TY x1 1
Giáo trình Tốn - Tập 7 HINH HOC
(ido trinh va
400 bai tip co loi giải
Trang 3Lời nĩi đầu
Bộ giáo trình Tốn mới này, với nhiều bài tập cĩ lời giải, được biên soạn dành cho sinh viên giải đoạn Ï các trường đại học cơng nghệ quốc gia (năm thứ | va thứ 2, mọi chuyên ngành), cho sinh viên giai đoạn I đại học khoa học, và cho các thí sinh dự thi tuyển giáo sư trung học phổ thơng
Bố cục của bộ giáo trình như sau: Tập! : Giả ¡ tích 1 Tập2 : Giải tích 2 } Giải tích nam thit 1 | Giải tích năm thứ 2 3
Tập 5: Đại số 1: Đại số — năm thứ Ì Tập 6: Đại số 2: Đại số — năm thứ 2
Tập 7: Hình học: Hình học năm thứ Ivà thứ 2
Để kiểm chứng mức độ lĩnh hội kiến thức, trong mỗi chương độc giả sẽ thấy nhiêu bài tập cĩ lời giải in ở cuối sách Trừ một vài trường hợp đặc biệt, các bài tập này đều khác với những bài đã cĩ trong bộ bài tập cĩ lời giải gồm tám tập
mới xuất bản -
Nhiều vấn để ở ranh giới của chương trình được để cập ở cuối chương, đưới dang cic bổ sung cĩ giải
Tác giả rất mong nhận được những lời phê bình và gợi ý của độc giả Xin vụ lịng gửi các ý kiến đến Nhà xuất bán Dunod, 5, phố Laromiguière, 75005
Paris
Trang 4Lời cám ơn
Tơi xin bày tỏ ở đây lịng biết ơn đối với nhiều bạn đồng nghiệp đã vui lịng đọc lại từng phần của bản thảo hoặc của bản đánh máy là : Henri Baroz,
Alain Bemard, Jean-Philippe Beme, Isabelle Bigeard, Gérard Bourgin,
Gérard Cassayre, Gilles Demeusois, Catherine Dony, Hermin Durand, Marguerite Gauthier, André Gruz, Annie Michel, Michel Pernoud, René
Roy, Philippe Saunois
Sau cùng, tơi chân thành cám ơn Nhà xuất bản Dunod, Gisèle Mạus và Michel Mounic, mà năng lực cũng như lịng kiên trì đã tạo điều kiện cho các tập sách này ra đời
Trang 5Muc luc
Phần thứ nhốt - Giáo trình
Chương 1 - Hình học cfin trong mặt phẳng vờ †rong
khơng giœn bơ chiều
1.1 Cdc khong gian afin R’ va R® 3 1.1.1 Nhắc lại về R -kgv R’ va R? 3 1.1.2 Các khơng gian ađn R và RẺ 3 1.2 Đường thẳng và mặt phẳng afin 6
1.2.1 Đường thang afin trong A, 6
1.2.2 Mat phing afin trong A, 14
1.2.3 Đường thẳng afin trong A, 19
1.3 Hệ quy chiếu Descartes 29 1.4 Ánh xạ afin 33 1.4.1 Dai cuong 33 1.4.2 Các ví dụ thơng thường về ánh xa afin 35 1.5 Tam tỷ cự, tính lồi 1.5.1 Tam ty cr 44 1.5.2 Tính lồi 48
Chương 2 - Hinh hoc afin Euclide trong mat phẳng
vị trong khơng gian ba chiều
2.1 Nhấc lại về hình học vectơ Euclide trong IR? va R® 33 2.1.1 Tích vơ hướng dạng chính tắc 53
2.1.2 Tính trực giao 54
2.1.3 Tích hỗn hợp và tích vectơ trong IR° 55 2.1.4 Các tự đồng cấu trực giao của IR? hoặc I° ST
2.2 Hình học Euclide phẳng 62
2.2.1 Khoảng cách, gĩc 62
2.2.2 Các phép đẳng cự afin của mặt phẳng 67
Trang 6Vi Mục lục 2.2.4 Đường trịn trong mặt phẳng 2.2.5 Đường cơnic trong mặt phẳng afin EucHde 2.2.6 Ứng dụng số phức trong hình học Euclide phẳng 2-3 Hình học afin Euclide trong khơng gian Euclide ba chiều 2.3.1 Khoảng cách, gĩc 2.3.2 Các phép đẳng cự afin của £, "Bổ sung
Chương 3 - Hinh hoc afin Thực
3.1 Cấu trúc afin chính tắc của một khơng gian vectơ 3.11 Điểm 3.1.2 Phép tỉnh tiến 3.2 Khơng gian afin con của một khơng gian vectơ 3.2.1 Đại cương 3.2.2 Tinh song song 3.3 Anh xạ afin 3.3.1 Đại cương
3.3.2 Các ví dụ thơng thường về ánh xa afin 3.4 Các hệ quy chiéu Descartes
3.4.1 Đại cương
3.4.2 Hệ quy chiếu Descartes và khơng gian afin con
3-4-3 Hệ quy chiếu Descartes và ánh xa afin
3.6 Tam ty cy, tinh lồi 3.5.1 Tâm tỷ cự 3.5.2 Tinh I6i
Chương 4 - Đường cong trên mặt phdéing
4.1 Cung tham số hĩa 4.1.1 Đại cương 4.1.2 Khảo sát một cung tham số hĩa trong lân cận một điểm 3 Nhánh vơ tận 4 Các tính đối xứng 5 Diém bội
Trang 7*%
Mục lục
4.2.2 Biểu diễn một đường cong trong tọa độ cực 194
4.2.3 Đường thẳng trong toa độ cực 194
4.2.4 Đường trịn trong tọa độ cực 195 4.2.5 Các đường cơnic cĩ tiêu điểm tại gốc tọa độ 195,
4.2.6 Khảo sát một đường cong xác định
bởi một phương trình cực trong lân cận một điểm 196 4.2.7 Các nhánh vơ tận 197 4.2.8 Các tính chất đối xứng 199 4.2.9 Phía lõm đối với gốc toa độ, điểm uốn 200 4.2.10 Điểm bội 202 4.2.11 Lược đồ khảo sát một đường cong cho bởi một phương trình cực 203
4.2.12 Ví dụ về cách vẽ đường cong trong tọa độ cực 204 4.2.13 Tính điện tích phẳng trong tọa độ cực 207
4.3 Đường cong cho bằng phương trình Descartes 209 4.3.1 Đại cương 209 43.2 Ví dụ 211 4.4 Hình bao của một họ đường thẳng trong mặt phẳng 215 4.4.1 Lý thuyết 215 44.2 Vidu 217 Chương 5 - Cúc tích chốt mê†ric của đường cong trên mốt phẳng 5.1 Các tính chất cấp một 223 5.1.1 Hồnh độ cong 223 5.1.2 Biểu điễn tham số theo hồnh độ cong 229 5.2 Các tính chất cấp hai 232 5.2.1 Bán kính cong 232 5.2.2 Tam cong 238
5.2.3 Đường túc bế của một đường cong trên mặt phẳng 243
5.2.4 Các đường thân khai của một đường cong trên mặt phẳng 247
Trang 8Vill Mục lục 6.2 Mat cong 6.2.1 Đại cương 6.2.2 Tiếp diện 6.2.3 Các mặt thơng thường, 6.2.4 Mat bac hai 6.2.5 Mặt kẻ, mặt khả triển
6.2.6 - Ví dụ về khảo sát các đường cong vẽ trên một mặt cong và thỏa mãn một điều kiện vi phan
