Hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)

Hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ TUYẾT HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ HÀM GREEN THỰC TRÊN CÁC MIỀN KHẢ LỒI PHỨC KIỂU HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 46 01 02 Giáo viên hướng dẫn: TS DƯƠNG QUANG HẢI Thái Nguyên - Năm 2018 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2018 Người viết luận văn Nguyễn Thị Tuyết i Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Dương Quang Hải, người thầy tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Tốn tồn thể thầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên truyền thụ cho kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi ý kiến đóng góp q báu suốt q trình học tập thực luận văn Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Tuyết ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Lời nói đầu Chương Một số kiến thức 1.1 Một số khái niệm 1.2 Hàm Green thực 1.3 Hàm Green đa phức 1.4 Miền C-khả lồi địa phương kiểu hữu hạn 10 Chương Hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển miền giả lồi chặt Cn 13 2.1 Một số đánh giá cận hàm Green thực cổ điển 13 2.2 Một số đánh giá cận hàm Green đa phức 14 2.3 Đánh giá thương hai hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển miền giả lồi chặt Cn 19 Chương Hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển số miền giả lồi yếu 3.1 23 Đánh giá thương hai hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển số miền khả lồi địa phương 23 iii 3.2 Đánh giá thương hai hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển số miền C-khả lồi địa phương kiểu hữu hạn 33 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 iv Lời nói đầu Các hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển đối tượng nghiên cứu đóng vai trò quan trọng lý thuyết đa vị phức Đó lớp hàm điều hòa đa điều hòa có nhiều ứng dụng nên nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu như: Siciak,P Lelong, Zaharjuta, Klimek, Dan Coman, Zeriahi, Magnusson, đạt nhiều kết sâu sắc Một số kết hàm Green đa phức với cực logarit đa tạp siêu lồi hàm Green đa phức với cực hữu hạn đặc biệt nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học P Lelong, Klimek, Zaharjuta, E Amar, Dan Coman, Demailly, P.J.Thomas, Tuy nhiên, tính chất hàm Green đa phức với nhiều cực biết chưa nghiên cứu đầy đủ Đặc biệt, năm gần mối quan hệ hàm Green đa phức với hàm Green thực cổ điển (là nghiệm toán Dirichlet toán tử Laplace) miền bị chặn Cn nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học Magnus Carlehed, Bo-Yong Chen, N Nikolov, P J Thomas Cụ thể, nghiên cứu thương h(x, y) = gD (x, y)/GD (x, y) hai hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển miền bị chặn D Cn Vì hàm h(x, y) hội tụ đến x, y hội tụ đến điểm D nên hàm h mở rộng thành hàm liên tục khơng âm D × D Một câu hỏi đặt hàm h bị chặn D × D? Năm 1997, M Carlehed chứng minh hàm h bị chặn số 22n−3 /(n − 1) hình