496 Chương 4 _ Đường cong trên mặt phẳng
4.2.6 Khảo sát một đường cong xác định bởi một phương trình cực trong lân cận một điểm
Cho ?Ƒ' là một đường cong nhận một phương trình cực ø = ;{Ø), trong đĩ Ø:†— thuộc lớp thích hợp
1) Khảo sát tại O
Giả thiết tổn tại @ € 7 sao cho pla) = OVA p lién tuc tai @ (và rằng ø là một khơng điểm cơ lập của ø)
Vectơ chuẩn hĩa u(Ø) =cosØï +sinØ }, là vecto dịnh hướng (ØM), cĩ giới hạn là
W@) khi Ở tiến tối 2; vậy 7 nhận đường
thẳng đi qua O và cĩ gĩc cực œ làm tiếp tuyến tại O
2) Khảo sái tại một điểm khác @ Ta cĩ: OA(Ø)= ø(0),(8), suy ra, nếu ø
thuộc lớp C!:
Tổ = OHO) + pOWO)
Vì ø(Ø) # 0, nên ta cĩ ay tO» vay MO
là một điểm chính quy cia 7; Fnhan mot
tiếp tuyến tại M/(6), và tiếp tuyến này được
A ~ dM
định phương bởi dể”
Ta ký hiệu 7(Ø) là tiếp tuyến tại (6) với 7; và V(Ø) = ⁄ ((OM), T(Ø) tx]
Nếu ø(2z u p(s 0,thì: tan V(Ø) 28) tanV(@= -2(6), Neu p()=0; thi: VQ) = 2 |r] Ta thudng ky hiéu a(8) (hoac ø(Ø)) là gĩc 2 xh định bởi: a(6 = (ï, T()) In] (xem thêm 5.12) Nhờ hệ thức Chasles, ta được :
a8) = ZG, (OM))+ Z((OM), T(8))=0 +V( [z]
Dé cho gon, ta ký hiệu ø, 7, V, ø thay vì (0), TO), VO), al) Vậy ta cĩ các
cơng thức :
tanv = 2 ø a= 6+V [nr]
Trang 24.2 Đường cong trong tọa độcực 197 4.2.7 Cac nhánh vơ tận Cho 7 là một đường cong cĩ phương trình cực 2= 2(đ} 1) Nếu ø(Ø) -> 0, ta nĩi O->+t00 rằng Ĩ là một điểm - tiệm cận của 77 2 Nếu p(6) -> a#0, ta d>t0
nĩi rằng đường trịn tâm O vA ban kính lai là một đường trịn - tiệm cận với 7: 3) Nếu ø(Ø) > +œ,ta nĩi 6-400 rằng 7' cĩ một nhánh - xoắn ốc 4) Bay giờ ta giả thiết tổn tại đ; sao cho /2(Ø) F > too, 0 Ta thực hiện một phép đổi hệ quy
chiếu, bằng cách lấy hệ quy chiếu mới £' là hệ quy chiếu suy từ bằng phép quay tam O và gĩc quay
đụ; ta ký hiệu XX, VY là các trục của
Trang 3198 Chuong 4 —Budng cong trén mat phing viDU: †) Khảo sát nhánh vơ tận (khí Ø ot ) của đường cong 7 cĩ phương trình cực : _ tang P* cos 20° Tacé: p(@) > +0 oat Nếu ký hiệu ø= Ø — Fila được : x ta 4 +) sine = — l+tang -Í cos{ % +21) 2(1-lanukose 49-2 Y@)= Z(8i(@ _# + LS
Vậy ?7"nhận đường thẳng 4 cĩ phương tình Y = = trong hệ quy chiếu suy tit 2 bởi phép quay tâm (2 và gĩc quay 4 „ lầm tiệm cận
Hơn nữa, nhờ khai triển hữu hạn : lHAang VY) — 2 lạni)60Su vậy YO+4 ~~ “>0, H30” Từ đĩ ta kết luận rằng 7nằm vẻ phía trên đường tiệm cận (trong hệ quy chiếu (OX, Đ) khi Ð xẤ— 2>-Khảo sát nhánh vơ tận (khí đ đân tới 0*) của đường cong 7ˆcĩ phương tình cue: _ 240088 sin2Ø ` Trude hét: ø(Ø) -> +so 0¬s0+
Sau đố: ¥(@)=p(0)sing = 2289, 4p, cưng
Trang 44.2 Đường cong trong tọa độ cực 189 4.2.8 Cac tinh chat déi ximg
Cho Ƒ là một đường cong nhận một phương trình cực ø= (0) 1) Tính tuần hồn
a) Ta giả thiết ràng ø tuần hồn và ký hiệu 7 (> 0) là một chu kỳ của ø Vì,
với mọi Ø, ø(Ø+ 7) = ø(6), nên ta chuyển từ M |Ø,ø(01} sang A|Ø+7„o(0)] bàng
phép quay Rotu¿ ;, vậy Ƒˆ bất biến đối với phép quay ấy
Ta thu được đường cong 7 từ một đường cong 7; (ứng với Ø biến thiên trong một khoảng cĩ độ dài 7) bằng những phép quay liên tiếp tâm @ và các gĩc quay T,2T Nếu trong một khoảng cĩ đệ di là một bội của 2Z, thì ta thụ được toần bộ đường cong khi cho Ø biến thiên + Nếu tồn tại một bội của 7 cũng là bội của 2z (tức là nếu fe Q), ta lai đưa về trường hợp trên
Nếu : £Q, thì cách vẽ 7"sẽ khĩ khan hơn
b) Ta giả thiết ràng 16n tai T > 0 sao cho, với mọi đ, 2(Ø + 7) = -ø(đ) (ta nĩi
ràng 7 là một phản - chu ky của ø) ; khi đĩ, với mọi ổ, ø(Ø + 27)= -ø(0 + T) = AO), vay ø tuần hồn và 27 là một chu kỳ của ø như thế ta quy về a)
Hơn nữa, ta chuyển từ M|0.o@] sang M[Ø+T, ~ ø(Ø)| bằng phĩp quay tâm Ø va géc quay T + 7
2) a) Ta giả thiết rằng, với mọi đ, ø(-đ) =A0 3 vay thì ta sẽ chuyển từ
M{Ø.ø(0)|sang M[-Ø.ø(—6)| bởi phép đối xứng qua x*% Vậy ta sẽ cho Ø biến thiên
trong {0;+œ{, rồi thực hiện phép đối xứng
qua x'x
ø) Tổng quát hơn, giả thiết tổn tại ø€ IR
xao cho, với mọi 6, ø(œ - Ø = ø(Ø) ; khi đĩ
ta sẽ chuyển từ M{Ø.pø(6)] sang Mị[ư~0.ø(œ-0)] bởi phép đối xứng qua
đường thẳng đi qua Ø và cĩ gốc cực ©
Vậy ta sẽ cho Ø biến thiên trong [girl ;
Trang 5200 Chuang 4 = Budng cong trén mặt phẳng
¢) Gia thiét ring, v6i moi 6,
/(-8) = -ø(6); khi đĩ ta chuyển từ M[ớ, 2(@] sang M[-Ø, ø(-@)] bởi phép đối xứng qua yy Vậy ta sẽ cho đ biến thiên trong
[O ; +œ[, rồi thực hiện phép đối
xứng qua y3
‹) Tổng quát hơn, giả thiết rằng tổn tại œ € R sao cho, với moi đ, X2 - Ø = -ø(6) ; khi đĩ ta chuyển từ M[8, ø(Ø] sang MMỊø - 6, ø(œ - 6)] bời phép đối xứng qua đường thẳng di qua O VÀ cĩ gĩc cực StF: Ta sẽ cho @ biến thiên trong
[Site rồi thực hiện phép
đối xứng qua đường thẳng ấy, y Mi-8, ø{~8)]<————] 'M [6, p(8)] A 8) Ø(-8) =~ø(8) lâu ` oJ-ø * M [a - 8, pla - 8)]
4.2.9 Phía lõm đối với gốc tọa độ, điểm uốn
Giả sử 7 là một đường cong nhận một phương trình cực ø= (0 trong đĩ ø
thuộc lớp C,
Trang 64.2 Đường cong trong tọa độ cực 201 Nếu Z6 + 22°(6 - ø(0/2'40 >0, thì 7ˆ aM quay phía lõm (trong lân can cia M(6)) ve “6 M(6) phía Ĩ r @ \IM: 2 dg? —*, Nếu Z{Ø + 2ø°(0 - MAPA <0, thì 7` quay phía lơi (trong lân cận của Ä/(Ø)) về phía Ở Nếu # + 2ø? - øø" triệt tiêu và đổi dấu tại 6, thì 1/(Ø) là một điểm uốn của 77 NHẬN XÉT : ~ gø"+à2 o
Nếu ký hiểu w=-_, ta 06 w= & va ut bea pda 2 pe yt dé wt =
4£” +22 ”~ĐP” , điều này cĩ thể cho phép đơn giân các phép tính 2
