Hàm green đa phức và xấp xỉ các hàm chỉnh hình .pdf

Hàm green đa phức và xấp xỉ các hàm chỉnh hình .pdf

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––– NGUYỄN KIM HOA HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ XẤP XỈ CÁC HÀM CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––– NGUYỄN KIM HOA HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ XẤP XỈ CÁC HÀM CHỈNH HÌNH Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - ĐHTN, Trường THPT Chuyên Tuyên Quang cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 09 năm 2009 Tác giả Nguyễn Kim Hoa Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 CHƢƠNG 1. HÀM GREEN ĐA PHỨC 4 1.1. Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên không gian parabolic. 4 1.2. Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên đa tạp con đại số. 7 1.3. Các số Lelong đối với hàm đa điều hoà dưới. 10 1.4. Hàm Green đa phức với cực logarit trên đa tạp siêu lồi. 11 CHƢƠNG 2. XẤP XỈ CÁC HÀM CHỈNH HÌNH 16 2.1. Bất đẳng thức đa thức trên đa tạp con đại số. 16 2.2. Định lí Bernstein - Walsh trên đa tạp con đại số. 20 2.3. Tiêu chuẩn đại số đối với đa tạp con giải tích. 22 2.4. Đa thức trực chuấn trên đa tạp con đại số . 29 2.5. Hệ trực chuẩn Bergman trên miền siêu lồi. 33 2.6. Hệ Bergman là một cơ sở Schauder trong không gian các hàm chỉnh hình. 40 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết đa thế vị phức được phát triển từ những năm 80 của thế kỷ trước dựa trên các công trình cơ bản của Bedford-Taylor, Siciak, Zahaziuta và nhiều tác giả khác. Đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết này là hàm Green đa phức hay hàm cực trị toàn cục. Hàm Green đa phức với những điểm kỳ dị hữu hạn đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như M.Klimek, J.P. Demailly , E.A. Poletsky, A. Zeriahi, .). Theo hướng này chúng tôi quan tâm đến hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên không gian parabolic, hàm Green đa phức với cực logarit tại vô cùng trên đa tạp con đại số và trên một đa tạp siêu lồi, đồng thời sử dụng các kết quả đạt được cho việc xấp xỉ các hàm chỉnh hình. Vì thế chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: “Hàm Green đa phức và xấp xỉ các hàm chỉnh hình ” 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Trình bày các kết quả của Zeriahi về hàm Green đa phức và xấp xỉ các hàm chỉnh hình. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu về: - Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên không gian parabolic. - Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên đa tạp con đại số. - Hàm Green đa phức với cực logarit trên đa tạp siêu lồi. - Áp dụng các kết quả đạt được để xấp xỉ các hàm chỉnh hình. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 3. Phương pháp nghiên cứu Để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, chúng tôi đã đọc tham khảo các tài liệu trong và ngoài nước, tham khảo và học tập các chuyên gia cùng lĩnh vực nghiên cứu. Đồng thời kế thừa các kết quả và phương pháp của M.Klimek, J.P. Demailly , E.A. Poletsky, A. Zeriahi, . để giải quyết các vấn đề đã nêu ra ở trên. 