Tài liệu Giáo trình hình học và 400 bài tập P2 pdf

Trang 1

2.2 Hinh hoc Euclide phing 95

«¡ Mệnh để Cho A, 8 e 6, A z8, M

Â e - z Tập hợp các điểm thuộc 6, - {A, B} sao cho 2(MA,MB)=Al[r] 12 một dudng tron di qua A va B, nhung

khong ké A va B A 8

+ | Hệ quả

Bốn điểm A, 8, C, D thuộc £; phân biệt từng đơi, đồng chu hoặc thẳng hàng khí và chỉ khi :

Z(CA,CB)= Z(DA, DB) {r] NHẬN XÉT

Ta thu được những điều kiện khác tương đương

bằng cách hốn vị A, Ø, C, D, chang han :

Z(AB, AC) = Z(DB, DC) [al "

Xác dịnh phép đồng dạng thuận biến 4 thành A' và 8 thành B’

(xem 2.2.6,2), Mệnh để)

Trường hợp thứ nhất ‹ (AB) 0 (A"B")

Néu AB = A'B', phép déng dang phai tim là phép vị tự tâm là giao điểm của (ÁA”) AB"

va (BB’) va ty s6 = AB

Nếu AZ = A'B', phép đồng dạng phải tâm là phép tịnh tiến theo vectơ_ AA'

Trường hợp thứ hai : (AB) X (A’B’)

Ta ký hiệu 7 là giao điểm của (AB) va (4’B’)

Gĩc Ø của phép đồng dạng khi đĩ thoả mãn :

2 ((AB), (4'B)=6[z], hoac ⁄(04),0A'9)=đ |z],

nếu T#Aval ZA’

Ta ky hiệu @ là giao điểm thứ 2 của các đường trịn ngoại tiếp /AA' và /BB”, nếu các đường trịn này cắt nhau Ta cĩ :

⁄((0A).(0A1)=⁄(0A),đA')= ⁄(0B),(B))= Z((OB),(OB')) i] >

vậy tâm của phép đồng dang là O va géc 18 2(04,04) a]

Trang 2

96 Chương2 Hình học Euclide trong mặt phẳng và trong khơng gian ba chiều Bai tap (Khoảng cách, gĩc) 9 2.2.1 Cho Á8CD là một hình bình hành và E (tương ứng : P) là chân của đường vuơng gĩc kẻ từ € đến (AB) (trơng ứng : (BD)) Chứng mình : 2 —— BD.BF = BC + BA.BE

9 2.2.2 Cho A8C là một tam giác cân tại 4, Ð là trung điểm của 8C, E là chân đường vuơng gĩc kể

từ Ð đến (AC) # là trung điểm của ĐE,

Chimg minh : (AF) 1L (8E) R e

9 2.2.3 Cho A,B,C, Ð là bốn điểm khơng thẳng hàng Chứng minh : D P Ạ E £ D 2 9 2.2.4 Chimg minh rang n&ua,, ay, ay, a, 12.40 dài của các cạnh của một tứ giác cĩ mỗi đỉnh trên mỗi cạnh của một hình vuơng cĩ cạnh bằng 1, thì ; 2 2 2 ẹ \ AM B € A E 1 AB? + BC? + CD?> — ADẺ \ 28a) +43 +43 +02 <4,

$ 2.25 Cho tam gic ABC vuong & A vA khong bet, M € [AB] - {B), P la hình chiếu vuơng gĩc của M len (BC)

Chiing minh: MP < AC

9 2.2.6 Cho ABC là một tam giác, là trung điểm của BC

1 Chứng mính : A8 + ÁC > AM + — BC

2

9 2.2.7 Cho ABC là một tam giác khong bet Ta ký hiệu a = 8C, = CA, c = AB, Â = CAB (e]O.z[), 8 = ABC,

.—^ 1 „ v

BCA, p=—(a+b4+c) là nữa chữ vụ, S là diện tích của 2

tam giác ABC

2) Chứng minh : c?= 22+ b2 - 2zb cos Ê

b) Từ đĩ suy ra cơng thức Héron: § =Íp(p- a)(p ~ bX(p — c)

a b e

©) Chứng minh :

sinA snổ snế”

Trang 3

2.2 Hình học Euclide phẳng 0 2.2.9 Cho ABC là một tam giác khơng bẹt Ta ký hiệu Œ là trọng tâm, /‡ là trực tâm, Ở là tâm đường trịn ngoại tiếp, / là tâm đường trịn nội tiếp ABC Chứng minh rằng ba tính

chất sau từng cặp tương đương :

(ABC A tam giác déu

(ï) Ít nhất cĩ hai trong bốn điểm G, H, O, f trùng nhau

(ii) G=H=0=1

9 2.2.40 Cho ABC 1a mot tam gisc kh6ng bet Ta ky hiéu / 14 tam dudng tron ngoai tiếp,

Iau ty Ie là các tam của các đường trịn bàng tiếp trong các gĩc Â,Ê,Ê, ø = 8C, b = CA, = AB a) Ta ký higu A’ (tương ứng : A”) 1a chan dudng phan gidc trong (tuang ing : ngoai) cha A AB —— vì c ANB c = b AC b (Ta cĩ thể áp dụng kết quả của bài tập 2.2.7, c)) ABC _y [4 @ ¢ ự -te(4 b ] ta=tel - b e | AB Cc AB C /z° si b ch te=te] 4 b 3

9 2.2.11 Cho ABC là một tam giác khơng bẹt và khơng vuơng ; ta ký hiệu #f là trực tâm của nĩ a) Ta ký hiệu A” là hình chiếu vuơng gĩc của A lên (8C) Chứng minh : 8 c =T end ac 8 ale A B c b) Từ đĩ suy ra : H=Te) san A ` Chứng minh : b) Từ đồ suy ra : tanB tan

A B Cc

O=Te| tan Ư +tanC tanC +tan Á „ ^ ^ ậ tan A +tan * B 5 (Sử dung bai tap 2.2.11)

Trang 4

98 Chương2 Hình học Euclide trong mặt phẳng và trong khơng gian ba chiều 9 2.2.14 Tam giác “chân đường cao” của một

tam giác đã cho :

Cho ABC là một tam giác khơng bẹt và khơng, vuơng, #† là trực tâm của nĩ, 7, J, K là các hình chiếu vuơng gĩc theo thứ tự của 4 lên (8C), 8 lên (CA), C lên (AB) ; tam giác /7K được gọi

là tam giác “chân đường cao” của tam giấc

ABC

Ta ký hiệu L, 4ƒ là các hình chiếu vuơng gĩc

của / theo thi tự lên (A#), (AC) Chứng minh

ràng (1M) song song với (JK) va (LM) cat cfc doan thang (J/] va [AK] theo thứ tự tại các trung diém J", K’ cilia ching

9 2.2.15" Cho ABC 1a mot tam giác Ta ký hiệu :

Ð, là đường thẳng nổi các chân của các đường,

cao hạ từ 8 và C A

D, la đường thẳng nối các điểm tiếp xúc của D

đường trịn nội tiếp với (A#) và (AC) 2

Ð; là đường thẳng nổi các chân của các đường phân giác trong ké từ 8 và C

Chứng minh rằng Ð,, Ø„, Ð, đồng quy hoặc Song song,

$2.2.16- Giả sử D, D' là hai đường thẳng cất

nhau tại một điểm A và Bụ, 8; e Ð, Cụ, C; €

7” Với mọi (1ÿ) thuộc (1, 21” ta ký hiệu G¡ là trọng tâm, H, là trực tâm, Ở„ là tâm của đường trịn ngoại tiếp tam giác AB,C, Chứng tổ rằng các Gụ, #f„„ Ĩ„ tạo thành ba hình bình hành

9 2.2.7 Cho AäC là một tam giác, 7 là tâm đường trịn nội tiếp, S là diện tích của ABC

2.2 2 4 2

Ching minh: fA sinẢ+/# sinB+iC sin€ =25

9 2.2.18 Cho ABC là một tam giác khơng bet, a = BC, b = CA, c = AB, thụ, hạ, hẹ là độ

Trang 5

2.2 Hình học Euclidephẳng 99 1 b) Từ đồ suy ra: —— +3 hahghe ©) Chứng tổ rằng r < —*8-© | va khdo sét trường hợp đẳng thức 27 Trong các bài tập từ 2.2.19 đến 2.2.21, ta ký hiệu

A(T) la dién tích của một tam giác T P

9 _2.2.19 Chứng minh rằng, nếu hai tam giác khơng B bet PAB va QAB c6 canh [AB] chung, thi khi ky

higu M 1a giao diém cia (PQ) và (AB) (nếu tổn A tại), ta cĩ : xÀỨAP) _ MP A@AB) MỢ ‘ 9 A

9 2.2.20 Ching minh rang, néu hai tam giác c khơng bẹt ABC, A'B'C" cĩ các gĩc ẤBC và R ABC” bằng nhau hoặc phụ nhau, thi :

2A(ABC) — AB.BC `

2À (4'B'C) AIB.BRC B c

A

9 2.2.21 Cho ABC 1a mot tam giác khơng

bet, P € [BC], Q € [CA], R € [AB] sao cho : R

BP CQ AR Ĩ

BC CA AB" 1 B P Cc

Chang minh : AWPQR) > 7 ACABC), va

khảo sát trường hợp đẳng thức (sử dụng bai

tập 2.2.20)

9 2.2.22 - Xác định diện tích cực đại của một tam giác nằm trong một hình vuơng cĩ cạnh aa>0)

9 2.2.23 Cho M,(1 <í < 10) là mười điểm phân biệt từng cặp và nằm trong một hình vuơng cĩ cạnh z (z > 0) Chứng minh rằng tổn tai (i, j) £ {1 10J2 sao cho ;

a2

O< MyM js

0 2.2.24 Cho M, (1 <i 19) là mười chín điểm phân biệt từng cập và nằm trong một hình vuơng cạnh 2 (a > 0) Chứng minh rằng tổn tại i, j, È, phân biệt từng đổi sao cho điện tích