VÍ DỤ :
Xác định các điểm i¢ dinh cac diém uốn của dường cong 7 cĩ pl uốn của đườn T'cĩ phương trình \g trình cực Ø 4a cos38 a ‘Trude tién ta chi ¥ ring p 1A 24 - tuần hồn và chấn, điều này cho phép quy
việc khảo sát về ở [4]
Ta cĩ: w= a = 4 + cos36, u" = -9cos30, từ đồ w + wú” = 4 - 8cos3Ø, biểu thức Pp
này triệt tiêu và đổi dấu khi và chỉ khi Ø = #$
Như vậy, 7 nhận sáu điểm uốn; đĩ là điểm ứng với Ø = „ và các điểm cĩ được
từ điểm đĩ bởi phép đối xứng qua x+ và bởi các phép quay tam O va cdc gĩc
2z
Trang 7202 Chương 4 Đường cong trên mặt phẳng 4.2.10 Điểm bội
Cho ?"là một đường cong cĩ phương trình cực ø = /{0)
Ta sẽ bắt đầu bàng việc định nghĩa một khoảng (hay một hợp cửa những khoảng) liên quan đến Ø, mà từ chúng ta thu được tồn bộ đường cong
Ta sé khảo sát riêng trường hợp của Ø (nếu @ e 7)
Những điểm bội cĩ thể của / gồm trong những điểm M(O) sao cho tén tại & €7 thỏa mãn ø(Ø + 2km) = (0, hoặc sao cho tồn tại / e Z7 thỏa mãn
+ 0+ 212) = -X0) Vậy ta sẽ giải hai phương trình này, với các ẩn 9 k, I
VÍ DỤ:
Vé dudng cong Fed phương trình cực ø= I +2 cosØ- 4cos2Ø và chí rõ các điểm
kép của /
* ø cĩ tính 2m - tuần hồn; vậy ta sẽ cho Ø biến thiên trong một khoảng cĩ độ
đài 2Z để nhận được tồn bộ dường cong
* ø chân: vậy ta sẽ cho Øbiến thiên trong [0 ; a], sau đĩ sẽ thực hiện phép dối xứng qua (x34) ⁄5 lỞ = Arccos ký hiệu là ứ ô 4} = â cos0 = evs = lhoạc 5 0 = Arccos ! ws ký hiệu là Ø Ta cé: @ = 0,628, B= 1885
+ ø thuộc lớp C! wen [0; a] va:
Vee (0; a], ø(@® =-2sinØ0(1 - 4cos0,
Vậy Z triệt tiêu và đổi đấu tại một và chỉ một giá trị của Ø, Ĩ= Areeos (4) why higulay, vatacdé 20) = Š, 4 Ta được bảng biến thiên của ø: « Điểm bội Vì ta thu dược 7 (tồn bộ) khi cho Ø biến thiên trong [-# ; 8], nên ta sẽ giải phương trình /{0 - 2) = -/2(Ø), với Ẩn Ø e [0 ; xÌ
Ta cĩ, với mọi Øthuộc [0 ; m] :
/(8- ®) = -Ø(0) C> 1 ~ 2 cos0~ 4 cos°Ø = -(1 + 2 cosØ- 4 cos20)
Trang 8
á.2 Những cung tham số 203
4.2.11 Luve dé khảo sát một dường cong cho bởi một phương trình cực
Chơ Ƒlà đường cong cĩ phương trình cực p = (A)
a) Khảo sát p
1) Xác định miền xác định của p
2) Tìm các tính đối xứng cĩ thể của 72 bằng cách tìm các chu kỳ, phản - chu kỳ, các cơng thức cĩ chứa ;X-Ø), ø(# - Ø (a cố định phải tầm)
3) Các trị của Ø làm triệt tiêu ø, đấu của ø, giới hạn của ø tại các cận của các khoảng
4) Khảo sát (khơng bắt buộc) sự biến thiên của ø 3) Bắng ghi lại các kết quả trên đây
b) Khảo sát Ƒ'
1) Gốc Ø cĩ thuộc 7` khơng, và nếu cĩ, xác định một hay các tiếp tuyến với 7 tại Ở
2) Khảo sát các nhánh vơ tận
3) Xác định các điểm bội
4) Khảo sát (khơng bất buộc) về tính lõm và các điểm uốn
Trang 9204 Chuong 4 Đường cong trên mặt phẳng
4.2.12 Ví dụ về cách vẽ đường cong trong tọa độ cực
Trước tiên (các ví dụ 1 và 2) là các đường cong "cổ điển"; z chỉ một số thực > 0, cố định
1) Đường hình tim 7: z( 1 +cos Ø
« Def(s) = R
« là 2z - tuần hồn ; ta được tồn bộ đường cong bằng cách cho Øbiến thiên trong một khoảng cĩ độ đài 2z
* ø chẩn; ta sẽ cho Ø biến thiên trong [0 ; z}, rồi thực hiện một phép đối xứng qua x%
* 2(Z)= 0 và, với mọi Øthuộc {0 ; zÌ, ø()> 0
© 2khả vi trên [0; z] và: VớØe[0; z], ø6)=- asin8 » 6 0 7 a r 0) 0 - 2a pie) oo 2a x 9
2) Đường xoắn ốcloga 7: ø=«e”“( 4e R cố định)
® Ta chuyển từ đường cong 7¡ ứng với  sang đường cong 7 ;, ứng với -Â, bằng phép đối xứng qua x+ Mặt khác, 7¿ là đường trịn tâm O va bán kính a Bay giờ ta giả thiết  > 0
Trang 104.2 Những cung tham số 205
NHẬN XÉT :
ø0) _ 1 « Ta cĩ, với mọi Øthuộc lR, tanV = 20 Ã
s Cho ø e R và k = e*”; Ƒbất biển đối với phép đồng dang thuận, tam O, ty
số k, gốc œ, vì nếu A⁄|Ø ; ae?°| thuộc 7 thì M[Ø + œ ; ae“?*®] thuộc 7; và M' vậy gĩc V khơng đổi
suy ra tit M bàng phép đồng đạng đĩ
2) bwin 1: p= 2h
« ølà 2z - tuần hồn ; vậy ta sẽ cho Ø biến thiên trong [-2; a] dé cd duge
tồn bộ đường cong 77 : © Def (9) 0 [es a] = |¬z:~5#|2}-2#;—Z[]~Z:z} 6 6 6 6 = 2a 22\ *AD=0S0e { 373 © pkha vi và, với mọi Ø, ~2( +cosđ +sinØ) 110) = z6 (sind +1)? Từ đĩ ta suy ra bảng biến thiên của p _Sm 2x ” 2m 8 | - 6 73 “6 z " a - ~ - ¬ +00 +00 _ —œ > oo =I + Nhánh vơ tận, ổ -> ~ŠP Ta ký hiệu w=Ø+Š#' ——_»0 Ta cĩ: 6 : 5 2eo|T— ST vu xi B
prose 0+ sinu = —V300Sse+sinutL
Trang 11206 Chương 4 —Budng cong trén mặt phẳng 3-3 Vậy ƒf nhận làm tiệm cận đường thẳng 4; cĩ phương trina Vị = trong hệ quy chiếu trực chuẩn thuận là OX, OY.) xác định bởi 37_
⁄ 0%) = “E12, và, khi ng (tương ứng : cH )
nằm ở đưới (tương ứng : Stren) dns thing (so voi (0 ; OX, : oY,)) « Nhanh vo tan, 0 > ¬ 6 Với ký hiệu +'= Ø2 +e 5 0, sau khi thye hién các phép tính ta được : đàn Z0Ixa(2+5 = TH, #¬ w+ư(v) 3+3 3
Vậy 7 nhận làm tiệm cận đường thẳng 4; cĩ phương trình Y; =
trong, bg y.c.tet (0: OX, ; OŸ,) xác định bởi Z(Ox, OX; ys 4 [2a],
Trang 124.2 Đường cong trong toa độ cực 207 4.2.13 Tính diện tích phẳng trong tọa độ cực
Ta nhấc lại các kết quả đã biết trong Tập 2, 13 6
+ Mệnh đề Cho một đường cong được định hướng 7'cĩ phương trình P= 0), gốc 4A, mút Ư Diện tích của hình quạt 2 giới hạn bởi 7; ĨA, OB la: - 1 [ 5, D)=+ A(D)=5 4.0240 VÍ DỤ :
Tính diện tích của phần mạt phẳng gồm giữa một vịng khuyên lớn và một vịng
khuyên bé của đường cong /"cĩ phương trình ø= 1 + 2cos3/,
Ta bắt đầu bằng việc khảo sát /"và vẽ dường cong 7?