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 52 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày một số kết quả, những tính chất quan trọng nhất về Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên không gian parabolic. Đó là sự khái quát hoá tự nhiên định nghĩa của hàm cực trị Siciak - Zahariuta trong N. Tiếp theo, chúng tôi trình bày nghiên cứu về hàm Green đa phức với cực logarit tại vô cùng trên đa tạp con đại số và trên một đa tạp siêu lồi. Trong chương 2, chúng tôi trình bày việc mở rộng một vài dạng cổ điển của lý thuyết đa thế vị trong N cho trường hợp của đa tạp con đại số X của N. Chứng minh một vài bất đẳng thức đa thức đã biết giống như bất đẳng thức Bernstein –Markov và sử dụng chúng để trình bày một phép chứng minh mới tiêu chuẩn địa phương Sadullaev về tính đại số của đa tạp con giải tích. Tiếp theo chúng tôi trình bày định lý Berstein- Walsh về xấp xỉ đa thức tốt nhất của các hàm chỉnh hình trên một tập con compact không đa cực K của đa tạp Xvà sử dụng nó, cùng với bất đẳng thức Bernstein-Markov để nghiên cứu các đa thức trực chuẩn. Đặc biệt, chúng tôi chứng minh rằng nếu Klà tập compact L -chính qui, thì các đa thức trực chuẩn làm thành một cơ sở Schauder trong Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 không gian các hàm chỉnh hình trên những miền mức con của hàm Green tương ứng. Phần cuối cùng của chương này, chúng tôi trình bày việc sử dụng hàm đa phức Green với cực logarit đa trọng trên một đa tạp siêu lồi D để xây dựng hệ trực chuẩn Bergman trong không gian trọng Bergman nào đó. Sau đó chúng tôi chỉ ra rằng hệ Bergman này là một cơ sở Schauder thường trong không gian ( )DO và tất cả các không gian các hàm chỉnh hình trên những miền mức con của hàm Green tương ứng. Hơn nữa, chúng tôi chỉ ra rằng hệ trực chuẩn này cho một kết quả chính xác của phép xấp xỉ nội suy đối với các hàm chỉnh hình trên D. Đặc biệt, chúng tôi nhận được một sự mở rộng cho trường hợp đa phức về một kết quả cổ điển của Kadampata và Zahariuta. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chƣơng 1 HÀM GREEN ĐA PHỨC Trong chương này chúng ta sẽ định nghĩa hai dạng hàm Green đa phức và trình bày các tính chất quan trọng của chúng. Cụ thể là trình bày một vài kết quả về hàm Green đa phức trên không gian Stein và hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi. 1.1. Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên không gian parabolic 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử K là một tập con compact của N. Hàm L- cực trị liên kết với K được định nghĩa bởi công thức sau: (1.1) ( ) ( ) ( ){ }log sup ; , / 0 ,nKKl z L z v z v v K z    L , trong đó ( )NL là lớp các hàm đa điều hoà dưới u trên N, sao cho ( ){ }sup log :v x x x    . Hàm này được gọi là hàm L- cực trị Siciak-Zahariuta. Bây giờ giả sử rằng X trong một đa tạp con giải tích bất khả qui của N có số chiều n và K là tập con compact không đa cực của X. Theo một Định lí của Sadulaev, sẽ được nghiên cứu chi tiết hơn trong phần 2.3, chúng ta có ( )K locL L X nếu