Trang 9Phần thứ nhất
Trang 10Chuong 1
Hinh hoc afin trong mat phang va trong
khơng gian ba chiều
1.1 Các khơng gian afđn R? va R°
1.1.1 Nhic lai vé cdc R - kgv IR? va R?
Ta sẽ xét i, vi uutmg hop RR? ciing tuong a
Ta nhắc lai (xem Tap 5, 6.1) rang RR 1a mot IR - kgv déi véi cdc luat thơng,
thường, được xác định, với (x, y, 2), (x”, y', z2 thuộc )§ và A thude R, bai : Cay D+ ZH + xy + yz 4+ 2’)
Ax, ys 2) = (Ax, Ay, 22),
va rang : eye yd
B° (x,y,2)-(x y,2)=(X- X2 yyz-£?),
RỂ được trang bị cơ sở chính tắc (Ƒ,7,Ê), xác định bởi : Ï = (l, 0, 0),
j =(0,L0), £ =(0,0,D Phần tử (0,0,0) của [Rˆ được ký hiệu là Ư hoặc 0
1.1.2 Các khơng gian afin R? va R*
Ta sẽ khảo sát trường hợp R’, vì trường hợp IR? cũng tương tự Một phần tử (x, y) của JR? được biểu diễn hình học bởi một điểm, ký hiệu là ă chẳng hạn, mà các tọa độ là x, y “Ta ký hiệu Ø = (0, 0) = 6 Vậy, một phần tử (+, y) của IR?,
tùy ngữ cảnh, sẽ được xem như
Trang 11Chương 1 Hình học afin trong mat phẳng và trong khơng gian ba chiều Cho M = (x, y) = R?, M'=(x,y) eR? Ta ký hiệu là MM’ phan tit caa R? xác định bởi : MM' =M’-M=(¢-x,y'-y) Vậy ta cĩ : M=Œ,y)=((y)+Œ' ~x, y -y) =M+ MM’ hoặc cịn là: - M'=(M'-M)+M=M+ MM’
Khi các phân tử của IR? được xem như những điểm, ta nĩi lÈ? được trang bị
cấu trúc afin của nĩ (hoặc : ïE* là một khơng gian afin), và khơng gian
afin IR? thường được gọi là mặt phẳng afin (hoặc : mat phẳng) Để chuẩn
bị cho việc nghiên cứu các khơng gian afin (chương 3), ở đây ta sẽ ký hiệu
Z4; là tập hợp các điểm của lR? và sẽ gọi „4, là (một) mặt phẳng afin
Tương tự, ta sẽ ký hiệu „A, là (một) khơng gian afin (ba chiều)
Nhằm tính đến việc đổi hệ quy chiếu (hoặc : mục tiêu) (xem 1.3, dưới đây), ta sé viel M(x, y) thay vi M = (x, y)
Trang 12xe
1.1 Các khơng gian afin J và R? Đ
 | Mộnh dộ 2 Với mọi điểm A, Ư thuộc „2A; và mọi vectơ #, vihuộc R?:
DAt atv A+ (uty) Atuey
2) AB=u @B=Atu ⁄ `
3 ÁA+ 6 =A+v cữ=y, AL asa
i
Ching minh : ——_—~- _Ư
1) Suy từ tính kết hợp của + trong JE?, A B=Atu
Với ký hiệu A = (a, a’), B= (d, 6), he (4,0), 0 = Ov):
2) AB =u â (ba, b`ô 4) = (6 4) « (b, bs (a, a) + (u,v) =B=A+w 34+ = AGT oO lười fics 4i iê=ẽg +” NHẬN XÉT: Với A € Ay, cố định, ánh xạ R2 -> >Ị là một song ánh HAE Một cập - điểm là một cặp (A, B) gồm hai điểm
Ta nĩi rằng một cạp - điểm (A, 8) tương đẳng với một cặp - điểm
(C, D), va ta ky hieu (A, 8) ~
(C, D), khi và chỉ khi :
AB=CD A
Rõ ràng ~ là một quan hệ tương đương trong tap hợp các
Trang 136 Chương 1 Hình học afn trong mặt phẳng và trong khơng gian ba chiều
1⁄2 Đường thẳng và mặt phẳng afin
1.2.1 Dudng thang afin trong A,
1) Dai cuong + Định nghĩa 1
1) ChoAe A), a © R2- {6} Tap hợp các điểm M thuộc zÄ; sao cho AM cộng tuyến với z (ức là: AM e Ra) goi la dường thing
afin di qua A va định phương bởi ứ
2) Một bộ phận Ð của zA; được gợi là đường thing afin (hoặc :
đường thẳng) khi và chỉ khi tổn tại (A, ư) € zA; x OR? - (0) sao
cho D là đường thang afin di qua A va duge dinh phuong béi #
D
D
'Với cách ký hiệu + giữa điểm và vectơ (xem 1.1.2), đường thẳng afin đi qua A và định
phương bởi Z là {A + 4#; 2 e JE], đường thẳng này cũng được ký hiệu làA+iii
Với Á € zÃ; và ứ e RR”- (Ư } đểu cố định, anh xa R —> Á + Rũ là một song ánh À BÁ+Âu
Dac biét do R vo han, nén moi đường thẳng afin là một tập hợp vơ hạn
Ta ký hiệu D=A+Rđ
Cĩ thể thấy ngay : VBeD, B+IRữũ =A+lRi
Tổng quát hơn, với mọi điểm A, 8 thuộc „A; và mọi vectơ 1,v khác vectơ khơng
thuộc RẺ: as mm
A+Rđ=B+RäB @ [GD Phtiuee | (#, AB) phuthuộc
«| Mệnh để - Định nghĩa 1 Cho Ð là một đường thang afin cla Ap
Mọi vectơ ÿ thuộc R? - {6 }, sao cho t6n tai mot điểm A thuộc z3; thỏa
mãn Ð = A + ïRÿ, đêu cộng tuyến với cùng một vectơ ¡ khác vectd khơng Đường thẳng vectơ JR được gọi là phương của Ð và được ký
hiệu là Ð ; một phần tử khác vecto khong của lầ# được gọi là một
vectg chỉ phương của Ð
Trang 141.2 Đường thẳng và mặt phẳng afin ¢ Định nghĩa - Ký hiệu 3 Cho (2, z) là một trục, A, 8 € Ð Ta ký
hiệu số thực t sao cho AB =tu 1A AB, và ta nĩi rằng AB là số đo đại
số của cặp - điểm (A, 8) trên trục (D, đ )
« a
A B D
NHẬN XÉT :
1) Ky higu (AB)q thay vi AB chính xác hơn, vì AB phụ thuộc việc chọn #
trong D— {0} Véi moi A, B, A’, B’ œ D sao cho Á' # 8', số thực AB khong
AB phụ thuộc việc chọn đ thuộc З [ƠỊ
2) Các tính chất sau đây là hiển nhiên, với mọi điểm A, B, C thuộc Ð, các số đo đại số đều được "tính" trên trục (Ð, ÿ ) :
AB + BC = AC — (hệ thức Chasles) AB = CB - CA
+j¡ Mệnh đề - Ký hiệu 2 Với hai điểm phân biệt bất kỳ 3, M; thuộc zÀ›, tồn tại một và chỉ một đường thang afin chita M, va M, ; đường thẳng này được ký hiệu là (Ä#,Ä,) Chứng mình - Cho Ø là một đường thẳng afin chứa M, và M; Khi đĩ M, e Ð và M,M; định phương Ð, vậy D = M, +8 MỊM Ngược lại, đường thẳng afin 8, + :8M,M2 đi qua M, (vì M, = M)+ 0M.) và M; (Vì My =M: + TMIM ) " Vay ta c6 : (M\M;) = M,+RM|M, =M, +8 MyM,
+ Binh nghia4 Ba diém M,, M,, M; thudc »A, được gọi là thắng hàng khi và chỉ khi tồn tại một đường thẳng afin D của A, sao cho:
Vice |1,2,3},M,c Ð
Trang 15
8 Chương 1 Hình học afin trong mặt phẳng và trong khơng gian ba chiều
+ Mệnh để3 Với mọi điểm Mx, y) (¡ 6 (1,2, 3)) thuộc z3›, các tính