s là SS - tuần hồn ; vậy ta sẽ cho Ø biến thiên trong một khoảng cĩ độ dài 2a „ tồi thực hiện hai lần phép quay tâm Ø và gĩc quay a
ậy ta sẽ cho Ø biến thiên trong [3]: rồi thực hiện phép dối
Ta ký hiệu >A, và >A; là hai diện tích tương ứng của vịng khuyên lớn và bé, diện
Trang 13208 Chương 4 Đường cong trên mặt phẳng
Bai tap
© 4.2.1 Vẽ các đường cong xác định trong tọa độ cực sau đây:
Ta | end =sin 20 tan8
a) p=sin20+ sind b) Z=sinT c) p=sin 3 d)p= T-sinổ @ sin& = ltsind - - ~1>2cos2 ©) B= ng Aemleund 8 2~T ống — P= Taina í
) p= —Sin2e s.a.—1 = 6 =e2sin
Ap 1-tanổ dD a] ky px +cos$) Q) p=e2sind 2 m) 2= 8 n) 2= 6? 2i2ng p) 8=j8@~D _—1 4)” wai 9 4.2.2 Một điểm P vạch đường trịn C Y
tâm O ban kinh OA Xác định quỹ tích các điểm tiếp xúc M cia đường trịn nội tiếp
tam giác ƠÁP với đường thẳng (P) M
© 4.2.3 Xác định đường phương khuy của đường xoắn ốc loga C cĩ phương trình cực ø= ae? (ae R}, 6 R` cố định), tức là quỹ tích các điểm thuộc mặt phẳng từ đĩ ta cĩ thể kẻ hai đường tiếp tuyến với C và hai đường tiếp tuyến này trực giao với nhau
9 4.2.4* Đường hình tìm
Ta xét đường hình tìm C, cĩ phương trình cực ø= 1 + cosØ
a) VEC
b) ø) Chứng mình rằng C nhận ba đường tiếp tuyến cĩ cùng phương cho trước; ta kí hiệu Äf,, Mạ, Mẹ là ba tiếp điểm
8 Xác định tâm đẳng tỷ cự của M,, My, M; ? Chứng tỏ rằng diện tích Aƒ,M;M; khơng đổi
c) Một điểm &ƒ vạch nên C; chứng tơ tồn tại Mf,, M, trên C sao cho các tiếp tuyến với C tại M, M,, M„, song song (xem b) 2) Xác định quỹ tích trung điểm J cha M,M, 4) Xác định quỹ tích của điểm đối xứng của Ø qua một tiếp tuyến di động của C £) Một đường thẳng đi động D đi qua O cét C tại hai điểm P, Ø ngồi điểm O ; ta ký
hiệu A(2, 0)
Ø) Xác định quỹ tích của tâm đẳng tỷ cự của APQ
/8) Xác định quỹ tích của giao điểm ƒ của các tiếp tuyến với C tại P va Q
0 4.2.5 Tính các diện tích sau:
sinØ ˆ
Trang 144.3 Đường cong cho bằng phương trinh Descactes 209
4.3 Đường cong cho bởi phương trình Descartes
43.1 Dai cuong
Cho U 14 mét tập mở của #”, & € N*, fi U & là một ánh xạ thuộc lớp C*
trên Ú, Ta khảo sát đường cong ?'cĩ phương trình Descartes (viết tắt: PTD) : fix, y) = 0, tức là tập hợp 7 các điểm Ä(x, y) của & sao cho fix, y) = 0
Chẳng hạn, phương trình xˆ + y - 1 = 0 biểu diễn đường trịn tâm O va bán kính 1
Nếu 7 được cho bởi một BDTS E E oO thi la sé thu được PTD bang céch khitr trong x = x(t) va y = y(t) VÍ DỤ: x=—t 3 Ta xét hinh 14 Descartes 7"cĩ BDTS tý (xem 4.1.7, Ví dụ 4) 1+ -_† Ầ oe] y=u 3À x#Ơ và {553 * Ta cĩ: | 3€R- 3 ©x3+y?-ay=0,
Như vậy, một PTD của 7 là: 22+» °-xy=0
Ngược lại, cho 7 là một đường cong được cho bởi một PTD fix, y) = 0 Nĩi chung, khơng thể nhận được một BDTS "đơn giản" của 7: Ta cĩ thể thử biểu diễn 7 (một
cách cục bộ) bởi một hệ thức y = gx) (hodc x = ¥(y)), trong đĩ ø là một hàm số, tường minh hoặc ẩn Ta nhắc lại định lý hàm ẩn (xem Tập 2, 12.6.2, Định lý) : @| Binh ly1 Cho U là một tập mở của R, A = (4, ð) 6 U,ƒ: U—y 3 là một ánh xạ ƒ(4)=0 Ta giả thiết : 4 ƒ thuộc lớp C1 trên Ứ #90
Khi đĩ tổn tại hai khoảng mở J, K cĩ tâm lần lượt tại ø và b sao cho Jx Kc U và thỏa mãn điều kiện sau : tổn tại @: ở —> K thuộc lớp CÌ, và duy nhất, sao cho :
Trang 15210 Chương 4 Đường cong trên mặt phẳng
Hơn nữa (xem Tập 2, 12.6.2, Mệnh để) :
@| M@nh dé - Với các giả thiết và với các ký hiệu của định lý hàm ẩn, nếu ƒ thuộc lớp C* trên E/ e NỶ L2 {+©}), thì ø thuộc lớp CẺ trong lân cận của ø, và trong lân cận của œ ta cĩ : `
_ #y(@,ø() - #(sø())
Với các giả thiết và với các ký hiện của định lý hàm ẩn, tại A (2, b) đường cong
£ cĩ PLD ƒ@x,y) = 0 cĩ một tiếp tuyến 7 với hệ số chỉ phương #(2), tức là, ø{)= " _ $9 _ vay 7 nhận PID #0) Œ~2)0()+@~)ƒy(9=0 Khi đĩ chú ý rằng, nếu /;(4)=0 và /;(4)z0, thì cĩ thể áp dụng định lý hầm ẩn bằng cách trao đổi các vai trị của x và y, và tại A,/ cĩ một tiếp tuyến với PIT) trên dây
“Ta nhắc lại một định nghĩa (xem Tập 2, 12.8.1, Định nghĩa 1)
® Định nghĩa 1 Cho Ú là một tập mở củ f:U >P tà một ánh xạ thuộc lớp C' Ta gọi ánh xạ từ vào R’, ky hiệu là gradƒ_ định nghĩa bởi :
grad/ =(y,y)
li gradient cha
đâ| Định lý 2 Cho U là một tập mở của R?, A = (a, by E UL fs UR là một ánh xạ thuộc lớp C", 1a dutmg cong 6 PTD fix, y) = 0 Ta giả thiết la zư: Khi đĩ tại A, 7'cĩ một tiếp tuyến với PTD : (x~3)££()+0œ-)/() =0 Nĩi cách khác, sradƒ(A) trực giao với Ï" tại A grad f(A) M
® Định nghĩa 2 Cho Ú là một tập mở của RỆ, ƒ : Ú —>IE thuộc lớp €!, Ta gọi các đường cong 77 cĩ PTD ƒ (x, y) = 4, với Ä e R, là các đường đồng mức của ƒ
Với các ký hiệu đĩ, 72 nhan PTD f(x, y) = 0, trong dé f, : Uae
Trang 164.3 Đường cong cho bằng phương trinh Descactes 211
43.2 Vídụ
Ð) Để nhớ lại ta phải nhắc đến các đường thẳng được cho bằng một PID (xem 1.2.1, 2) và các đường cơnic được định nghĩa bằng một PTD (xem 2.2.5, -))