2

của M,M,M, là < % (Sử dụng bài tập 2.2.20)

0 2.2.25 Cho Adc là một tam giác đểu, a = AB > 0 Xác định biên dưới của

Trang 6

100 Chương 2 Hình học Euclide trong mat phẳng và trong khơng gian ba chiều 0 2.2.26 Chod eR’, A ER’, 4, t ¡; là các nghiệm thực (nếu tồn tại) của phương trình

# - 3 + Â (1 - 3) = 0 với ẩn ¿ e ÏR, và với mọi ¡ thuộc {1, 2, 3}, Ð, là đường :hẳng cĩ

2

phuong tinh Descartes ¢; x - ty + a= 0

Ching minh rang Dy, Ø2;, D, tạo thành một tam giác đều 9 2.227 ChoA,ð,C là ba điểm và (f,)„e Đ

là đấy các điểm xác định bởi : en: M, May M, VneN, neN, M , M,,5 = + Ma h Mu 4 Chứng mình rằng (Ä,)„ ‹ w hội tụ và xác định giới hạn của nĩ

0 2.2.28 Cho ABC la mOt tam giác khơng bet

Chứng minh rằng tén tai mot b ba (Mf, N, P)

duy nhất những điểm của mạt phẳng sao cho :

Me (8C), N € (CA), P € (AB), (MN) L (CA), (NP) L (AB), (PM) L (BC) © 2.2.29" Gid thuyét Sylvester

Cho Z là một tập hợp hữu hạn những điểm của mặt phẳng sao cho mọi đường thẳng chứa

ít nhất hai điểm phân biệt thuộc £ thì chứa ít nhất là một điểm thứ ba (của Z) Chứng

minh rang các điểm thuộc E đều thẳng hàng {Các pháp đẳng cự qlin trong mặt phẳng)

92.230 Tích hai phép quay

Cho 01, Ĩ, € 6, Ø,, ổ, & R Chỉ rõ tích ƒ= Roto, a, 0 Roto, 4, -

sh

% 2.2/31 Cho D là một đường thẳng, ứe D Chứng minh :

Tyo Refy =Refp và Refpo Tự =Refn»

trong đĩ Ð' và Ø2” được suy lần lượt từ 2 bởi phếp tịnh tiến theo các vectơ : và 4 9 2.2.32 Cho D,, D,, D, 1a ba đường thẳng, s là phép phản chiếu qua D, (1 <i <3)

Chứng minh rằng Ð,, Ðạ, Ø2, đồng quy hoặc song song khi và chỉ khi (s,o s;o s,)*= Id &

(Ta c6 thé ding bai tap 2.2.31)

9 2.2.33 Cac phép phan ddj hinh cia &,

Ta gọi mọi tich Tyo Refp, trong d6 D 1a mot dudng thang afin va @ © D là một phép đối xứng - trugt Chimg minh rang céc phép phản dời hình của mặt phẳng là những phép đối xứng - trượt (cĩ thể đùng bài tập 2.2.31)

9 2.2/34 Tích hai phép đối xứng - trượt với giá song song

Cho BD, D' là hai đường thẳng song song #€ÐƯ, øeÐ, s=

Trang 7

2.2 Hinh hoc Euctide phẳng 01 (Phép đồng dạng thuận trong mặt phẳng) 9 2.2.35 Cho OAB là một tam giác khơng L2 bẹt, vuơng ở 4, 8` € ]Ĩ4] A' là hình chiếu vuơng gốc của B" lên (OB) Chứng minh rằng :

OB’ + AB<OB + A’,

9 2.2.38 Cho OAB, OA'B' là hai tam giác

đồng dạng thuận, 7, 7 là các trung điểm theo

that ty cha A’B, AB’; z1, H` là các hình chiếu vuơng gốc của Ĩ theo thứ tự lên (A8), (4”8")

Chứng minh rằng : (17) L @7M")

$ 2.2.37 Chứng minh rằng các phép đổng dạng nghịch của & 1a:

® Các phếp đối xứng trượt T ø Refp, trong đĩ #e Õ (Xem bài tập 2.2.33)

*

® Các tích Hạ, ø Refa, trong đố A e Ð và k e Đ} A

9 _2.2.38 Chứng minh rằng bình phương của một phép đồng dang nghịch là một phép vị tự - tịnh tiến (Dùng bài tập 2.2.37) 9 2.2.39 Cho D, Ð' là hai đường thẳng cất nhau tại điểm Ở Với M © &, ta kg higu P,

' là các hình chiếu vuơng gĩc của M theo thit tự lên Ð, D°,7là trung điểm của PP", M*

}à đối xtmg cha M qua J Ta ky higu: f° & -» € 14 ánh xạ vừa định nghĩa

MoM

3) Nhận biết ƒ (chứng tổ rằng ƒ là một phép đồng dạng nghịch) b) Chỉ rõ ƒ o/

(Đường trịn trong mặt phẳng)

9 _2:2⁄40 ˆ Khảo sát vị trí tương đối của hai đường trịn theo các bán kính #, /? của chúng và khoảng cách đ giữa các tâm 0 2.2.44 Cho ABCDE là một ngũ giác lồi nội

tiếp trong nữa đường trịn bán kính 1, và sao

cho AE là một đường kính Ta ký hiệu: i x D a= AB,b = BC, c = CD, d= DE Chứng mình rằng : \ P+P ++ dé + abet bed, ® 2.242 Cho Slamot dudmg tron bénkinhR 4 E { > 0); 4, B, C, D là bốn điểm của 7: Chứng núnh rằng ít nhất một trong bốn cạnh của tứ

giác ABCD cĩ độ đài > R2

9 2.2.43 Ta trang bị cho ế, một hệ q.e.Lc =(Ĩ;7,7) Cho M, Gạ ý), 1 <¡ <4, là bốn điểm của ; khơng thẳng hàng tất cả Chứng tỏ ring M,, Mz, My, M, đồng ch khi và

Trang 8

102 Chương 2 Hinh hoc Euciide trong mat phẳng và trong khơng gian ba chiều

3347, cờ

2

Xa ở

2.2.44 Chứng mỉnh rằng, với ú thuộc Đ - {0, 1]}bất kỳ, tồn tại n đường trịn của mật phẳng, phân biệt từng cặp và cắt nhau từng cặp

0 2.245 Đường thẳng Simson

Cho ABC là một tam giác khơng bet, 4 € £&,, P, Q, R là các hình chiếu vuơng gĩc của &ƒ theo thứ tự lên (BC), (C4),

(4B) Chứng mính rằng P, Q, # thẳng

hàng khí và chỉ khi &Z thuộc đường trịn 7 ngoại tiếp ABC Nếu M e 7"thì đường

thẳng PQR được gọi là đường thắng Simson của M đối với ABC

0 2246 Cho (C) là một đường tron, A va B 1a hai diém đối tâm của (C), X và Y x,

ử là hai điểm của cùng nữa đường trịn giới

hạn bởi Á và ở sao cho XY khơng đổi Giả sử C, Ð là hình chiếu vuơng gĩc theo

thứ tự của X và Y lên (A8), và M là trung điểm của XY Chứng minh rằng tam giác CMD luơn đồng dạng với một tam giác cố định

922.47 ChoC,C' là hai đường trồn ngồi nhau; Ø, Ĩ° là các tâm của chúng Các tiếp tuyến kẻ từ Ø đến C” cắt C tại

hai điểm A, # và các tiếp tuyến kế từ 0"

đến C cất C7 tại hai điểm A’, BY Chứng minh: AB = A’B’

0 2.248 Cho Pia mOt đường trịn ; 4, 8, C, D € Ptheo thé ty d6 tren Ƒ'; P,Q, R, $ là các điểm chính giữa theo thứ tự của các cung liên tiếp ÁP, 6C, CD, ĐÃ của 7; Chứng minh : (P8) L (28)

9 2.2.49 Gia sirC 1a mot dung tron, Ø là tâm của nĩ, [4B] là một dây cung của C, ƒ là trung điểm của 48, [MN] là một dây cung của C đi qua 7, Các tiếp tuyến với C tại M và N cất (AB) tại hai điểm,

Trang 9

bet, a= BC, b = CA, c = AB, By, Ø,, đc là độ dài của các đường phân giác trong của A8C, A’, BY, C° là giao điểm của các đường phân

giác đĩ với đường trồn ngoại tiếp ABC,

Wn = AA’, Jy = BB’, yo = CC’ Ching minh : (abc) = BBsBc¥atste-

0 2.2.51 Giả sửC là một đường trồn, Oa

tâm của nĩ, 4, A" là hai điểm đối tâm của C, Ð (ương ứng : Ð') là đường trung trực của OA (tương ứng : OA'), M e € - {A, A’)

Đường trung trực của OA cắt D và D’ tai hai

điểm được ký hiệu theo thứ tự là P, P' Các

đường thẳng (4P) và (4P) cất nhau tại một

điểm, ký hiệu là / Chứng minh : alec

5) O, M, P,P’, Fdéng cho

€) M và ï đối xứng qua đường trung trực của

AA’

% 2.2.52 Cho 7 là một đường trịn; Ở là tâm

của n6; A, B, C, Ð là bốn điểm của /”; 1,4, Ấ, L là các trung điểm theo thứ tu cla AB, BC, CD, DA; P',J", K°, L` là các hình chiếu vuơng gốc của 7, Ƒ, K, L theo thứ tự lên (CĐ), (ĐA), (AB), (BC) Chứng minh rằng bốn đường thẳng (7°), (27, (KK”), (LL`) đồng quy 9 2.2.53 Cho 7'là một đường trịn ; A, B,C, D là bốn điểm của 7 theo thứ tự đĩ Các

đường thẳng (AC) và (BD) cit nhau tại một

diểm, được ký hiệu là E Giả sử M là điểm thuộc [CE] sao cho CBM = DC

Chứng minh rằng đường trịn ngoại tiếp 8842 tiếp xúc với 7"tại B

9 2.2/54 - Cho ABC là một tam giác khơng bet, P © [BC], Q € [CA], R e [AB], A’, B’,

