Tài liệu Hàm chỉnh hình pdf

Hàm chỉnh hình Chương 2. Hàm chỉnh hình Nguyễn Thủy Thanh Cơ sở lý thuyết hàm biến phức. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006. Tr 105-187. Từ khoá: Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Hàm khả vi, Hàm chỉnh hình, Ánh xạ bảo giác, Ánh xạ chỉnh hình, Hàm Jukovski, Đẳng cấu. . Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Chu . o . ng 2 H`am chı ’ nh h`ınh 2.1 H`am kha ’ vi 106 2.1.1 H`am R 2 - kha ’ vi 106 2.1.2 D - a . o h`am theo phu . o . ng 108 2.1.3 H`am C - kha ’ vi 110 2.1.4 Mˆo ´ i liˆen hˆe . gi˜u . a C - kha ’ vi v`a R 2 - kha ’ vi . . . . . 114 2.1.5 H`am chı ’ nhh`ınh 115 2.1.6 Khˆong gian c´ac h`am chı ’ nhh`ınh 121 2.2 Mˆo . tsˆo ´ h`am chı ’ nh h`ınh so . cˆa ´ p 122 2.2.1 D - ath´u . c v`a h`am h˜u . uty ’ 122 2.2.2 H`am w = z n v`a z = n √ w, n ∈ N 122 2.2.3 H`am e z 124 2.2.4 H`am lˆogarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 2.2.5 H`am l˜uy th`u . a z α , α ∈ R 130 2.2.6 C´ac h`am so . cˆa ´ pkh´ac 131 2.2.7 Nh´anh chı ’ nh h`ınh cu ’ a h`am da tri . 134 2.3 H`am chı ’ nh h`ınh v`a ´anh xa . ba ’ o gi´ac . . . . . . . 138 106 Chu . o . ng 2. H`am chı ’ nh h`ınh 2.3.1 ´ Y ngh˜ıa h`ınh ho . ccu ’ a acgumen cu ’ ada . o h`am . . . 138 2.3.2 ´ Y ngh˜ıa h`ınh ho . ccu ’ a mˆodun da . o h`am . . . . . . . 140 2.3.3 ´ Anh xa . ba ’ ogi´ac 141 2.3.4 ´ Anh xa . liˆen tu . c v`a ´anh xa . chı ’ nh h`ınh . . . . . . . 143 2.4 C´ac d ˘a ’ ng cˆa ´ uso . cˆa ´ p 146 2.4.1 D - ˘a ’ ng cˆa ´ u phˆan tuyˆe ´ nt´ınh 147 2.4.2 ´ Anh xa . w = e z v`a z = log w 160 2.4.3 H`am Jukovski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 2.4.4 C´ac d˘a ’ ng cˆa ´ uso . cˆa ´ pkh´ac 172 2.4.5 Mˆo . tsˆo ´ v´ıdu . 175 2.5 B`ai tˆa . p 183 Su . . thu he . ptˆa . pho . . p c´ac h`am biˆe ´ nph´u . cb˘a ` ng d iˆe ` ukiˆe . n C - kha ’ vi s˜e du . a d ˆe ´ nl´o . p c´ac h`am chı ’ nh h`ınh. D i . nh ngh˜ıa t´ınh C - kha ’ vi cu ’ a h`am biˆe ´ nph´u . c s˜e d u . o . . c tr`ınh b`ay ho`an to`an tu . o . ng tu . . nhu . d i . nh ngh˜ıa t´ınh kha ’ vi trong gia ’ i t´ıch thu . . c. Tuy c´o su . . “giˆo ´ ng nhau” bˆe ` ngo`ai d ´o, gi˜u . a hai kh´ai niˆe . m n`ay tˆo ` n ta . inh˜u . ng su . . kh´ac nhau rˆa ´ tcˆo ´ tyˆe ´ u m`a ta s˜e thˆa ´ y r˜o trong chu . o . ng II n`ay. 2.1 H`am kha ’ vi 2.1.1 H`am R 2 - kha ’ vi Gia ’ su . ’ D l`a miˆe ` ncu ’ am˘a . t ph˘a ’ ng R 2 v`a f(x, y) l`a h`am gi´a tri . thu . . c ho˘a . cph´u . c x´ac d i . nh trong D, z 0 = x 0 + iy 0 ∈ D. Ta c´o d i . nh ngh˜ıa sau dˆay. D - i . nh ngh˜ıa 2.1.1. H`am f d u . o . . cgo . il`aR 2 - kha ’ vi ta . idiˆe ’ m(x 0 ,y 0 ) ∈ D nˆe ´ u tˆo ` nta . i h`am tuyˆe ´ n t´ınh Ah + Bk cu ’ a c´ac biˆe ´ n thu . . c h v`a k sao cho v´o . i h v`a k d u ’ b´e sˆo ´ gia cu ’ a f tho ’ a m˜an hˆe . th ´u . c f(x 0 + h, y 0 + k) − f(x 0 ,y 0 )=Ah + Bk + ε(h,k)ρ, 2.1. H`am kha ’ vi 107 trong d´o A, B thu . . c ho˘a . cph´u . c, ρ = √ h 2 + k 2 v`a ε(h, k) → 0 khi ρ → 0. Nˆe ´ u f l`a h`am R 2 - kha ’ vi ta . idiˆe ’ m z 0 = x 0 + iy 0 ∈ D th`ı c´ac h˘a ` ng sˆo ´ A v`a B (thu . . c ho˘a . cph´u . c) du . o . . c x´ac di . nh duy nhˆa ´ t v`a tu . o . ng ´u . ng b˘a ` ng A = ∂f ∂x (x 0 ,y 0 ),B= ∂f ∂y (x 0 ,y 0 ) v`a biˆe ’ uth´u . c df = ∂f ∂x (x 0 ,y 0 )h + ∂f ∂y (x 0 ,y 0 )k (2.1) d u . o . . cgo . il`avi phˆan cu ’ a h`am f ta . idiˆe ’ m(x 0 ,y 0 ). B˘a ` ng c´ach su . ’ du . ng k´y hiˆe . u c´o t´ınh chˆa ´ t truyˆe ` n thˆo ´ ng dˆo ´ iv´o . i h v`a k: h = dx, k = dy,t`u . (2.1) ta c´o df = ∂f ∂x (x 0 ,y 0 )dx + ∂f ∂y (x 0 ,y 0 )dy. Ta lu . u´yr˘a ` ng nˆe ´ u c´ac da . o h`am riˆeng tˆo ` nta . i trong mˆo . t lˆan cˆa . n n`ao d´o cu ’ adiˆe ’ m(x 0 ,y 0 ) v`a liˆen tu . cta . idiˆe ’ mˆa ´ yth`ıf l`a h`am R 2 - kha ’ vi ta . idiˆe ’ m d ´o. H`am f c´o c´ac da . o h`am riˆeng liˆen tu . c trong miˆe ` n D du . o . . cgo . il`akha ’ vi liˆen tu . c trong miˆe ` nd ´o. Bˆay gi`o . ta x´et vi phˆan df = ∂f ∂x dx + ∂f ∂y dy. (2.2) Dˆo ´ iv´o . i c´ac h`am z = x + iy v`a z = x −iy ta c´o dz = dx + idy, dz = dx −idy v`a do d´o dx = 1 2 (dz + d z),dy= 1 2i (dz − d z). (2.3) Thˆe ´ (2.3) v`ao (2.2) ta thu du . o . . chˆe . th ´u . c df = 1 z  ∂f ∂x − i ∂f ∂y  dz + 1 2  ∂f ∂x + i ∂f ∂y  dz. 108 Chu . o . ng 2. H`am chı ’ nh h`ınh B˘a ` ng c´ach d˘a . t ∂f ∂z = 1 2  ∂f ∂x − i ∂f ∂y  , ∂f ∂z = 1 2  ∂f ∂x + i ∂f ∂y  (2.4) ta c´o ∂f ∂x = ∂f ∂z + ∂f ∂z , ∂f ∂y = i  ∂f ∂z − ∂f ∂z  v`a c´o thˆe ’ viˆe ´ tbiˆe ’ uth´u . c vi phˆan cu ’ a h`am R 2 - kha ’ vi du . ´o . ida . ng df = ∂f ∂z dz + ∂f ∂z · dz. (2.5) D - i . nh l´y 2.1.1. Ph´ep biˆe ’ udiˆe ˜ n vi phˆan (2.5) cu ’ a h`am R 2 - kha ’ vi f l`a duy nhˆa ´ t, t´u . cl`anˆe ´ uc´o df = Adz + Bd z th`ı A = ∂f ∂x ; B = ∂f ∂z · Ch´u . ng minh. V`ı dz = dx + idy, dz = dx −idy nˆen df =(A + B)dx + i(A − B)dy. T`u . d´othudu . o . . c A + B = ∂f ∂x ; i(A −B)= ∂f ∂y · Gia ’ ihˆe . phu . o . ng tr`ınh n`ay ta thu du . o . . cdiˆe ` u pha ’ ich´u . ng minh. 2.1.2 D - a . o h`am theo phu . o . ng Gia ’ su . ’ f(z) l`a h`am R 2 - kha ’ vi ta . idiˆe ’ m z 0 ∈ D v`a ∆f l`a sˆo ´ gia cu ’ a n´o ta . i diˆe ’ m z 0 ´u . ng v´o . i∆z =∆re iα . Ta th`anh lˆa . pty ’ sˆo ´ ∆f ∆z v`a x´et gi´o . iha . ncu ’ a n´o khi ∆z → 0 sao cho lim ∆z→0 α = lim ∆z→0 (arg ∆z)=ϕ trong d ´o ϕ l`a mˆo . tsˆo ´ cˆo ´ di . nh cho tru . ´o . c. 2.1. H`am kha ’ vi 109 D - i . nh ngh˜ıa 2.1.2. Gi´o . iha . ncu ’ aty ’ sˆo ´ ∆f ∆z khi ∆z → 0m`aϕ = lim ∆z→0 (arg ∆z) du . o . . cgo . il`ada . o h`am cu ’ a h`am f theo phu . o . ng ϕ ta . idiˆe ’ m z 0 . Da . o h`am theo phu . o . ng ϕ du . o . . ck´yhiˆe . ul`a ∂f ∂z ϕ v`a nhu . vˆa . y ∂f ∂z ϕ = lim ϕ=const ∆z→0 ∆f ∆z · Ta c´o di . nh l´y sau dˆay: D - i . nh l´y 2.1.2. Gia ’ su . ’ f l`a h`am R 2 - kha ’ vi. Khi d´otˆa . pho . . p c´ac gi´a tri . d a . o h`am theo phu . o . ng ta . idiˆe ’ m z 0 cho tru . ´o . clˆa . p th`anh du . `o . ng tr`on v´o . i tˆam ta . idiˆe ’ m ∂f ∂z v`a b´an k´ınh b˘a ` ng    ∂f ∂z    . Ch´u . ng minh. Theo gia ’ thiˆe ´ t ta c´o f l`a h`am R 2 - kha ’ vi, nˆen ∆f = ∂f ∂z ∆z + ∂f ∂z ∆z + o(∆z), (2.6) trong d ´o lim o(∆z) ∆z = 0 khi ∆z → 0. Do d´o ∆f ∆z = ∂f ∂z + ∂f ∂z e −2iα + ε(∆z), trong d ´o ε(∆z)= o(∆z) ∆z , v`a ta thu du . o . . c ∂f ∂z ϕ = lim ∆f ∆z = ∂f ∂z + ∂f ∂z e −2iϕ . (2.7) Cˆong th´u . c (2.7) ch´u . ng to ’ r˘a ` ng c´ac gi´a tri . da . o h`am cu ’ a h`am f theo phu . o . ng ta . idiˆe ’ m z 0 lˆa ´ pdˆa ` ydu . `o . ng tr`on v´o . i tˆam ta . idiˆe ’ m ∂f ∂z v`a b´an k´ınh b˘a ` ng    ∂f ∂z    . Tru . `o . ng ho . . pd˘a . cbiˆe . t quan tro . ng l`a tru . `o . ng ho . . p khi da . o h`am theo mo . i phu . o . ng tr`ung nhau. Khi d ´o, du . `o . ng tr`on d ˜a n´oi trong di . nh l´y 2.1.2 s˜e suy biˆe ´ n th`anh mˆo . tdiˆe ’ m ∂f ∂z (z 0 ). 110 Chu . o . ng 2. H`am chı ’ nh h`ınh 2.1.3 H`am C - kha ’ vi Gia ’ su . ’ D l`a miˆe ` ncu ’ am˘a . t ph˘a ’ ng ph´u . c C v`a f l`a h`am biˆe ´ nph´u . c z = x + iy x´ac d i . nh trong D.Tac´odi . nh ngh˜ıa quan tro . ng sau dˆay: D - i . nh ngh˜ıa 2.1.3. H`am f d u . o . . cgo . il`aC - kha ’ vi ta . id iˆe ’ m z 0 ∈ D nˆe ´ utˆo ` n ta . i gi´o . iha . n lim h → 0 h =0 f(z 