2) Vẽ đường cong Ƒcĩ PID: xy (x -y) + P+ y =O, ý hì + q2 TRR MUS ene « Tính đối xứng Ta chú ý: V(vy) BỆ, ƒCy, +) =/(, y), vậy / nhận đường phân giác thứ bai 8; làm trục đối xứng ø Khảo sát tại 0 Đường cong 7 đi qua Ø, vì /(0, 0) =0 peosØ psinØ" ta CỔ † Chuyển sang tọa độ cực : { Q : 1=| pcosOsin@(cosé —sin@)|<2p Ta chú vậy ø bả Điều này chứng tỏ Ø là một điểm cơ lập của 77 ® Cho ve cĩ: ƒ@,y)=0<œ(1-+)y)+A*y =O Nếu x= 1, thì: ƒ(1,y)Z0 @ y=—1
Giả thiết xz1 Tam thức (dối với y) (1-x) y`+xŸy + x° cĩ biệt thức : AQ0 =3” - 4È - x) =a2Q2 + 4x - 4)
Từ đĩ, tùy theo vị trí của x đối với x,, x; (rong đồ xị = ~2-24/2, xạ =-2+2v/2 1à những khơng điểm khác khơng của 4), ta suy ra số lượng các điểm thuộc 7 cĩ hồnh độ là x: x -o -2-272 0 -2+2/2 1 +00 Số điểm trên ị | | | ftĩ hồnh độ x 2 1 ũ 1 0 1 2 1 2
Chúng ta tìm nhimg diém M(x, y) thuge F'sao cho f(x,y) #0 và ƒÿ(x.y)=0;
tại các điểm này tiếp tuyến song song véi yy
Vi fx, ) là một tam thức bậc hai, nên đĩ chính là các điểm thuộc 7 "cĩ hồnh độ -¡.xs vừa xác định trên đây Hơn nữa : yen xys07 yo XI đã » 3=" À ntự: JX 32 x VÀ, tương tự : Z3 -o 2 {:
Vay ede diém (-1-2¥2,-2) và (2+24/2,—2) là các điểm thuộc 7 tại đĩ tiếp
tuyến song song với y'y
-2+22
Trang 17212 Chương 4 Đường cong trên mặt phẳng
® Nhánh vơ tận
Ta thừa nhận rằng sẽ thu được các phương tiệm cận của một đường cong đại số 7ˆ
bằng cách cho triệt tiêu phân thuần nhất cĩ bậc cao nhất trong PTĐ của 7”; ở dây
7nhận ba phương tiệm cận, cĩ PTD x=0,y=0,x- y=Ĩ0
Khi cát 7 "bởi một đường thẳng cĩ PID_ x= ø (ø e Ï#), ta được (các tính tốn
đã đưa ra ở phân trên) :
Œ- Ø?)+ £y+ d2=0
Nếu ø #I, phương trình bậc hai này cĩ thể cĩ hai nghiệm thực ; khi @ = 1, một trong hai nghiệm sẽ "di ra vơ tận”, và khi đĩ 7”sẽ nhận dường thẳng cĩ phương wink x= | lam tiệm cận
Nhờ phép đối xứng qua Ư›, 7 cũng nhận đường thẳng cĩ phương trình y = -1 lầm tiệm cận
Bay gid ta cát / bởi đường thẳng cĩ PTD y = x + Ø (8e R):
y=x+8 y=x+/
G82 xy c0 - =0
Với > 2, phương trình này cĩ hai nghiệm cho x ; với /@= 2, cả hai nghiệm ấy “đều đi ra vơ tận”, và khi đĩ /nhận đường thẳng c6 PID y = x + 2 làm tiệm cận Pr N N 2422) \ ` 3) Khảo sát đáng điệu của các đường đồng mức của ƒ: R? —> là xác định bởi: WGy)ef, /Gy=[cỦa Ne Với  € R, ta ký hiệu 72 là đường đồng mức của f cĩ độ cao 4, tức là đường cong trên mặt phẳng cĩ PTD là: f(x, y) = 4 Ta ký hiệu ổ: IR —> IR là ánh xạ định nghia boi : Vu eR, g(a) = f “vở 0 Vậytacĩ: V(x.y)e]lR, — ƒ&.y)= đ0)- đœ), và 71 cĩ PTD : Ky) = Ha) + A
Ánh xạ ổ thuộc lớp C! én RA: Vee RB, P00 =e >0,
vay ¢ tang nghiém ngat
Trang 184.3 Đường cong cho bằng phương trinh Descartes 243 Mặt khác, dì /L>e”>0 va ring 2 0 +00
Pe ~> 0, nén nh xa ths e-!? kha I4te0 # P +
tích tren [0 ; +0[, vậy ø cĩ giới hạn hữu vt
han tai +00, vA gidi han này là HH la 2 $ Ệ ede - 0 Theo Tập 3, bài tập 2 5 6 c) : fer dt= v o 2ˆ Ánh xạ ở là một C! - vi phoi tir len bes - Nếu Á< —z hoặc 4> /Z, thì 7; =Ø Vậy ta giả thiết — ý <Â <v~ Ta chú ýlà: Ví y) €R', ƒG&,y)=4©/0Ð=-Á,
vay J, suy từ 7 bằng phép đối xứng qua dường phân giác thứ nhất Vậy ta ˆ
giới hạn việc khảo sát vào trường hợp 0< 4 <vZ Với mọi x thuộc lR, ta cĩ :
vn
“> VE, <40)<ÃZ =4 =g0)<
Vậy nếu 4 > 0 thì 7 là dường cong biểu diễn ánh xạ
ØA:ÐẠ -Ì= #¬leP-A| xp lia > R Ánh xạ ø; thuộc lớp C' trên iv D, và, với mọi x thuộc Ð; : x | -00 $ om “i 04 (x)=(-1(@G)+ 46G) dị + = —@. _ >0 too #6 ˆ1@Œ +) Đ oo Với 2 = 0, 7¿ là đường phan a giác thứ nhất oes Vì, với mọi (x, y) thudc R?: *t nJa>oœ N Tỳ N = — free du= f(x,y), ‘ .-Ắ- a) [u=-1] ¢y an =
nên Z¡ đối xứng đối với đường XS
phân giác thứ hai `
Trang 19214 Chương 4 Đường cong trên mặt phẳng : “ Bài tập 0 4.3.4 Vẽ các đường cong cĩ phương trình Descartes F'(x,y) = 0, với F(xy) cho sau đây: a) yoy 42x? -x=0 fb) x4 -y* -96x7 +100y" =0 c) x9 +2y% = 5xy? =0 @) x7 43x2y? 4293 =0 &) yt -ayt3=0 Ơ 4.8.2 4) Chứng minh ràng đường cong C cĩ phương trinh Descartes + g?@—y)—x?œ~2)œ—D=0— bị chặn :
bỳ Tổng quét hon, cho P,Q € R[X] — {0}, 66 cing bac chan n va véi cde hg tir cha
X* cĩ dấu đối nhau Chứng minh rang đường cong C cĩ phương trình Descartes #0) = ØỢ) bị chân
»
9 4.3.3 — Vẽ đường cong C cĩ phương trình Descartes Ỉ —ửt_ x fit4i
0 4.3.4 Vẽ dường cong C cĩ phương trình Descartes F(x, y} = 0, trong đồ : PRIOR va FiR' OR
(qxul‡f * Ycoss néu1>0 1 néursd
0 4.3.6 Xác dịnh một phuong trinh Descartes của quỹ tích các điểm tiếp xúc của các tiếp tuyến kẻ từ một điểm cố định A (xạ, yạ) đến các dường trịn vị tự của đường trồn cĩ phương trình x2 + yˆ - 2x = 0 trong các phép vị
tự tâm 0
0 4.3.6 Cho là một clip, Ở là tâm của nĩ,
M eE,P là hình chiếu vuơng gĩc của Mƒ lên øẲ P trục lớn của E Xác định một phương trình Descartes cha quỹ tích của giao điểm @ của
Trang 204.4 Hình bao của một họ đường thẳng trong mat phang 215,
4.4 Hình bao của một họ đường thẳng trong mặt phẳng
Mục §4.4 này đành cho sinh viên năm thứ hai
4.4.1 Lý thuyết
Cho (Ø,)„¡ là một họ đường thẳng của mật phẳng, họ này được chỉ số hĩa bởi
