð W, u(a ) £ L (u;a, r ) ; (iv ) Nếu B (a, r ) Ð W, u(a ) £ A(u;a, r ) Hơn nữa, tính điều hồ tính chất địa phương, tức u Ỵ SH (W) điều hồ lân cận điểm W Chứng minh (i )  (ii ) : giả sử u Ỵ SH (W) B (a, r ) Ð W Theo [K2], Mệnh đề 2.3.3 tr37 tồn dãy giảm {u j } hàm liên tục ¶ B (a, r ) hội tụ tới u ¶ B (a,r ) Theo [K2] (Định lý 2.2.6 tr30), tồn dãy hàm {u j } Ỵ H (B (a, r )) Ç C (B (a, r )) cho U j ¶ B (a ,r ) = u j Từ u £ U j B (a, r ) vi mi j ẻ Ơ Rừ ràng, dãy {U j } giảm Lấy x Ỵ B (a, r ) Áp dụng định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue, ta có u (x ) £ lim U j (x ) = lim r m - 2L (P (y - a, x - a )u j (y );a, r ) jđ Ơ jđ Ơ = r m - 2L(P (y - a, x - a) lim u j (y );a, r ) jđ Ơ Gi sử (ii ) thoả mãn Đặt x = a ta (iii ) (iii )  (iv ) suy trực tiếp từ [K2], hệ 2.1.3 tr24 Trước kết thúc chứng minh định lý, cần kết sau, xem nguyên lý cực đại hàm điều hồ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.4 Định lý Giả sử W tập mở liên thông bị chặn ¡ m u Ỵ SH (W) Khi u với x Ỵ W íï ü ïï ï ï u (x ) < sup ì lim sup u (y )ùý ùù z ẻ ả Wù ùù yy ẻđWz ùỵ ù ợù Chng minh Nh trờn, ta u thoả mãn điều kiện (iv ) Định lý 1.1.3 Khơng tính tổng quát, giả sử vế phải bất đẳng thức nhỏ ¥ Đặt u (x ) (x Ỵ W) ïíï ïï v(x ) = ì lim sup u (y ) (x ẻ ả W) ùù y đ x ùùợ y ẻ X Khi ú v nửa liên tục trên, đạt cực đại, gọi M giá trị cực đại v W Đặt A = {x Ỵ W: u(x ) = M } Ta chứng minh A ặ, thỡ A = W Rừ rng A đóng W u nửa liên tục Nếu a Ỵ A B (a, r ) Ð W B (a, r ) Ð A Thực vậy, điều khơng xảy tồn điểm b Ỵ B (a, r ) cho u(b) < M Do tính nửa liên tục u suy u < M lân cận b Ta có u(a ) £ A(u;a, r ) < A(M ;a, r ) = u(a ) điều khơng thể xảy Vậy B (a, r ) Ð A Bởi A mở, mà W liên thơng nên ta có A = W Bây ta quay trở lại chứng minh Định lý 1.1.3 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh (iv ) Þ (i ) : Giả sử (iv ) thoả mãn, G tập mở compact tương đối W, v h ẻ H (G ) ầ C (G ) cho u £ h ¶ G Do [K2] (Định lý 2.2.4 tr30), hàm u - h thoả mãn (iv ) G Từ phép chứng minh nguyên lý cực đại hàm điều hoà suy u - h £ G tức u £ h G Từ u Ỵ SH (W) Kết luận cuối Định lý 1.1.3 suy từ chứng minh Định lý 1.1.4 chứng minh (iv ) Þ (i ) 1.1.5 Định nghĩa Một tập E ¡ m gọi cực cho mỗt điểm a  E có lân cận V a hàm u Ỵ SH (V ) cho u(x ) = - Ơ vi x ẻ E ầV 1.2 Hàm đa điều hoà dƣới 1.2.1 Định nghĩa Cho W tập mở £ n u : Wđ [- Ơ , Ơ ) l mt hm nửa liên tục khơng trùng với - ¥ thành phần liên thông W Hàm u gọi đa điều hoà với a Ỵ W b Ỵ £ n , hàm l a u(a + l b) điều hồ trùng - ¥ thành phần tập hợp {l Ỵ £ : a + l b Ỵ W} Trong trường hợp này, ta viết u Î P SH (W) (ở P SH (W) lớp hàm đa điều hoà W) 