Hàm green đa phức và xấp xỉ các hàm chỉnh hình .pdf

Hàm green đa phức và xấp xỉ các hàm chỉnh hình .pdf

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG

THÁI NGUYÊN - 2009

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi

cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - ĐHTN, Trường THPT Chuyên Tuyên Quang cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, tháng 09 năm 2009

Tác giả

MỤC LỤC

Trang

1.1 Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên không gian parabolic

4

1.2 Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên đa tạp con đại số 7 1.3 Các số Lelong đối với hàm đa điều hoà dưới 10 1.4 Hàm Green đa phức với cực logarit trên đa tạp siêu lồi 11

CHƯƠNG 2 XẤP XỈ CÁC HÀM CHỈNH HÌNH 16 2.1 Bất đẳng thức đa thức trên đa tạp con đại số 16 2.2 Định lí Bernstein - Walsh trên đa tạp con đại số 20 2.3 Tiêu chuẩn đại số đối với đa tạp con giải tích 22 2.4 Đa thức trực chuấn trên đa tạp con đại số 29 2.5 Hệ trực chuẩn Bergman trên miền siêu lồi 33 2.6 Hệ Bergman là một cơ sở Schauder trong không gian các

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết đa thế vị phức được phát triển từ những năm 80 của thế kỷ trước dựa trên các công trình cơ bản của Bedford-Taylor, Siciak, Zahaziuta và nhiều tác giả khác Đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết này là hàm Green đa phức hay hàm cực trị toàn cục Hàm Green đa phức với những điểm kỳ dị hữu hạn đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như M.Klimek, J.P Demailly , E.A Poletsky, A Zeriahi, ) Theo hướng này chúng tôi quan tâm đến hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên không gian parabolic, hàm Green đa phức với cực logarit tại vô cùng trên đa tạp con đại số và trên một đa tạp siêu lồi, đồng thời sử dụng các kết quả đạt được cho việc xấp xỉ các hàm chỉnh hình Vì thế

chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: “Hàm Green đa phức và xấp xỉ các hàm

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung nghiên cứu về:

- Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên không gian parabolic - Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên đa tạp con đại số - Hàm Green đa phức với cực logarit trên đa tạp siêu lồi

- Áp dụng các kết quả đạt được để xấp xỉ các hàm chỉnh hình

3 Phương pháp nghiên cứu

Để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, chúng tôi đã đọc tham khảo các tài liệu trong và ngoài nước, tham khảo và học tập các chuyên gia cùng lĩnh vực nghiên cứu Đồng thời kế thừa các kết quả và phương pháp của M.Klimek, J.P Demailly , E.A Poletsky, A Zeriahi, để giải quyết các vấn đề đã nêu ra ở trên

4 Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 52 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày một số kết quả, những tính chất quan trọng nhất về Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên không gian parabolic Đó là sự khái quát hoá tự nhiên định nghĩa của hàm cực trị Siciak - Zahariuta trong £N Tiếp theo, chúng tôi trình bày nghiên cứu về hàm Green đa phức với cực logarit tại vô cùng trên đa tạp con đại số và trên một đa tạp siêu lồi

Trong chương 2, chúng tôi trình bày việc mở rộng một vài dạng cổ điển của lý thuyết đa thế vị trong £N cho trường hợp của đa tạp con đại số X của

£ Chứng minh một vài bất đẳng thức đa thức đã biết giống như bất đẳng thức Bernstein –Markov và sử dụng chúng để trình bày một phép chứng minh mới tiêu chuẩn địa phương Sadullaev về tính đại số của đa tạp con giải tích Tiếp theo chúng tôi trình bày định lý Berstein- Walsh về xấp xỉ đa thức tốt nhất của các hàm chỉnh hình trên một tập con compact không đa cực K của đa tạp