0 + h) − f(z 0 ) h v`a ta n´oi r˘a ` ng h`am f c´o d a . o h`am theo biˆe ´ nph´u . c ta . idiˆe ’ m z 0 v`a k´y hiˆe . ul`a f  (z 0 )hay df dz (z 0 ): f  (z 0 )= df (z 0 ) dz = lim h → 0 h =0 f(z 0 + h) − f(z 0 ) h · (2.8) D i . nh ngh˜ıa 2.1.3 d`oi ho ’ ir˘a ` ng gi´o . iha . n (2.8) pha ’ itˆo ` nta . idˆo ´ iv´o . i mo . i c´ach cho z dˆa ` ndˆe ´ n z 0 . N´oi ch´ınh x´ac ho . n, hˆe . th ´u . c (2.8) c´o ngh˜ıa r˘a ` ng: ∀ε>0, ∃δ = δ(ε) > 0 sao cho khi 0 < |h| <δth`ı bˆa ´ td ˘a ’ ng th´u . c    f(z 0 + h) − f(z 0 ) h − f  (z 0 )    <ε (2.9) d u . o . . c tho ’ a m˜an. Nhu . vˆa . ytad `oi ho ’ ir˘a ` ng khi h → 0(t´u . cl`az → z 0 ) theo bˆa ´ t c´u . du . `o . ng n`ao ty ’ sˆo ´ f(z 0 + h) − f(z 0 ) h pha ’ idˆa ` nt´o . ic`ung mˆo . t gi´o . iha . n. T`u . hˆe . th ´u . c (2.9) c˜ung suy ra r˘a ` ng nˆe ´ u h`am f(z) c´o d a . o h`am ta . idiˆe ’ m z 0 th`ı n´o liˆen tu . cta . idiˆe ’ md´o. Diˆe ` u kh˘a ’ ng di . nh ngu . o . . cla . i l`a khˆong d ´ung. T`u . di . nh ngh˜ıa da . o h`am (2.8) v`a c´ac t´ınh chˆa ´ tcu ’ a gi´o . iha . n trong miˆe ` n ph´u . c suy r˘a ` ng c´ac quy t˘a ´ cco . ba ’ nd ˆe ’ t´ınh da . o h`am cu ’ atˆo ’ ng, t´ıch v`a thu . o . ng 2.1. H`am kha ’ vi 111 cu ’ a hai h`am. cu ’ a h`am ho . . p v`a h`am ngu . o . . cd ˆo ´ iv´o . i c´ac h`am biˆe ´ n thu . . cd ˆe ` u du . o . . cba ’ o to`an d ˆo ´ iv´o . i c´ac h`am biˆe ´ nph´u . c. Bˆay gi`o . ta chuyˆe ’ n sang x´et vˆa ´ ndˆe ` tu . . nhiˆen l`a: t´ınh C - kha ’ vi d˜anˆeu tu . o . ng ´u . ng v´o . i t´ınh chˆa ´ tdo . n gia ’ n n`ao cu ’ a c´ac h`am u(x, y)v`av(x, y) l`a phˆa ` n thu . . c v`a phˆa ` na ’ ocu ’ a h`am f(z). D - i . nh l´y 2.1.3. Gia ’ su . ’ h`am f(z)=u(x, y)+iv(x, y) l`a C - kha ’ vi ta . id iˆe ’ m z = x + iy. Khi d´ota . idiˆe ’ m (x, y) h`am u(x, y) v`a v(x, y) c´o c´ac da . o h`am riˆeng theo biˆe ´ n x v`a y tho ’ a m˜an diˆe ` ukiˆe . n ∂u ∂x = ∂v ∂y , (2.10) ∂u ∂y = − ∂v ∂x · C´ac hˆe . th´u . c (2.10) du . o . . cgo . i l`a c´ac diˆe ` ukiˆe . n Cauchy - Riemann. Ch´u . ng minh. Gia ’ su . ’ h`am w = f(x) x´ac di . nh trong miˆe ` n D ⊂ C v`a c´o da . o h`am ta . idiˆe ’ m z ∈ D: f  (z) = lim ∆z→0 f(z +∆z) − f(z) ∆z = lim ∆z→0 ∆w ∆z · (2.11) Nhu . vˆa . yv´o . imo . i c´ach cho ∆z =∆x + i∆y dˆa ` nd ˆe ´ n 0 gi´o . iha . n (2.11) pha ’ i tˆo ` nta . iv`ad ˆe ` ub˘a ` ng mˆo . t gi´a tri . l`a f  (z). Do d´o gi´o . iha . nˆa ´ y pha ’ itˆo ` nta . i trong hai tru . `o . ng ho . . p riˆeng sau a) ∆z =∆x + i0=∆x v`a ∆x → 0. b) ∆z =0+i∆y = i∆y v`a ∆y → 0. Trong tru . `o . ng ho . . pth´u . nhˆa ´ t ta c´o f  (z) = lim ∆x→0  u(x +∆x, y) −u(x, y) ∆x + i v(x +∆x, y) −v(x, y) ∆x  = lim ∆x→0 u(x +∆x,y) − u(x, y) ∆x + i lim ∆x→0 v(x +∆x, y) −v(x, y) ∆x = ∂u ∂x (x, y)+i ∂v ∂x (x, y). (2.12) 112 Chu . o . ng 2. H`am chı ’ nh h`ınh Trong tru . `o . ng ho . . pth´u . hai: f  (z) = lim ∆y→0  u(x, y +∆y) −u(x, y) i∆y + i v(x, y +∆y) −v(x, y) i∆y  = lim ∆y→0 u(x, y +∆y) −u(x, y) i∆y + lim ∆y→0 v(x, y +∆y) − v(x, y) ∆y = −i ∂u ∂y (x, y)+ ∂v ∂y (x, y). (2.13) T`u . (2.12) v`a (2.13) ta thu du . o . . c ∂u ∂x + i ∂v ∂x = ∂v ∂y − i ∂u ∂y ⇔ ∂u ∂x = ∂v ∂y ∂u ∂y = − ∂v ∂x        D i . nh l´y du . o . . cch´u . ng minh. R˜o r`ang l`a c´ac hˆe . qua ’ thu du . o . . ct`u . t´ınh C - kha ’ vi l `a ˆa ´ ntu . o . . ng ho . n nhiˆe ` u so v´o . ic´achˆe . qua ’ thu du . o . . ct`u . t´ınh C -liˆen tu . c. Ngo`ai viˆe . c c´ac h`am u(x, y) v`a v(x, y) c´o c´ac d a . o h`am riˆeng cˆa ´ p 1, c´ac da . o h`am n`ay c`on pha ’ i liˆen hˆe . v´o . i nhau bo . ’ i c´ac phu . o . ng tr`ınh vi phˆan (2.10). Nhu . vˆa . y, thˆa . mch´ınˆe ´ u u(x, y)v`av(x, y) c´o c´ac da . o h`am riˆeng cˆa ´ p1th`ı n´oi chung h`am u + iv khˆong pha ’ i l`a h`am kha ’ vi cu ’ a z. T`u . d´o, c´ac hˆe . th ´u . c Cauchy - Riemann (2.10) lˆa . p th`anh diˆe ` ukiˆe . ncˆa ` n dˆe ’ h`am f(z)l`aC - kha ’ vi. Tuy nhiˆen d ´o khˆong pha ’ il`adiˆe ` ukiˆe . ndu ’ .Tax´et mˆo . t v`ai v´ıdu . . Ta x´et h`am f(z)=  |xy|. H`am n`ay triˆe . t tiˆeu trˆen ca ’ hai tru . c v`a do d´o khi z = 0 ta c´o ∂u ∂x = ∂u ∂y = ∂v ∂x = ∂v ∂y =0 v`a d iˆe ` ukiˆe . n Cauchy - Riemann tho ’ a m˜an. Nhu . ng h`am f(z) khˆong C kha ’ vi ta . idiˆe ’ m z = 0. Thˆa . tvˆa . y, ta c´o f(z) z =  |xy| x + iy v`a nˆe ´ u x = αr, y = βr trong d ´o α, β l`a nh˜u . ng h˘a ` ng sˆo ´ c`on r>0th`ıhˆe . th ´u . cd ´odˆa ` nt´o . i  |αβ| α + iβ khi r → 0. Nhu . vˆa . y gi´o . iha . n khˆong duy nhˆa ´ t v`a h`am khˆong C - kha ’ vi. . khoá: Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Hàm khả vi, Hàm chỉnh hình, Ánh xạ bảo giác, Ánh xạ chỉnh hình, Hàm Jukovski, Đẳng cấu. . Tài liệu trong Thư viện. Hàm chỉnh hình Chương 2. Hàm chỉnh hình Nguyễn Thủy Thanh Cơ sở lý thuyết hàm biến phức. NXB Đại học quốc