1.2.2 nh lý Cho u : Wđ [- Ơ , Ơ ) hàm nửa liên tục không trùng - ¥ thành phần liên thơng WÐ £ n Khi u Ỵ P SH (W) với a Ỵ W b Ỵ £ n cho {a + l b : l Ỵ £ , l £ 1}Ð W, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.2.3.10 Mệnh đề Hàm g* âm đa điều hòa B , có cực logarit p q có trọng Chứng minh Theo cách xây dựng hàm g* rõ ràng ta có g* < B Từ suy hàm g* có cực điểm logarit p q có trọng Ta hàm g* đa điều hòa int Gp U D U int Gq ( theo Hệ 2.2.3.8) Lấy v D ¢ xác định chứng minh Bổ đề 2.2.3.9 Ta nhắc lại (D I B ) \ {p, q}Ð D ¢ v hàm giải tích thực đa điều hịa D ¢ Để g* đa điều hòa B , ta xét điểm z Ỵ B I ¶ D tùy ý đường phức L qua z Khơng tính tổng quỏt ta gi s z ẻ ả Gp Nếu L I B Ð ¶ Gp g * L điều hịa dưới, g * = g2 (., p ) Gp Mặt khác áp dụng bổ đề 2.2.3.11 ta kết luận g * L điều hịa gần z Từ suy điều phải chứng minh W 2.2.3.11 Bổ đề Giả sử G cung nhẵn nhúng £ chia £ thành hai miền G+ G- Cho W đĩa, W+ = WI G+ , W- = WI G- Giả sử v + v- tương ứng hàm điều hòa thuộc lớp C xác định lân cận W+ W- cho v + - v- triệt tiêu bậc dọc G Khi v xác định v = v + W+ , v = v- W- điều hòa W Chứng minh Chỉ cần D v ³ theo nghĩa phân bố Kí hiệu n + (tương ứng n - ) véctơ pháp tuyến đơn vị hướng ngồi G Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 W+ (tng ng W- ) Ly f ẻ C 0Ơ (W) , f ³ áp dụng hàm Green W+ W- , v + = v- bậc G Ta nhận ò W+ v+ D f - f D v+ = ò = - G ị G ị vD f Do W = ò W+ f Dv+ + ¶ v+ ¶f - f ¶ n+ ¶ n+ v+ v- ò W- ¶ v¶f = - f ¶ n¶ h- ị W- v- D f - f D v- f Dv- ³ W Định lý 2.2.3 chứng minh xong sau ta chứng minh kết sau đây: 2.2.3.12 Mệnh đề Các đạo hàm riêng ¶ ¶ g2 (., p, q ) g (., p, q ) thác ¶ z1 ¶ z2 triển liên tục tới ¶ B Chứng minh Nếu z Ỵ ¶ B \ D hàm g2 (., p, q ) xác định giải tích thực lân cân z Theo Bổ đề 2.2.3.6, 2.2.3.7 2.2.3.9 hàm g2 (., p, q ) xác định tốt thuộc lớp C mt lõn cn ca im z ẻ ả B I D cho w (z ) < , w (z ) < xác định (2.23) Vì ta phải xột im z ẻ ả B I D , w (z ) = Tại điểm ( z = z 10, z 20 ) ta có b z 20 = b - z 10 = b + z 10 , z 10 = z 20 = Cố định z = (0, g ) Ỵ ¶ B Lấy v hàm chứng minh Bổ đề 2.2.3.9 xác định v (z ) = g2 (z , p, q ) với z Ỵ D Vì Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 nên suy é¶ ù ê g (., p )ú(z ) = ê¶ z ú êë ú û é¶ ù ê g (., q )ú(z ) = ê¶ z ú êë ú û é¶ ù ê g2 (., p )ú(z ) = ê¶ z ú ë û é¶ ù ê g2 (., q )ú(z ) = (1 - b )g ê¶ z ú ë û (2.25) ¶v ¶v (z ) = z ) = lim - b )g ( ( z ® z0 ¶ z z ® z0 ¶ z 2 lim Ở đây, phần lại chứng minh này, ta ký hiệu lim z ® z nghĩa z Ỵ D I B z ® z Nếu M (z ) xác định kết định lý 2.2.3 từ định nghĩa v suy (2.26) é ù - 1/ ¶ M ¶v z ) = lim êê M (z ) z )ú ( ( ỳ, z đ z0 ả z z