Tài liệu Giáo trình hình học và 400 bài tập P4 docx

Trang 1

296

Chuong 6 Đường cong trong khơng gian và mặt cong

Tiếp diện của mặt cong, các bài tập 6.2.11 đến 6.2.18

0 6.2.11 Với các mật cong 8 sau đây, hãy xác định các điểm chính quy và tìm một phương trình Descartes của tiếp điện tại mọi điểm chính quy : 1 x=ư+— „ „ (MU) € 10401, + Xác định tập hợp các điểm thuộc ® tại đố tiếp diện song song với đ (1.1.1)

9 6.1.13 Lập một phương trình Descartes của mạt phẳng tiếp xúc với miạt cong Ÿ cĩ phương trình: x” + yŸ +2z =1, và trực giao với đường thẳng Ø) cĩ phương trình là ; © 6.1/14 Xác định các mạt phẳng tiếp xúc với mạt cong š cố phương trình zˆ =2 › x và chứa đường thảng /2 cĩ phương trình | y 9 6.1.15 Gid sit là dường cong được biểu diễn tham số bởi (r= fy = #+l)vày

là mật cong hợp của các đường tháng song song, với mút phẳng xOy và gạp / ở hai điểm

a) Lap một biểu điển tham số và một phương trình Descartes cha 5 b) Tập hợp các điểm thuộc Š tại đĩ tiếp diện chứa điểm Ĩ là gì ? 9 8.1.16 - Giả sử (4, b,c) € R? sao cho 0 <a <c <6, va hai mat cong :

Sp= yO $27) = 02x? 40727, 8g 1

ona +e

Chứng tổ răng š¡ và 3; cắt trực giao nhau theo bốn đường thẳng oe

2 6.1.17 Xsc định cic nsat phang song tiếp xúc với nhật cong Š cĩ phương trình z = yŸ@x` - 1),

9 6.1.18 Khảo sát vị trí cục bộ của mặt cong 9: zcosx - ysinx = 0 so với tiếp diện của

nĩ tại (2(0,0.0)

Mặt trụ, các bài tập 6.2.19 đến 6.2/22

$9 6.2/18 - Lập một phương trình Đescartcs của mạt try % cĩ các đường sinh sơng song với ¥ va duimg chuẩn / trong các ví dụ sau :

4) Ý(L01) Fs x= acost, y=asint 2=asintcost, 1 ia e Ri 6 dinh

by POLI, 7:

9 6.2.20 Lập một phương trình Descartes của mật trụ š cĩ thiết diện thẳng

Trang 2

6.2 Mặt cong 297 0 6.2.21 Nhận dang mật cong § cho bởi một phương trình Descartes : oc) 2479 429% ~22-* =0 6.2.22 Choa,b,ce }0: 401, 5, a) Nan dang S, va 8

b) Chứng 15 rang S, > S, 1a hợp của hai đường cong phẳng, chỉ rõ loại của các đường cong đố

©) DKCD đối với (a, b, c) dé 5, ¬ $, là hợp của hai dường trồn Mặt nĩn, các bài tập 6.2.23 đến 6.2.27 $ 6.2.23 trong ede vi dy sau: Lập một phương trinh Descartes cha mật nốn $ đỉnh ⁄2 và đường chuẩn 7` a) 20,00), FP: x=hy=P2=freR QUO, Fs yer Lteytan 0 6.2.24 Với những trị nào của 4 e IR thì mat cong 5; cĩ phương trình : X(Â - y) + VỆ - 2) + z(Â - x) - =0

{à một mật nĩn ? Trong trường hợp đĩ hãy chỉ rõ đỉnh và một đường chuẩn

9 6.226 - Xác định quỹ tích các đỉnh các mật nĩn bậc hai và di qua một parabol cho trước và mội điểm cho trước, $ 6.2.26 Chứng tỏ rằng mạt phẳng P cĩ phương Hình 2x + 3y - z = 0 cất mật nĩn § cĩ

phương trình #” + y - z? = 0 theo hai đường thẳng Ø, 2” và tính Z (ØÐ, DY

0 6.2.27 - Chứng tơ rằng khơng tồn tại một đường thẳng nào của #¿, khơng đi qua (2, và tiếp xúc với 3 mật nĩn, Si xttyt= + Spy? +2? Syiz? +x? Mặt trịn xoay, các bài tập 6.2.28 đến 6.2.33