X và sử dụng nó, cùng với bất đẳng thức Bernstein-Markov để nghiên cứu các đa thức trực chuẩn Đặc biệt, chúng tôi chứng minh rằng nếu K là tập compact

không gian các hàm chỉnh hình trên những miền mức con của hàm Green tương ứng

Phần cuối cùng của chương này, chúng tôi trình bày việc sử dụng hàm đa phức Green với cực logarit đa trọng trên một đa tạp siêu lồi D để xây dựng hệ trực chuẩn Bergman trong không gian trọng Bergman nào đó Sau đó chúng tôi chỉ ra rằng hệ Bergman này là một cơ sở Schauder thường trong không gian

O và tất cả các không gian các hàm chỉnh hình trên những miền mức con của hàm Green tương ứng Hơn nữa, chúng tôi chỉ ra rằng hệ trực chuẩn này cho một kết quả chính xác của phép xấp xỉ nội suy đối với các hàm chỉnh hình trên D Đặc biệt, chúng tôi nhận được một sự mở rộng cho trường hợp đa phức về một kết quả cổ điển của Kadampata và Zahariuta

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

Chương 1

HÀM GREEN ĐA PHỨC

Trong chương này chúng ta sẽ định nghĩa hai dạng hàm Green đa phức và trình bày các tính chất quan trọng của chúng Cụ thể là trình bày một vài kết quả về hàm Green đa phức trên không gian Stein và hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi

1.1 Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên không gian parabolic

1.1.1 Định nghĩa Giả sử K là một tập con compact của £N Hàm L- cực trị liên kết với K được định nghĩa bởi công thức sau:

Hàm này được gọi là hàm L - cực trị Siciak-Zahariuta

Bây giờ giả sử rằng X trong một đa tạp con giải tích bất khả qui của £N

có số chiều n và K là tập con compact không đa cực của X Theo một Định lí của Sadulaev, sẽ được nghiên cứu chi tiết hơn trong phần 2.3, chúng ta có

( )

L Î L¥ X nếu và chỉ nếu X là tập đại số

Tất cả các không gian Stein được xét ở đây sẽ được giả thiết là bất khả qui Những hàm đa điều hoà dưới trên một không gian phức đã được nghiên

Monge-Ampère phức trên những không gian phức chúng tôi đã đề cập tới trong ([Dm1]) Nguyên lí cực đại ở đây đã được đưa ra bởi E Bedford trong ([Bd] ) Chúng ta chỉ đề cập hai dạng của hàm đa điều hoà dưới được xác định trên một không gian giải tích phức

1.1.2 Định nghĩa Hàm u X ® - ¥ + ¥: [ , ] gọi là đa điều hoà dưới trên không gian phức X nếu u là giới hạn địa phương của một hàm đa điều hoà dưới trong một phép nhúng địa phương của X

1.1.3 Định nghĩa Hàm u gọi là đa điều hoà dưới yếu trên X nếu nó là đa điều hoà dưới trên đa tạp phức của những điểm chính qui của Xvà bị chặn dưới trong một lân cận của mỗi điểm đơn

1.1.4 Định nghĩa Không gian Stein X được gọi là parabolic nếu nó có một dãy vét cạn các hàm đa điều hoà dưới liên tục g X ® - ¥ + ¥: [ , ] thoả mãn phương trình Monge-Ampère phức thuần nhất, trừ một vài tập con compact của

X theo nghĩa dòng, nghĩa là tồn tại R ³ - ¥ sao cho: 0

Ví dụ 1 Giả sử X = £N, và định nghĩa g z( )= l z( )= log z , z Î £ , trong nđó z là chuẩn trên £N Một cách địa phương trên £N \ 0{ }, hàm l z( ) chỉ phụ thuộc vào (N - l) biến gần với một hàm đa điều hoà Khi đó nó thoả mãn phương trình Monge-Ampère phức:

(1.5) (dd lc )N = 0 trên £N \ 0{ } Điều này có nghĩa l là một thế vị parabolic trên £N