€” là tâm của các đường tron theo thứ tự

ngoại tiếp 4ĨR, BRP, CPQ Chứng minh : a) Các tam giác ABC và A”8"C” đồng dạng thuận với nhau

bỳ Các đường trịn ngoại tiếp AQR, BRP, PO cĩ một điểm chung

2.2 Hình học Euclide phẳng 103

Trang 10

104 Chương 2 Hình hoc Euclide trong mặt phẳng và trong khơng gian ba chiều

Ð là bốn điểm của 7 sao cho các đoạn c

thẳng [A8] và [CD] cắt nhau tại một điểm

E Giả sử M là một điểm thuộc [BE] Tiếp tuyến tại E với đường trịn ngoại tiếp tam giác DEM cat [BC] tai một điểm được ký

hiệu là # và cất [CA] tại một điểm được ký => A hiệu là G Chứng minh : v EG MA `» D EF MB’ 6 (Sử đụng các bài tập 2.2.19 va 2.2.20)

9 2.2.56" Hai dudng tron C, C” tiếp xúc ngồi tại một điểm Ø Xác định # C,8Z' e C

để cho diện tích của tam giác OMM’ 1a cuc dai va tron, Ig trường hợp đĩ, tính diện tích ấy (Các đường conic trong mat phdng afin Euclide)

9 2.2.57 Cho C, C’ 1 hai parabol

a) Chứng minh rang C va C’ déng dang thuan

b) Chứng minh rằng C và C” dutmg nay 06 thé duge suy ra tir dudmg kia bang phép vị tự hoặc phép tịnh tiến, khi và chỉ khi các trục của C và C° song song với nhau

©) Chứng mính rằng C và C° là đẳng cự với nhau khi và chỉ khí chúng cĩ cùng tham số © 2.2.58 Chop 6lR} và P là parabol cĩ phương trình y” = 2px (trong một hệ # q.c-tc.) P Xác định tập hợp các điểm từ đĩ ta cĩ thể kẻ hai đường pháp tuyến với P, trực giao với nhau 9 :

0 2.2.59 ChoP ẹR; và P là parabol cĩ ị

phương trình y° = 2px (rong một hệ

q.c.t.c.) Tìm độ dài cực tiểu của một dây

cung của P trực giao với P tại một trong hai

đầu mút của nố

9 2.2.60 Cho C]x + y? = R? ( > 0) Xác định quỹ tích các tâm (2của các đường trịn

† tiếp xúc với x'x và cất C dưới một gĩc 3 bang — 8 4 92/2/81 Cho (0,4) € (R’, }Ẻ, P là parabol cĩ phương trình y? = 2px, là parabol cĩ

phương trình x2 = 24y Tìm một hoặc các

Trang 11

9 2.2.62 ChopelR},P làparabol

c6 phương trình yŸ = 2px (trong mot hé q.c.t.c.), M © & My, My, M, 1a chan của các pháp tuyến kê tit M đến P, Chứng mình rằng Ø, M,, Mz, M, d6ng chu 0 2.2.63 Chop elR` ,p là parabol cĩ phương trình y? = 2px (trong một hệ q.c.t.c.), # là tiêu điểm của nĩ Một đường thẳng đi động D di

qua F cất P tại hai điểm ký hiệu là A, 8 Hãy xác định quỹ tích của

tâm 42 của đường trịn ngoại tiếp

tam giác OAB

9 2.2.64 Cho P la mot parabol, Fla

tiêu điểm của nĩ, 7 là tiếp tuyến tại đỉnh của n6, M là một điểm của T, Ð là một đường thẳng di qua M

Chứng minh rằng Ø là tiếp tuyến với P khi và chỉ khi Ð trực giao với (FM)

2.2 Hình học Euclide phẳng 405

9 2.2.65 Cho ABC 1a mot tam gidc khong bet Quỹ tích của các tiêu điểm các parabol tiếp xúc với (AB), (BC), (CA) là gì ? (Sử dụng bài tập 2, 2.45, và bai tap 2.2.64)

‹

02.2.66 a) ChoC A mételip, F,

là các tiêu điểm của nĩ, MP € C Hãy chứng minh rằng tiếp tuyến

Trang 12

106 Chương 2 Hinh hoc Euclide trong mat phẳng và trong khơng gian ba chiều

b) Chơ C là một hypebol, £, F” là các

tiêu điểm của nĩ, M e C Hãy chứng minh rằng tiếp tuyến với C tại AM

là đường phân giác trong của

(MP), (MP’))

c) Cho C 1a mét parahol, # là tiêu điểm của nĩ, 4 là truc cilané, ME C

Hãy chứng minh rằng tiếp tuyến với

C tại & là đường phân giác ngồi của UMF), Ay), trong d6 Ay 1a đường

thẳng song song với 4 kẻ từ M

0 2.2.67 Chứng mính rằng hai đường

cơnic đồng dạng khi và chỉ khi chúng cĩ cùng tâm sai

tiêu điểm của nĩ, C là đường trịn chính

cia n6, M e E, ¿ƒ (tương ứng : #”) là hình chiếu vuơng gốc của Z (tương ứng : #”)

lên tiếp tuyến với E tại M

a) Chứng minh H e C, #f' e C

b) Các dutmg thing (HF), (H’F’) lại cất C

tại hai điểm ký hiệu theo thứ tự là K, K” Chứng mình rằng #/f°KˆK là một hình chữ nhật (Ứng dụng số phúc trong hình học Euclide phẳng)

Trang 13

2.2 Hinh học Euclide phang 107 0 2.2.71 Cho Ata), B(6) C(e) sao cholal = |b =

|c| Chứng mình rằng ABC Ia déu khi va chi khi a+b+c=0

0 2.2.72 ChoO,A, 8 là ba điểm; C, D là các ảnh SS KĨ ^

theo thứ tự của A, ở trong phép đồng dạng thuận S xế

tâm Ĩ Ta dựng các tam giác A/2M và CBN đồng

dang thuận với ABO Chứng minh ràng, Ở là trung Z

điểm của 4N M 4

% 2.2.73 Cho A, B, C 1a ba điểm phân biệt từng

cap: A’, B’ C” duge dung bên ngồi ABC sao cho các tam giác ABC", BCA', CAB' đồng dạng thuận

với nhau Chứng minh rằng A'8*C' cĩ cùng trọng BY tâm với ABC

0 2.2.74 Cho ABC là một tam giác khơng bẹt ; đụ, C; được xác định bởi :

BB, = BG = ha `

C Ag, Ái, 8; cũng theo cách tương tự: ta dựng A’,

8", C7 bên ngồi ABC sao cho các tam giác B,C;A",

C\4¿B", ABC" là tam giác đều Chứng minh rằng

ABC déu,

9 2.2.75 Cho ABC là một tam giác khơng bạt; Re A', 8", C' được dựng bên ngồi ABC sao cho

các tam giác BCA", CAN”, ABC" là những tam giác cân,

4) Chứng minh : (AA)L(B°C’) va AA’ = BC’

b) Từ đĩ suy ra rằng các đường thẳng (4A'),

{BB"), (CC") đồng quy

c

VEE UL th Age Aa

Cho By € &; ta dumg B;, , B, sao cho các tam giác Á¡Áz8¡, ApAgBy, «

An A,By.y, ApA:B, déu déng dạng thuận Chứng tỏ rằng :

A

a) trị?

92.277 Cho n cĐ”; ta ký hiệu P, Ở là các đa thức thuộc Tt {X] được định nghĩa bởi : V(x, y) © RY, (x + iy)” = Pex, y) + 10(x, y)

al Al b) 34,8; =9 isl

Cho (a, 6) & R? - ((0,0)] Chứng mình rằng phương trình a P(x, y) + 6 G(x y) = 0 biểu diễn

Trang 14

108 Chương2 - Hình học Euclide trong mặt phẳng và khơng gian ba chiều

2.3 Hình học afin Euclide trong khơng gian ba chiều

2.3.1 Khoảng cách, gĩc

1) Đại cương

+ Định nghĩa 1 Ta gọi mọi cặp (6, ), trong đĩ Ø; là một khơng gian afin ba chiéu va - 1a một tích vơ hướng trên phương Øs của 4, là khơng gian afin Euclide ba chiêu

Ta thường ký hiệu £; thay cho (&, )

Hệ quy chiếu trực chuẩn (thuận) (viết tắt là hệ q.c.t.c.(.)) của ø là mọi bộ

bốn (O;Ÿ,7, ) trong đĩ O € & và (7,7,É) là một c.s.t.e (t.) cha & -

Nếu # được định hướng, ta cũng nĩi rang €, duoc định hướng, hướng của một hệ quy chiếu Descartes ( Ĩ;Ÿ,7,Ÿ ) của #; cũng chính là hướng của cơ sở

(,7.È) của &3

Cho #, là một “khơng gian afin Euclide ba chiêu (được định hướng); khơng gian vecto Euclide & cĩ ít nhất một c.s.t.c.(t.) B= Œ, 19 Với mọi điểm Ở thuộc &

ánhxạ:F: BR oe là một song ánh afin và ánh xạ tuyến tính liên

(y3) v2 + xỈ +yj+zk

kết F bdo toan tích vơ hướng,

Trong thực hành, ta cĩ thể thay (2, ) bởi /#? được trang bị tích vơ hướng thơng thường

khoảng cách của Ä⁄ và AZ", ký hiệu là MM” hoặc 4(M, M') Nếu trong một hệ q.c.t.c M(xy,2) va MC’, y’,2’), thi:

+

MM'=((x~x'Y +(y-y'P 4-27)

Mệnh để sau đây là hiển nhiên

Trang 15

2.3 Hinh hoc afin Euclide ba chiéu 109

+ Binh nghia 3

1) Hai dutng thing D, D’ cia & duge goi 1a true giao, và ký hiệu là

Ân = <1

D LD’, khivachikhi DLD' (nicla: DCD’ )