đ z0 ¶ z ú 1 ëê û (2.27) é ù ¶v g - 1/ ¶ M (z ) = (z )ú + lim ê(M (z )) ỳ z đ z0 ả z z đ z êë ¶ z2 û ( lim ) lim Với z Ỵ D I B ta ký hiệu: (2.28) E = E (z ) = 2 ( z -  b - z 12 E = E (z ) = ) 2 b - z - b z2 F = F (z ) = ( b z - b - z 12 , ), b z - b - z 12 ( b - z 12 -  b - z 12 2ử ổ ỗỗ b - z 12 - b z ÷ ÷ è ø Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ) http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 2 ỉ Khi E 12 - = 2b z F E - = ççb z - b - z 12 ÷ ÷F Từ kết hợp è ø với lim z ® z F (z ) = (xem Bổ đề 2.2.3.13 dưới) suy lim z ® z E (z ) = lim z ® z E (z ) = 0 Bây tính tốn cụ thể ta được: ¶ M / ¶ z (z ) é 2ỉ 2 ù 2 ÷ = b z z + b z + b E ỳ ờb ỗb z ữ 2 ỗ ố ứ 2 ỳ ë û b z - b - z1 ( ( ) ( ) ) - - b z b z - b - z 12 E ® 8b g , ¶ M / ¶ z (z ) 2 b - z - b z2 2 £ z éêb - z 12 b z + b - z 12 + (1 - b ) z E ù ® 0, ú ë û ( M (z ) 2 ) 2 b - z - b z2 2 ổ2 ỗỗb z + b - z 12 ÷ + - b z E 12 ® , ÷ è ø ( = ) z Î D I B ® z = (0, g ) Các công thức với hệ thức (2.26) (2.27) (2.25) thỏa mãn W 2.2.3.13 Bổ đề Nếu F (z ) xác định (2.28) với z Ỵ (D I B ) \ {p, q} lim F (z ) = 0, z = (0, g ) ẻ ả B z ® z0 Chứng minh Đặt F1 (z ) = b - z 12 +  (b - z 12 ) 2 2 ( b - z - b z2 ) F (z ) = (Áz 12 ) ( b - z 12 - b z )2 Khi lim F1(z ) = Với z Ỵ D I B , ta chứng minh: z ® z0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 2 b - z 12 - b z ³ b z ( z + 2b x ) , z = x + iy Thật vậy, khơng tính tổng quát, giả sử x ³ Khi z Ỵ D nên ta có b - z ³ b z , suy 2 b - z 12 - b z ³ b z ( b + z - b z ) = 2 2 = b z ( b (1 - z ) + z + 2b x ) ³ b z ( z + 2b x ) Từ suy 2 Áz ) ( x 2y F1 (z ) £ 4 = 4 2 2 b z ( z + 2b x )2 b z (x + y + 2b x ) £ y2 ® , z = (x + iy , z ) đ (0, g ) ẻ ả B W 4 b z (2b + x ) 2.2.4 Hệ Ta có gn (z , p, q ) = g2 (z 1, z ¢ ), p *, q * , p * = - q* = (b , 0) ( ) gn (., p, q ) Ỵ C 1,1(B n \ {p, q }) Hơn nữa, hàm gn (., p, q) giải tích thực int Gp U D U int Gq , đạo hàm riêng cấp chúng thác triển liên tục tới ¶ B n Các tờ tương ứng là: trục z , đường phức qua p nằm Gp , đường phức qua q nằm Gq tờ Lu , g Ð V u I B n có dạng Lu , g : z = l 1e1 + l 2u, gl 12 = b (g - l )(1 - gl ), g Ỵ D \ {0}, u = (0, u Â) ẻ ả B n , vi lỏ D \ z Chứng minh Giả sử z = (z 1, z ') Ỵ B n Khi đó, z ¢= gn (z, p, q) = gn (z, p) + gn (z, q) thỏa mãn cơng thức địi hỏi Vì ta giả sử Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 z Âạ v t u = (0, z ¢/ z ¢ ) Ký hiệu B hình cầu đơn vị khơng gian V u = £ e1 + £ u Xét ánh xạ bao hàm j : B ® B n phép chiếu trực giao p : B n ® B Khi z = z 1e1 + z ¢ u ta nhận được cơng thức địi hỏi hàm Green đa phức giảm ánh xạ chỉnh hình Các khẳng định cịn lại hệ suy