Khi đó hàm cực trị g kết hợp với thế vị parabolic Eg = l bởi công thức (1.3) còn hàm cực trị Siciak-Zahariuta lE định nghĩa theo (1.1) (xem định lý 1.2.1 phần sau) Chẳng hạn nếu Br¢ =: {z Î £N; z £ r} với r > 0, thì dễ dàng thấy rằng:

l ¢ z = + zrz Î £

Tổng quát hơn, nếu g là một thế vị parabolic trên một không gian Stein X , sử dụng nguyên lí cực đại đối với toán tử Monge-Ampère phức, ta có tổng quát hoá của công thức sau cùng: với Kr = {x Î X :g x( )£ logr} thì

gK r( )x = (g x( )- logr)+ ( )x := max{g x( )- log , 0 ,r } x Î X r, > R0

Ví dụ 2 Nếu X là một không gian Stein và p :X ® £N

là một ánh xạ chỉnh hình thực sự thì hàm định nghĩa bởi g x( )= log p( )x , x Î X , là một thế vị parabolic trên X , theo phương trình (1.5) và tính bất biến của phương trình Monge-Ampère phức thuần nhất, như vậy X là một không gian Stein parabolic Bây giờ chúng ta nhắc lại các kết quả quan trọng sau:

1.1.5 Định lí ([Zr]) Cho tập con E Ð X, các điều kiện sau là tương đương:

(i) E là đa cực trong X

(ii) gE* º + ¥ , trên X

(iii) E là L(X g, )-cực, nghĩa là tồn tại v Î L(X g v, ); º/ - ¥ sao cho

v E º - ¥

(iV) cap E U =g( ; ) 0 , với tập con mở nào đó U Ð X

Hơn nữa, nếu E là không đa cực trong X, thì gE* Î L(X g, )

1.1.6 Định nghĩa Hàm gE* gọi là hàm Green đa phức của Evới cực tại vô cùng trên không gian parabolic(X g, )

1.1.7 Định lí ([Zr]) Giả sử Klà một tập con compact không đa cực của X Khi đó các tính chất sau xảy ra :

( )i Tồn tại một hàm số g > 0 sao cho:

- g + g+ ( )x £ gK* ( )x £ g + g+ ( )x , " ÎxX

( )ii Phương trình Monge – Ampère phức xảy ra theo nghĩa dòng: (dd gcK* )n = 0 trên X \ K

(iii) Độ đo cân bằng lK := (dd gcK* )n thoả mãn tính chất:

Nếu B Ð K là tập borelian sao cho lK ( )B = lK ( )K thì gB* º gK* trên X

Tính chất (iii) lần đầu tiên được chứng minh đối với độ đo cân bằng tương đối trong ([Ng-Zr]), ở đó nó đã được sử dụng để khái quát hoá một vài bất đẳng thức đa thức quan trọng giống như ( )L* -điều kiện, đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết xấp xỉ

1.2 Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên đa tạp con đại số

Giả sử X là một đa tạp con đại số bất khả qui của £N có số chiều n Theo tiêu chuẩn của Rudin và Sadullaev ([Rd],[Sd]), tồn tại một phép biến đổi đơn

vị các toạ độ s :£N ® £N, sao cho tồn tại một hằng số c > 0, với tính chất sau:

(dd gc )n = 0 trên 1({ })

Xp-

Theo nghĩa dòng Vì thế g là một thế vị parabolic trên X , theo (1.6) thoả mãn

ước lượng sau:

(1.8) - +c log+ x £ g+ ( )x £ c+ log+ x ," ÎxX,

trong đó c là hằng số dương nào đó

Từ ước lượng (1.8), suy ra với bất kỳ E Ð X , ta có bất đẳng thức sau : ( )( )

trong đó I X( ) là ideal đa thức của X Với mỗi số nguyên dương d ³ 1, ta ký hiệu A Xd( )là không gian tuyến tính các hàm f Î A X( ) là hạn chế lên X của đa thức trong N biến số phức có bậc không vượt quá d Đặc biệt, hàm như thế thỏa mãn sup{(1+ x )-df x( );x Î X}< + ¥