chất sau đây tương đương từng cặp : 1) M,, M;, M; thẳng hàng 2) (M,M,M,M3) phụ thuộc X2 — #I Ag 3) 2741 37" 0 Y27~ Yt YZ Ixy #2 %3 4) bị vs | =0 1 1 1
"Tổng quát hơn, với là một bộ phận của „^;, ta nĩi rằng các điểm của F 1a
thắng hàng (hoặc : đếu thẳng hàng) khi và chỉ khi tổn tại một đường
thẳng afin Ð sao cho £ C Ð
Mọi bộ ba, ký hiệu là ABC, gồm ba điểm của +3; gọi là tam giác (trong
+2;) ; thường A, 8, C duoc giả thiết là khơng thẳng hàng ; khi đĩ, các điểm
A, B, C được gọi là các đỉnh của tam giác ABC Mọi bộ bốn, ký hiệu ABCD, gồm bốn điểm thuộc +2; gọi là tứ giác (trong z^;) ; thường A, Ư, C,
D duoc giả thiết là từng ba điểm một khơng thẳng hàng và lúc bấy giờ ta nĩi rằng đĩ là một tứ giác thực sự
2) Phương trình Descartes của đường thẳng trong z3;
1) Cho Milo, ys) € An =) € R- {0}, D=My+ Ru V6i moi MG, y) thuộc A, ta cĩ : Me Do GER, (x, y) = (oo) + Mi, 9) ` = Âu x a ak Ta nĩi rằng lí a *) là một biểu diễn tham số @iết tất : y=yp+» 'BDTS) của đường thang D X=XytAu Rõ ràng là : (| ) © vx- Uy + (yg VX) = 0 y= Yo tay
2) Nguge lai, cho (a, b, c) € 'S` sao cho (a, b) # (0, 0), va A= (MQ y) 5 ax + hy + = O} RO rang [a tén tai M(x, yo) sao cho My © A (ta c6 thé chon -5,0 néua#0 @ (oe Yo) = / , và khi ký hiệu @ = Cb, a), ta 06 voi moi (0.-<) nếu bz0 M(x y) thuge Ay:
Trang 164.2 Đường thẳng và mặt phẳng afin
3) Cho (4, b, €), (ø, be) e IRỲ sao cho (ø, b) z (0, 0) và (2, b) z (0, 0), D và
D' là các đường thẳng afin xác định bởi : D=[MŒ,y); ax+ by +c =0},
D.=(MŒ,y);¡ax+ By + c =0)
e Giả sử D = D' Vì D (tương ứng : Ð) được định phương, bởi (-b, z) (tương ứng : (bY, a’), nên tơn tại & € IR` sao cho (-ð, đ) = kb, 2) Hơn nữa, tồn tại axg + byg +o =0 Mo(% Yo) € D = D’, từ đĩ axg tb yo+c=0 , và vì thế c' =kc Vậy : (2, b, c) = kúa, b, €) e Ngược lại, rõ ràng là nếu tổn tại k e IR” sao cho (đ, b,c‘) = kía, b,c), thì D = D, Tĩm lại : ©¡ Mệnh để - Định nghĩa
Với mọi đường thẳng afin Ð của zÀ›, tồn tại (2, b, e) e TR - (1O, 0)} x RB) duy nhất sai khác một hệ tử nhân khác khơng, sao cho :
D={M(x,y); ax+by+c=0}3
ta nĩi rằng ax + by + c = 0 là một phương trình Descartes (viết tắt :
PTD) của đường Ð và ký hiệu: DI ax+ by +c= 9
Ngược lại, với mỗi (a, b, c) thuộc R? sao cho (a, b) # (0, 0), tập hợp (M(x, y) ; ax + by + c =0} là một đường thẳng afin
Ta xem như nhau ax + by + c = 0 là phương trinh Descartes cha D hoac là một
phương trình Descartes của Ð
Một vectơ chỉ phương của Ð | ax + by + € = 0 1a (-b, a)
Trang 1740 Chương1 Hình học afin trong mat phẳng và trong khơng gian ba chiều VÍ DỤ: Lập PTD của đường thẳng Ð nối các diém M (2, -1) va M21, 4) -2 -3 moneda {050-2420 4 D206 5149)-7=0m y
Các trường hợp riêng quan trọng :
1) PTD của dường thẳng D di qua A(a, 0) và B(O, b) (ta gia thiét ab 4 0) M(x, y) € D& \AB, 2) phụ thuộc jx-a -a y—b =0 <= bx+av=ab
Chẳng hạn, một PTD của đường thẳng nối A(2, 0) và 8(0, 3) là tr =)
2) PFD ctia đường thẳng D nối O(0, 0) và một diểm bất kỳ A(œ, Ø) (khác điểm O) x @ Moxy d >| Ề » B © |@-o=0 Chẳng hạn, một PTD của đường thẳng nối Ø(0, 0) và A(2, 5) là: 5x-2y =0
3) Tính song song của hai đường thẳng trong A;
ôâ nh ngha 1 Cho D, D' 1a hai dutmg thang afin cha Ay Ta nĩi rằng,
D song song với ?, và ta ký hiệu Ð // D', khi và chỉ khi : D=D Như vậy, Ð song song với D' néu va chỉ nếu p
Ð và Ð' cùng phương Dp
Hiển nhiên quan hệ // là một quan hệ tương
đương trong tập hợp các đường thẳng afin
của „Ä, Đạc biệt, vì / là một quan hệ đối xứng, đáng lế phải nĩi "Ð song song với
Trang 181.2 Đường thẳng và mặt phẳng afin 11 + | Mệnh để 1 Muốn cho Ð Ì äx + by + c = 0 và Ð' 2x + by +c =0 song song, cần và đủ là : a ie Chitng minh : Ð (ương ứng : Ð) được định phương bởi ï = (-b, a) (tuong ing : a = CĨ, đ)), vậy : cơn Lị Đ//D © (0) phụ thuộc © | =o I-a -a@ bị ©= -bư +ab' =Ú © pl =0 =
Một PTD của đường thẳng Ð' song song với một đường thẳng đã cho D | ax
+ hy + c=0 và đi qua một điểm cho trước Ä⁄q(xo, yo) la: a@Œ - +0) + BỘ - Yo) =O «¡ Định lý (inh ly Thales)
Trang 1912 Chương1 Hình học afin trong mặt phẳng và trong khơng gian ba chiều
@| HE qua Cho (D, i), (D’, i’)
là hai trục sao cho Ð ¬ Ð' là một đơn tử {C}, và cho A, B e D, A',B'e D' đều khác C Ta cĩ :
(AA')/1(BB) © œ.œ ‹
CA’ CA
Giao của hai đường thẳng afin cha A,
'Ta cĩ thể quy vẻ việc giải hệ hai phương trình hai ẩn ;
Dlar+by+c=0
9) 9) Đlzx+by+c=0
1) Néu DYKD', tiie 1a néu * lB > z0, t 0, thì hệ ì hệ
phương trình (S) là một hệ Cramer, vậy sẽ cĩ một và Ð
chỉ một nghiệm Trong trường hợp đĩ, Ð ¬ Ð' là một D don tit 2) Néu D ff D’, tức là nếu la 6 =0, thì tồn tại ức ÐĐỊ # < E” sao cho { a=ka , và (S) tương đương với b= kb 0 c_ 73 vậy (S) võ nghiệm (nếu ¢ * +) ax+by+ec ax +by+
hoặc cĩ vĩ số nghiệm (nếu c =
Nhuthé: DAD'=@ hodc DND =D
Trang 204.2 Đường thẳng và mặt phẳng afin 13 Ta nĩi rằng ba đường thẳng afmn D, D’, Ð'` đồng quy hoặc song song khi và chỉ khi : D,D',D"' đồng quy hoặc D,Đ°,D` song song (từng đơi) AA
Tổng quát hơn, cho 72 một tập hợp những đường thẳng của A, (co it nhat hai phần tử) Ta nĩi rằng các đường thẳng thuộc 72 đồng quy khi và chỉ khi f\D zØ Ta nĩi rằng các đường thẳng của 72 là đồng quy hoặc song
De?
song khi và chỉ khi chúng đồng quy hoặc (đều) song song 4) Nửa đường thẳng, nửa mặt phẳng trong A,
+ Định nghĩa Cho Ð là một đường thẳng afin của A,, A, 8 là hai điểm
thuộc D sao cho A # B Tap hop A + IR, AB (tuong tmg : A + RA)
gọi là nửa đường thẳng đĩng (tương ứng : mở) cĩ gốc A và đi qua B,
và ký hiệu là [4) (tương ứng : }AB)) Ta cũng nĩi rằng [4B) (tương ứng : JAB)) là nửa đường ĐT thẳng đĩng (tương ứng : mở) 4 B cĩ gốc A và được định phương ‘ và định huong béi AB NHAN XET: 1) R6 rang là với mọi diém C A pe thudc JAB), ta c6:
(AC) = [AB) va JAC) = JAB)
2) JAB) = [AB) - {A}
3) Việc cho một điểm A trên đường thẳng Ð xác định hai nửa dường thẳng gốc
Trang 2114 Chương 1 Hình học afin trong mat phẳng và trong khơng gian ba chiều
+¡ Mệnh đề - Định nghĩa D Cho D là một đường thẳng an,
B € A, sao cho B ¢ D Tap hop xB
D +Tt, AB (tương ứng : D+ R} AB)
khơng phụ thuộc việc chọn A thuộc A
D và được gọi là nửa mặt phẳng
đĩng (tương ứng : mở) giới hạn bởi
D và chứa B
Ta nhắc lại ký hiệu : D+TR,AB =(H+2AB ; (H,2) e DxÌR,)
Chứng mình :
Giả sử A, A' e D,M e D +TR, A8 Tơn tại H e D, Â e ÏR, sao cho M =/1 +2.A8
Khi đĩ tacĩ: M=(Œ1+4AA')+244'8 eD+Ït,A8,vìH+ÃẬ' eD
Điều này chứng tỏ Ð + lề, AB CD +], A'8 „rồi do các vai trị đối xứng cia A, A” suy ra cĩ đẳng thức
Cũng lập luận tương tự với R} thay cho R,
NHẬN XÉT
1) Một lập luận tương tự như trên chứng tỏ ràng, nếu ký hiệu ?° (tương ứng : ?) -_ là nửa mạt phẳng đĩng (tương ứng : mở) giới hạn bởi / và chứa Ư, thì với mọi điểm M thudc P, Pˆ (tương ứng : P) cũng là nửa mạt phẳng đĩng (tương ứng : mở) giới hạn bởi 2 và chứa M
2) Với các ký hiệu trên đây :
DcP’ vaP=P’-D
3) Việc cho một đường thang
D của „A; xác định đúng hai nửa
mat phang déng P,P) gidi han
bởi D, và ta cĩ :
Picea aD!
1.2.2 Mặt phẳng afin trong A,
Việc nghiên cứu các mặt phẳng afïn trong +3; tương tự việc nghiên cứu các đường
thang afin trong „A; Nĩi tổng quát hơn thì đĩ là vấn để nghiên cứu các siêu phẳng
Trang 224.2 Đường thẳng và mặt phẳng afin %5
1) Đại cương
« Định nghĩa
1) Cho A € z3, P là một mặt phẳng vectơ của IRỶ Ta gọi tập hợp A+ Ẽ là mặt phẳng afin đi qua 4 và định phương bởi P
2) Một bộ phận P của z^Ä; được gọi là mặt phẳng afin (hoặc : mặt phẳng) khi và chỉ khi tồn tại một điểm A thuộc z3; và một mặt phẳng vectơ P cita IR’ sao cho P=A+ P
"Ta nhắc lại rằng, theo định nghĩa :
A+P=|Mez^,;3š e P,M=A+#]=[M czÀ: AM e P]
Vậy: VM € zÀy, (MĂeA+ Ê œ AM e P} Từ đĩ suyra: VE ER € œGM e Ay ¥= AM))
Giả sis Ay, Ap € As V8 Po, P¿ là hai mặt phẳng vectơ, sao cho Ái + Pi =Ay+ Po
Khid6 A, € Ay + Pi, vay A4 Ki
Giả sử ẩ; e P2 ;VìA4;+ 3; © Aat Py =A, + Pi, nên tổn tại Zị € đ sao cho
A,+Ÿy= Ái + Xụ, từ đĩ & = ADA +H € “Py
Điệu này chứng tơ P2 C PL, rồi do các vai rị đối xứng, A =r
Ta tĩm tắt việc nghiên cứu :
« ¡Mệnh để - Định nghĩa 1 Cho P là một mặt phẳng afin của zÄ›
Tơn tại một mặt phẳng vectơ duy nhất P của IR?, gọi là phương của P,
sao cho tồn tại A thuộc z2; thỏa man P = A + 8
Ta goi mọi cơ sở của là hệ chỉ phương của P NHẬN XÉT : DVM,M,eP, MỊM: € P 2)VBeA+ PB, B+P =A+P 3) Cho A e z3¿, P là một mặt phẳng vectơ của RY, (đ,ÿ) là một cơ sở của P, P=A+P Anhxa go: RP lầmộtsong ánh Cp) Ð A+Ậ+ HY
Đặc biệt, vì TR là vơ hạn, nên mọi mặt phẳng afin của z3; là một tập hợp vơ hạn Song ánh ấy cho phép “đơng, nhất” TẾ? với một mặt phẳng afin bất kỳ cha A; va
ngược lại
Mệnh để sau đây là hiển nhiên
+ | Mệnh để - Ky higu 2 Cho My, Ma, M; là ba điểm thuộc z^; khơng
thing hang (tic 18 sao cho (Mi Mz.MiM3 ) độc lập) Tơn tại một và chỉ
mot mat phẳng afin chứa Mỹ, Mạ, M: ; mặt phẳng này được ký hiệu là (MM2M)), và chính đĩ là mặt phẳng đi qua Mí¡ và định phương bởi
Trang 2346 Chương 1 Hình học afin trong mặt phẳng và trong khơng gian ba chiều
¢ Định nghĩa 2 Bốn điểm &í,, Mẹ, M;, 4/4 thuộc z3; được gợi là đồng phẳng khi và chỉ khi cĩ một mặt phẳng P sao cho: Ví e {L, , 4|, M; € P-
Với ký hiệu M,G„ y„ z), Ì < Í < 4, ta cĩ : (M,, Mz, Mz, My dong phang) © (CMM¿.MIM¿,MIM, ) phụ thuộc) ay =l»T—y Jin Yarn} =O T3) Z4T7 24-7 Xp Xp Hy Ny 3L 32 33 3⁄4 Zz, Z2 Z3 74 11 171 =0 a
Tổng quát hơn, với ? là một bộ phận của A;, ta ndi rằng các điểm thuộc #° là đồng phẳng (hoặc : đều đồng phẳng), khi và chỉ khi cĩ một mặt phẳng afin P sao cho Fc P
Ta goi (trong ~A;) mọi bộ bốn, ký hiệu 1a ABCD, gồm bốn điểm thudc A;,
là tứ diện Thường A, 8, C, D được giả thiết là khơng đồng phẳng ; khi đĩ
các điểm A, B, C, D được gọi là các đỉnh của tt dign ABCD
2) Phương trình Descartes của một mặt phẳng cia A,
Cũng lập luận tương tự ở 1.2.2, 2), ta đi đến mệnh đề sau
«¡ Mệnh để - Định nghĩa Với mọi mặt phẳng afin P của z^;, tồn tại
(a, b, c, d) © IR - {(0, 0, 0)} x 1, duy nhất sai khác một hệ tử nhân
khác khơng, sao cho P = {MŒ, y, 2) ; dx + by + cz + d= Ơ] ; la nĩi rằng ax + by + cz + d = 0 là một phương trình Descartes của P, và ta ký hiệu : Plax+by+cz+d=0
Ngược lại với moi (a, b, c, đ) thuộc IR* sao cho (a, b, e) z (0, 0, 0), tập
hop (MG, y, 2) 5 ax + by + cz + d = 0} là một mặt phẳng afin của z4;
“Ta sẽ xem như nhau ax + by + cz + d = 0 là phương trình Descartes cila P hoac mot
phương trình Descartes của P
Ta viết tắt “phương trinh Descartes” bing PTD
PTD của mặt phẳng P xác định bởi một dién Mo(Xo, vụ, 2o) và định phương bởi hệ độc lập (IV), trong đĩ đ = (tạ, tạ, tạ), Ÿ = (VỊ, Vạ, Và):
K-xy om OM
M(x, y, z) € P< (MoM, #,¥ ) phu thude @ Jy- yoy ¥| =O