9 6.2.28 Lập một phương trình Descartes của mat trồn xoay § thu được bằng cách

quay dung cong 7 (x = cos’ t,y = sinŸ f,z = cos2f,r e]Đ) quanh z2 9 6.2.28 Cho#elRT 3) Lập một phương trình Descartes của mặt trụ trịn xoay $ bán kính # và trục quay D x=z+2 cĩ hệ phương trình y=¿2+l -

b) ĐKCP đối với R để zz tiếp xúc với 5

Trang 3

298 Chương 6_ Đường cong trong khơng gian và mặt cong

9 6.2.31 Chứng tỏ ràng mạt cong X: x2+y +z—4xvx+v+z)—I=0 là trịn XOảy Và chỉ rõ trục của nổ,

9 6.2.32 Cho /là đường cong cĩ hệ phương trình [

3) Chứng tổ rang /` là một parabol Hãy tìnt mạt phảng của nĩ, đỉnh của nĩ, trục của nĩ by Lap một phương trình Descartes của nhạt trịn xoay cổ dược bằng cách quay ¿`

quanh trục của nĩ

9 6.2/33 Xết hà hình trụ trịn xoay, cĩ cùng bán kính & ( > 0) và các trục lần lượt là Hãy tỉnh thể tích trong của ba linh trụ đĩ

5I

Ađặt bác bai, các bài tập tử 0.2.34 dén 0,

9 6.2/34 Với mỗi mạt bac hai S sau, hãy chỉ rõ : ệ quy chiếu trực chuẩn thuận trong đĩ ä nhận một phương trình thu gọn ® một phương trình thụ gọn của S ® loại hình của 3 +? —2AY+24Z+3r~ v+z+T=d 2y? $427 4 dev + 20x72 + love = 36x + 72y — ƠN +36 =0 +2xy-l=f0 ~4#—3y+4z—2 =0, 9 6.235 Choahhe Bt Xs

¢ dinh loai ciia mạt cong $ cĩ phương trình Descartes : ? 4a? +b? 2? -2abxy —2heye—2eazx —h =O

wee +(e? +a)

9 6.2.36 Cho š là một mặt bậc hai (khơng suy biến thành những mặt phảng) với ma trận dược ký hiệu là @ trong cơ sở chính tác Chứng tỏ ràng § là trịn xoay khi và chỉ khi Ø nhận một trị riêng (ít nhất) bội hai và khác khơng

0 6.2.37 Tùn một ĐKCĐ đối với (é, b, c) € #2 để mạt bậc hai š cĩ phương trình :

a(x” +22) + bly? +224) +el2? +209 là trịn xoay (đùng bài 14p 6.2.36) 2 6.2.38 Chow Me (RI), D a) Lập một phương trinh Descartes eda wal cong S sinh bai cde duémg thing tong khơng gian gạp Ø, Ð* #1

b) ĐKCĐ đối voi (a, A) dé § là trịn xoay (dũng bài tập 6.2.36)

diễn một mạt bậc hai trồn xoay,

9 6.2/40 Mặt bậc hai

Trang 4

6.2 Mặt cong

0 6.2.44 Cho 3 là mặt cong cĩ phương trình (x+ y+Z}2 ~2x+2y+4z—

4) Nhận biết S

b) Mật phẳng đối xứng P của S là gì ?

©) Xác định tiếp diện T v6i S doc theo P.O 8

9 6.2.44 Tìm tất cả các mặt bậc hai chứa đường cong ƒ”: xeP ys z=0 D 9 6/245 GidstpeR) P: : y? = 2px yep Xác định các mật bậc hai chứa P, Ð và tiếp xúc tại Ø với mặt phẳng yOz =x? = 0 6.246 cone ns, of z=0 of? a x= Xác định các mặt bậc hai chứa P và Ð © 6.2.47 Lập một phương trình Descartes của mật cong S sinh ra bằng cách quay z=0 y=x#l : ; =0

đường thẳng Ð { quanh dường thẳng af x=z

9 6.2.48 Cho(2,Ð,c) e (R1) Tìm các mật phẳng tiếp xúc với S: ` và cắt ba trục tọa độ tại ba điểm lần lượt là P, @, # sao cho : OPI = 00] = ORK 9 6/249 Cho, q) © (RI)?, Sy: x? +y? =2pz, 6; : x2 +y? =~2gg, a) Nhan biét 5, va S,

b) Xác định các đường cong 7 thuộc lớp C' vẽ trén S,, sao cho ti€p tuyến tại mọi điểm thuộc # cũng là tiếp tuyến với S, (và khơng di qua 0)