đề 4.1)

Khi đó Định lý được suy ra từ Bổ đề xấp xỉ sau (xem [Zr], Bổ đề 5.2):

1.2.2.Bổ đề Cho v Î Lc( )X Khi đó với bất kỳ tập con compact E Ð X và

Chứng minh chi tiết hơn (xem [Zr])

Kết quả này có một hệ quả thú vị, bây giờ chúng ta sẽ mô tả nó

Cho uU Ð X là một tập con mở, cố định, khác rỗng Với một tập compact

K Ð X và d Î ¥*, định nghĩa hằng số Chebyshev dth của K đối với U giống như hằng số sau:

Hằng số này được gọi là hằng số Chebyshev của K đối với U

Kết quả sau là hệ quả của Định lý 1.2.1:

1.2.3 Hệ quả Cho một tập con mở khác rỗng U Ð X, với bất kỳ tập compact K Ð X, chúng ta có:

1.3 Các số Lelong đối với hàm đa điều hòa dưới

Cho D là một tập con mở trong £N và ký hiệu P SH( )D là nón các hàm đa điều hòa dưới u D ® - ¥ + ¥: [ , ] trên D không đồng nhất với - ¥

trên bất kỳ thành phần nào của D

Cho u Î P SH( )D, với a Î D và 0< r < da = dist z( ,£N \ D), đặt

M a ru a

B a ru a

b là dạng tiêu chuẩn Kalherian của £N Số được định nghĩa trong công thức

(1.9) được gọi là số Lelong của dòng dd uc tại điểm a, hoặc là mật độ của u tại

điểm a Số Lelong không phụ thuộc vào việc thay đổi chỉnh hình của các tọa

độ (xem [Dm3]) Do đó có thể định nghĩa số Lelong đối với các hàm đa điều hoà dưới trên các đa tạp phức

Theo một định lý của Siu ([Su]), với u Î P SH( )D, các tập hợp

A u c( , ) := {z Î D; ( , )nu z ³ c},c > 0,

là tập con giải tích của D Đặc biệt, nếu u-1(- ¥ Ð) D, thì các tập hợp A u c c >( , )( 0) là các tập con hữu hạn của D

1.4 Hàm Green đa phức với cực logarit trên đa tạp siêu lồi

Từ bây giờ trở đi, ta luôn giả sử rằng D là một đa tạp siêu lồi có số chiều thuần túy n theo nghĩa Stehlé ([Ste]) nghĩa là tồn tại một hàm chỉnh hình thực sự

là trù mật trong Sj và giao với mỗi thành phần của D

Một hàm như vậy được gọi là hàm đa điều hòa dưới chấp nhận được trên D

Với mỗi hàm đa điều hòa dưới chấp nhận được j trên D, ta kết hợp với một hàm Green đa phức tổng quát được cho bởi công thức sau:

: ( , ), ,( ,pp)

Theo Demailly và Lelong, hàm GD(.; )A là liên tục và thỏa mãn phương trình Monge - Ampère phức:

theo nghĩa dòng trên D

Ví dụ 4. Giả sử D là một miền bị chặn của £ , chính quy đối với bài toánDirichlet cổ diển và K là tập con compact cực của D Khi đó tồn tại một dãy

{ }ajj 1

³ các điểm cực trị trong K và dãy { }ejj 1

³ các số thực dương sao cho hàm được định nghĩa bởi :

Thật vậy, rõ ràng

jj aj

Do đó SG = K Tức là tập cực của hàm Green trùng với tập compact cực K

đã cho

Bây giờ, chúng ta xét một định lý quan trọng sau:

1.4.1 Định lý. Hàm Green G = GD(.;j ) là hàm duy nhất thoả mãn các tính chất sau:

= å theo nghĩa dòng trên D

Chứng minh: Ký hiệu G là hàm Green GD(.; )j Sử dụng hàm vét cạn bị chặn

r , chúng ta có thể cắt hàm j ngoài một lân cận của tập compact Sj và xây dựng một hàm đa điều hoà dưới j° thoả mãn j°+b=j trên một lân cận của

S và j%=ar trên một lân cận của biên của D, trong đó a>0,b là hằng

số thực Điều đó đã chứng minh rằng P D j0( , )¹ Æ và cho lời giải đầy đủ, đó là:

a A

zazajn j

= å - Rõ ràng (Gj) là một dãy giảm các hàm đa điều hoà dưới trên D sao cho (.; )Gj £ Gj, "j Vì thế giới hạn ° lim

® + ¥

là đa điều hoà dưới trên D và thoả mãn bất đẳng thức G £ G° trên D Dễ dàng

thấy rằng từ định nghĩa G £° 0 và n( )G%; ³ n j( ;.) trên D, suy ra G° £ G trên

Chương 2

XẤP XỈ CÁC HÀM CHỈNH HÌNH

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày xấp xỉ đa thức tốt nhất và tính đại số đồng thời trình bày xấp xỉ tốt nhất của hàm chỉnh hình trên miền siêu lồi

2.1 Bất đẳng thức đa thức trên đa tạp con đại số

Giả sử X là một đa tạp con đại số của £N có số chiều n Giả sử K là một tập con compact của X và m là một độ đo dương trên K

2.1.1 Định nghĩa Cặp ( , )K m) được gọi là thoả mãn điều kiện ( )L* tại một điểm x0 nếu với mọi họ F Ð A( )X, thoả mãn sup{f x( ); f Î F }< + ¥

m- hầu khắp nơi trên K, thì với mọi b > 1 họ

đo cân bằng là một độ đo determining trên K

2.1.3 Định lý Cho K là một tập con compact không đa cực của X và m là một độ đo dương trên K Khi đó các mệnh đề sau xảy ra:

(1) Giả sử m là độ đo determining trên K Khi đó với mọi họ F Ð A( )X, sao cho sup{f x( ); f Î F }< + ¥ m- hầu khắp nơi trên K, ta có:

f xffdgxd

*® + ¥

Từ (2.1) suy ra K là L-chính quy tại x0, khi đó ( , )K m thoả mãn điều kiện

Để chứng minh mệnh đề (2) của Định lýýý, ta chỉ cần chứng minh rằng nếu

E Ð K là một tập con borelian sao cho m( )E = m(K ) và cố định v Î L( )X

sao cho u/ E £ 0 Ta sẽ chứng minh u/ K £ 0 Giả sử tồn tại x0 Î K và 0

bị chặn đều trong một lân cận của x0, điều này kéo theo v x( 0)£e và dẫn tới

Trong £N điều kiện ( )L* đã được nghiên cứu bởi Nguyen T.V ([Ng]) và khái niệm độ đo determining đã được giới thiệu bởi Levenberg ([Lv]), người đã chứng minh phần hai của định lí trong trường hợp này

Bây giờ chúng ta quan tâm đến hệ quả sau là sự hoàn thiện của bất đẳng thức

Bernstein-Markov

2.1.4 Định lí Giả sử K là một tập con compact không đa cực của X và m

là một độ đo determining trên K Khi đó với bất kỳ số mũ p > 0, và bất kỳ

Vì K không đa cực trong X, và m là một độ đo determining trên K

nên theo Định lí 1.1.5 suy ra với mọi f Î A X( ),f ¹ 0, thì fp,m > 0 Để chứng minh (BM)p, thì ta chỉ cần chứng minh ước lượng sau:

lim sup(sup{ K / p, ; d( ), 0}) 0( ).