và chỉ nếu X là tập đại số. Tất cả các không gian Stein được xét ở đây sẽ được giả thiết là bất khả qui. Những hàm đa điều hoà dưới trên một không gian phức đã được nghiên cứu và định nghĩa bởi J.P.Demailly ([Dm1]). Về định nghĩa của toán tử Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Monge-Ampère phức trên những không gian phức chúng tôi đã đề cập tới trong ([Dm1]). Nguyên lí cực đại ở đây đã được đưa ra bởi E. Bedford trong ([Bd] ). Chúng ta chỉ đề cập hai dạng của hàm đa điều hoà dưới được xác định trên một không gian giải tích phức. 1.1.2. Định nghĩa. Hàm [ ]:,uX     gọi là đa điều hoà dưới trên không gian phức X nếu u là giới hạn địa phương của một hàm đa điều hoà dưới trong một phép nhúng địa phương của X. 1.1.3. Định nghĩa. Hàm u gọi là đa điều hoà dưới yếu trên X nếu nó là đa điều hoà dưới trên đa tạp phức của những điểm chính qui của Xvà bị chặn dưới trong một lân cận của mỗi điểm đơn. 1.1.4. Định nghĩa. Không gian Stein X được gọi là parabolic nếu nó có một dãy vét cạn các hàm đa điều hoà dưới liên tục [ ]:,gX     thoả mãn phương trình Monge-Ampère phức thuần nhất, trừ một vài tập con compact của X theo nghĩa dòng, nghĩa là tồn tại 0R    sao cho: (1.2) ( )0ncdd g = trên ( ){ }0;x X g x R. Một hàm như vậy sẽ được gọi là thế vị parabolic trên X . Giả sử EX, chúng ta kết hợp với E hàm cực trị sau: (1.3) ( )( )( ){ }: sup ; , , / 0 ,Eg X v x v X g v E x X   L Trong đó ( ),XL g là ký hiệu lớp hàm đa điều hoà dưới v trên X, sao cho ( ) ( ){ }sup ; .v x g x x X+     Với tập con mở khác rỗng cố định UX, ta kết hợp mỗi tập con EX, dung lượng của nó đối với U, được xác định bởi công thức : (1.4) ( ) ( )( ){ }( ); ; exp sup ; .gEcap E U cap E U g x x U    [...]... a iu hũa di chp nhn c j trờn D , ta kt hp vi mt hm Green a phc tng quỏt c cho bi cụng thc sau: GD (z ; j ) = sup { (z ); u ẻ P0(D, j )}, u trong ú P0(D, j ) ký hiu l lp cỏc hm a iu hũa di u trờn D sao cho u Ê 0 trờn D v n(u;.) n(j ;.) trờn D Vớ d 3 Gi s D l mt min siờu li trong Ê N v j a (z ) := log z - a , a ẻ D Khi ú hm G D (.; j a ) trựng vi hm Green a phc G D (.;a ) vi cc logarit ti im a , nú... A := { a1, n1 ), ,(a p , n p )} é D R + v tp S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 12 http://www.lrc-tnu.edu.vn p j A (z ) = ồ n j log z - a j , z ẻ D j=1 Khi ú hm Green GD (.; j A ) = GD (.; A ) kt hp vi hm chp nhn c l hm Green a phc vi mt s hu hn cỏc cc trng s c xột bi Lelong ([Ll ]) v Zahariuta ([Zh2]) Theo Demailly v Lelong, hm GD (.; A ) l liờn tc v tha món phng trỡnh Monge - Ampốre phc:... Â- y l iu ho trờn D Vỡ th SG = SG = S y = K v vỡ G v G Â tin ti 0 ti biờn ca D , nờn theo nguyờn lý cc i suy ra G = G Â Do ú S G = K Tc l tp cc ca hm Green trựng vi tp compact cc K ó cho Bõy gi, chỳng ta xột mt nh lý quan trng sau: 1.4.1 nh lý Hm Green G = G D (.; j ) l hm duy nht tho món cỏc tớnh cht sau: i) G ẻ PSH (D ) ầ LƠ (D \ K ), loc trong ú K = S j z đ ảD ii ) G (z ) đ 0 khi iii ) n(G ,... ) c , c > 0 , l tp con gii tớch ca D c bit, nu u - 1(- Ơ ) é D , thỡ cỏc tp hp A(u, c)(c > 0) l cỏc tp con hu hn ca D