2) Một đường thang D và một mặt phẳng P cilia & dugc gọi là trực giao

(hoặc : vuơng gĩc), và ký hiệu là Ð L P (hoặc P 1 D), khi và chỉ khi = 5 = sb DLP (ticla: DCP ) 3) Hai mat phang P, P’ cha & được gọi là trực giao (hoặc: vuơng gĩc), ~L = và ký hiệu là P.L P', khi và chỉ khi P cP' Te AY NHAN XET :

1) Néi chung hai đường thẳng trực giao khơng cắt nhau

2) Khái niệm mặt phẳng trực giao khơng thuộc phạm vị khái niệm tổng quát về bộ phận trực giao (xem 2.1.2)

3) Cho D, Ð" là hai đường thẳng, P, P" là hai mat phẳng, đ (tương ứng : #) là

vecto chi phương của Ð (tương ứng : Ð'), (9,#) (tương ứng : œ w)) là vectơ chỉ phương của P (tương ứng : P”) ta cĩ : DIP @œ uu'=0 Dip o {ro uw=0 PLP @& yaw eVet@,w) viaw'e Vect(v, w) 9 GAW).(@`Aw)=0 9

« Định nghĩa4 Gĩc của hai đường thẳng, gĩc giữa một đường thẳng

và một mặt phẳng, gĩc của hai mặt phẳng, là gĩc của các phương của chúng :

Trang 16

110 Chương2 Hình học Euclide trong mặt phẳng và khơng gian ba chiều

Nếu 4, 8, C 1a ba diém cia & sao cho A #B va B XC, thi ta ký hiệu

⁄(BA,BỊ) là ÃBÈ (hoặc : ⁄ ABC) : như vậy: ẤBÈ e [0 z]

+ Định nghĩa 5 Cho P là một mặt phẳng, Ð' là một phương đường

thẳng sao cho Øợ P'

Một phép chiếu (lên P, song song với D ), một phép đối xứng (qua P,

song song với D ), một phép co (trục P, phương D) được gọi là trực giao khi và chi khi PL Đ' ( ở đây cĩ nghĩa là: Ð.= P `)

Ta định nghĩa tương tự cho một đường thẳng 72 và một phương mặt

phẳng P* (sao cho D ợ P )

2) Tính tốn trong một hệ quy chiếu trực chuẩn (thuận)

Cho (@,) là một khơng gian afin Euclide ba chiều, @ =(O;i, j,&) 1A mot he q.c.Lc (.) của #¿ Các điểm của & được xác định bởi tọa độ của chúng trong Z, và các mặt phẳng hay các đường thắng afin bởi một phương trình Descartes (PTD)

hoặc một hệ phương trình Descartes (HPTD) trong &

1) Vectơ trực giao với một mặt phẳng

+ | Mệnh để 1 Với mọi (a, b, c, đ) thuộc “7-* sao cho (a, b, c) # (0, 0, 0),

đ(a, b,c) là một vectơ trực giao với mặt phẳng Plax+ by +.cz+ d=0

+ | Mệnh để 2 Một PTD của mặt phẳng P trực giao với đ(ø,b,c) và đi

qua Mg (xo, Yo Zo) là :

đữx - xi) + DEY - yo) + C(Z - %) =O

2) Vectơ chỉ phương của một đường thắng

+, Mệnh để Cho Ð là một đường thẳng cĩ HPTD

ax+by+cz+d=0 |

ax+bPy+cz+id'=

đ(a,b,e), đ'(a',b,e') Khi đĩ ï ^i7' định phương Ð

3) Hình chiếu trực giao của một điểm lên một mặt phẳng

Cho P | ax + by +z +d = 0 là một mặt phẳng, Mo(xo, Yor Zo) © &

Ký hiệu #(X, Y, Z) là hình chiếu trực giao

Trang 17

2.3 Hình học afin Euclide ba chiếu 144

Ta cĩ: He? aX+b¥ +cZ+d=0

_|MaHtP đÃ €Đ, Œ = xạ + Âa,Ÿ = y, + Ab,Z =z, + Ac), từ đĩ suy ra các tọa dé cha H : + by + ca, + d xạ + Đỳa +cz, xxx, 22 ĐYo + CZu, a, y=y,- Sotho tantd, a +btc errs AXq t byy H6% +d © Z=z, 0 Pep ge? 4) Khoảng cách điểm - mặt phẳng Với các ký hiệu trên đây : (10,,P)Ÿ = M,H? =(X=xuŸ +} +É~s}

đxg + hya + C2 + L2 2 22 2N (ay tbyy tez) +d

== ( PrP ee? k +b' +e? Jao ‘ } ath ect eo

+| Mệnh đề Cho P lay + by + cz + đ=0, MqŒo, yo Z0) 6 ; Ta cĩ : laxg + hyp +c7 +d

Va +b 40?

Ta cũng cĩ thể thu được kết quả này mà khơng cần tính toa d6 cua H

đỆMạ,P)=

Š) Khoảng cách điểm - đường thắng

Cho Ð là một đường thẳng, Á e Ð, đ e D —|Õ|, Mọ #; Ký hiệu ở7 là hình chiếu

vuơng gĩc của Äứo lên D Ta cĩ : đAAM, =đA(AH + HM,) =đ AHM, Vay, do HM, 1a: Wid A AMg I= lil WHA, Hl, nên : đ(Mẹ, D)= gaa "” +[ Mệnh để Cho D là một đường thẳng, xác định bởi một điểm A va một véctơ chỉ phương i, và Mạ € é¿ Ta cĩ : HA AM II d(Ma,D)=—”^9— ° lel

6) Đường vuơng gĩc chung của hai đường thẳng

Cho Ð, Ð' là hai đường thẳng khơng song song, Á e Ð, A' eÐ',

Trang 18

112 Chương 2 Hình hoc Euclide trong mat phẳng và khơng gian ba chiều Vì (#đ) độc lập nên với ký hiệu

#=RđAR' thì họ (ữ,đ') cũng độc lập

(xem 2.1.3)

Ta ký hiệu P (tương ứng : P”) là mặt phẳng

di qua 4 (tương ứng : 4`) và định phương bởi

7,7) (tương img : (a, 0") ) Cho ¿ là một đường thẳng của 6; cắt vuơng sĩc D và 0" Khi đĩ L c P và L cP”, vậy do PX%P' nên! =P © P° Ngược lại, đường thẳng P ¬ P” cắt vuơng gĩc J2 và D’ Ta tĩm tắt việc khảo sắt

+ | Mệnh để - Định nghĩa Cho D, Ø' là hai đường thẳng khơng song song, Á e D, 4" € D’, đe D~|Ư|, đ'e D'— (Õ) Tên tại một và chỉ một đường thẳng 7 cắt vuơng gĩc Ð và ?°; đường thẳng 7, đĩ được gọi là

đường vuơng gĩc chung của Ð và ?' và ta cĩ 1= P 3P, trong đĩ ? (tương ứng : P") là mặt phẳng đi qua A (tương, ứng : A') và định hướng, bởi (,đ^đ") (tương ứng : (E,ữ Ai)

7) Khoảng cách của hai đường thẳng “Ta dùng lại các ký hiệu ở 6)

Trang 19

2.3 Hình hoc afin Euolide ba chiếu 113

+| Mệnh đề - Cho D, D' là hai đường thẳng khơng song song, A € D, A'eÐ',đeD-|Õ\,”e Ð~ (Ư Ta cĩ : NHẬN XÉT Néu D // D’, thi d(D, D’) = d(A,Ð'), trong đồ D A là một điểm bất kỳ của Ð A 8) Tọa độ trụ

Cho M € & (M ¢ 2’2), (x, ¥, 2) là tọa độ của Ä trong #, m là hình chiếu

vuơng gĩc của Ä trên xØy, [đ, ø] là tọa

độ cực của m (xem 2.2.1, 2)) z

Ta n6i ring (6, 2,2 ) là một hệ tọa độ trụ M cua M, Nhu vậy : x= pcos? psine Z=Z

Ta quy ước là các điểm thuộc zz’ ting vi

các tọa độ trụ (6, 0, z) (Ø khơng xác định tường minh)

9) Tọa độ cầu

Cho M e 6 (M #0), (, y, 2) là tọa độ của

Trang 20

114 Chueng2 Hình học Euclide trong mặt phẳng và khơng gian ba chiều

NHẬN XÉT : Với các ký hiệu đĩ :

ipl = Om trong toa do tru =OMM trong tọa độ cầu 10) Phương trình dạng chuẩn của một mặt phẳng Giả sử P | ax + by + cz +d = 0 là một mặt phẳng cla & Điểm A(a, b, c) của & nhan mot hé tọa độ câu [2 ø, ø|, từ đĩ, khi ký hiệu p= ta cĩ một PTD của P, gọi là phương trình dạng chuẩn của P :

€0SØCOsØ x + sinØcoSØ y + sinø z = Pp

Vécto ii (cos@ cose, sind cose, sing) duge chuẩn hĩa và trực giao với P, và nếu ký

hiệu #f là hình chiếu vuơng gĩc của Ø lên P, thì ta cĩ : OH.đ=p, hoặc là

OH =p, trong d6 O chi độ do đại số của OH trên (R-đ,đ Một số thuật ngữ

1) Cho hai mat phẳng P, P* cắt nhau theo một đường thang D, tap hợp các

điểm của 6; cách đều P và P", tức là

(M € 6 ; đ(M, P) = 4(M, P`)] là hợp của hai mặt phẳng Q, Q’, goi Ia các mặt phẩng phân giác của P và ?°

Ta cĩ Ĩ L Q'

2) Cho hai diém A, B (A # B); tap

hợp các điểm của £, cách đều A và 8, tức Ta (M © & ; MA = MB} là một mặt phang P, goi la mat phang trung trực cia (A, B) Mat phing P đi qua trung

điểm của (A, B) và vuơng gĩc với (AB),

3) Vì mọi mặt phẳng của @; cĩ thể đồng nhất với một mặt phẳng afin Euclide, nên thuật ngữ đã thấy ở 2.2.1 cĩ

thể mở rộng cho khơng gian: tam giác, A B

hình thoi, hình chữ nhật, hình vuơng,

4) Tùy theo ngữ cảnh, một hình đa |p

Trang 21

2.3 Hình học afin Euclide ba chiểu 415

+ Một tập hợp hữu hạn các điểm A, A, (thường : ø > 3), từng cặp phân biệt, gọi là đỉnh của đa diện 4,4, .4, (những điểm này thường được sắp)