Giả sử rằng đảo lại là đúng, khi đó tồn tại một số thực rj > r K0( ), một dãy

tăng các số nguyên dương ( )djj 1

³ , và một dãy hàm đa thức khác không ( )fjj 1

(2.3) 1

³ " Î ¥j * Tiếp theo xét dãy:

Fj xg xxXd

2.2 Định lí Bernstein-Walsh trên đa tạp con đại số

Trong mục này chúng ta giả sử X là một đa tạp con đại số n -chiều của N

£ , và giữ nguyên các kí hiệu như trong 1.2

Với một tập con mở WÐ X , ký hiệu O( )W là không gian Frechet các hàm chỉnh hình trên W, với tôpô hội tụ đều địa phương trên W Với một tập con compact K Ð X, kí hiệu O( )K là không gian mầm các hàm chỉnh hình trong một lân cận củaK , được trang bị tôpô giới hạn qui nạp

Cho f là một hàm phức liên tục trên một tập compact K Ð X, ta định

nghĩa:

(2.5) ed( ,f K) := inf{ f - PK ;P Î Ad( )},Xd Î ¥ *

Đó là sai số bậc d trong xấp xỉ tốt nhất của f bởi đa thức theo chuẩn đều

trên K

Ta có ước lượng đối với tốc độ hội tụ tới 0 của sai số này

2.2.1 Định lý Cho K là tập con compact không đa cực của X, sao cho gK*

là đa điều hoà dưới trên X Khi đó với mọi r > r K0( ):= supK(expgK* ) và với mọi q > 0, tồn tại một hằng số c r q >( , ) 0 sao cho:

rd

X và nó có thể cho một dạng yếu của Định lí Berstein-Walsh theo cách sau đây: Cho hàm đa điều hoà dưới và vét cạn v Î L( )X , tập

W Ð W (xem [Zr])

2.3 Tiêu chuẩn đại số đối với đa tạp con giải tích

Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày tiêu chuẩn địa phương về tính đại số của đa tạp con giải tích của £N

Giả sử Y là một đa tạp con giải tích bất khả qui của £N có số chiều n Kí hiệu

Với một tập con mở không rỗng cố định U ÐY , ta có thể dễ dàng định nghĩa như trong trường hợp đại số, hằng số Chebyshev của tập compact K đối với U trong Y bởi công thức:

(1) Y là đa tạp con đại số của £N

(2) Tồn tại một thế vị parabolic g Y ® - ¥ + ¥: [ , ] trên Ysao cho

(3) Tồn tại một tập con compact E Ð Ysao cho LE Î Lloc¥ ( )Y

(4) Tồn tại một tập con mở khác rỗng U ÐY và một tập con compact E Ð Y

sao cho t( , )E U > 0

Chứng minh: Điều kiện (1) Þ (2) theo tiêu chuẩn Rundin - Sadullaev xem trong ([Rd], [Sd]), giống như trong mục 1.2, ở đó nó đã được sử dụng để xây dựng một thế vị parabolic thoả mãn (1.8)

( )2 Þ ( )3 là rõ ràng bởi vì (2) suy ra với bất kỳ tập compact E Ð Y ta có

lp £ g trên X , và theo Định lí 1.1.5 nếu E không đa cực trong Y , thì g là E

bị chặn địa phương trên Y Vậy (3) được chứng minh Nếu (3) thoả mãn thì theo định nghĩa của L ta có: E

(4) Þ (1): Trước tiên chú ý rằng do (4), R := 1/ t (E U, )< + ¥ và ta có: (2.7) f z( ) £ fERd," ÎzU," Îf Ad( )Y ," Îd ¥*

Trước tiên chúng ta chứng minh nhận xét sau:

Nhận xét: Với mọi tập mở, liên thông khác rỗng U0 Ð U và mọi tập con compact không đa cực K Ð U0, ta có t (K U, 0)> 0