cầu đơn vị Cn Hằng số đánh giá tốt hàm h hình cầu đơn vị Tiếp đó, M Carlehed chứng minh tính bị chặn thương hai hàm Green miền giả lồi chặt Năm 2002, Bo-Yong Chen tổng quát hóa kết M Carlehed miền lồi kiểu hữu hạn Nằm tính thời này, chúng tơi lựa chọn đề tài “Hàm Green đa phức hàm Green thực miền khả lồi phức kiểu hữu hạn” nhằm mục đích nghiên cứu ước lượng cận hàm Green Đồng thời, nghiên cứu tính bị chặn hàm thương gD /GD hai hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển số miền giả lồi yếu D Cn Luận văn trình bày số kết nghiên cứu gần năm 2018 N Nikolov, P J Thomas so sánh hai hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển trình bày tài liệu tham khảo [9] Bố cục luận văn gồm ba chương nội dung chính, có phần lời nói đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày số kiến thức lý thuyết đa vị phức hàm nửa liên tục trên, hàm đa điều hòa dưới, hàm Green thực hàm Green đa phức, Trình bày số hàm giả khoảng cách số định nghĩa tính chất hình học miền Cn miền Ckhả lồi, miền C - khả lồi địa phương kiểu hữu hạn Đây kiến thức tảng phục vụ cho việc nghiên cứu chương sau Chương 2: Hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển miền giả lồi chặt Cn Trong chương này, chúng tơi trình bày kết đánh giá cận hàm Green đa phức miền lồi chặt giả lồi chặt, bị chặn Cn nghiên cứu tính bị chặn thương hai hàm Green đa phức gD /GD miền Chương 3: Là nội dung luận văn, trình bày số kết N Nikolov, P J Thomas so sánh hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển số miền giả lồi yếu Cn Cụ thể, chương nghiên cứu đánh giá cận hàm Green đa phức số miền C-khả lồi địa phương với biên kiểu hữu hạn tổng quát hơn, nghiên cứu miền C-khả lồi địa phương kiểu hữu hạn Cuối cùng, nghiên cứu tính bị chặn thương hai hàm Green đa phức gD /GD số miền giả lồi yếu Cn Chương Một số kiến thức Trong chương này, luận văn giới thiệu số khái niệm phục vụ cho nghiên cứu chương sau 1.1 Một số khái niệm Trước hết, có số khái niệm giải tích Định nghĩa 1.1.1 (Miền Lipschitz) Một miền bị chặn D, compact tương đối Rn gọi miền Lipschitz (hay miền với biên Lipschitz) mặt địa phương, biên ∂D đồ thị hàm Lipschitz Một hàm ψ : Rn−1 → R gọi thỏa mãn điều kiện Lipschitz tồn số M cho |ψ(y ) − ψ(x )| ≤ M |y − x | với y , x ∈ Rn−1 Như vậy, miền bị chặn D gọi Lipschitz gần điểm biên p ∈ ∂Ω, tồn lân cận U p cho D ∩ U = (x , xn ) ∈ U |xn > ψ(x ) , với hàm Lipschitz ψ Định nghĩa 1.1.2 Cho U tập mở Cn u : U → R khả vi lớp C (U ) Ký hiệu ∆ toán tử Laplace, tức n ∆u = i=1 ∂ 2u ∂x2i Một hàm h : U → R khả vi lớp C (U ) gọi hàm điều hòa U ∆h = U Chẳng hạn, hàm h := Ref , với f hàm chỉnh hình miền D ⊂ C hàm điều hòa D Định nghĩa 1.1.3 Cho X không gian tôpô, hàm u : X → [−∞, +∞) gọi nửa liên tục trên X với α ∈ R tập mở {x ∈ X : u(x) < α} mở X Định nghĩa 1.1.4 Giả sử Ω tập mở C Hàm u : Ω → [−∞, +∞) gọi điều hòa Ω nửa liên tục trên Ω, u ≡ −∞ thành phần liên thông Ω thỏa mãn bất đẳng thức trung bình Ω, nghĩa với ω ∈ Ω tồn 0≤r< > cho