* Hop của các tam giác (hoặc một số nào đĩ trong chúng) tạo thành bởi các điểm ấy + Bộ phận của khơng gian được giới hạn bởi các tam giác nĩi trên, Thy theo số lượng các mặt, một đa diện được gọi là : tứ diện (4), bát diện (8), thập nhị diện (12), ., chẳng hạn * _ Một hình hộp là việc cho tám điểm ABCD A'B'C’D” sao cho:

ABCD là một hình bình hành

A'B'C'Đ' được suy ra từ ABCD qua một phép tinh tiến

*_ Một hình hộp ABCD A'B'C'D' được gọi là hình hộp chữ nhật khi và chỉ khi: (AB) 1 (AD) va (AB) 4 (AA’) va (AD) L (AA') + Một hình lập phương là một hình hộp chữ nhat ABCD A'B'C’D’ sao cho : AB = AD = AA’

2.3.2 Các phép đẳng cy afin cha &

+ Định nghĩa 1 Ta gọi mọi ánh xạ afin ƒ : 6 -> 6; bảo tồn khoảng

cách, tức là sao cho :

VA, Be &, d(f(A), (BY) = d(A, B), là phép đẳng cự afin cia &

+¡ Mệnh để 1 Cho một ánh xạ ađn ƒ: £ > & Để ƒ là một phép đẳng cự afin, cân và đủ là ƒ là một phép đẳng cự vectơ của $ Ching mình ; Như ở 2.2.2, Mệnh để 1 + ¡ Mệnh đề 2 - Định nghĩa 2 Tập hợp các phép đẳng cự afin của &, 1a một nhĩm đối với o, được gọi là nhĩm các phép đẳng cự afïn của , Ching minh :

Ta chứng tỏ rằng tập hợp các phép đẳng cự afin của Ø; là một nhĩm con của nhĩm afin GAff(é,), tương tự như ở 2.2.2, Mệnh để - Định nghĩa 2

¢ Binh nghia2 Choƒ là một phép đẳng cự afin của &

1) Ta nĩi rằng ƒ là một phép đẳng cự thuận (hoặc: phép dời hình) khi và chỉ khi đet(ƒ) =1

2) Ta nĩi rằng ƒ là một phép đẳng cự nghịch (hoặc: phép phản dời

Trang 22

T16 Chương2 Hình học Euclide trong mặt phẳng và khơng gian ba chiều

+| Mệnh đề 3

Tập hợp các phép dời hình của #; là một nhĩm con của nhĩm các phép dang cy afin cha £,

Chứng mình -

Như ở 2.2.2, Mệnh đề 3

¢ Định nghĩa 3 Cho Ð là một trục của &, Ø Phép quay trục Ð

với gĩc quay @, va ký hiệu là Rot p,ø là phép đẳng cự afin giữ bất biến

ít nhất một điểm của Ð và cĩ bộ phận tuyến tính là Rotpas

Một phép quay với gĩc quay x được gọi là phép lật (hoặc : quay nửa

vịng, hoặc : đối xứng trục) Ta ký hiệu là Ret„ = Rots„ NHẬN XÉT : Phép quay Rot p,ø giữ Ð bất biến theo từng điểm ¢ Định nghĩa4 Cho Ð là một trục của @, Ø '$, #e Ð Ta gọi tích

giao hốn T- ø Rot p„ø là phép quay - trượt (hoặc dời hình đỉnh ốc) trục Ð, gĩc quay Ĩ, vettơ ¡ *¡ Mệnh để 4 Mỗi phép dời hình cha & cé ít nhất một điểm bất động là(đ, hoặc) một phép quay = f(M) a Chứng mình :

Giả sử ƒ là một phép dời hình khác với ïd„ , cĩ ít nhất một điểm bất động A Khi

đĩ là một phép đẳng cự vectơ thuận, vậy (xem 2.1.4,2)) F là một phép quay

Rotpas và cuối cing f = Rot p,ø› trong đĩ Ð là trục di qua Á và được định phương và định hướng bởi Ð +¡ Mệnh đề 5 Cho v23, D là một trục của &, Ø e R - Ie Neu ¥ LD, thi T; ø Rotp ¿ là một phép quay Chứng mình : Theo mệnh để trên đây chỉ cần chứng tỏ rằng Tz oRotyy (ky hiệu là /) cĩ ít nhất là một điểm bất động

Trang 23

2.3 Hình học afin Euclide ba chiểu 117 2 at ¬- ¬ Vì mặt phẳng vectơ Ð' ổn định đối với ƒ , nên ta cĩ thể xét tự đồng cấu ø của al Ð cảm sinh bởi ldệ —Ÿ: VieÕ, ø(#)=#Z-ƒŒœ) -SinØ 1-cosØ ma tran này khả đảo vì cĩ định thức (1 - cosØ? + sin22z 0 (202) al _ i Trong một cs.tc (1) cha , ma trận của @ là ( SosÐ - sind ï ¬- + Ta Vậy, tốn tại # e Ư” sao cho Adz, - A

di néu ky hide M=A+z, ta 06

(dg, ~ FAM) =>, suy ra M bat bién qua f

Cudicing Ty oRot pg 1a phép quay véi trục di qua M va dinh phuong va dinh

hướng bởi D , géc quay "

®| Định lý - (Phân loại các phép đời hình của £;)

Các phép dời hình của £; là các phép tịnh tiến, các phép quay và các phép quay - trượt

Ching minh >

Rõ ràng là mọi phép tịnh tiến, phép quay hoặc phép quay - trượt là một phép dời hình Ngược lại, giả sử ƒ là một phép dời hình của #6

Cho A € 6, Á' = 4), ø=Tạzo/ Khi đĩ ø là một phép dời hình của & và gA)=A

Theo Mệnh đẻ 4, ø là một phép quay, g=Rorp ¿

Tổn tại ứeÐ,ØeƯÌ sao cho ÁA'=iï+Ÿ, và tạ cĩ :

ƒ=Tz;s#=T- s(T: sø)

Theo Mệnh để 5, Ty og 1a mét phép quay Rot (trong dé D’ // D) Vi #„eD=, nên f=Ts oRotyg 1a mot phép quay - trượt

¢ Định nghĩa 5 Cho P là một mặt phẳng của £; Phép phản chiếu

(hoặc : phép đối xứng trực giao) qua P, ký hiệu Ref„, là phép đối xứng qua P, song song với phương trực giao với P

Mệnh đề sau đây là hiển nhiên

+¡ Mệnh để 6 Với hai điểm A, B phân biệt

của &, tén tại một và chỉ một phép phản M

chiếu hốn vị A và 8 ; đĩ là phép phản

Trang 24

148 Chương2 Hình học Euclide trong mat phẳng và khơng gian ba chiều Khảo sát tích của hai phép phản chiến cba & Cho P, P' là hai mặt phẳng của Ø; Rõ ràng là : 1) Néu P // P’, thi: Refp oRefp = Tog trong đĩ ứ là vectơ trực giao với P và P' sao cho P=T:() 2) Nếu P và P' cắt nhau theo một đường thẳng Ð, thi: Ref, o Refp = Roty 29, trong đĩ Ø= (PP) [7] (gĩc (P,P) được định

hướng theo hướng cảm sinh bởi hướng được chọn trên D)

Phân tích một phép đời hình thành tích những phép phản chiếu 1) Trường hợp phép tịnh tiến Với mọi đ thuộc Ế; và mọi mặt phẳng ? sao cho #1P, với ký hiệu P= Tis (P) „1a CỔ ; 3 Ty

Như vậy, mỗi phép tịnh tiến phân tích được thành tích của hai phép phản

chiếu (qua các mặt phẳng trực giao với vectơ tịnh tiến), và ta cĩ thể chọn một

trong hai mặt phẳng đĩ, cịn mặt phẳng kia khi đĩ được xác định duy nhất

Refp: o Refp

2) Truong hop phép quay

Cho D 1a mét truc cla &, GER VGi moi mat phẳng P chứa D, với ký hiệu P' = Rot, o(P) ,tacd:

"2

Rotp,9 = Refp o Refp

Như vậy, mỗi phép quay phân tích được thành tích của hai phép phản chiến (qua các mặt phẳng chứa (giá của) trục của phép quay), và ta cĩ thể chọn một trong hai mặt phẳng đĩ, cịn mặt phẳng kia khi đĩ được xác định duy nhất

3) Trường hợp phép quay - trượt

Suy ra từ 1) và 2) rằng mọi phép quay - trượt phân tích được thành tích của

Trang 25

2.3 Hình học afn Euclide ba chiểu 119

2.3.3 Mặt cầu và đường trịn trong khơng gian

Khơng gian afm Euclide Ø; (được dịnh hướng), khi cần thì É; được trang bị một hệ

qeLc(L) €=(Ĩ;1,7.9)

+ Định nghĩa 1 Cho 2e &, 8 e ÏR, Ta gọi bộ phận của @; xác định bởi : S(Q;R)= (Me &; QM =R}

là mặt cầu tâm Q va ban kinh R , ký hiệu là S(2 ; #)

Ta cũng định nghĩa hình cầu mở B(22 ; R) và hình cầu đĩng B'( ; #) tâm #2 và bán kinh R: BQ 5 R)={M & €3; OM <R} B(Q; R)=(M € &; OMSR} & Bs ee BN t x St 6 ) Se 4rQ; K) B(Q;#) BYQ: RE NHÂN XÉT:

1) Nếu # = 0, thì S (2; R) = LO|; ta nĩi {#2| là một mạt cầu - điểm 2) V6i moi 2, 2" © & va moi R, Đ* e R, ta cĩ :

te pe 2=

Như vậy, một mặt câu xác định một cách đuy nhất tâm và bán kính của nĩ

3) BOQ; R) UY SQ; R) = BQ; RY vA BWR; RV S(2; R) = Ø " Các mệnh đề sau đây là hiển nhiên

+| Mệnh để 1 (Phương trình Descartes của mặt câu)

Trang 26

120 Chuong2 = Hinh hoc Euclide trong mặt phẳng và khơng gian ba chiều

«| Mệnh đề2 Cho(ø, Ø,7.ổ) e ?