một khoảng / của l\ (khơng rồng cũng khơng suy biến thành một điểm) Ta gid thiết tổn tại các ánh xạ ø, b, c : 1 > R thuộc lớp C' trên 7 sao cho, với mọi ¿ thuộc 7, Ð, nhận PTD : a(0)x + b()y + cứ =0 x= x(t) y= ye) thuộc lớp C' trên 7 và rằng, với mọi ¿ thude J, tigp tuyén Voi Pui MC) là dường thắng 7, Ý) Ta giả thiết tổn tại một cung tham số hĩa r| (t € Ð sao cho x, y a(0x0)+ b()y()+ cứ) =0
Vậy tAc6: Vrel, ha
Trang 21216 Chương 4 _ Đường cong trên mặt phẳng
Giả thiết a, b, c thuộc lớp CŸ trên 7 ; khi đĩ x, y thuộc lớp €` trên / Khi lấy đạo hàm đẳng thức thứ nhất rồi trừ từng vế, ta cĩ :
Viel, a0) x'@) + b( y0) =0
Từ đồ suy ra rằng, với mọi í thuộc 7 sao cho (+°(2, y'()) + (0, 0), tiếp tuyến tại Aƒ
với /'cá PTD: azŒ)x + b(9y + cự) =0, vậy đĩ là D„
Tà tĩm tát việc khảo sát bằng một Định nghĩa và một Định lý
@ Binh nghĩa - Cho (2),., là một họ đường thẳng của mặt phẳng cĩ PID: Đụ 1 a@)x + bữ)y + cũ) = 0, trong đố œ, ð, e +7 —> I§ thuộc lớp CỦ và : a(t) bag, veh ly BO
Ta gọi mỗi dường cong /"của mặt phẳng thỏa mãn : * Moi D, déu tiếp xúc với 7`
® Tại mỗi điểm 7"cĩ một tiếp tuyến và tiếp tuyến này là một đường thẳng thuộc họ (Ð,)„„ là hình bao của (,),-„ [Định lý _- Cho (D,, , là một họ đường thẳng của mặt phẳng cĩ PTD : D Lax + by + cf) = 0, trong d6 a, b, ¢ : > R thudc lép C? va: laứ) b(t) 2Œ) bŒ) Khi đồ (D2),., nhận một hình bao 7? và 7 là cung tham số hĩa pr x(t) »=y() phương trình (với ẩn (x, y) € R?): ly +b()y+cŒ)=0 4Œ)x+P'@)y+c0)=0ˆ Viel, +0
› trong đĩ với mọi ¿ thuộc ?, (x(), y()} là nghiệm của hệ
(Ta giả thiết ở đây : V €7, (@'@), y'0) # (0, 0)
Với mọi ¿ thuộc 7, điểm (x9, y)), nghiệm của hệ phương trình trên, được gọi là
điểm đặc trưng của ?, (hoặc của 7")
Trang 224.4 Hình bao ce một họ đường thẳng trong mặt phẳng 217
442 Vídụ
7) Xác định bình bao của đường thẳng (AB), wong d6 A e x'x, 8 € yy, AB=a>0 (a cố định)
'Ta tham số hĩa : A (a cost, 0), B (0, asiny), t € IR
Đường thẳng (AB), được ký hiệu lÀ Є cĩ PID:
D, lx sint + y cos f = a cos sin é, Từ đĩ : D’,\xcost- y sin t = a(cos’t - sin*s)
Giải hệ hai phương trình, ta cĩ :
p = acosfSin2† + ac0Sf (Cos2 ¡—sin2?) = acos3t
y = acos? tsiné+acost (cos? ¢—sin? ¢) = asin3t” Như vậy, hình bao Z của (4ð) là đường y a hình sao A =acos? (xem 4.1.7) 66 PTD $* = 608 1 ZN y=asin"t gx
Điểm đạc trưng của D, với tọa độ b
(a cos’t, a sin’), là điểm tại đĩ D, tiếp xúc với Ƒ`
2) Cho P là parabol cĩ PTD yŸ = 2px (>0 cố định)
Một điểm M vạch nên P ; pháp tuyến với P tại M cát lại P tại một điểm N Từ trung điểm / của MN ta kẻ các pháp tuyến với (khác với (I) cắt P tại hai điểm U, V Xác
định hình bao của (UV)
2
Trang 23218 Chuong 4 Đường cong trên mặt phẳng
Một vectơ tiếp xúc với P tại A là : (- ) „ hoạc, do tính cộng tuyến, (/, p)- Từ đĩ một PTD của pháp tuyến X, tại M với P là : t[x-#*|*p@-o=0 x¬ấp J+p@~0=0 Vay ta khio sit N,v P =2px 2Ì (y-0=0 4“ l+pG@y-o= 2pjt v2 MmyEN OPS & y 2p 07|.0+0+p)=0 2p eo từ đĩ cĩ tọa độ của : 2 oy = 28-1, vado ds ay JN _ 2p" 2y “Tác t2n+ 2 = 3 + 2p° 2 và cuối cùng các toa dé cia trung diém / cla MN : ys 2 x} = yOu tant £ 2p” v =hom tye 2 x 2 * x,
Git st Ae R, v(# 2) là một điểm thuộc P ; một PTD của pháp tuyến Á¿ với P tại W Tà (xem trên đây) : #2 -Ä}= as Be my 3)=0 3 2 2 2 Từđĩ: /e M¿ © 4 p2 2À, _ rc 2p 2p) t 3 P Ant 442.22 ~2?)= c 2 (Ä-Ð ap" 4)=0
©-2p` +2¡?0+ Â) =0, nếu r Â
Điều này chứng tỏ ràng các tung độ u, v của các điểm (7, V là các nghiệm của phương trình bậc hai - Z4? + Ê2- 2p*=0, với Ấn  e lR
Biệt thức là : /” +8p#¿2 >0
Trang 244.4 Hình bao của một họ đường thẳng trong mặt phẳng 219
Trang 25220 Chương 4 Đường cong trên mặt phẳng ap 0 4.4.1 Xác định hình bao của họ dường thẳng (2),e g, cĩ phương trình Descartes cho dưới đây : a) - 9# + 2< (1+) =0 ð) x chỀt + y sh? - ch?2: =0 €) Œ- 2)x + Qf - 2)y + P =O 0 4.4.2 Cho một đường trịn C và một đường thẳng Ð Một đường trồn 7 với bán kính khơng đổi # dịch chuyển song song, với 2 Xác định hình bao của dày cung
chung của € và Z1
9 4.4.3 Cho # là hypebol cĩ phương trình xy = L, và A, 8 là hai điểm thuộc # sao cho hồnh độ của điểm này gấp đơi hồnh độ của điểm kía Hãy xác định hình bao
của (AB)
9 4.4.4 Cho (a,b) € (R’)’, Ata, b), PE xx, Q € y’y sao cho (AP) L (À), Xác định hình bao của đường thẳng (PQ) } ¢ 9 4.4.5 Một điểm 8Z vạch nên parabol C c6 P ú phương trình y? = 2px (p > 0 cố định) ; giả sử i
P là hình chiếu vudng g6c cha M len y’y, FA —
trung điểm cũa OM Xác định hình bao của ° *
Trang 264.4 Hình bao của một họ đường thẳng trong mặt phẳng 22+
9 4.4.6 Một điểm Aƒ vạch paraboì C cĩ phương trình yŸ = 2px (@ > 0 cố định) ; giả sử 7 là tiếp tuyến với € tại # và 7' là đường thẳng đối xứng của 7 qua đường thẳng song song với y'y kể từ Äf Xác định hình bao của 7”
- 44.7 Chole R,P (cost, 0), Q (9, sin) Xác định hình bao của đường trung trực của (Ĩ)
9 44.8 Cho (a6, 4) 6 RU” xi, x R và E là
Mã Be
hình bao của các dây cung của E cĩ trung
diém nam wen đường thẳng phương trình xed
elip cĩ phương trình + + Xác định
đ
9 4.4.8 Xác định hình bao của các tiếp tuyến