với ta có u(ω) ≤ 2π 2π u(ω + reit )dt Định nghĩa 1.1.5 Cho Ω tập mở Cn u : Ω → [−∞, +∞) hàm nửa liên tục không trùng với −∞ thành phần liên thơng Ω Hàm u gọi đa điều hòa với a ∈ Ω b ∈ Cn , hàm λ → u(a + λb) điều hòa trùng −∞ thành phần tập hợp {λ ∈ Cn : a + λb ∈ Ω} Trong trường hợp này, ta viết u ∈ P SH(Ω) (Ở kí hiệu P SH(Ω) lớp hàm đa điều hòa Ω) Ký hiệu P SH_ (Ω) tập hàm đa điều hòa âm Ω Định nghĩa 1.1.6 Một miền bị chặn Ω ⊂ Cn gọi miền siêu lồi tồn hàm đa điều hòa âm, liên tục ρ : Ω → (−∞, 0) cho với c < Ωc = {z ∈ Ω : ρ(z) < c} Ω Chẳng hạn, miền lồi chặt (hay giả lồi chặt, với biên lớp C ) miền siêu lồi Chứng minh Cho D miền thuộc 2m-kiểu hữu hạn Chọn điểm a ∈ ∂D có 2m-kiểu hữu hạn Khi đó, tồn lân cận U0 a phép nhúng chỉnh hình Φ : U0 → Cn cho Ω := Φ(D ∩ U0 ) miền C- lồi Đặt u := Φ(u) Vì |z − w | u, z, w ∈ U1 |z − w| δΩ (u ) δD (u) với U , lΩ (z , w ) ≥ lD (z, w) nên giả sử D miền C- lồi Lấy X thỏa mãn Mệnh đề 3.2.8 Sử dụng chẳng hạn hàm nhẵn hàm định nghĩa miền D gần a, tìm thấy lân cận U a số C > cho z ∈ D ∩ U ∩ na w = z + λX , C|λ| < δD (z)1/2m ta có δD (z) = |z − a| < CδD (w) Thay đổi U C (nếu cần thiết), áp dụng Mệnh đề 3.2.8 để tìm dãy (zj ), (wj ) → a cho δD (zj ) δD (wj ) |zj − wj |2m ˜lD (zj , wj ) Từ kết từ bất đẳng thức (3.14) (3.15) ta có kết cần chứng minh trường hợp miền kiểu hữu hạn Cho D miền kiểu vơ hạn Vì D C - khả lồi địa phương nên tồn điểm a ∈ ∂D có kiểu vơ hạn Khi đó, với m ∈ N, lập luận tương tự chứng minh Suy ra, mệnh đề chứng minh Nếu m = 1, điều kiện C - lồi không cần thiết Từ Mệnh đề 3.2.9 bất đẳng thức (3.15), có kết sau đánh giá cận thương hai hàm Green miền bị chặn lớp C Cn Mệnh đề 3.2.10 Cho D ⊂ Cn miền bị chặn, nhẵn lớp C Khi đó, tồn số C > cho gD (z, w) ≤ C|z − w|2n−4 , z, w ∈ D, z = w, GD (z, w) (3.18) D miền giả lồi chặt Chứng minh Vì miền giả lồi chặt miền khả lồi địa phương nên ta có (3.18) Để chứng minh tính chiều ngược lại, chúng tiến hành lập luận tương tự chứng minh Mệnh đề 3.2.9 37 Thật vậy, giả sử tỷ số gD /GD bị chặn điểm a ∈ ∂D điểm giả lồi chặt Sau thay đổi hệ tọa độ, ta giả sử a = miền D định nghĩa gần Re z1 + c1 z22 + c2 |z2 |2 + o |Im(z1 )| + |z2 |2 + |z | < 0, (3.19) c2 ≤ Tiếp theo, từ bất đẳng thức (3.14) suy gD (z, w0 ) → z → ∂D D miền giả lồi Điều có nghĩa c2 = Đặt Φ(z) := (z1 + c1 z22 , z2 , z ) Khi đó, ta có G := Φ(D) lân cận xác định Re z1 + o(|Im(z1 )| + |z2 |2 + |z |) < Từ đó, dễ dàng tìm dãy R− × {0 } ⊃ (z j ) → (λj ) → ∞ cho G wj = z j + λj δG (z j )1/2 e2 , 2|z j − wj | < δG (z j ; e2 ), e2 := (0, 1, 0, , 0) Vì bậc tiếp xúc ∂G Ce2 điểm nhỏ nên ta có |δG (z j ) − δG (wj )| = O |z j − wj |2 Từ suy δG (z j ) δG (wj ) |z j − wj |4 δG (z j )2 δG (z j ) j j ∗ (z , w ) < + → l G |z j − wj |4 |z j − wj |2 Nếu z˜j = Φ−1 (z j ) w ˜ j = Φ−1 (wj ) từ bất đẳng thức gD ≤ lD ≤ lD∩U bất đẳng thức (3.14) dẫn đến mâu thuẫn Vậy gD (˜ z j , w˜ j ) j |˜ z − w˜ j |4−2n → ∞ j j GD (˜ z , w˜ ) Vậy mệnh đề chứng minh Tiếp theo, kết sau cho ta đặc trưng miền