S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 11 http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.4 Hm Green a phc vi cc logarit trờn a tp siờu li T bõy gi tr i, ta luụn gi s rng D l mt a tp siờu li cú s chiu thun tỳy n theo ngha Stehlộ ([Ste]) ngha l tn ti mt hm chnh hỡnh thc s r : D đ [ 1, 0) Gi s j... , g )-cc, ngha l tn ti v ẻ L (X , g ); v / - Ơ sao cho v/ E - Ơ (iV) capg (E ;U ) = 0 , vi tp con m no ú U é X * Hn na, nu E l khụng a cc trong X , thỡ gE ẻ L (X , g) * 1.1.6 nh ngha Hm gE gi l hm Green a phc ca E vi cc ti vụ cựng trờn khụng gian parabolic (X , g ) 1.1.7 nh lớ ([Zr]) Gi s K l mt tp con compact khụng a cc ca X Khi ú cỏc tớnh cht sau xy ra : (i ) Tn ti mt hm s g > 0 sao cho: * -... (iii ) ln u tiờn c chng minh i vi o cõn bng tng i trong ([Ng-Zr]), ú nú ó c s dng khỏi quỏt hoỏ mt vi bt ng thc a thc quan trng ging nh (L* ) -iu kin, úng vai trũ quan trng trong lý thuyt xp x 1.2 Hm Green a phc vi cc ti vụ cựng trờn a tp con i s Gi s X l mt a tp con i s bt kh qui ca Ê N cú s chiu n Theo tiờu chun ca Rudin v Sadullaev ([Rd],[Sd]), tn ti mt phộp bin i n S húa bi Trung tõm Hc liu i... dóy a { j }j 1 cỏc im cc tr trong K v dóy { j }j 1 cỏc s thc dng sao cho e hm c nh ngha bi : +Ơ y (z ) = ồ e j log z - a j j=1 l iu hũa di trờn Ê , iu hũa trờn Ê \ K v S y = y - 1 (- Ơ )= K Khi ú hm Green ca D kt hp vi hm iu hũa di chp nhn c y , hm m chỳng ta ó ký hiu l G , trựng vi hm G Â(z ) = Ơ ồ ejG D (z , a j ) vi z ẻ D v j=1 SG = { ẻ D;G (z ) = - Ơ } z = S y = { ẻ D ; y (z ) = - Ơ } z S húa... U é X , vi bt k tp compact K é X , chỳng ta cú: capg (K ,U ) = t (K ,U ) õy dung lng cú th tớnh toỏn c i vi th v parabolic g xỏc nh trờn X bi cụng thc (1.7) Trong phn tip theo, chỳng ta s nh ngha hm Green a phc vi trng k d logarit trờn a tp siờu li 1.3 Cỏc s Lelong i vi hm a iu hũa di Cho D l mt tp con m trong Ê N v ký hiu P SH (D ) l nún cỏc hm a iu hũa di u : D đ [ Ơ , + Ơ ] trờn D khụng ng nht... j z đ ảD ii ) G (z ) đ 0 khi iii ) n(G , a ) = n(j , a ), " a ẻ D, c bit G (a ) = - Ơ iv ) nu n(j , a ) > 0 (dd cG )n = (2p)n ồ u( j ; a) n da theo ngha dũng trờn D a ẻ Aj Chng minh: Ký hiu G l hm Green G D (.; j ) S dng hm vột cn b chn r , chỳng ta cú th ct hm j ngoi mt lõn cn ca tp compact S j v xõy dng mt hm a iu ho di j tho món j + b = j trờn mt lõn cn ca S j v j%= a r trờn mt lõn cn ca biờn... ca biờn ca D , nờn suy ra ii ) c tho món Vỡ j + b = j trờn mt lõn cn ca S j , nờn ta kt lun: n ( ;.) Ê n(j ;.) trờn D G Bõy gi xột mt dóy tng (A j ) cỏc tp hu hn sao cho Aj = UA j j Ký hiu G j l hm Green a phc trờn D liờn kt vi hm chp nhn c j j (z ) := ồ n(j ;a ) log z - a Rừ rng (G j ) l mt dóy gim cỏc hm a a ẻ Aj iu ho di trờn D sao cho G (.; j ) Ê G j , " j Vỡ th gii hn G = lim G j jđ + Ơ . dụng các kết quả đạt được cho việc xấp xỉ các hàm chỉnh hình. Vì thế chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: Hàm Green đa phức và xấp xỉ các hàm chỉnh hình. là trình bày một vài kết quả về hàm Green đa phức trên không gian Stein và hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi. 1.1. Hàm Green đa phức với cực tại