chung của hai đường trồn di động cùng đi qua hai điểm cố định và luơn trực gìao với nhau
9 4.4.10 Với 4 € IR1a ký hiệu C¿ : x=
| " 4) a) Ching minh rang Ca cĩ một và chỉ một điểm uốn ; ta ký hiệu tiếp tuy€n voi Cy
tại điểm uốn ấy la Da,
8 Xác định hình bao của (ĐA cực
&) @) Chứng tổ rằng C¿ cĩ một và chỉ một tiệm cận, ký hiệu là 4a, với giả thiết
^et-3,0,3)
Trang 27222 Chuong 4 Đường cong trên mặt phẳng
0 4.4.14 Một điểm M vạch một đường trồn Œ
đường kính 48 Đường thẳng (AM) (tương ứng :
8M) cắt tiếp tuyến với C tại # (tương ứng : A) tại một điểm ký hiệu là P (tương ứng : @) Xác định hình bao của đường thang (PQ)
° 44.12 Choae R} A(, 9), A’(-a, 0), D
là đường thẳng cĩ phương trình y = a Với 7 mọi điểm # thuộc Ø ta cho liên kết điểm 3ƒ”,
là giao của đường vuơng gĩc tại A với (1A) — I
và đường vuơng gĩc tại 4 với (MA") p
a) Quy tích € của Aƒ” là gì 2 AY
Trang 28Chương 5
Cĩc tính chốt mêtric
của đường cong trên mặt phống
Việc nghiên cứu được tiến hành trong mặt phẳng afin định hướng, ký hiệu là ø,, khi
cân được trang bị một hệ quy chiếu trực chuẩn thuận # = (O; ¿, 7) ; tích vơ hướng
được ký hiệu là (- Ì -) hoặc -, chuẩn liên kết được ký hiệu là I'II, và khoảng cách giữa bai điểm A, B được ký hiệu là đ(A, 8), hoặc I ABI, hoặc AB
7 chỉ một khoảng của R, khơng rỗng cũng khơng suy biển thành một điểm (việc khảo sát cĩ thể thích ứng với trường hợp một hợp những khoảng như vậy), và & chỉ
một số nguyên > 1 hoặc = +œ Như thơng lệ, ta đồng nhất & voi R?
ƒ;1 —> @,_ chỉ một cung tham số bĩa thuộc lớp C` (trong 5.1), hoặc lớp C? (trong 5.2), T=ĐD là quỹ đạo của nĩ Với + e 1, tacé thé ky higu M( thay cho fle) Vit € J, taky
hiệu (x(2), yŒ)) là các tọa độ cha M(A) trong R; chẳng hạn, với mọi r thuộc ï :
OM@)= x@)Ï + y(Đj
5.1 Các tính chất cấp một
Trang 29224 Chương 8 Các tính chất mêtric của đường cong trêfi mặt phẳng Việc tính s được gọi là phép cầu trường 7ˆ
Khi ta chọn một phần tử ¿„ của 7 để định nghĩa một hồnh độ cong
stip f l/ 09 đu trên 7, ta nĩi rang M(1,) (hoac L „ đúng hơn, í,) là gốc hồnh
độ cong trên 7ˆ
2) Ta thừa nhận ràng việc khảo sát cĩ thể mở rộng cho trường hợp ƒ thuộc lớp C'
từng khúc trên /
3) Tác dộng của một phép đổi tham số chấp nhận được
Giả sử 7 là một khoảng, Ø: 7 —> 7 là một phép đổi tham số của ƒ, tức là (xem 4.1.] 4), Định nghĩa 2) một ánh xạ sao cho :
ø thuộc lớp C` trên 7
ø là song ánh
Ø' thuộc lớp C\ trên / Khi đĩ ta đã biết ràng : ø > Ohoac g <0
Cho s : 7 — 1Ä là một hồnh độ cong trên 7”; ta ký hiệu ø =s s Ø là một ánh xạ thuộc lớp C' trên 7 Ta cĩ, với mọi thuộc J: Ø9 = # (009) @ (0) = lý "(QO IPD
Nếu ø >Ĩ, thì ta suy ra: Vư e 7, ở 0ị = llø'(6)Ý”(06))lL= ÍÍ ( s ø)” GĨI, và như
thế ø là một hồnh độ cong trên /-
Cũng vậy, nếu ø' < 0, thì - ø là một hồnh độ cong trên 7-
Vậy khái niệm hồnh độ cong khơng phụ thuộc việc chọn biểu điển tham số (thuận), mà chỉ phụ thuộc vào đường cong (định hướng) 7 Chính vì thế mà ta đã định nghĩa khái niệm hồnh độ cong "trên 7” thay cho "trên ƒ”
4) Với các ký hiệu trong Định nghĩa 1, ta cĩ :
veel, ssi frase? Oty? O,
mà đơi khi ta viết một cách lạm đụng là : (ds = (dx? + (dy)? ® Định nghĩa 2 Cho s là một hồnh độ cong trên 7", a, b e 1, A =f (a), B= f(b) Ta goi « độ dài (đại số) của cung ẤR trên 7; và ta ký hiệu ở đây là KÁP), là số thực s() - s(4), tức là :
AB) = [Ip cofee
« trị tuyệt đối của độ dài (đại số) cla AB trén Fla độ dài của cung AB
của 7
Trang 30
5.1 Cactinh chất cấp một
+| Mệnh để 1 (Cộng tính của độ dài cung)
Cho 77, 7; là hai đường cong thuộc lớp C' sao cho mút của 7; là gốc của 7; Khi đĩ độ dài của đường cong T cĩ được do nổi 71 và /¿ là tổng của các độ đài của 71 và !;
Chứng minh :
uk 4a 5 +
Đường cong 7 nhận một biểu điển tham số ƒ thuộc os, ^ lớp C' từng khúc trên khoảng ƒ = j, vở 1; (sao cho k mút của /, là gốc ï, là các khoảng sao cho fl 4 và ƒ!¡ là các hiểu diễn tham số của 7ï và T; Ta cĩ We („M1 ft EU 1 1ƑE0)<ư2: 7
Đường gắp khúc nội tiếp một đường cong trên mật phang
Việc khảo sát sau đây, vốn khơng, thuộc chương trình, cho phép ta xét độ đài của đường cong như là giới hạn của độ đài những đường gấp khúc
Cho a,b € fsaochou<b.A=fla), B= fb)
Ta ký hiệu 5 là tập hợp các phán hoạch của [a, b], tức 1a (xem Tag 1, 6.1.1, Định
nghĩa 1) tập hợp các họ hữu hạn (torr thude fa, b] sao cho : n>l VÀ a=t,<u< ta<Ù,=b Với mợi ø = ()s„„ thuộc S, ta gọÏ số thực p(s) xác định bởi : M, M, p(s) = Sex tài —t) là bước dị của Ø 1 M,=B w
Cho 6 = (Donn € 85 ta ký hiệu, với
mợi ¡ thuộc (0, a}, M, = /ữ), và
nol Mi=A
L(ø) = M,Mj„¡ Tà dộ đài của dưỡng
¡=0
gấp khic MM, M,, “noi tiép trong ƒ"
Trang 31Chương 5 Cac tinh chat métric của đường cong trên mặt phẳng Vi: {" |rephe=Ga =9) 62| =l@¿y =%)/00| -| , tựu, vf Fra reo < + TH tứ 4; friar fet Ƒ” pen fee; fae, và rằng : Ữ @/0)11—1/0,)11dt < [»Ve- fae, nen tasuy ra: 10,8.) MMi ef frie fap le 1 Cho ¿> 0 cố định
Vif? liên tục trên đoạn {a, b], nên theo định lý Heine (Tập 1,4.3.6, Định lý),/ˆ liên