từ định lý 2.2.3 W Bây ta xét trường hợp cực có trọng khác Chú ý phần đầu chương ta có A = {(p, m), (q, n )} Ð B n ´ (0, + ¥ ), m ³ n gn (., A ), hàm Green đa phức B n với cực A Khơng tính tổng qt ta giả sử p = q = (a , 0, , 0),trong a Ỵ (0,1) Ta nhắc lại ký hiệu sau đây: Lu = {Vu : V Î D }, { } u = (u 1, , u n ) ẻ ả B n , G0 = U Lu : u1 £ a / Gq = T q (G0 ), ( ) T q Ỵ A ut B n xác định (2.7) Ta có: 2.2.5 Mệnh đề (2.29) gn (z , A ) = mgn (z , 0); z Ỵ G0 (2.30) mgn (z , q ) £ gn (z , A ) £ vgn (z , q ); z ẻ Gq Núi riờng, hm z đ gn (z , A ) khơng giải tích thực B n \ {0, q} khơng có dạng gn (z , A ) = log H (z ) với ánh xạ chỉnh hình H : B n ® B n Hơn nữa, m > n nói chung khơng có đường phức L chứa q thỏa mãn gn (z , A ) = ngn (z , q ) vi mi z ẻ L ầ B n Chứng minh Để chứng minh (2.29) ta ly u ẻ ả B n c nh cho u £ a / Ta xây dựng ánh xạ chỉnh hình F : B n ® D cho Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 F (q ) = F (Vu ) = V với V Ỵ D (xem [R]) Ta chọn u 2, , u n ẻ ả B n {u, u , , u } cho z n = z, u + z, u sở trực chuẩn £ n Khi + + z , u n tích vơ hướng £ n Đặt h (V) = - với z Ỵ £ n ; , ký hiệu - V với V Ỵ D Khi h hàm chỉnh hình D khai triển Taylor h có hệ số dương; Từ ( ) h (V) £ h V với V Ỵ D Với a Î £ , a £ q2, , qn Î ¡ ta xác định æ n iq F : B n ® C F (z ) = z , u + ah ỗỗỗồ e j z , u j ỗố j = 2 ữ ữ ÷ ÷ ø Vì a £ tính chất h nên ta có F (z ) Ê ổn z , u + h ỗỗỗồ z , u j ỗố j = 2 ổ ữ çç1 ÷ < z , u + h ÷ ÷ è ø z, u ÷ ÷ ÷= 1, ø n ta sử dụng tính chất h hàm tăng éëê0,1ù ú û Do F B Í D ( ) rõ ràng F (Vu ) = V với V Ỵ D Bây ta u thỏa mãn u £ a / chọn a với a £ q2, , qn Ỵ ¡ cho F (q ) = Với j = 2, , n ta chọn qj cho e i qj q, u j = q, u j Tiếp theo ta xác định a a = - Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn q, u ổ h ỗỗồ çè n j= q, u j http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 ÷ ÷ ÷ ø Khi rõ ràng F (q ) = , ta cần kiểm tra a £ Nhưng điều æ tng ng vi ỗỗỗ1 ỗố a = q, u 2 å n + å n q, u j q, u j j= 2 2 ÷ ÷ £ 1÷ ÷ ø q, u , tương đương với ³ q, u = 2a u j= Sử dụng hàm F xây dựng từ định nghĩa gn (., A ) suy mlog F (z ) £ gn (z , A ) với z Ỵ B n Mặt khác rõ ràng ta có gn (z , A ) £ mgn (z , 0) = mlog z Do với z = Vu ta thu mlog V = mlog F (Vu ) £ gn (Vu, A ) £ mgn (Vu, 0) = mlog V , (2.29) với z Ỵ G0 Chứng minh (2.30) tiến hành tương tự Đầu tiên ta thay p = q cách áp dụng T q , cực với trọng nhỏ gốc Khi tính bị chặn (2.30) đạt trước đây, tính bị chặn xảy với z Ỵ B n Vì với z trục z ta có gn (z, A ) = mgn (z , p ) + ngn (z , q) < mgn (z , p ), nên (2.29) kéo theo gn (., A ) khơng thể giải tích thực B n \ {p, q} Khẳng định cuối