9 6.250 Cho(A,B,C,D, E, F) € RŠ - ((0,0, 0,0, 0, 0)1, 3 là mặt nĩn cĩ phương trình : Ax? +2Bxy+2Cxz+Dy? +2Eyz+Fz? =0,

Hay chỉ ra rằng một ĐKCĐ để tổn tại ba đường sinh của S trực giao từng cập là :

A+D+F=0 (ding Tap 6, bai tap 5.2.22),

Qị: (ax+by+ez)) +(a'x+b'y+cz)2 +(a°x+b" xeenz)? =1 Qy: (axr+tay+a°z))+(br+bty+bhz)) +(ex+etx+e"z)2 =1 Chứng tổ rằng Ø; và Q; là đẳng cự

Trang 5

300 Chương 6_ Đường cong trong khơng gian và mặt cong Mặt kẻ, mặt khả triển, các bài tập từ 6.2.52 đến 6.2.54 ệ - - - ° - 2

6.2.52 Ching minh rang mat cong S.c6 BDTS :

Xx = cosu—vsing, y =sinut vonsu.z = W(t 2v) (VIER? Ia kha trién 6.2.53 Chứng minh rằng mật cong S cĩ BDTS: ` âm + v, y=2H2 +20, z ="Ÿv (úy) 6 RỂ khả triển và chỉ ra gờ lùi 6.2.54 Chứng minh rằng các mặt cong sau đây là những mặt kể và khơng khả triển : uw 3 22 a) x ys aw, cai ty ae Rvau + v0 uty b) x72? -(x? +y7) 50

6.2.55 Lập một phương trình Descartes của mật trụ ngoại tiếp 8 : x7 + y? =z theo phương của đường thang D: x=}

6.2.56 Lập một phương trình Descartes của mặt nĩn đỉnh A(-2, -2, 0) và ngoại tiếp 6.257 Cĩ (6606 (8 1), Tim những đường cong Ƒ vẽ trên 3, sao cho tiếp tuyến tại mọi điểm của 7 cũng tiếp xúc với 8;

6.2.58 Xac dinh các đường cong ?ˆvẽ trên ® +ˆ sao cho mạt phẳng mật tiếp tại

mọi điểm 8 của "chứa hình chiếu vuơng gĩc của A/ lên y%

ky

6.259 Cho/:R`—> (y2) >fQŒ% v2 =[E xy

ly z 3| và $= (M(x.yz) € đi ƒsy,2)=11,

1) Ching minh rang Š lã một mật trịn xoay, từ đố xác định trục và kinh tuyến trong, độ lớn thật

2) Voi moi M(x, y, z), Mf(42 y2 Z2 thuộc &,, ta định nghĩa một điểm PỢX, Y, Z) của £;

hổi: XÃ=.vvtyz+ZV, Y=xy+yX +27, Z=xZ+yy+zx

a) Ching minh rằng, nếu (M8) e SẼ, thì P e $ Điều này cho phép định nghĩa một luật hợp thành trong * trong Š,

b) Chứng minh rằng (S *) là một nhĩm Abel 3) Ta kí hiệu TU = {w & 'Ế ; lửi = 1}

a) Chimg minh rằng, với mọi ý, #) € Rx U, diém cha 6; xác định bởi xá? +ế! Gi+8))

se” +e 0đ + j?n)), zeke 2 se! ju + J28)) thude S

b) Chứng minh rằng ánh xạ ý: Kx WU S dint nghia ohu vay la mot C° - vi phơi từ

Trang 6

PHAN THU HAI

CHi DAN

Trang 7

Chỉ dẫn và trả lời 303 Chỉ dẫn và trẻ lời cúc bài tập chương T1 41.24 (i) =dĐ: AC=AB+BC=CD+BC=BD (Hi) > (itt) : Ta ky iu / Guong img : J) là trung điểm cũa (4, Ø) (tương ứng : (8, C)) Ta cĩ : +PA+BD+z-Cđ=Ỉ BB+ DA+Ch+ 8D) 2 22 =IÃ+AC+CÏ= l— — — — —\ ;