tục đều trên [a, b] ; vậy tồn tai 77> 0 sao cho = Vú, v) ca; bỆ, (- d<n =llƒ)09 -#?@)I< #) Khi đĩ, với mọi phân hoạch ư = Œ;)osi<n của [a, b] sao cho p(Ø) < 17, fa cĩ : ed n=L (4B) = S168, MMe =L{(o) i=0 í=0 ~ tel và đá0)s Š M0 v2f"|ro-reolss) ¡=0 t acl SL (0) + 26d (Gn -4 )= L(e)+2e(b-a) i=0 'Ta được :
VơeS, p(3% 17 32.0 MAB) - L(o) $2(b- 4) 8,
và cuối cùng : 1(ø)—¬a— (AB)
Như vậy ta đã chứng minh được rằng độ đài của một đường gấp khúc nội tiếp trong +
dân đến độ dài của 7 khi bước đi của phân hoạch tiến đến 0
vi DU:
= 3
1) Độ dài của đường hình sao 74” ˆˆ 4295 >0 cố định y=as§Ìin í
Vily do déi xing, 17) = 8/7), trong đĩ 7; là cùng
cĩ được bằng cách cho : biến thiên trong [=| Ta
cĩ, với các ký hiệu thơng thường :
x"()= =3acos” rsinf |
Trang 325.4 Cáctính chấtcấp một 227
bite :
SOE TM +Y OP = 6.2 cos? sin? ¢ } = 3acost sint,
+ 3
từ đĩ: TỰ) = [Š 3acosrsinidr =f vado vay: KD) =6a
2) Cầu trường đường, parabol
Ta tính hồnh độ cong tú mọi điểm của parabol 71 yŸ = 2px, lấy điểm Ĩ làm gốc hồnh độ cong trên 7ˆ n vet „ ƒ € Ïš, suy ra p yự)=1 2 Thực hiện phép đổi biến Hiến ma] đo đĩ Ở=shv ; nếu ký hiệu r Vp p t2 2 By = tn) 4+ |— 41 | để tránh trùng lập, ta cĩ : p Vp BD () s@)= ! pehvae= 2 “Ẩt +chanhdh = Ê/Ø0)+2.sh/0)) 2 = Sains shØ()chØŒ)) = bate 2 nh 5 Một BDTS của 7 là
+| Mệnh để 2 (Tính hồnh độ cong trong tọa độ cực)
Cho 7 là một đường cong cĩ phương trình cực 2= Ø (0, trong đĩ Ø: 7 —> IE thuộc lớp C" Khi đĩ, nếu ký hiệu s là hồnh độ cong trên 7; ta cĩ :
VEL, s@)=((0)+ø°(0)‡
Chimg minh ;
Ta ký hiệu uO) = cos07 +sinj va s(Ø) = Rot„ 04Ø)) = —sinØŸ + cosổ 7
Một BIDTS của Ƒ là/:7 > & xde dinh boi :
veel, fO)= 40) ud}
Ta cĩ: VOGEL, f'(8)= pO) Wd) + 0(O)WO)
Vì (2), v(Ø)) là một c.s.tc, của E, ,nén ta rút ra :
Trang 33128 Chương 8 Các tính chất mêtric của đường cong.ren mặt phẳng NHẬN XÉT :
Đơi khi ta viết một cách lạm dụng: (đs”) = (dp +o (OY VÍ DỤ :
1) Độ dài của đường hình tìm (xem 4.2.12, Ví dụ J)
Đường hình tim 7 với phương trình cực ø= a(I + cosØ) ( > 0), do lý do đối xứng, cĩ độ dài là :
K1< 2[ (24+ 22 oy) 48 = 2af" (t+e0s0y sino) ao ,
= 2a[ˆ 6 +cor0))242 = 4a sox d0 =f sng) = bu
2) Cầu trường đường cong cĩ phương trình cực : p= hệ, - 6 1 29 Ta cĩ: ø=th— ø = —| thế“ —Í, pam Ps ( 3 từ đĩ : 2 0 sleaprp’ ere 24 1 2 ea 4
Khi chon điểm cia “ving v6i O= 0, tức là điểm Ø làm gốc hồnh độ cong trên ? 71a được với mọi Ø thuộc ÏR : _1 2À = Í\—La—w2 Ty Ì = 8 sO) = In Sw = ff ® ‘ya = O- the Bai tap 203
© 5.1.1 a) Vẽ đường cong / "cĩ phương tinh Descartes y= ~+2—, 4 >0 «24
Trang 345.1 Cactinn chat cp mot 229 =a-n3¿f
0 54.3 a) VE dường cong Ƒ"cĩ biểu điễn tham số: {Ý TỐT ĐE y=20-0e
b} Tính hồnh độ cong tại mỗi điểm thuộc /; lấy gốc là điểm của / "ứng với £ = 1 cÿ Tính độ đài £ của vịng khuyên của /ˆ(sẽ phải tính một tích phân trên ]- : 1]
1 © 5.1.4 a) Vẽ dường cong 7 cĩ phương trình cực Ø =
3 cos
b) Tính hồnh độ cong tại mỗi điểm thuộc 7; lấy gốc là điểm cha Mime với Ø = 6
c) Tinh do dai 7, của vịng khuyên cia 7°
© 5A5 a) Ve dutmg cong 7 cĩ phương trình cực là ø= L- 0Ÿ
b) Tính hồnh độ cong tại mỗi điểm thuộc Z7 lấy pốc là điểm của 7 ứng với Ø =0 €) Vein € }T hãy tính độ dài 1„ của P với nz s OS (n+ Lyx, rồi xác định một biểu thức tương đương don gidn cho £, khi nở tiến ra VƠ Cực
© 5.16 a) Vẽ đường cong / cĩ phương trình cực ø= ¥1- 40° b) Tính độ đất 2 của 7ˆ
9 8.17 a) Vẽ đường cong / cĩ phương trình cực : ø= Ì + zon
by Tinh do dai £ cha 7
5.1.2 Biéu điễn tham :
theo hồnh độ cong
¢@ Định nghĩa 1 Ta gọi mọi biểu điễn tham số chấp nhận được ø: ý > & thuộc lớp CÌ của ƒ sao cho : Vie € J, lig'()il = 1, là biểu diễn tham s¿ chuẩn của f +| Mệnh để 1 Nếu /là chính quy, thì : «e Với mỗi hồnh độ cong s trên 7;/_ s z” là một biểu diễn tham số chuẩn cua f
« Với mỗi biểu dién tham s6 chudn g cita ƒ, tồn tại một hồnh độ cong «
trên 7 `sao cho :
g=/ss” hoặc gafoGsy'
Trang 35230 Chugng5 Các tính chất mêtric của đường cong trên mặt phẳng
Chứng mình :
Ta giả thiết ƒ chính quy, tức là V c¿, /'0) #0 Ký hiệu s : ? —> s(D C ]R là một hồnh độ cong
® Ánh xạ s thuộc lớp C! trên 7, J = s(/) là một khoảng của ï
Veet, sŒ)=llƒ'0>0
Từ đĩ suy ra rằng s : 7 —> 7 là song ánh và rằng #1 : 7 —> 7 thuộc lớp C' trên / Như vậy ƒ s #ˆ là một biển diễn tham số chấp nhận được của ƒ
Hơn nữa, khi ký hiệu ø = ƒ 9 s”, ta cĩ: VaeJ, llguoll= =1, ——f oo] = “cua #Œ@ `0) 3G (0)
vậy « là một biểu diễn tham số chuẩn của /
« Ngược lại, cho y : J —> #; một biểu diễn tham số chuẩn của /- Vì g là một biểu
điễn tham số chấp nhận được của /, nên tồn tại g: J > ? sao cho : ø thuộc lớp C' trên J
ø là song ánh
ø” thuộc lớp CỲ trên /
km SG
Anh xạ y= g's 1 —> 7 thuộc lớp C! wen ƒ và :
Viel, Iƒ'ŒGJI=ll(g s ÿ@ML= ll@)e(w@)MI= tự) Vì >0 hoặc w' <0, ta suy ra:
(Wiel, W()=lW'GŒII hoạc (Vie1, 0) = -lƑ"(01b,
điều này chứng tổ rằng hoặc - là một hồnh độ cong trên /? a
Ta nhấc lại (em 4.1.2, ?) Nhận xét 1)) rằng một dường cong 7 được ø:
Trang 365.1 Cáctính chấtcấp một 231
NHẬN XÉT:
Bằng một phép đổi tham số chấp nhận được thuận (tương ứng : nghịch), s, T1,Đ
được bảo tồn (tương ứng : đổi thành đối của chúng)
+ |Mệnh để 2 Cho/:/ -> € là một biểu diễn tham số chuẩn thuộc lớp CẺ (& > 2) của 7: Tổn tại một ánh xạ ø : J —> ïR thuộc lớp C*" sao cho :
VseJ, 7 (= cosg(s) Ï + sing(s)j -
Chứng mảnh -
Nếu đơng nhất ể; và C „ thì ánh xạ 7 : s —> 7 @) thuộc lớp C°{k - 1 1) trên
khoảng J, va lay gid tri trong đường trịn - đơn vị TU Theo định tý thay thế (Tập 2, 7.10), tổn tại @: ƒ > IR thuộc lớp C°' sao cho :
Ve€J, T@)=cosợø(s)¡ + singG) 7 "
Liơn nữa, nếu ø,, ø, : J —> ÍE là hai ánh xạ như vậy, thì ø, - ø, là ánh xạ hàng và là bội của 2m iết và các ký hiệu của ộ n, và các ký hiệu lạm dụng thơng thường, ta cĩ : “` ø=(Ễ 122) de dy
ecosg= w VA sing = &
s tang= 2 tại mọi điểm ở đĩ + khơng ‘
triệt tiêu
Trang 37232 Chueng5 Các tính chất mêtric của đường cong trên mặt phẳng
5.2 Các tính chất cấp hai
Các §§ từ 5.2.2 đến 5.2.4 dành clio sinh viên nam thứ hai 5.2.1 Bán kính cong
f:1— & biểu thị một cung tham số hĩa chính quy thuộc lớp C°, 7= ƒ() là quỹ đạo của nĩ, s là một hồnh độ cong trên 77 Ta đã biết (xem 5.!.2, Mệnh để 1) rằng 7ˆ nhận s (hoặc : ƒ s s”) làm biểu điển tham số chuẩn Ta ký biệu : - —, N=Rot, (T), 91a một phép nâng thỏa mãn ø = (¡,† ) [22] ® Định nghĩa Ta định nghĩa © ban kính cong của /ˆ tại một điểm A#(s) là số thực R xác định bởi : # = ø « độ cong của 7 ại A4(s) là số thực + xác định bởi : y = 3 -
Ta khơng phân biệt # và R@), 7 và /@s)
'Ta thừa nhận rằng # hoặc z cĩ thể lấy các trị 0, +00, -sc
Cụ thể hơn, việc dinh nghia R(s) như là một số thực đã giả định ràng tại điểm s ta cĩ
¢(s) # 0 Xét một biểu diễn tham số chuẩn của /ˆtheo một hồnh độ cong + ƒ:s €Jt>xG)Ï + yœ) j Khi Ấy ta cĩ : cosg(s}= sứ Q9] vseJ, P9000) vậy khi đạo hàm : 9 (s)sing(s) = x"(s) ved, { Ø'(s)eosg@)= y" (9) rồi, kết hợp lại : Ws€J, @(s) = cosø(s)y”() - sind\s)x“G) = x@)y”@) - y's") m0 Nhu vay, néu a 4 M độc lập, thì ø(s) # 0, R(5) là một số thực hồn tồn xác ds dinh, va R@) = —— g's) NUAN XET :
Bằng một phép đổi tham số chấp nhận được thuận (tương ứng : nghịch) # và y dược bảo tồn (tương ứng : đổi thành đối của chúng) " VÍ DỤ:
Tính bán kính cong tại mọi điểm của cung đường dentơit (xem 4.1.7, Ví dụ 5) :
fx = 2cost +cos2z 08 16052 re fo: 2a
Trang 385.2 Cactinh chat cap hai 233
“Trước tiên ta tính +'; ta cĩ liên tiếp (các dấu phẩy chỉ phép dạo ham theo 9 :
-2sin(1 + 2cost), y' =2(1 - cos2)(1 + 2cos0) 2 ca 2 aad 3 cự? =v? + ý? = 4(sin2r + (1 - cos)”)(1 + 2cosД = losin’ (1 + 2cos)?, 4sin : (1+2eo) Cách tính bán kính cong 'Tạ giả thiết 7 được xác định bởi một biểu điển tham số chính quy thuộc lp C h = Khi đĩ ta cĩ : 1 eset yy „ từ đồ Đ ee See ø y =š 'sing + s'cos2 @ roix'y”-x"y aay, P 3
'Ta hãy khảo sát hai trường hợp riêng thường gập
1) Đường cong biểu diện một hàm số Giả thiết 7 được cho bởi y
Trang 39234 Chuong5 Các tính chất mêtric của đường cong trên mặt phẳng 2) Đường cong tiếp xúc với x+ tại 2
Giả thiết 7 tiếp xúc với x+ tại Ø và ký
hiệu #„ là bán kính cong của 7 tại Ø
Đường cong 7 cĩ một biểu diễn tham số x= x(t)
y=)
(nhiều ?) trị r„ của tham số /
Giả thiết rằng O là một điểm chính quy
của 7; tức là: (xa), yŒa)) # (0, 0) Vì Z tiếp xúc với x*+ tại 2, nên ta cĩ: y'(,)=0 và A'(f,) # Ơ
„ và điểm Ø của 7ˆ ứng với một
Vay trong ln can cia fy, x là một C2 - vị phơi, và ta cĩ thể tham số hĩa địa phương 7ˆ =0, trong đĩ ƒ thuộc lớp CŸ trong lân cận của Ĩ và /(0) = ƒ '(Ở) = 0 hiết /ƒ"(0) z 0 ¡ khi đĩ ta cĩ : 2 3 _d4+f7 Oy 1 iG) LO" Mat khác, theo định lý Taylor - Young, trong lân cận của Ở ta cổ : Ro 2 2 foo) = fQ) + af (0) + > f°) +004 = > f'"O) + 0%, x? 1 suy ra: ——>—— =k 2/0) x?9 /'(0 v2 Như vậy: #¿= lim +—, tot, 2y VÍ DỤ : Tính các bán kính cong tại các đỉnh của mội clip Xét clip 7` cĩ phương trình Descartes 8 r 2 v2 XÃ VD 4 ra" 1 (rong dé a > b > 0), A A a ob 0} + với biểu điển tham số : E TƯ y=asin BI te (05 2], va ký hiệu A, 8, A', Ð' là các đỉnh của 7; theo thứ tự ứng với các trị 0,
2 on bá của tham số r Để tính bán kính 2 2 yự BI
cong Đz của 7 tại #', ta thực hiện một phép Fr
đổi hệ quy chiếu trực chuẩn thuận bằng ,
phép tịnh tiến lấy Ø' làm gốc mới Các cơng 4 5 A
thức đổi hệ quy chiếu là : *
x=X# 1
Trang 408.2 Cáotính chấtoấphai 235 từ đĩ cĩ được một BDTS của 7 trong hệ quy chiếu mới ('; Ÿ, j): X =acost Y =b(l +sim) ` Vì 7 tiếp xúc v6i XX tai B’, ta cĩ : 2 Ry= tim tot 2Y 4 Bằng phép đổi biến w = f + : : "x? aPcoste asin = at? a2 2Y 2b +sint) ab—cosu) ¡30 pm 3 : Bˆ , a Ta két luan : Ry = ¬ e Để tính bán kính cong #„ của 7 tại A, ta lai Wy (A ; j, —Í ) làm hệ quy chiếu trực chuẩn thuận mới Vậy ta cĩ các cơng thức đổi hệ quy chiếu :
x=a-Y
y=Xx
từ đĩ cĩ được một BDTS của 7 trong hệ
quy chiếu mới : X = bsint Y =a(l—cosf) 2 2sin2 2 2 a b*sin*t h h TA 2Y = 2a(l-cost) 1-30 a a Ta cũng cĩ thể hốn vị các vai trị của a và b trong kết quả vừa rồi a b2 Do đối xứng, ta suy ra Ry = Ree — " a Tính bán kính cong trong tọa độ cực