Mệnh đề 2.2.5 từ bổ đề W Trong phép đặt ta xét với trường hợp p = , m = q = (a , 0, , 0), n = 1/ với a Ỵ (0,1) tùy ý Với u = (u 1, , u n ) ẻ ả B n , t = G U{L u } : u1 £ 1/ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 ° ta có g (z , A ) = g (z , 0) = log z 2.2.5.1.Bổ đề Với a Ỵ (0,1) z Î G n n Nếu a < / khơng có đường phức L chứa q thỏa mãn gn (z , A ) = gn (z , q ) / dọc theo L I B n Chứng minh Ta lấy u Î ¶ B n cố định với u £ / chọn u 2, , u n Î ¶ B n { } cho u, u 2, , u n sở trực chuẩn £ n Giả sử a Ỵ £ với a £ q2, , qn Ỵ R , xét hàm F : B n ® D xác định F (z ) = z , u n + aå e i qj z, u j j= Với j = 2, , n ta chọn qj cho e i qj q, u j = q, u j ta chọn a Ỵ £ cho F (q ) = Chú ý u £ / kéo theo a £ Khi F (Vu ) = V2 F (q ) = , nên theo định nghĩa gn (z , A ) ta có log F (z ) £ gn (z , A ) £ log z , từ gn (z , A ) = log z với z = Vu Bây ta giả sử a < / L đường phức chứa q , khác trục z Ta tham số hóa L I B n sử dụng đĩa đơn vị D ; chẳng hạn L I B n = f (D ), ( ) f (V) = T q Vu * vi u * ẻ ả B n thích hợp Vì a < / nên tồn ° Với z Ỵ G ta có tập mở khác rỗng G Ð D cho f (G ) Ð G gn (z , A ) = log z ¹ gn (z , q ) / Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 W 2.2.6 Định lý Giả sử A = {(0, m), (q, n )} Ð B n ´ (0, + ¥ ), m ³ n z = Vu , với V Ỵ D \ {0} u Ỵ ¶ B n Ta có gn (z 0, A ) = mgn (z 0, 0) tồn dãy hàm chỉnh hình Fj : B n ® £ , j = 1, 2, , cho Fj (q ) = với j ³ (i ) Fj (tu ) = t j với t Ỵ D j (ii ) lim sup j đ Ơ log Fj (z ) £ gn (z , A ) / m với z Ỵ B n j Chứng minh Rõ ràng dãy {Fj } tồn ta có j gn (z 0, A ) = m log V = mgn (z 0, 0) Ngược lại, giả sử mgn (z 0, 0) = gn (z 0, A ) Trước tiên ý gn (tu, A ) = mgn (tu , 0) với t Ỵ D Thật vậy, hàm v (t ) = gn (tu , A ) - mgn (tu , 0) điều hòa D \ {0} Vì v £ D \ {0} theo giả thiết v (V) = nên từ nguyên lý cực đại suy v º Giả sử Lu = {tu : t Ỵ D } F : B n ® D , F (z ) = z , u Ta xét miền Hartog sau £ n + : D1 = {(z , w ) Ỵ B n ´ £ : w < e - gn (z ,A )/ m}, D2 = {(z , w ) Ỵ B n ´ £ : w < e - gn (z ,0)} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 Các miền D1 D2 giả lồi Lấy u = (u1, , u n ) viết z = (z 1, , z n ) Ta xét hàm chỉnh hình h j (z ) = z j - z , u u j , j = 1, , n ký hiệu X đa tạp giải tích xác định hàm B n ´ £ : X = {(z, w ) Ỵ B n ´ £ : h1 (z ) = = hn (z ) = 0}= Lu ´ £ Khi log F (z ) £ gn (z , 0) , a (z, w ) = 1/ (1 - F (z )w ) hàm chỉnh hình D2 Vì gn (tu, A ) = mgn (tu , 0) nên ta có X I D1 = X I D2 Khi đa tạp X I D1 xác định toàn cục D1 a chỉnh hình lân cận X I D1 , tồn hàm chỉnh hình a° D1 cho a° = a X I D1 ([H2], Định lý 4.2.12) Ta dựa theo chứng minh Định lý trích dẫn để