Trang 244.2 Đường thẳng và mặt phẳng afin 17 VÍ DỤ : Lập một PTD của mặt phẳng P di qua M,(3, -1, 4) va dinh phương, bởi và ?=(-1,2,2) x—3 1 -l MG,y,2eP€œ|y+1L 3 2|=0 z-4 -1 2 > &x- 3)- (yt I +5(z- 4) =0 > 8x-y4+5z-45=0 a PTD của mặt phẳng P di qua ba diém khơng thằng hàng MCG, yi 2), ¡e(11,2,3} Moxy #¿- X3—Xi MGẶ,y,2) 6P G lyTy 7a Tờ Wey =O Z—Z| ?2—71 23-24 VÍ DỤ : Lập một PTD của mặt phẳng P đi qua các điểm #⁄,(4, -1, 3), M;(3, 2, -D), M;(-1, 3, 2) x-4 -1 -Š MG&,y,2eP©|y+l 3 4|=0 z-3 -4 -1 © 13 - 4) + 19 + 1)+ L1 - 3)=0 © I3x + 19y + 11z - 66 =0 a
Trường hợp riêng quan trọng
PTD của mặt phẳng đi qua A(a, 0, 0),
Trang 2518 Chương1 Hình học afin trong mặt phẳng và trong khơng gian ba chiều
3) Tính song song của hai mặt phẳng trong Ay
+ Định nghĩa Cho P, P' là hai mặt phẳng aBn Ta nĩi rằng P song song với P', và ký hiệu P//P", khi và chỉ khi Ê=?P"
Hiển nhiên quan hệ // là một quan hệ tương
đương trong tập hợp các mạt phẳng afin
của A; Dac biệt, vì // là một quan hệ đối
xứng, nên đáng lẽ phải nĩi “P song song
với P° ", ta cĩ thể nổi "P và P” song song” L_/ + ¡ Mệnh để - Muốn cho các mặt phẳng Plax+tby+cz+d=0 va Plaxtbhyt+ez+d =0 song song, cần và đủ là tồn tại k € R" sao cho: 4` =ka, b` =kb',c' =kc Chứng ảnh Vi P lax + by tcz= Ova Pla'x + b'y 4.2 =0, cling lập luận như trên đây, ta dược : P=P œ G TY, (at, 6°”) = kí, bị ©) NHẬN XÉT:
1) Phương trình Descartes tổng quát của một mạt phẳng P” song song với một
mạt phẳng Plax+by+cz+d=0, là: P`laxr+by+cz+d'=0, @@eR Đặc biệt, với một điểm M,(x,, yo z,) và một mạt phẳng P | ax + by +cz+ d=0 đã cho, tổn tại một và chỉ một mạt phẳng ?* đi qua M, va song song với ?, và ta cĩ :
P’ la(x-x,) + ĐỘ + y,) + cứ - z) =0,
2) Nếu P và P' là hai mạt phẳng song song, thì ¬ P” = Ø hoặc P = Pˆ Chúng
ta sẽ thấy phần đảo dưới đây 4) Nửa khơng gian
'Việc nghiên cứu tương tự như ở 1.2.1,4)
¢| Mệnh để - Định nghĩa Cho P là một mặt phẳng afin, A e P,
B e A, sao cho B ¢ P Tập hợp P + IR, AB (tuong ing : P +R” AB)
khơng phụ thuộc việc chọn A thuộc P, và
được gọi là nửa khơng gian đĩng (tương ứng : mỡ) giới hạn bởi P và chứa B
NHẬN XÉT: (
1) Ta ký hiệu £” (tương ứng : £) là nửa khơng gian ty íPì BE đĩng (tương ứng : mở) giới hạn bởi P và chứa B ; với
mọi 8# thuộc #, É” (tương ứng : E) cũng là nửa khơng
gian đĩng (tương ứng : mở), giới hạn bởi ? và chứa 4
2) Với các ký hiệu ở trên : P c E' và E=
3) Việc cho một mạt phẳng ? xác đị
Trang 264.2 Đường thẳng và mat phang afin 19
1.2.3 Dudng thang afin trong A;
3) Đại cương
Việc khảo sát một phần giống như đối với các đường thẳng trong mặt phẳng, xem
1.2.1,7)
¢ Binh nghĩa 1
1) Cho A € Ay, @ € ;Ä” - [Ư ] Ta gọi tập hợp các điểm M thuộc zA; sao
cho AM cộng tuyến với a (tức là AM ¢ ‘8 @) là đường thẳng afin
đi qua A và định phương bởi 2
2) Một bộ phận Ð của „^A; được gọi là đường thẳng afin (hoặc : đường
thẳng) của z3; khi và chỉ khi tồn tại (A, 7) e z3; x (8? - (6 }) sao cho Ð là đường thang afin di qua A và định phương bởi ứ
Đường thẳng ađn đi qua A và định phương bởi # là {A + 4ã ; Â e 'Š}, cũng được
ký hiệu là Á +8 Ảnh xạ K —> Á + Rúc là một song ánh
Â>A+Âu
Đặc biệt, vì ;& vơ hạn, nên mọi đường thẳng afin đều là một tập hợp vơ hạn
NHẬN XÉT :
Ta cĩ thể đồng nhất 'S với một đường thẳng bất kỳ của A, nh ánh xạ
ROA _với (A, 2) © 2A, x CR? - {Ổ ]) cố định Ngược lại, mỗi đường
AOA + AG
thẳng afin của ~A, 06 thé duge déng nhat voi’
+¡ Mệnh đề - Định nghĩa 1 Cho Ð là một đường thang afin cha Ay
Mọi vectơ ÿ khác vectơ khơng sao cho tồn tại một điểm Á thuộc z3; thỏa mãn Ð = A + 8¥ đều cộng tuyến với cùng một vectơ z Đường
thẳng vectơ'Kđ được gọi là phương của Ð và được ký hiệu là 5
©¡ Mệnh để - Ký hiệu 2 Với hai điểm phân biệt bất kỳ M, M; thuộc +Ä;, tồn tại một và chỉ một đường thing afin chita M, va M, ; đường
thẳng này được ký hiệu là (M,M;)
Vậy: (\M,)=M, +2 MM, = M, +R MQM,
¢ Định nghĩa2 Ba điểm Mụ, Mạ, M; thuộc zÄ; được gọi là thắng hàng
khi và chỉ khi tổn tại một đường thẳng afin D sao cho:
Vie {1,2,3},M,eD
Rõ ràng ring M,, M2, Mg thing
hang khi va chi khi
Trang 2720 Chuong1 —Hinh hoc afin trong mat phang và trong khơng gian ba chiều
quát hơn, với F 1a mét bé phan cia 4, ta nĩi rằng các điểm của F 1A
thẳng hàng (hoặc : đều thắng hàng) khi và chỉ khi tồn tại một đường
thang afin D sao cho: F cD
Ta gọi mỗi bộ ba, ký hiéu 18 ABC, gém ba diém thuéc A, là tam giác
(trong zÄ;) Thường A, B, C được giả thiết là khơng thẳng hàng ; khi do A, B, C được gọi là các đỉnh của tam giác ABC:
2) Hệ phương trình Descartes của đường thẳng afin trong ~,
1) Gi sit Molxp, Yo 20) © Ay, @ = (u,v, w) © 29-0}, Do Mgt Ra là đường thẳng afin đi qua Mạ và định phương bởi i Véi moi MC, y, 2) thuộc „Ä; ta cĩ : x=xo +Ân MeDe>|3AeR.\y=ys+^v | Z=29+Aw x= Aq + Aun Ta nĩi rằng | 4 y= yọ + Âv, 4 e R | Tà một biểu diễn tham số (viết tắt : BDTS) của Ð Zz=7g+Âw 20 © Gia thiét w # 0 Khi dé ta cĩ thể biéu thi duge A, A= „ từ đĩ : w 3 +220, x=#*o —MZ + (Mổg — =0 May, EDS zen = ft #z + 0o — wXp) 0 y=3p+ Oy wy — vz + (vzg ~Wyg) = w=0 = I~ Yo «Nếu v0 HH: McDœ{ 61 v8 z=5
« Nếw=ve0, dì: MeDo poe Z=%
Trang 281.2 Đường thẳng và mặt phẳng ạin 21
- X=QA+p
Vay: YMG,y 2 oy, | Med AeRJ y= Bitg |
|
Nhu thé, A là đường thang afin di qua dim A(p, q, 0) và định phương bởi : Z (ø, 8, 1) Ta t6m tat việc khảo sát :
+ ¡ Mệnh đề - Định nghĩa 1