giả lồi chặt Mệnh đề 3.2.11 Cho D ⊂ C3 miền bị chặn, nhẵn lớp C Khi đó, thương hai hàm Green gD /GD hàm bị chặn D miền giả lồi chặt Chứng minh Từ tính giả lồi chặt suy gD (z, w) |z − w|2 1, z, w ∈ D, z = w GD (z, w) 38 Ngược lại, giả sử tỷ số hai hàm Green gD /GD bị chặn trên, a ∈ ∂D điểm giả lồi chặt Sau đổi biến hàm song chỉnh chứng minh Mệnh đề 3.2.10, giả sử miền D xác định gần a = hàm Re(z1 + c3 z23 + c4 z22 z¯2 + o(|Im(z1 )| + |z2 |3 + |z3 |) < 0, Áp dụng tính giả lồi, ta có c4 = Đặt Ψ(z) = (z1 + c3 z23 , z2 , z3 ) Khi đó, miền E := Ψ(D) xác định gần hàm Re(z1 ) + o(|Im(z1 )| + |z2 |3 + |z3 |) < Chúng ta tiến hành lập luận tương tự phần cuối chứng minh Mệnh đề 3.2.10 để dẫn đến mâu thuẫn Thật vậy, tìm dãy (z)j , (w)j → (λj ) → ∞ cho wj = z j + λj δE (z j )1/3 e2 , lE∗ (z j , wj ) < , bậc tiếp xúc ∂E Ce2 nhỏ nên ta có |δE (z j ) − δE (wj )| = O(|z j − wj |3 ) Suy gD (z j , wj ) δE (z j ) δE (wj) → → ∞ |z j − wj |6 GD (z j , wj ) Vậy mệnh đề chứng minh Sử dụng định lý Lempert, để nhận đánh giá cận hàm Green đa phức gD khoảng cách Kobayashi kD , N Nikolov P J Thomas [9] chứng minh kết sau đánh giá cận hàm Lempert miền khả lồi địa phương Mệnh đề 3.2.12 [9, Mệnh đề 14] Cho D ⊂ Cn miền bị chặn, nhẵn lớp C , C - khả lồi địa phương Khi đó, tồn số C > cho ˜lD (z, w) ≤ log + C |z − w| δD (z)1/2 δD (w)1/2 , z, w ∈ D (3.20) Khi đó, có đánh giá cận thương hai hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển miền khả lồi địa phương lớp C sau 39 Hệ 3.2.13 Cho D ∈ Cn miền bị chặn, nhẵn lớp C , C - khả lồi địa phương Khi đó, tồn số C > cho gD (z, w) ≥ C|z − w|2n−2 , z, w ∈ D, z = w GD (z, w) (3.21) Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 3.2.12, bất đẳng thức (3.14) (3.15) Mệnh đề 3.2.2, ta suy điều phải chứng minh Nhận xét 3.2.14 Chúng ta biết D miền bị chặn, lớp C 1+ε Cn Năm 2010, N Nikolov, P Pflug P J Thomas chứng minh ước lượng yếu (3.20) cận hàm Lempert: ˜lD (z, w) ≤ log C δD (z)1/2 δD (w)1/2 (3.22) Tuy nhiên, câu hỏi đặt cần quan tâm tiếp tục nghiên cứu Đó ước lượng đánh giá bất đẳng thức (3.20) (3.21) liệu có trường hợp tổng quát không? Tiếp theo, tương tự đánh giá hàm Green thực cổ điển (3.14), có đánh giá cận hàm Green đa phức miền giả lồi địa phương kết sau Định lý 3.2.15 Giả sử D ⊂ Cn miền bị chặn, nhẵn C - khả lồi địa phương lân cận điểm a ∈ ∂D với 2m-kiểu hữu hạn Khi đó, tồn lân cận U a tồn số C > cho g˜D (z, w) ≥ m log + C |z − w| δD (w)1/2m , z ∈ D, w ∈ D ∩ U, (3.23) g˜D (z, w) ≥ m log + C |z − w| δD (z)1/2m , z ∈ D ∩ U, w ∈ D (3.24) Đặc biệt, trường hợp D miền khả lồi địa phương, tương tự có đánh giá yếu cận hàm Green đa phức Mệnh đề 3.1.1 so với kết đánh giá Định lý 3.2.15 Chứng minh (i) Chứng minh khẳng định (3.23) Định lý 3.2.15: Chọn lân cận bị chặn U0 điểm a cho D ∩ U0 miền C - khả lồi nhẵn lớp C Chúng ta xét hai trường hợp sau 40 Trường hợp |z − wδ| ≤ δD (w)1/2m U0 cho với w ∈ D ∩ U , ta có Chúng ta chọn lân cận U z ∈ D ∩ U0 δD∩U0 (w) = δD (w) Tiếp theo, theo Mệnh