PID 3 '+y°+z2+2øv+2/Øy +27z + ổ =0 biểu diễn :

e Mặt cầu tâm (2(-ø, -, -}) và bán kính 4jø? + Ø2 +72 - ổ nếu +P +7 -d520

Ta cĩ thể chú ý các trường hợp riêng sau :

=_ các mặt cầu cĩ tâm tại Ĩ : x2+ y”+ z? = R”

" cácmặtcầuđiquaO: x2+y°+z+2œx+2@y+27z =0 + | Mệnh đề 3 (Biểu diễn tham số mặt cầu )

Cho @2(a, b,c) e Ø;, R ï3, Mặt cầu S (2; R) cĩ BDTS : x=a+RcosOsing

y=b+RsinØcosø |, (6,0) e [- Z] x K1

z=c+Rsing

Điều này quy về việc sử dụng các tọa độ cầu cĩ gốc tại 2

Ta sử dụng trước khái niệm về mặt phẳng tiếp xúc tại một điểm với một mặt cong, (6.2.2) | Ménh dé4 ChoQe&,R ER,, Me S(Q)R) Mặt cầu S(.Q;R) cé mot mat phẳng tiếp xúc T tại Ä và ta cĩ : (QM) LT

«| Mệnh để 5 ChoS là mot mat cu voi PTD 7 + y° +2°+ 2øx + 2/8 +

272 + =0 và Mọ (xọ, Yo, Zo) € S Mat phang tiép xtic tai My véi S c6 PTD :

Trang 27

2.3 Hình học afin Euclide ba chiểu 121

Với Mạ(Ø ; ø) S, mạt phẳng tiếp xúc tại Mẹ với S cĩ PTD:

Rcos@ cosg (X + ø - RcosØ cosø) + RsinØ cosø (Y + Ø- RsinØ cosø) + + Rsing (Z + y- Rsing) = 0, tức là : (RcosƠcos@) X+ (RsinØ cosø) Y + (Rsing) Z - (p+ @)xXo - o+ Ø)yo - (Zo†?)Z2 =0 hoặc cịn là : Œọ+ đ)X+ (Yo+ DY - (29+ NZ + aX + By + 72a + ổ =0, đĩ chính là PTD đã nêu trong Mệnh đề 5 a

+ ¡ Mệnh đề - Định nghĩa 6 Cho Qe &,R IR* Moi đường thẳng đi qua Q déu cat S(Q ; R) tại đúng hai điểm A, Ư, và (2 là trung điểm của AB

Đường thẳng (AB) (hoặc đoạn thẳng [AB]) được gọi là một đường kính của mặt cầu S(2; R)

+ | Mệnh đề 7 Cho A,B € & sao cho A # 8 Mặt cầu đường kính A# là

(Me &; MA.MB =0)

Chứng mình :

Như ở 2.2.4, Mệnh đề 8

+ Định nghĩa 2 Cho 7 là một đường thing, Qe D, Re Rt

Ta gọi đường trịn nằm trong mặt phẳng đi R

qua £2 và trực giao với D, cĩ tâm Q va ban kính #, là đường trịn trục D, tâm 2,

ban kinh R

¢) Ménh dé 8 (Vị trí tương đối của một mặt phẳng và một mat cau) Cho P là một mặt phang va S = S(Q; R) 1a một mặt cầu

N€u d(QP) > R thì | Nếu d(42P) = & thì P | Nếu đ(2P) < R thi

PAS=D tiếp xtic vi Sva PA S| P OS 1a mot dudng

là một đơn tử trịn

Trang 28

122 Chương2 Hinh học cuclide trong mặt phăng và khơng gian ba chiêu

Ngược lại, mỗi đường trịn C cĩ thể được xem ít nhất theo một cách, là giao của một mặt phẳng với một mặt cầu, từ đĩ suy ra một hệ phương trình Descartes của C dạng : ax+by+cz+ d =0 x tye +2ar+2/ +2yz+ð =0 © | Mệnh đề 9 Hình chiếu vuơng gĩc của một đường trịn lên một mặt phẳng là một elip Chứng mình -

Bằng cách đổi hệ quy chiếu trực

chuẩn, ta cĩ thể quy về việc nghiên cứu hình chiếu vuơng gĩc của một

đường trịn C lên xQy, đường trịn này là giao của một mặt phẳng PÏ ax+ cặœ-h) =0 và một mặt cầu Sl + y” +(z-h)? = RỀ Từ đĩ ta cĩ thể giả thiết c # 0, do trường hợp ¢ = 0 ứng với một hình

chiếu vuơng gĩc thu về một đoạn

thẳng, coi như lầ một elip

Một điểm zm(x,y) của mặt phẳng xĨy nằm trên hình chiếu vuơng gĩc 7 của C lên xƯy khi và chỉ khi : ax+e(z-h)=0 dzeR42 2 2 2 x +y +(z-h) =R 2 2 Như vậy, 7` cĩ PTD x62) =RŸ., hoặc [rote „ và do vậy e c 7' là một elip

Trang 29

“Oy

2.3 Hinh hoc afin Euclide ba chiéu 123

b) Từ đĩ suy ra rằng, nến ký hiệu 7,/,K,L.,M,N là các trung điểm theo thứ tự của A8, CÐ, BC, AD, BD AC : IP + KL? +MN° fas? +AC?+AD? +80? +BD" +CD") 2.3.2 Chứng mính ràng; V A,B,C, Ð 6 6Ø: ABA AC — BC A BD+CD ACA ~ ĐÁ A D8 =0

2.3.3 Cho A C, Ð e Ø; khơng đồng phẳng Cho M € (ÁC) ¡ mạt phẳng wdi qua M và song song với (48) và (CD) cát (BC), (BD), (AD) theo thứ tự tại ba điểm là W, P, Ở- 2) Chứng minh rằng A⁄PØ là một lĩnh bình hành

b) ĐKCĐ đối với M để cho A#MPO là một hình thoi

2.3.4 Tính khoảng cách từ điểm A đến mật phẳng P trong các ví dụ sau : 4)AQ, -1, 2) P|2x+6y-z=17 b) AU, 2,-3) P đi qua 8-2, 1.0) và được định phương bởi ¥(1,-6,2) va WG-11) 2.3.5 Tính các gĩc sau: 4) Gĩc của các mạt phẳng P |x+ y+z=3, P?l2x+y-z=4 : -2y+z=4 xtytz=0 b) Gĩc của các đường thẳng : 2 {; 2x+y-z=0 vr of cưyz 2x+3y~z=0 x+2y+ze0 và mạt phẳng P |x + 2z = ;

¢) Gĩc của đường thẳng : Ø 2x—y+z=l

2.3.6 Lập các PTD của các mrạt phẳng phân giác của :

PÌ7%x-4y+4z-8 =0, P°|4x+ 8y +z - 1= 0, 2.3.7 Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Ð trong các ví dụ sau : 3) A(4-3.2), 2 đi qua 8(1,0,-1) và được định phương bởi # (2.-L.3)

x

b) AQ-1,1, 2 {

Trang 30

424 Chương2 Hình học Euclide trong mặt phẳng và khơng gian ba chiều oD =324+1 y=2z~1 9 2440 Chop4) TT n4 77-4 z=2 y=2z+1 Chứng minh rằng tồn tại một và chỉ một mặt phẳng P song song với Ø và Ð" và cách đều Ð và D', và lập một PTD của P x=2z+l lâm z—2 y=3z+1 ` © 23⁄1 cm { yer} +) Chứng minh rằng Ð và Ð' cất nhau b) Lập một HPTD của các đường phân giác của Ð và Ð" x=z+2

° 2.3.12 cm{ year+] , Pi |Sx+Sy-32-2=0 , Py l2x-y42-6=0

Tìm tất cả các mặt phẳng Z chứa Ð và sao cho Z1 P¡ và z “^ P, Ia hai dutmg thang trye giao (Cĩ thể đùng bài tập 1.2.9) š =3z+2 2.3.13.- Lập các PTD của các mặt phẳng chứa Ð [ a ¡_YÀ cĩ khoảng cách đến + ° diém A(1,-1,0) bang 1 Ta cĩ thể dùng bài 1.2.9) =-r+l » Ds Tìm tất cả các đường thẳng Ð của khơng gian cắt D,, D,, Dy va tric giao voi a — #23) -l = 1 9 2314 ChoD, E TH of 2.3.15 Cho (am) £ 0812, DỊ pom ; - =a

Xác định các đường thẳng của £; cắt Ðạ, Ð; dưới cùng một gĩc

y=-mx y=-mx

D 3 Pr, Dd + { =-h

Ching minh ring cée diém 46i xing A,, Az, 43, Aq cba A qua Dy, Dy, Dạ, D, là đồng phẳng, và lập một PTD của mặt phẳng chứa chúng

9 2.3.17* Chứng mình rằng trong các hình hộp mà các cạnh cĩ những độ dài cho trước, hình hộp chữ nhật cĩ tổng độ dài các đường chéo nhỏ nhất

9 2.3.48* Cho ABCD 1A mot hình tứ điện đều (cạnh bằng nhau, diện tích các mặt bằng nhau), Š là điện tích một mặt, V là thể tích Xác định trị số cực đại của tích các khoảng cách từ một điểm & nằm trong ABCD đến bốn mặt của ABCD

2.3.19* Cho ABCD là một hình tứ điện Ta giả thiết rằng bốn mặt cĩ cùng diện tích Chứng minh rằng những cạnh đối cĩ cùng độ dài

2

(Pháp dang ce afin cita €)

Trang 31

2.3 Hình học afin Euctide ba chiéu 125

0 2.3.21 Xác định tập hợp các phép đời hình giữ một mặt phẳng cho trước P bất biến

trong tồn cục

9 2.3.22 a) Cho hai dung thing D, D’ Chứng minh :