1) Cho D là một đường thẳng afin của „3, Tổn tại (ø, b, c„ da, be, a’) € R¥ sao cho ((a, & ¢), (a’, b’, e”)) độc lập trong IE* và thỏa mãn :
D = om( LV Z) ) ax+bytez+d=0) `
> đx+b'y+cz+d'=0 ax+byt+ez+d=0
axtbyteztd’ =0) Descartes (viét tét : HPTD) của 7)
Trang 2922 Chương1 Hình học afin trong mặt phẳng và trong khơng gian ba chiều
2) Tìm một điểm 4 và một vectơ chỉ phương zœcủa đường thẳng afin Ð 2x-y+3z~1=0 x+y-4z—-6=0 ` Để tìm được điểm A thuộc Ð, ta chọn (chẳng han) một trị của z (chẳng hạn z = 0) 7 2x-ye1 XZ và xác định x và y: ° i x+y=6 | 711 3 Một điểm của Ð sẽ là A 3 3° , chẳng hạn Để thu được vectơ chỉ phương ¡ của Ð, ta chọn (chẳng hạn) một trị của z và xác - os ww f2e-y+3z=0 định x và y bang hệ phuong trinh D „ sao cho (x, y, z) # (0, 0, 0) x+y-4z=0 2x-y=-3 | * Chẳng hạn, z = 1 và Một vectơ chỉ phương của Ð là xtys4 T11 —,—,l | hoặc : (1, 11, 3) 33 NHẬN XÉT :
“Ta ký hiệu tập hợp các đường thẳng afin của A, là 72 và tập hợp các đường thẳng afin
D của „À; sao cho Ư Ø xOy là 7“(trong đĩ xĨy là mặt phẳng cĩ phương trình z = 0)
Ta đã thấy ở trên là mỗi đường thẳng D thuộc ZZ nhận một HPTD cĩ dạng x =azt f 5P ta, 8,p, 4) thuộc tt, y=8i+4 3 =#+ Ngược lại, với mọi (ø, / p, 4) thuộc IR‘, đường thẳng afin of SP là phần yafrrq tử của 7" Rõ ràng là ánh xạ 6: R4 > D’ duge xéc định như vậy (ánh xạ liên kết 2 =#&+ đường thẳng D Ẵ SE Ê với (a, đ,p, 4) thuộc }R^ `} là một song ánh y= q Cĩ thể hình dung rằng việc cho một đường thẳng khơng nằm ngang của zÄ; phụ thuộc bốn tham số thực độc lập
Một đường thẳng bất kỳ của ;3; nhận một và chỉ một HPTD thuộc một
Trang 301.2 Đường thẳng và mat phang afin 23
+ | Mệnh đề 2
D Giao của hai mặt phẳng khơng song song là một đường thẳng 2) Mọi đường thẳng đều cĩ thể xem, theo vơ số cách, như giao của hai
mặt phẳng khơng song song
Chứng mình :
1) Nếu P | ax + ủy + cz + d= 0 và Pˆla'x+ by + c’z +d’ =0 khơng song song, thi (a, b, c), (a’, 6’, c’)) độc lập trong R?,
vay D = Pry P? la dudng thẳng cĩ HPTD po ax+by+ez+d=0 = axtbyteztd'=0 2) Mỗi đường thẳng Ð nhận ít nhất một ax+by+ez+d=0 adx+bytcz+d'=0 vay D=P AP’ vGi P va P” la cdc mat phang Plaxtbyt+cztd=0,Plaxt bh y+cr+d=0
Vì ((, b, c), (4`, b*, cˆ)) độc lập, nên rõ ràng là với mọi 4 thuộc Ïš”, ((, b, c),
(a+ da’, b +2", ¢ + he’) độc lập Với ký hiệu P„ là mặt phẳng afin cĩ PTD (a +
Aa’)x + (b + Ấb”}y + (c + Ác”z + (d + Ad’) = 0, ta cĩ: D = P ¬ Py Hơn nữa, rõ
ràng ánh xạ 4 r> ? là đơn ánh trên R va rằng với mọi 4 thuộc FR, D=POP, Xem thêm bài tập 1.2.9 (khái niệm vé chit tuyến tính các mặt phẳng) + trong đĩ ((ø, b, c), (4, b*, c°)) độc lập trong R?, 3) Tính song song của đường thẳng và mat phdng trong A, + Định nghĩa 1
1) Cho hai dutmg thang afin D, D’
của A, Ta nĩi rằng 7 song song với Ð', và ký hiệu Ð / D', khi và chỉ khi Ð = Ø
2) Cho đường thẳng afin Ð của A, P là một mặt phẳng afin của ;Ä; Ta nĩi rằng Ð song song với P (hoặc : P song song với D, hoặc
Ð và P song song), và ta ký hiệu D//P (hoặc : P // D), khi và chỉ khi DcP
NHAN XET:
1) Hién ohién rang quan he // 14 mot quan hệ tương đương trong tập hợp các đường thẳng afin của „3, Đặc biệt, vì / là một quan hệ đối xứng giữa các đường thẳng, nên
Trang 31Chueng 4 Hình học afin trong mặt phẳng va trong khơng gian ba chiều
2) Quan hệ // giữa đường thẳng
và mặt phẳng khơng cĩ tính bắc ,
câu Thật vậy, với các đường thẳng D See
D, D’ va mot mat phang P, cĩ thé
xây ra trường hợp :
DIP PHD
3) Để khảo sát tính song song
của hai đường thẳng D, Ð', trong thực hành ta xác định các vectơ chỉ phương i, ii’ tương ứng của Ð, Ð" và ta cĩ : Ð//D` © (i0) phụ thuộc D va D XD’ P VÍ DỤ : ĐKCĐ đối với (a, b) e ›3? để cho D { x=2z+l ví aD’ x=bz~3 song song y=az-—2 y=4z+1 Một vectơ chỉ phương của Ð (tương ứng : Ð') là # = (2, a, ]) (tương ứng : #' = th, 4, 1)) b=2A a=4 Tacĩ: D//Ð' © (,w') phụ thuộc @ | 32 €R,44 = Aa ` Isa ˆ
4) Để khảo sát tính song song của một đường thẳng Ð và một mặt phẳng P,
trong thực hành ta xác định vectơ chỉ phương # = (u, v, w) cla Ð và một PTD ax + by + cz + d = Ư của P, và ta cĩ :
DIP DcP œ&đ e P œau+bv+ cu =0 VÍ DỤ :
x=2:-3
ĐKCĐ đối wae 4# heÐ| y=az+ 1 Song song với P Ìx + 2y - 4e + 5 =,
Một vectơ chỉ phương của Ð là ở = (2, đ, 1) Ta cĩ :
DPciecPœ2+24-4=0Ga=l
Giao của đường thắng và mặt phẳng
a) Giao của hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng P, P”
NéuP =P” Nếu P/P' vàPzP,|Nếu P W P` th
thi PAP’ =P thhP AP’ = POP' là một đường thẳng afin
Trang 321.2 Đường thẳng và mat phdng afin 25 b)_ Giao của một đường thẰng và một mặt phẳng
Cho một đường thẳng 7, và một mặt phẳng P
NéuD cP, N&uD//PvAD GP Nếu D%P, thì D=¬P thi DA P=D thi DA P= là một đơn tử
“5 / \
c) Giao của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng /) và а
Neu D=D’, Nếu 2//D'và Dz+Ðp'|Nếu DX D’, thi
thiDAD =D thhD AD =f Dov D 1a tap hop rỗng hoặc một đơn tử 2 dD —”
« Định nghĩa 2 Hai đường thẳng Ð, Ð' được gọi là đồng phẳng khi và
chỉ khi tổn tại một mặt phẳng P sao cho : 2 C P và Ð' CP
Trang 3326 Chương1 Hình học afin trong mặt phẳng và trong khơng gian ba chiều VÍ DỤ : Ũ =az~1 {: -2 ĐKCP đối với a e ä để cho các đường thẳng 2 và Ð' y=2z+3 y=37~1 đồng phẳng
Dutng thing D di qua A(-1, 3, 0) va định phương bởi Z = (a, 2, 1) Đường thẳng