đề 3.2.2(ii), ta gD (z, w) ≥ log |z − w| + O(1) δD (w)1/2m (3.25) Thật vậy, trước hết ta nghiên cứu hàm Green đa phức gD∩U0 miền D ∩ U0 Bằng cách lấy lân cận U nhỏ điểm a cần thiết, tồn số C > cho gD (z, w) ≥ gD∩U0 (z, w) − C, z ∈ D ∩ U0 , w ∈ D ∩ U Để chứng minh (3.26), đặt ψ(z) = log |z − a| U1 diamD U0 (3.26) D lân cận a cho inf ψ > c := + sup ψ D\U0 D∩∂U1 Cố định w ∈ D ∩ U1 đặt d(w) := inf z∈D∩∂U1 gD∩U0 (z, w), với u(z, w) = (c − ψ(z))d(w), z ∈ D Vì u(z, w) ≤ gD∩U0 (z, w) với z ∈ D ∩ ∂U1 u(z, w) > > gD∩U0 (z, w), với z ∈ N ∩ (D ∩ U0 ), N lân cận ∂U0 hàm v xác định sau:   w ∈ D ∩ U1 gD∩U0 (z, w), v(z, w) = max {gD∩U0 (z, w), u(z, w)} , w ∈ D ∩ U0 \ U1  u(z, w), w ∈ D \ U0 hàm đa điều hòa theo biến z với cực logarit điểm w Mặt khác, v(z, w) < cd(w), nên ta có gD (z, w) ≥ v(z, w) − cd(w) Khi đó, cách lấy U U1 C := c inf d(w) suy bất đẳng thức (3.26) w∈D∩U chứng minh Từ bất đẳng thức (3.26) áp dụng định lý Lempert miền D ∩ U0 , ta nhận gD (z, w) ≥ kD∩U0 (z, w) − C0 Theo (3.17) Mệnh đề 3.2.7, cách lấy lân cận U nhỏ lần cần thiết, suy 41 k˜D∩U0 (z, w) thỏa mãn (3.23) Do đó, ta có kD∩U0 (z, w) ≥ log |z − w| + O(1), δD (w)1/2m khẳng định (3.23) chứng minh Trường hợp |z − w| ≥ δD (w)1/2m Theo Mệnh đề 3.2.2(i), ta gD (z, w) − δD (w) |z − w|2m (3.27) Thật vậy, áp dụng Định lý 3.2.7 Định lý Lempert’s, gD∩U0 (z, w) − δD (w) , z ∈ D ∩ U0 , w ∈ D ∩ U |z − w|2m (3.28) Ký hiệu B(w, r) hình cầu với tâm w bán kính r Đặt r0 := dist(U, D\ U0 ) đặt λ := {r0 , |z − w|} cho D ∩ B(w, λ) ⊂ D ∩ B(w, 2r0 ) ⊂ D ∩ U0 Chú ý λ ≤ |z − w| ≤ diam D λ r0 (3.29) Đặt b := − inf {gD∩U0 (ζ, w) : |ζ − w| = λ, ζ ∈ D} Từ bất đẳng thức (3.28) (3.29) suy b δD (w) λ2m δD (w) |z − w|2m (3.30) Tiếp theo, đặt v(ζ) := b log |ζ−w| 2r0 log 2rλ0 Theo cách xây dựng, ta có v(ζ) = > gD∩U0 (ζ, w) ζ ∈ D∩∂B(w, 2r0 ), v(ζ) = −b ≤ gD∩U0 (ζ, w) ζ ∈ D ∩ ∂B(w, λ) Khi đó, xây dựng hàm u đa điều hòa với cực logarit điểm w cách đặt   ζ ∈ B(w, λ), gD∩U0 (ζ, w), u(ζ) = max {v(ζ), gD∩U0 (ζ, w)} , ζ ∈ B(w, 2r0 ) \ B(w, λ)  v(ζ), ζ ∈ D \ B(w, 2r0 ) 42 Theo định nghĩa hàm Green đa phức gD , ta có gD ≥ u − supD u Khi đó, theo (3.30) suy sup u ≤ sup v ≤ b D D D log diam 2r0 log 2r0 λ ≤b diam D 2r0 log δD (w) |z − w|2m Mặt khác, λ = |z − w| theo (3.28) suy − u(z) = gD∩U0 (z, w) δD (w) , |z − w|2m λ = r0 < |z − w| u(z) ≥ v(z) = b log |z−w| 2r0 log ≥ −b δD (w) Vậy bất đẳng |z − w|2m thức (3.23) Định lý 3.2.15 hoàn toàn chứng minh Kết hợp đánh giá trên, suy gD (z, w) − (ii) Chứng minh khẳng định (3.24) Định lý 3.2.15: Chọn lân cận U1 điểm a đủ nhỏ để π(z) xác định, z ∈ U1 Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp Giả sử z ∈ U |z − w| ≥ δD (z)1/2m Bằng cách chọn U1 lân cận nhỏ hơn, giả sử |z − w| ≥ 8δD (z) Khi đó, cách áp dụng hàm chỉnh hình Dierich - Fornaess Sp (z) Định lý 3.1.7 lần Lấy U1 U2 U0 Giảm U1 cần thiết cho với a ∈ U1 ∩ ∂D, tồn hàm chỉnh hình Dierich - Fornaess SΦ(a ) Ω, số C, C > cho bất đẳng thức sau xảy −C |ζ − Φ(a )| ≤ ReSΦ(a ) (ζ) ≤ −C|ζ − Φ(a )|2m , với ζ ∈ Φ(U2 ) SΦ(a ) (Φ(a )) = Đặt ϕ˜z (ζ) := Re SΦ(π(z)) (Φ(ζ)) ∈ P SH− (D ∩ U0 ) Vì Φ vi phơi bị chặn Lipschitz U2 nên ta có với ζ ∈ U2 , −C |ζ − a | ≤ ϕ˜z (ζ) ≤ −C|ζ − a |2m , ϕ˜z (π(z)) = 43 (3.31) Tiếp theo, cần thác triển hàm ϕ˜z đến hàm đa điều hòa toàn miền D Thật vậy, đặt η := sup sup ϕ˜z (ζ) < đặt z∈U1 ζ∈∂U2 ϕz := max(ϕ˜z , η/2) Ta có ϕz hàm định nghĩa toàn miền D Hàm ϕz ∈ P SH− (D) thỏa mãn bất đẳng thức (3.31) Bằng cách lập luận tương tự phần đầu trường hợp (2) chứng minh (3.24), nhận bất đẳng thức tương tự (3.27): gD (z, w) − δD (z) |z − w|2m Áp dụng Mệnh đề 3.1.4, ta có w−z , B1 = B(w , + |w − z|/2), B2 := |w − z| B(w , + 3|w − z|/4) Khi đó, tồn số c0 > cho với w, ¯2 tồn ρw ∈ C ∞ (C \ {w} , R− ) với cực logarit điểm w , có giá B Bổ đề 3.2.16 Cho w := w + cho c0 ¯ ) χB¯2 \B1 (ζ)∂ ∂(|ζ| |w − z| ¯2 )) Đặc biệt, hàm ρw ∈ P SH(B1 ∪ (Cn \ B ¯ w (ζ) ≥ − ∂ ∂ρ Khi đó, xây dựng hàm Φ với cực logarit điểm w cách đặt c1 Φ(ζ) := (ϕz (ζ) + c2 |ζ − π(z)|2m ) + ρw (ζ) 2m |z − w| Theo (3.31), D bị chặn nên ta chọn c2 > cho Φ < D Chọn c1 > cho Φ ∈ P SH(D) Ta cần kiểm tra trường hợp ¯2 \ B1 Thật vậy, ta có ζ∈B 1 |ζ − π(z)| ≥ |ζ − z| − δD (z) ≥ |z − w| − δD (z) ≥ |z − w| ¯ w Bổ đề 3.2.16 suy ϕz ∈ P SH(D) Theo đánh giá ∂ ∂ρ cách tính tốn, ta c1 c0 2m−2 c c |ζ − π(z)| − |z − w|2m |w − z|2 c1 c2 c3 ¯ 2, ≥ 2m−2 − c0 ∂ ∂|ζ| |w − z| ¯ ∂ ∂Φ(ζ) ≥ 44 ¯ ∂ ∂|ζ| c3 số Vì vậy, ta chọn c1 > dạng dương Với cách chọn này, ta có Φ(ζ) ≤ gD (ζ, w) Vì ρw (z) = 0, sử dụng bất đẳng thức (3.31) lần nữa, ta nhận Φ(z) = δD (z) c1 2m ϕ (z) + c δ (z) ≥ −c C z D |z − w|2m |z − w|2m Trường hợp Giả sử z ∈ B(a, r1 ) |z − w| ≤ δD (z)1/2m 1/2m Khi đó, ta có |w − a| ≤ r1 + r1 B(a, r2 ) =: r2 Giảm r1 cần thiết, ta có U0 , U0 lân cận bị chặn điểm a cho D ∩ U0 miền C - khả lồi nhẵn lớp C Theo Định lý Lempert bất đẳng thức (3.23), suy g˜U0 ∩D (z, w) = g˜U0 ∩D (w, z) ≥ m log + C |z − w| δD (z)1/2m Vì gU0 ∩D (z, w) ≤ nên theo Mệnh đề 3.2.2(ii), điều tương đương với gU0 ∩D (z, w) ≥ log |z − w| + O(1) δD (z)1/2m Áp dụng bất đẳng thức (3.26) có ước lượng đánh giá tương tự cho hàm Green đa phức gD (z, w) miền D Và khẳng định (3.15) Định lý 3.2.15 cho trường hợp chứng minh Vậy Định lý 3.2.15 hoàn toàn chứng minh Từ Định lý 3.2.15 trên, có kết sau đặc trưng kiểu điểm Hệ 3.2.17 [9, Hệ 9] Cho D ⊂ Cn miền, nhẵn C - khả lồi địa phương lân cận điểm biên a ∈ ∂D Khi đó, bất đẳng thức bất đẳng thức (3.23), (3.24) (3.17) xảy a điểm nhiều 2m-kiểu hữu hạn Tiếp theo, kết Định lý 3.2.15, có đánh giá cận hàm Green đa phức toàn miền C- khả lồi địa phương Cn Kết trình bày định lý sau 45 Định lý 3.2.18 Cho D ⊂ Cn miền bị chặn, nhẵn, C - khả lồi địa phương 2m - kiểu hữu hạn Khi đó, tồn số C > cho với z, w ∈ D, ta có g˜D (z, w) ≥ m log + C |z − w| δD (z)1/2m 1+C |z − w| δD (w)1/2m (3.32) Chứng minh Lập luận tương tự chứng minh Mệnh đề 3.1.1 Giả thiết Định lý 3.2.15 với a ∈ ∂D Do tính compact miền D, suy tồn tập K D cho với z ∈ D \ K, w ∈ D, ta có g˜D (z, w) ≥ m log + C |z − w| δD (z)1/2m (3.33) Nhưng z ∈ K , bên phải bất đẳng thức (3.33) bị chặn C mC|z − w|, g˜D (z, w) ≥ C |z − w|, ta chọn số C để bất đẳng thức (3.33) xảy với z, w ∈ D Tương tự, thay đổi C lần cần thiết, với z, w ∈ D ta có g˜D (z, w) ≥ m log + C Nếu |z − w|2m |z − w| δD (w)1/2m (3.34) max {δD (z), δD (w)} từ bất đẳng thức (3.33) (3.34) kéo theo bất đẳng thức (3.32) cách thay đổi số C Mặt khác, theo Mệnh đề 3.2.2(i) ta có (3.13) đương tương với gD (z, w) − δD (z) δD (w) |z − w|4m Chúng ta giả sử max {δD (z), δD (w)} ≤ |z − w| Nếu 2|ζ − π(z)| = |z − w| |z − w| Do đó, theo bất đẳng thức (3.34), giá trị ζ ta có δD (w) hàm Green đa phức gD (ζ, w) − Đối với giá trị ζ |z − w|2m , hàm ϕz định nghĩa chứng minh bất đẳng thức (3.24) trường |ζ − w| ≥ |z − w| − |ζ − π(z)| − |z − π(z)| ≥ hợp 1, Định lý 3.2.15, đa điều hòa thỏa mãn ϕz (ζ) ≤ −C|ζ − π(z)|2m = −C2−2m |z − w|2m Vì 46 gD (ζ, w) − δD (w) ϕz (ζ), ζ ∈ D ∩ ∂B(π(z), |z − w|/2) |z − w|4m Bất đẳng thức biên ∂D, hàm Green đa phức gD (ζ, w) = Hơn nữa, gD (·, w) hàm đa điều hòa cực đại D \ {w} nên gD (·, w) hàm đa điều hòa cực đại D ∩ B(π(z), |z − w|/2) Đặc biệt điểm z , ta có δD (w) δD (z) δD (w) ϕ (z) − gD (z, w) − z |z − w|4m |z − w|4m Vậy định lý hoàn toàn chứng minh Đánh giá tính bị chặn thương hai hàm Green miền khả lồi địa phương m− kiểu hữu hạn.Chúng ta có định lý sau Định lý 3.2.19 Cho D ⊂ Cn miền bị chặn, nhẵn, C - khả lồi địa phương 2m - kiểu hữu hạn Khi đó, tồn số C > cho gD (z, w) ≤ C|z − w|2(n−2m) , z, w ∈ D, z = w GD (z, w) Chứng minh Đặt ∆D (z, w) := |z − w|2 δD (z)1/2m δD (w)1/2m Áp dụng đánh giá (3.14), ta cần gD (z, w) ≥ −∆D (z, w)−2m Từ Định lý 3.2.18 suy ta có g˜D (z, w) ≥ log(1 + C ∆D (z, w))m Nếu ∆D (z, w) ≥ theo Mệnh đề 3.2.2(i) ta có gD (z, w) −∆D (z, w) Nếu ∆D (z, w) ≤ từ Mệnh đề 3.2.2(ii) suy gD (z, w) ≥ log ∆D (z, w) + O(1) −∆D (z, w)−2m Vậy định lý chứng minh Một hệ Định lý 3.2.19 đặc trưng kiểu miền Cn 47 Hệ 3.2.20 Cho D miền bị chặn, nhẵn, C- khả lồi địa phương Khi đó, ta có khẳng định sau: (i) Tồn số C > cho gD (z, w) ≤ C|z − w|2(n−2m) , z, w ∈ D, z = w, GD (z, w D miền nhiều 2m - kiểu hữu hạn Cn ; (ii) Thương hai hàm Green gD /GD miền D bị chặn D miền nhiều 2m - kiểu hữu hạn Cn Chứng minh Áp dụng Định lý 3.2.19 Mệnh đề 3.2.9 Nhận xét 3.2.21 Trong miền có chiều 2, từ Mệnh đề 3.2.10 thương hai hàm Green gD /GD hàm bị chặn D giả lồi chặt Tuy nhiên, từ Hệ 3.2.20, điều không số chiều n ≥ 48 Kết luận Luận văn đặt vấn đề nghiên cứu “Hàm Green đa phức hàm Green thực miền khả lồi phức kiểu hữu hạn” nhằm mục đích nghiên cứu ước lượng cận hàm Green Đồng thời, luận văn nghiên cứu tính bị chặn hàm thương gD /GD hai hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển miền giả lồi chặt số miền giả lồi yếu Cn Cụ thể, luận văn đạt số kết sau đây: • Tổng hợp lại số kiến thức lý thuyết đa vị phức hàm nửa liên tục trên, hàm đa điều hòa dưới, hàm Green thực hàm Green đa phức, Trình bày số hàm giả khoảng cách số định nghĩa