1) Néu D // D’, thi Ret, o Ret, 1a phép tinh tién T27, trong đĩ v là veetơ trực giao với D sao cho D’ =T y (D)

2) Néu D va Ð" khơng song song thì Ret, ø Ret, là một phép quay - trượt cĩ truc L (la

đường vuơng gĩc chung của Ð và D’, hướng tùy chọn ), gĩc 2 (Đ,Ð') |2m],

vectơ 2 #H' (trong đĩ [HỊ=ÐD L,{H'}Ị=Ð`nak)

b) Ngược lại, chứng mỉnh mọi phép đời hình f của £, đều phân tích được thành tích của bai phép lật Nếu ƒ là một phép quay - trượt cĩ trục ký hiệu là / thì cĩ thể chọn một

trong hai trục của phép lật là một trục tùy ý và cát vuơng gĩc Z

9 2.3.23 Ching minh ring tích của ba phép lật qua ba đường thẳng Ð,, Ð;, Ð, là phép đồng nhất khi và chỉ khi D,, D,, D; tao thành một tam diện ba gĩc vuơng,

(Sử dụng bài tập 2.3.22)

9 2.3.24 Chứng minh rằng bai phép lật Ret, và Ret, giao hodn khi va chỉ khi Ð = ' hoặc Ð và Ð” cất nhau vuơng gĩc nhau (dùng bài tập 2.3.22)

0 2/325 Chứng minh rằng hai phép phản chiếu Retz và Reu„ giao hốn khi và chỉ khi P=P hoặc PLP"

a) Chứng minh rằng với mọi mặt phẳng P và mọi # thuộc P~, Tạ o Ref, là một phép phản chiếu và chỉ ra mặt phẳng của phép phản chiếu đĩ

b) Ta gọi mọi tích T ự ø Ref; trong đĩ vở e Ể là phép đối xứng - trượt Chứng mình rằng các phép phản dời tình của # là :

« Các phép đối xứng - trượt (bao gồm các phép phản chiếu)

« Hợp của một phép quay và một phép phản chiếu, trục của phép quay trực giao với mật phẳng của phép phản chiếu ©) Từ đĩ suy ra rằng mọi phép phân dời hình đều phân tích được thành tích của nhiều nhất ba phép phản chiếu 0 2327 Lap một HPTD của hình chiếu vuơng gĩc ' của đường thẳng ~1=0

party? x~y-2z=0 lên mặt phẳng PÌ+ + 2y+3z - 6 =0

9 2.3.28 Lập một PTD của hình đối xứng P' của mật phẳng P|2x +y- z- 1 = Ơ qua =2-2

dudng thing D4 *77~* y=3:z+l

qua mặt phẳng Z| x + y- 3z - 1 = 0

qua đường thẳng 4 |x=y= z

; „ _

Trang 32

126 Chương 2 Hình hoc Euctide trong mặt phẳng và khơng gian ba chiều

z=h z=

xsing— yeosZ =0, 1m

£= Retz.o Ret, Xác định các phần tử đặc trưng cia f

© 2.3.33 Trong mỗi ví dụ sau hãy nhận biết ƒ: 6> Z, và chỉ ra các phần tử đặc trưng M(Gxy) M (C2) I +'=—C2x—2y+z+T) 3 1 a) 4 y= —(-2x+ y~27+2) b) 3 (+—2y~2z+Ð) (~§y~4z+2) dy Yo hebre y-4242) 1 24x-4y+7z+1 ạt x—=4y+7z+1) © 2.3.34 Cũng câu hỏi như trong bài tập 2.2.33 (dùng bài tập 2.3.26) : 1 x's SŒœ~2y~22)+2 3 -z+2 =x+l b) zmy+l 1 (2+y~32 =1, (-2x-2y+z)

(Mặt câu và đường trịn trong khơng gian)

© 2.3.36 - Khảo sát vị trí tương đối của hai mật cầu theo các bán kính R , 8` của chúng và khoảng cách giữa các tâm 9 2.3.37 _ Chứng tỏ rằng năm điểm A (47,1), 8 (3,-3,6), C (-5,1,4), D (5,6,-L), E (-4,3,-3) thuộc cùng một mặt cầu Š, và xác định tâm và bán kính của S, 9 2.3.38 Cho A, B,C, D 1a bén diém thuge & khong déng phing, Ching minh ring tén tại một mặt cầu duy nhất § đi qua A,B,C,Ð ; mặt cầu đĩ được gọi là mặt cảu ngoại tiếp tứ điện ABCD Vĩ dự : Lập một PTD của mặt cầu S ngoại tiếp tứ di¢n ABCD, trong đĩ : A(024), 8132), C213, DC-2-3-1) =0 =0 =0 2.3.39 ChoD, {; 1D, E l,p, if Bồ | - =I zal xet

4) Hãy xác định tất ca cdc dutmg thing D cia & cit D,, Dy, Dy b) Xác định quỹ tích của hình chiéu vudng géc H cia O len D

Trang 33

2.3 Hinh học afin Euclide ba chiéu 127 Bổ sung

$ € 2.1 Đường trịn : phương tích, trục đẳng phương, chùm đường trịn

Trong phần bổ sung C 2.1 này, (C), (C '), (C°) chỉ những đường trịn của ¿ cĩ tâm 2 42, 3°, và bán kính #, #", 8" (> 0)

1 Phương tích của một điểm đối với một đường trịn

1) Một đường thẳng xuất phát từ một điểm # của Ø;

cắt (C) tại hai điểm A,B ; ta ký hiệu A' là điểm đối B,

tâm của A trên (C) Chứng minh :

MA MB =MA.MAL = (2M? -RẺ,

Từ đồ suy ra rằng MA MỠ khơng phụ thuộc cất A’ tuyển xuất phát từ M Ta gọi số thực :

CW) = MA MB

làphương tích của điểm M đối với đường trịn (C) 2) Cho 4# e @ ở bên ngồi (C), T, T` là tiếp điểm của các tiếp tuyến với (C) kẻ từ 8 Chứng minh : C(M) = MT" = MT" 3) Ta ký hiệu (C) : xÌ+y) - 2ax-2by+c =0 trong một hệ quy chiếu trực chuẩn #= (Ø: ï,/) của £; Chứng mính : VM (xy) 6 Øy, C(M) =xŸ + yÌ - 2ax - 2by +.c,

4) 4) Cho A, B, C, D e £, từng ba điểm một khơng thẳng hàng và sao cho (4B) K (CD), Mt là giao điểm của (AB) và (CĐ) Chứng mình rằng A, B, C, Ð đồng chu khi và chỉ khi :

MB MB = MC MD

b) Cho ABC thuge & khơng thẳng hàng, #Z e (4ð) Chứng minh rằng đường trồn ngoại tiếp với ABC tiếp xúc với (MC) khi và chỉ khi :

MA MB =MC?

IL Trục đắng phương của hai đường trịn

1) Chứng minh ring {M € & ; € (M4) = C(M)] là một đường thẳng, được gọi là trục đẳng

phương của (C) và (C"), và ở đây được ký hiệu là 4„ 2) Chứng mình :

Trang 34

128 Chugng2 Hình hoc Euclide trong mặt phẳng và khơng gian ba chiều

b) Nếu (C) và (C') cắt nhau tại hai điểm A va B(A *# 8), thì Ace = (AB) 3) Xét các phương trình của (C) và (C) trong một hệ quy chiếu trực chuẩn = (0:73): (C) 32+ 24x - 2y +c=0 (C):x2+y)~2a1x <2 y +ct =0, Chứng minh rang doc: 06 phương tình; 2(a" - a) x +2(h" -b) y+ (c~ c)=0 Ae on 4) 4) Giả thiết 2, 2' 2" khơng thẳng hàng Chứng mính rằng các trục

đẳng phương 4 4ec-, Ac.c đơng

quy tại một điểm Y , được gọi là tám (cy

Trang 35

2.3 Hình học afin Euclide ba chiéu 129

b) Dựng trục đẳng phương của hai đường trịn khơng cắt nhan

Trang 36

130° Chương2 Hình học Euclide trong mặt phẳng và khơng gian ba chiều IV Chùm tuyến tính các đường trịn - Nếu (C) và (C°) khơng đồng tâm, ta gọi tập hợp các đường trịn (7) của €;, xác định bởi (©) và (C°) sao cho : Ser Ace: là chùm tuyến tính các đường trịn xác định bởi (C) và (C), - Nếu (C) và (C") đồng tâm, ta gọi tập hợp các đường trịn của 6; đồng tâm véi (C) va (C’) là chùm tuyến tính các đường trịn xác định bởi (va (C9

Ta ký hiện Fe la chim tuyến tính của các đường trịn xác định bởi (C) và (Cˆ)

1) 4) Chứng mình rằng, nếu (C) và (C°) cắt nhau tại hai diém A, B thi F ce là tập hợp các đường trịn của £, di qua A và B, Các điểm A và E được gọi là các điểm cơ sở của chùm Fee:

b) Chứng 18 ring, néu (C) va(C’) tip xtic tai mot diém T,

thi Fee 1a tap hợp của các

đường trịn cha & tiếp xúc tại T với (C) (và với (C°)) © Ta giả thiết ở đây (€)2(C°) = và ký hiệu (#] = (QQ) Ace, ƒ và J là các điểm của (2Ø ') xác định bởi : HÈ= 1?= C() = C'ữ0 Chứng minh rằng #¿- là tập hợp các đường trịn của £ cĩ tâm trén (287) va true giao với đường trịn đường kính ¿7

Các điểm 77 được gọi là các

Trang 37

2.3 Hinh hoc afin Euclide ba chiều 131 2) Ta xét các phương trình của (C) và (C”) trong một hệ quy chiếu trực chuẩn £= (Ø; 7, ):