Ð' đi qua A'(-2, -1, 0) và định phương bởi ứ' = (1, 3, 1) Ta cĩ : -1 ø ] — 3 (D,D' đồng phẳng) © ((AA',#,`) phụ thuộc) >4 2 3 ~0Sarc 0 11 4) Nửa đường thẳng, nữa mặt phẳng trong A, Dễ dàng mở rộng những khái niệm đã xét ở 1.2.1,4) ra zÃ; Nửa đường thẳng đĩng (tương ứng: B mở) cĩ gốc 4 và đi qua B là [AB) = A + 3, AB (tương ứng : ]AB) =A + R} A8) Nửa mặt phẳng đĩng (tương ứng : mở) giới hạn bởi đường thẳng D và Đ+R, AB (tương ứng: D+ R} AB) Bài tập
Các bài rập 1.2.1 đến 1.2.5 được xét trong mặt phẳng afin A, khi cân thiết được trang bị
một hệ quy chitu Descartes (O; ï, j)
9 1.2.1 Cho bốn điểm A, B, C, D sao cho A, B, C khơng thẳng hàng Chứng mình rằng các
tính chất sau tương đương từng cặp:
(i) AB=CD (ii) AC=BD
iti) (A, D) va @B, C)c6 cùng trùng điểm
iv) (AB) #/ (CD) va (AC) // (BD)
Trang 341.2 Đường thẳng và mặt phẳng afin 27 91.24 Cho@,g) £N?,n=p + g (giả thiết n > 1), Á,,„ Á, là ø điểm từng cập phân biệt
Chứng mình rằng tồn tại một đường thẳng 2 của mặt phẳng tách các điểm Á,, 4„ sao cho về một phía cĩ đúng p điểm và phía kia là đ điểm cịn lại
©1.2.5 Chùm tuyến tính các đường thẳng
Cho hai đường thẳng phân biệt Ð | ax + by + c = 0, D’|a'x + b% + c = 0, Ta gọi tập hợp ẨĐo,„ các đường thẳng 4 cĩ phương trình :
alaxt hy + e) + ư (A% + by +c) =0
là chùm tuyến tính các đường thẳng xác định bởi D va Ð' khi (2, Z) chạy khắp (aa + ava’, ah + afb’) #0, 0)
Ta cần chú ý là o_o khong phy thude vite chon c4c phutong trink cia D va D'
Ta cũng xét tập hợp ĐŸ '„,„„ các đường thẳng 4 cĩ phương trình :
(ax + by +c) +  (4% + by + c) =0 khi  chạy khắp # và @ + 47, b + Ab} # (0,0)
a) Chimg minh ring %,, » chita D, Ð' và rằng: 8 ‘p,0 Bo.o- (Dl
b) Ta giả thiết ring D va D' déng quy tai diém Mol yo) Chiing minh ring Bp, „ là tập hợp các đường thẳng đi qua My
c) Ta giả thiết rằng D và D' song song, Chứng minh rằng ; „ là tập hợp các đường thẳng song song với D (và với D)
Các bài tập 1.2.6 đến 1.2.9 được xét trong khơng gian afin „A,, khí cần thiết được trang bị
một hệ quy chiéu Descartes (0:7, ,Ê)
04.2.6 Cho hai hinh bình hành ABC, A'B'C'D” Ta ký hiệu 7, J, K, L 1a tung điểm tương ứng của các cặp điểm (A, 42, (B, B3, (C, C9, (Ð, D2, Chứng mình rằng LJKL, là một hình bình hành
04.2.7 Xác định giao của 3 mật phẳng :
Pilx-2y+2+3 =0, Py|2c+y-z-2=0,Py|4x-3y+z+4=0, 04.2.8 Cho P, P'là các mặt phẳng được xác định bởi :
P diquaA (1, -1, 0) và định phương bởi Ø (2,1,-1), P (1,4, 1) P' di qua A'(1, 2, 1) và định phương bởi a’ (0, 2, -1), Ø' (1, -1,3)
Chứng minh ring P và P' cắt nhau theo một đường thẳng 7 và xác định một điểm và một
vectơ chỉ phương của ? 01.2.9 Chùm tuyến tính các mặt phẳng Cho P jax + by+cz+d=0, P'ja'x + by +c +d’ = 0 la hai mat phing phan biét Ta gọi tập hợp S„ „ các mặt phẳng 77cĩ phương trình d(4x + by + cố + đ) + (@X + by + €2 + đ") =0 là chùm tuyến tính các mặt phẳng xác định bởi P và P’, khi (@, @) chay khắp 87 và (aa + ata’, ab + œb', ạc + đc”) # (0, 0, 0)
Ta cần lưu ý là 8; „ khơng phụ thuộc vào việc chọn các phương trình của P và P' Ta
cũng xét tập hợp § ';,„ các mặt phẳng 77 cĩ phương trình (ax + by + cz + d) + A(a’x +
Trang 3528 Chương 1 Hình học afin trong mặt phẳng và trong khơng gian ba chiều
©) Ta giả thiết P và P' song song Chứng tổ rằng 8, z- là tập hợp các mật phẳng song song với P (và với 91.2.10 Đứng hay sdi ? (D, DY là những đường thẳng, P, P* là những mật phẳng) Dip} DịtP? DIP => DIP? a) [mm =D/ ©) (om DIP PUD b ) {an > DI DD? 4 17 => PUP PUR?
® 3.2.111 Cho hai đường thẳng song song D, D’, P (tuong ing : P’) 1a mot mat phang chia D (tuong ung : D’) Ta gid thigt PP’ Chimg minh : PAP’ HD $3.2.12 Cho hai mặt phẳng song song P, P’, Q 1a mot mat phang thda man QP Chimg minh: PA GH P'AQ
91.2.13 Cho ba mat phing timg cap khong song song P Q, & Chứng minh ring các giao
của từng cập trong, chúng là ba dường thẳng đồng quy hoặc song, song
94.2.14 Cho hai mat phẳng khong song song P, P’, A= Pm P’, Dy, D, la hai dường thẳng,
đồng quy (và khơng song song); ta ký hiệu 4; 4; (tương ứng : A),, A2) là các giao điểm
theo thứ tự của Ø,, Ð, với P (tương ứng : P") Chứng mình rằng các đường thẳng (A,, Ay}
Và (A1, 42) song song hoặc cát nhau tại một điểm thuộc 4
4.2.18 Xác định 2 = Ð/ trong hai ví dụ sau, biết rằng Ở đi qua 4 và định phương bởi # và Ð' đi qua A' và định phương bởi ø' : aA(2,1,0), #0,-1,2), A(0,2.1), 82,-1, 1) b)Á(2,0.1), ø Q,-1,2), ACI,1,]), 8Ĩ, -1, D x=2z+l 9 1.2.16 Ching minh rằng hai đường thẳng : of yor đồng phẳng và lập một PTD của mặt phẳng mà chúng xác định
94/217 Cho p| *°Z LÍ y=2z+ï pd y= z= Chứng mình rằng tơn tại một cập mat
phẳng (P, ?) duy nhất sao cho: Ð C P, Ð" C P*, P/! P*, và lập cáo PTD của P và P'
y=x+? J y= 2x +I] ,
©1.2.18 Cho Ø rex D ze2r-1 „ Tìm iất cả các đường thẳng 4 trong
khơng gian song song với xĨy và cất D, D’, x2’
Trang 361.3 Hệ quy chiếu Descadtes 289
13 Hệ quy chiéu Descartes
“Ta xét phần này trong „3;, vì việc khảo sắt trong z3; cũng tương tự
¢ Định nghĩa Ta gọi mỗi cặp (2, B) trong dé 2 € A; va Bla mot co
sở của 3”, là hệ quy chiếu (hoặc : hệ quy chiếu Descartes) của z4s
Lj,Ê) thay vì (2,0
Nếu Ø= (7,ƒ,k), ta sẽ ký hiệu ((2;ï
Nếu P là một mặt phẳng afin của z3; ta sẽ gọi mỗi cặp (2, Ø) với
42c P và 73 là một cơ sở của , là hệ quy chiếu của P Mệnh để sau đây là hiển nhiên
+| Mệnh để - Định nghĩa 1 Cho £= (Ø;7,7,Ê) là một hệ quy chiếu
của „3s Ánh xạ
Gy JOM —> Ay, trong 46 M duge dinh nghia boi QM =xÏ + y ƒ +zE
là một song ánh ; ta nĩi rằng x, y, z (hoặc : (x, y, z) ) là các tọa độ của
M trong
Nĩi cách khác, các tọa độ của M trong (92;7,7,£) 1 các tọa độ (hoặc : các thành