suy thác triển a° thỏa mãn a° (q, w ) = , với w Ỵ £ Điều thực sau: Lấy c Ỵ C ¥ (D1 ) cho c º lân cận X I D1 , supp c Ð D2 , {(q, w ) : w Ỵ £ }Ð D1 \ supp c Đặt f (z , w ) = 2ử ổ log ỗỗ h1 (z ) + + hn (z ) ÷ ÷ ÷+ log z - q , với (z , w) Î D1 è ø Xét dạng (0,1) , ¶ -đóng: ¶ (c a ) = a ¶ c ta giải ¶U = a ¶ c với L2 -ước lượng sau ([H1], Định lý 4.4.2): ò D1 - U e - 2(n + 1)(f + y ) (1 + (z , w) ) dl £ ị a ¶ c e - 2(n + 1)(f + y )dl D1 Ở y hàm vét cạn đa điều hòa D1 tăng nhanh đến ¥ , vế phải bất đắng thức hữu hạn (điều Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 hàm a ¶c e - 2(n + 1)(f + y ) liên tục D1 ) Vì hàm e - 2(n + 1)(f + y ) khơng khả tích gần điểm X I D1 gần điểm có dạng (q, w ) , w Ỵ £ , nên suy U phải triệt tiêu điểm Từ a° = c a - U chỉnh hình D1 cách chọn c , ta có a° = a X I D1 a° (q, w ) = với w Ỵ £ j ¥ Chú ý a (z , w ) = å j= a° (z , w ) = éF (z )ùw j theo định nghĩa D ta viết ú ëê û ¥ å Fj (z )w j , Fj hàm chỉnh hình B n Vì với j= z ẻ B n cỏc a gii tớch Ơ {(z, w ) : w Ỵ D } chứa D , nên suy Fj (tu )w j = a° (tu, w ) = a (tu , w ) = j= ¥ å ¥ å t j w j , j= Fj (q )w j = a° (q, w ) = với t , w Ỵ D j= Từ với j ³ ta có Fj (tu ) = t j với t Ỵ D Fj (q ) = Cuối cùng, hàm w ® a° (z , w ) chỉnh hình đĩa {w < e - gn (z , A )/ m }, 1/ j ỉ - g (z , A )/ m ³ e n ta có / ỗỗlim sup j đ Ơ Fj (z ) ữ với z Ỵ B n Điều chứng ÷ ÷ è ø minh kết luận (ii ) W Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: + Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, hàm cực trị tương đối + Xây dựng công thức cho hàm Green đa phức hình cầu đơn vị £ n với hai cực có trọng + Chỉ tồn hình cầu (kỳ dị cực) đĩa giải tích nhẵn qua hai cực, cho hạn chế hàm Green đa phức tới đĩa điều hoà xa cực Lá đạt cách giải toán cực trị đếm được, tương tự với kết Lempert trường hợp biến miền lồi + Sử dụng biểu thức hàm Green dọc theo tờ lá, xây dựng cơng thức tồn hình cầu Chỉ hàm hàm thuộc lớp  1,1 không thuộc lớp  Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 tài liệu tham khảo [AT1] E Amar and P.J Thomas, A notion of extremal analytic discs related to interpolation in the ball, Mathematische Annalen, 300 (1994), 419-433 [AT2] E Amar and P.J Thomas, Continuity and convergence properties of extremal-interpolating disks, Publicacions Matematiques, 39 (1995) 335-347 [BT] E Bedford and B.A Taylor, The Dirichlet problem for a complex Monge-Ampère equation, Inventiones Mathematicate, 37 (1976), 144 [Br] H.J Bremermann, On the conjecture of the equivalence of the plurisubharmonic functions and the Hartogs functions, Mathematische Annalen, 131 (1956), 76-86 [C1] D.Coman, Pluricomplex