(C) : x” + yỶ - 2ax - 2by + e =0

(C?): x? + yÌ - 24x - 2b`y + c° = 0

Chứng tỏ rằng # - là tập hợp các đường trịn của #; cĩ phương trình :

ae +y" -2ax- byt c)+ BU +y’ - 2a’x- Wy +07) =O, trong đĩ (ø,8) chạy khắp {(ø,Ø) € RỂ ; ø + # 0]

Như vậy (#2 - {C?} là tập hợp các đường trịn của £; cĩ phương trình : GỖ + yŸ - 2ax- 2by + c) + QỆ + yŸ - 28x - 2b*y +) =0

trong đĩ 4 chạy khắp Í# - {-1}

3) Cho (7) € #c ¡ @ là tâm cũa nĩ, ø là bán kính của nĩ Hãy chứng minh rằng : POD +R Da +R OQ + 22 Fo.af =0

'Việc khảo sát này được tiến hành trong mật phẳng Euclide 6; Với A e Ø; và È € R ta

định nghĩa phếp nghịch đảo cực (hoặc : tám) A, tỷ số k, ký hiệu là :

đây: 6 - (A] ® 6 - (A} MoM A, M, M' thing han; _— _— trong 46M’ là điểm xác định bởi: | ^- hằng BỀN ưu a = AM, AM.AM’ =k AM? (Xem thêm Tập 1, C 2.2) Rõ ràng là lạ, cĩ một cực duy nhất và một tỷ số duy nhất, và là một phép đối hợp của & - 1A]

1) Cho O € & , R=(O; i,j); 1a mot hé quy chi€u trực chuẩn của #;, k e R„,/ là phép nghich dao cuc O và tỷ số & ứ 5 ke ky Chiing minh rang, v6i moi M (x,y) thuge & - {0}, 7 (M) c6 toa do ( 2.2132 } x+y x+y Như vậy, nến M cĩ tọa vị z € C*, thi /(M) cĩ tọa vị nthe

2)ChoO € & KER, f= hoe

3) Chứng minh rằng tập hợp các điểm của £; - {0} bất biến qua / là đường trịn tam Ở và

ban kinh Vk , được gọi là đường trịn nghịch đảo của 7

b) Chứng minh rằng :

+ Một đường thẳng của &› là bất biến qua / khi và chỉ khi nĩ đi qua O

+ Ảnh qua 7 của một đường thẳng khơng đi qua Ở là một đường trịn đi qua Ở (thiếu điểm Ø)

ce)» Anh qœ"- 7 của một đường trịn đi qua Ø (và thiếu điểm 0) là một đường thẳng,

khơng đi qua (2

Trang 38

132 Chương 2 Hinh hoc Euclide trong mặt phẳng và khơng gian ba chiều

3) Cho f, ø là hai phép nghịch đảo

a) Chững minh rằng ƒo g o ƒˆ ' là một phép nghịch đảo hoặc một phép phản chiếu (trong

mật phẳng thiếu nhiều nhất ba điểm)

b) Nếu ƒ o ø o ƒˆ' là một phép nghịch đảo, chứng mính rằng, khi ký hiệu C là đường trịn

nghịch đảo của ø, thì đường trịn nghịch đảo của ƒe ø a/ˆ ! là ƒ(C)

4) Cho 0 € & KER f=1p,, A,B &- {0}, A= HA), B= MB) k.AB 04.08 Chứng mình rằng: A’B” 5) Bat đẳng thức Ptolémée

Cho A, 8, C, Ø là bốn điểm của £; Chứng minh : AC.BD SAB.CD + AD.BC,

vã cĩ đẳng thức khi và chỉ khi 4, 8, C, Ð đồng chủ hay thẳng hàng, theo thứ tự đĩ (Ta cĩ thể xét / = 1,, B= KB), C'= KC), D’= I(D) va ding 4)

6) Cho ABC [a mt tam gide cha & , Da diém sao cho tatn gidic BCD déu va & ngoai ABLE là giao điểm của AD với đường trịn 7ˆngoại tiếp BCD Ta giả thiết 4 ở ngồi đĩa giới hạn bởi 7? Chứng minh rằng, với mọi Ä thuộc Ø; , MA + MB + MC 2AD, và cĩ dẳng thức khi và chỉ khi M = E (Dùng 5)

7) Cho ABC là một tam giác nhọn (tức là các gĩc Â,,C đều nhọn ), A',8',C” € £; sao cho các tam giác BCA', CAB', ARC' là tam giác đều và ở ngồi ABC Ta ký hiệu Z7 />, 7} là các đường trồn ngoại tiếp BCA”, CAB", ABC"

Chứng minh rằng (4A”), (BB”), (CC”), 72 Ƒ„, 72 cùng đi qua một điểm và các đường: : 2 thẳng (PA), (PB), (PC) tạo thành giữa chúng những gĩc ^^ 3 $ €2.3 Bướm đơn, bướm kép 1 Bướm đơn

Cho (7) là một đường trịn của ;, PQ là

một đây cung của (7), E là trung điểm của PQ A, B, C, D là bốn điểm của (7) sao cho

các doạn thắng AB và CD cát nhau tại E, Ta ký hiệu M (tương ứng : M) là giao điểm của

các đoạn thẳng PQ và AD (tương ứng : BC)

1) Ta ký hiệu ð4”, #4” (trong img : N’,.N") là các hình chiếu vuơng géc cha M (tuong ứng : Đ) trên (48) và (CD) | EM MM’ MM" MD Chứng min: ——=———=———, EN NN NN" NN NB 2 EM` _ AM.MD 2) Tad6 suy ra: — = EN? CN.ND 3) Chimg minh; MA.MD = MP.MQ va NC.NB = NP.NQ 4) Kết luận rằng: EM = EN

Như vậy ta đã chứng minh rang E (vốn là trung điểm của PØ) cũng là trung điểm của MA

(Tham khảo : H.S.M Coxeter and S.L Greitzer, Geometry revisited, Math Association of

Trang 39

IL Bướm kép

A Dinh ly Haruki

Cho (7) là một đường trịn của Ø, PQ là một day cùng của (`), B, 8", C, Ð là bốn điểm

của (7”) sao cho các đoạn thẳng BC, BD, B’C, B’D cất đoạn thẳng PỢ tại bốn điểm, ký hiệu tuần tự là ##, N, M°, N", Ta ký hiệu ; x =PM,y=MN, z=NQ, x= PM’, y=M`N",z=N'Q 1) Cũng lập luận tương tự như ở I, chứng mình : XŒ-x) _ x0 #2) Ty (e9, 2) Từ đồ suy ra: - xy'z=x'yz, B Định lý bướm kép

Cho (7ˆ) là một đường trịn của 6; , PP' là

một dây cung của (7), A, 8, C, Ð,A', BC Ø' là tám điểm của (ï”) sao cho các đoạn

thẳng AC, AD, BC, BD, B'D', B'C", A'D",

A’C” cat doan thang PQ tai tam điểm, ký hiệu

tuần tự là B.F,G, HW) FB vad trên (PP”) theo thứ tự đồ Ta giả thiết rằng : PE=PPF', PG=P'G' , PHEPIH Bằng cách áp dụng định lý Haruki, hãy chứng minh : PEFP`_ PG.HP' EF GH PEP P'G.H'P và ————=—.- EF GH Ti d6 suy ta PE = PE’ 23 Hình học afin Euclide ba chiều 433 Ase “WD (FP) D (Tham khảo : L.Hoenn, A new proof of the Double Butterfly Theorem, Math, May,63 (1990), trang 256-257),

0 € 2.4 Mot định lý vẻ bốn đường trịn của J.B.Tabov

1 Những kết quả mở đầu về đường trịn nội tiếp và các đường trịn bàng tiếp

Cho A8C là một tam giác, @ là tâm của đường trịn nội tiếp ABC, Ĩx là tâm của đường

Trang 40

134 Chương 2 Hình học Euclide trong mặt phẳng và khơng gian ba chiều

trên (BC), (CA), (AB), Fy Tp, Í„ là các hình chiếu vuơng gĩc của Ø, trên (BC), (CA), (48), A 1 a=BC, b=CA, c=AB, s= —(a+b+c) 2 1) Ta ky hitux = AJ= AK, y = BK= Bl, z=Cl =CU Chứng minh : x + y=£,y+z=đ,2+x=b, vatirdé suy tax=s-a,yas-b,z=5-¢ 2) Chứng mình : CC OsB và 1ẠB OC Co 0,0 O,B OO," Từ đồ suy ra :

Bl, = Big = Cl = 8-0 va Cly = Clg= BỊ = s- b, rồi KI, = lg = 4, Ale = Aly = 5 II Cho ABC là một tam giác của 6; , P, Ợ là hai điểm thuộc BC sao cho B, P,Q, C được sáp theo thứ tự đĩ Hãy chứng múnh rằng các tam giác 4BP và AOC cĩ các dường trịn nội tiếp dẳng cự khi và chỉ khi các tam giác ABQ và APC cĩ các đường trịn nội tiếp cũng đẳng cự

Các đường trịn nội tiếp ƒ, J,, 72 ⁄” ⁄2' trong APQ, ABP, AQC, ABQ, APC c6 14m 120, Ĩ,,Ĩ;, Ø,`, Ĩ2°, bán kính r, rụ , r; vị", ?;" , và cĩ các điểm tiếp xúc với (BC) lÀT,T, T;, ?\',T,' Các đường trịn bàng tiếp 7, 7e trong APQ cĩ tâm Ở, , Ởạ và bán kính là rp ro điểm tiếp xúc với (BC) là, Tạ Ta ký hiệu s, s,, 6; , sị", ø;' là nita chu vi cha APQ, ABP, AOC, ABQ, APC, và a = PQ,b = AB c= ÁC p =AP,4=AQ B TP T Or, Cc 1) Chứng mình : và 2) Từ đồ suy ra: rị=r; © (5-p)(5;"e) = (8 gs 6) 3) Theo cách tương tự chứng mình: rị'=z;' © (-p)(;`-€) = (- g)GỊ ~ b) 4) Chú ýrằng: sy =5,+s-p VÀ 5° =gy+øng

Định dạng
Số trang	100
Dung lượng	5,55 MB