tính chất hình học miền Cn miền C- khả lồi, miền C - khả lồi địa phương kiểu hữu hạn • Chứng minh kết đánh giá cận hàm Green đa phức miền lồi chặn giả lồi chặt, bị chặn Cn (Mệnh đề 2.2.4 Mệnh đề 2.6) miền C-khả lồi địa phương với biên kiểu hữu hạn (Định lý 3.2.15) hay tổng quát miền C-khả lồi địa phương kiểu hữu hạn (Định lý 3.2.18) • Chứng minh tính bị chặn hàm thương gD /GD hai hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển miền giả lồi chặt (Định lý 2.3.1), số miền khả lồi địa phương (Định lý 3.1.6) số miền C - khả lồi địa phương kiểu hữu hạn Cn (Định lý 3.2.19) Từ đó, đưa đặc trưng kiểu miền Cn (Hệ 3.2.20) đặc trưng miền giả lồi chặt C3 (Mệnh đề 3.2.11) 49 Tài liệu tham khảo [1] Andersson M., Passare M., Sigurdsson R (2004), Complex convexity and analytic functionals, Birkhauser, Basel-Boston-Berlin [2] Carlehed M (1998), Comparison of the pluricomplex and the classical Green functions, Michigan Math J., 45, 399-407 [3] Chen B-Y (2002), Comparison of the pluricomplex and the classical Green functions on convex domains of finite type, Michigan Math J., N50, 27 – 26 [4] Diederich K., Fornaess J.E (2003), Lineally convex domains of finite type: holomorphic support functions, Manuscripta Math.112, 403-431 [5] Hormander L (1994), Notions of convexity, Birkhauser, Basel-BostonBerlin [6] Jarnicki M., Pflug P (1993) Invariant distances and metrics in complex analysis, degruyter Exp Mat 9, de Gruyter, Berlin, New York [7] Klimek M (1991), Pluripotential theory, Clarendon Press, Oxford [8] Nikolov N., Pflug P., Zwonek W (2013), Estimates for invariant metrics on C-convex domains, Trans Amer Math Soc., 363, 6245-6256 [9] Nikolov N., Thomas P J (2018), Comparison of the real and the complex Green functions, and sharp estimates of the Kobayashi distance, Ann Scuola Norm Sup Pisa Cl Sci., DOI Number:10.2422/2036 − 2145.2016080 27, submitted [10] Ransford T (1995), Potential theory in the Complex plane, London Mathematical Society Student Texts 28 50 [11] Rudin W (2008), Function theory in the unit ball of Cn , Reprint of the 1980 edition Classics in the Mathematics Springer-verlag, Berlin [12] Sweers G (1994), Positivity for a strongly coupled elliptic system by Green function estimates, J Geom Anal 4, 121-142 [13] Zhao Z (2008), Green function for Schr´’odinger operator and conditioned Feynman-Kac gauge, J Maths Anal Appl 116, 309-334 51 ... 1.2 Hàm Green thực 1.3 Hàm Green đa phức 1.4 Miền C -khả lồi địa phương kiểu hữu hạn 10 Chương Hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển miền. .. hai hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển số miền C -khả lồi địa phương kiểu hữu hạn 33 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 iv Lời nói đầu Các hàm Green đa phức hàm Green. .. Carlehed miền lồi kiểu hữu hạn Nằm tính thời này, chúng tơi lựa chọn đề tài Hàm Green đa phức hàm Green thực miền khả lồi phức kiểu hữu hạn nhằm mục đích nghiên cứu ước lượng cận hàm Green Đồng