Green functions and the complex MongeAmpère operator, Dissertation, The University of Michigan, 1997 [C2 ] D.Coman, The Pluricomplex Green functions with two pole of the unit ball of £ n , Pacific Journal of Mathematics 194, No (2000), 257-283 [D1] J.P Demailly, Mesures de Monge-Ampère et mesures plurisousharmoniques, Mathematische Zeitschrift, 194 (1987), 519-564 [D2] J.P Demailly, Monge-Ampère operators, Lelong numbers and intersection theory, Complex analysis and geometry, Plenum, Newyork, (1993), 115-193 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 [FS] J.E Fornaess and N Sibony, Oka’s inequality for currents and applications, Mathematische Annalen, 301(3) (1995), 399-419 [H1] L Hormander, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, 3rd rev ed., North-Holland, Amsterdam NewYork, 1990 [H2] L Hormander, Notions of Convexity, Birkhauser, Boston-BaselBerlin, 1994 [K1] M.Klimek, Extremal plurisubharmonic functions and invariant pseudodistances, Bulletin de la Société Mathématique de France, 113 (1985), 231-240 [K2] M.Klimek, Pluripotential Theory, Clarendon Press, Oxford, 1991 [L] P Lelong, Fonction de Green pluricomplexe et lemmes de Schwarz dans les espaces de Banach, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées; Neuvieme Serie, 68 (1989), 319-347 [Lm1] L Lempert, La métrique de Kobayashi et la representation des domaines sur la boule, Bulletin de la Société Mathématique de France, 109 (1981), 427-474 [Lm2] L Lempert, Solving the degenerate complex Monge-Ampère equation with one concentrated singularity, Mathematische Annalen, 263 (1983), 515-532 [R] W Rudin, Function Theory in the Unit Ball of C n , Springer- Verlag, New York Heidelberg Berlin, 1980 [S] T.J Suffridge, Commom fixed points of commuting holomorphic maps of the hyperball, Michigan Mathematical Journal, 21 (1974), 309-314 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 ... Ch-¬ng HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI HAI CỰC CỦA HÌNH CẦU ĐƠN VỊ TRONG £ n Trong ch-¬ng chỳng ta s tỡm công thức hm Green đa phức hình cầu đơn vÞ £ n với hai cực có trọng Chỉ tồn hình cầu (kỳ dị cực) đĩa... như: Hàm điều hoà, hàm đa điều hoà, hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực trị, hàm Green phức, hàm Green đa phức, toán tử Monge-Ampere Chương mang tên “ Hàm Green đa phức với hai cực hình cầu. .. 1.1 Hàm điều hoà 1.2 Hàm đa điều hoà 1.3 Hàm đa điều hoà cực đại 12 1.4 Toán tử Monge –Ampe 14 CHƢƠNG HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI HAI CỰC CỦA HÌNH CẦU ĐƠN VỊ TRONG 15 Ên 2.1 Hàm Green đa phức 15 2.2 Hàm