phần) của Z2M trong (ƒ
Nếu đang xét nhiều hệ quy chiếu £, €” , thì tiện hơn là ký hiệu, chẳng hạn, các
tọa độ trong # của một điểm thuộc z3; là (x, y, 2)
Giả sử Z = (v2:7,7,Ê) là một hệ quy chiếu của ;A; Ánh xạ 18? > Ay là một
Ms Dead + yp ck
song ánh, nĩ cho phép đồng nhất „A; được trang bị £, và ›ä°,
Các thuật ngữ đã dùng (PTD của một mặt phẳng của zA;, HPTD của một đường
thẳng của ;A;), cũng áp dụng được cho z^; được trang bị Chẳng hạn, tập hợp các
điểm M cĩ tọa độ (x, y, z) trong Z£ thỏa mãn áy + by + cz + đ = 0 (trong đĩ (4, b, c, đ) € 8“ cố định sao cho (a, ð, c) # (0, 0, 0)), là một mặt phẳng afin P, và ta nĩi rằng P nhận PTD; axz + by + cz + đ= 0trong K
Ta gọi cặp (O, Z) trong đĩ O = (0, 0,0) va B= (i;
là hệ quy chiếu chính tắc của :8°
+ ¡ Mệnh để 2 (Cơng thức đổi hệ quy chiếu)
Cho @= (Ø;¡,/,), ˆ= (27;Ú, j k) là hai hệ quy chiếu, (xo, Yo, 20)
là các tọa độ của £2' trong Z, P là ma trận chuyền từ cơ sở @, 7) sang
cost (i, j, ) Với mọi điểm M thuộc zA„, khi ký hiệu (+, y, 2) là các tọa
Trang 3730 Chương 1 Hình học afin trong mặt phẳng và trong khơng gian ba chiều Chứng mình :
Theo hệ thức Chasles, 2M = f2ý2'+ Z2 M, từ đĩ cĩ kết quả bằng cách chuyển sang các thành phân trong cơ sở (7 (xem Tập 5, 8.2.2 Mệnh đề) ) và sử dụng cơng thức đổi cơ sở cho một vectg NHẬN XÉT - 1) Như vậy ta biểu diễn các rọø độ cđ (x, y, 2) của M theo các tọa độ mới (x, y, z) của nĩ
2) Trong trường hợp riêng khi ta chỉ đổi gốc tọa độ, thì ta sẽ cĩ các cơng thức
đổi hệ quy chiếu bằng phép “đối gốc tọa độ” :
x=xp+x
y#yp+ty
Z=7a+z
VÍDỤ:
1) PTD của một đường thẳng trong một hệ quy chiếu mới
Giả sử (, j, k) là cơ sở chính tắc của 3°, Ø = (0,0, 0), Kụ = (O;Ï,7,É), A là điểm 1+j+3E,k'= -Ï+3j + cĩ các tọa độ (1, -1, 3) trong €¿,'= 2 — Ð là đường thẳng cĩ HPTD trong #ạ: nh x =0 Lập một HPTD của Ð trong £'= (A;7',ƒ',È')
Nhận xét trước tiên rằng (Ï',ƒ',Ê') đúng là một cơ sở của 2” (chẳng hạn,
2 1 -4
-l tL 3J=-12 #0) 0 3 1
Các cơng thức đổi hệ quy chiếu biểu diễn các tọa độ cũ (x, y, z) của một điểm Ä bất kỳ thuộc +3; theo các tọa độ mới (+, y, z) của nĩ là : x 1 2 1-1\fx yl=|-ife}-1 1 3 ify} z 3 0 3 Iz +x=2x+y-z+l Tức là : y=-x+y+3:—l z=3y+z+3 ae Sx'+10y'-22'+11=0 TỐ: MeD 2 ce
2) BDTS một đường thẳng trong một hệ quy chiếu mới
Trang 38-4.3 Hệ quy chiếu Descartes 3T
2 1 1
Ta ký hiệu P =Matz ; p(,7,E)=|1 2 1
11 2
Vì P khả nghịch (det(P) = 4 z 0), nên (7, /',Ê') đúng là một cơ sở của '82
Các cơng thức đổi hệ quy chiếu cho một điểm Ä ((x, y, z) ry OY 2) pe" ) bat Ky là: 2 Mee + ae LT x 11 ylela 21 z 1 12 tì 6 đây ta phải biểu diễn x’, y’, z’ theo x, y, z Ta tính nghịch đảo của Ð : 3 =1 -I pte iy 3-1 4\-1 -1 3 x 4 x-2 3x—y—z-4 Từ đĩ : y|cP |y-1|=—|-x+3y-z | z z-1 —x-y+32 x=1434 Vì D nhận BDTS 4 y=—1+24| trong £; nên Ð nhận BDTS trong £': z=3-4Â * dana 3) x=—=(1Ã- 4 1 "s<(7A-T) |, AER T7 1 Z=—(-174 49) 4 Bai tap
Các bài tập 1.3.1 và 1.3.2 được xét trong mặt phdng afin A,
04.3.1 ChoA,8,C, A”, B', C' là sáu điểm phân biệt từng cặp sao cho A, 8, C thẳng hàng và Á”, 8', C' thẳng hàng, Chứng minh : { (AB’) {I (BA') AC’ CA') (eyes [PACHA 01.3.2" Dinh ly Pappus
Trang 39Chương 1 Hình học afin trong mặt phẳng và trong khơng gian ba chiều
Các bài tập 1.3.3 đến 1.3.6 được xét trong khong gian afin Ay
01.3.3" ChoA, 8, C, Ð là bốn điểm khơng đồng phẳng, M, N, P, Q là những điểm được lấy theo thứ tự trên các đường thẳng (AB), (BC), (CD), (DA) Chimg minh rang M, N, P, Q đồng phẳng khi và chỉ khi :
MA NB PC QD
—.—.—.—-¬l! MB NC PD QA
9 1.3.4" Cho D, D', D" là ba đường thẳng đồng quy tại diém 0; P,, P,, P, I ba mat phang song song, P, và P; khơng đối xứng qua Q Ta ký hiệu
Ay, By, C, là các giao điểm theo thứ tự của P, với Ð, Д, Ð" Ay, By, Cz l& các giao điểm theo thứ tự của P; với Ð, D”, Д
Ay, By, Cy la cdc giao diém theo thứ tự của P› với Ð, Ð', Ð"
(ịC2) 3(B€) = (Lh, (CAD (CA) = (M1), (A,B) (AB, = (NỊ
Chứng mính rằng các đường thẳng (1.4;), (MB,), (NC,) đồng quy hoặc song song 01.3.5" Cho A, 4, A;, Á, là bốn điểm khơng đồng phẳng và &2 là một điểm Ta giả thiết
ring mặt phẳng (AƒẢ,4;) (tương ứng : (ăÁx4;), tương img : (MA, 4,), tuong ứng :
Trang 4014 Anhxaafin 33
14 Anh xa afin 1.41 Đại cương
+ Định nghĩa Một ánh xạƒ: +3; —2 x3; được gọi là ánh xạ afin khi và
chỉ khi tơn tại Á e z3; sao cho ánh xạ ở: '3° — ;& định nghĩa bởi :
W*eR ,ø()=J7UÐ/1Ã+X)
là tuyến tính
Ta ky hiéu tập hợp các ánh xa afin từ zA¿ vào z4; là Aff 4s, zA¿)
Tổng quát hơn, ta cĩ thể định nghĩa khái niệm ánh xạ afin từ một khơng gian vecto
E vào một khơng gian vecrơ F (xem dudi day, 3.3.1)
Với các ký hiệu trong định nghĩa trên, với mọi 8 thuộc zÄ ¿, ta cĩ :
ø(BM) = g(AM ~ AB) = g( AM) — 9(AB) = ƒ(A)ƒ(M)~ f(A)ƒ(B) = f(B)f(M)
Đặc biệt, ø khơng phụ thuộc vào việc chọn 4 (trong z4) Từ đĩ cĩ định nghĩa sau :
+¡ Mệnh đề - Định nghĩa - Ký hiệu 1 Choƒ: ›A; —› A, JA một ánh
xạ afin Tồn tại một và chỉ một ánh xạ tuyến tính từ gọi là bộ
phận tuyến tính của ƒ (hoặc : ánh xạ tuyến tính liên kết với /), được
ký hiệu là Ÿ , sao cho :
2 a =
V(A,M)SĨM)., ƒCAM)= ƒ0Uƒ(M)
¢| Ménh dé2 Cho/ e Aff(z3;, „A;) Ta cĩ :
VAE Ag, ViER?, f(A+i) = f(A)+ A)
Ching mink :
Ký hiệu M = A + đ, ta cĩ :
f(M)= f(A) + f(A)FOM) = f(A) + FAM) = f(A} + ft)
Biểu thức Descartes của một anh xa afin
Cho f € Aff(Ay, As), R =(Q;1,7,2), R= (Qi, 7,4) 1a hai hệ quy chiếu của
Ax (a, By) céc toa dé cha 2 trong R'