=1(BÄ+CD)=2 (80+ DÀ+ CA+ ADÌ=Õ, suy rat =

ii) = (iv) : Ta ky hiệu 7 là trung điểm chung của (4, D) va của (, C) Ta cĩ : AB=Al+l =CD Vay (AB) // (CD) Tuong tu, (AC) /f (BD) iv) = tv) : Theo gi thiết, 16n 495 (A, 1) € IR? sav cho CD=A.AB va BD =p AC Ta 6: Bi =BB~CD< _AC =ÄAf = (A8 +BC) AB, từ đĩ: (I—g)BC=(—4)AB Vì A, B, C khơng thẳng hàng, nên họ (s.=) độc lập, vậy 1 - #= ,(- Ä=0, tức là Ä= #i= 1, suy ra AB=CÐ

4.2.2 Theo giả thiết, 4,, A,., thing hang ; via - 1 >2 và Ai # A¿, nên các điểm

Aye ~ Á„¡ Ở trên đường thẳng (4,4;) Cũng như vậy, theo giả thiết các điểm 4,

Ay A, thang hàng ; vì n - 2> 2, nên : 4, € (A,4;)

4.2.3 Giả sử (AB) =[A'8')

Ta lập luận phản chứng : giả thiết A # A' Vì A’ € }AB) và A e ]A'8"), nên ta cĩ (xem 1.2.1, 4), Nhận xết 1) ;

[AB) = (AA') và [A'8') = [A'4) từ đổ [AA”) = [A*A), mâu thuẫn : chẳng hạn, điểm M xée định bởi AM =2 AA" sẽ ở trên [A4'), mà khơng ở trên |A`A) vì A’

Điều này chứng tổ Á = A"

Vi’ e [À), nên tồn tại € ÏĐ, sao cho AB'=# 4B ; vậy ta cĩ A

nếu khơng, 8° = Á = 4", mâu thuẫn

«+ Phần đảo là hiển nhiên

= AB, và kz 0 vì

1.2.4 Tơn tại một đường thẳng D, của mật phẳng sao cho : Ý (, 2 € {1, nÌ”,

Œ#j = D,X(ÁA)), vì số các đường, thẳng (4,4) {ữ, j) {L, "|", ¡ #7] là hữu hạn

Tiếp theo, tổn tại một đường thẳng A của mặt phẳng sao cho Ø Vé A

Khi “dịch chuyển Ð, song song với chính nĩ theo phương của 4”, ta đi qua từng điểm 4,

một Vậy tổn tại một đường thẳng Ø, song song với Ø,, sao cho D tach hẳn các điểm

Trang 8

304 Chương 1 Hình học afin trong mặt phẳng va trong khơng gian ba chiều

1.2.5 4) e Chọn (a, a’) = (1, 0) hodc (0, 1), ta cĩ : Ð € Bop VAD" Đoa © R6 rang 18: Pan C Bav-

© Cho (a, @”) € IR sao cho (aa + a’a’, ab + ab’) # (0, 0) ; ta ký hiệu 44 là đường thẳng, cĩ phương trình aux + by +ch4+ @la'xt by + 0°) =0, va gid thiét 4#D’ Khi đĩ ta cĩ ø z 0, và, với ký hiệu Â = = „ 4 sẽ cĩ phương trình là : (ax + by + €) + Ä(a'x+b)y +c)=0, vay 4€ Bop

Didu nay chimg 16: Bop - 12") CF pp~

Cudi cing: Bap: = Boy - (Dh

b) 1) Giả sử A € Bp ; t6n tại (2 @’) & RE sao cho (aa + @’a’, ab + ab’) # (0, 0) va: Alalurtbyte)ta'(a xt bi y+

Vì Mo Gor Yo) € DAD’, ta 06 any + by, + 0 = a'Xy + bY) +0" =O, tr dG, bang cach 18 hop, Me A

2) Ngược lại, giả sử 4 là một đường thẳng đi qua Mạ, Ál Ax + 8y + C =0 Xét các vectơ chỉ phương œ, ø”, v theo thứ tự của 2, Ð, A: #= (b, -4), HP =(b` ca, v=(8,- A), VÌ ĐXDP', nên ( ¿È) là một cơ sở của RỘ, do đĩ tốn tai (a, a’) € sao cho: y= au+ aw

Khi đĩ tacĩ: A=øa+ œ4` và B=oab+drb

Hơn nữa : = Ary + By = (aa + @a’)x) + (ab + Œ `) và

= Alar, t byy) + B(x + Oy) =- ae- ae’

Vậy 4A cĩ phương trình là a@ (ax + by +c) + @ (4'x + b’y +c’) =O, suy rad â Bpp- Â) Ky higu w= (b, -a), #’ = (B’, - a’) ViD # D’, nén t6n tai k € BR’ sao cho: b= kb, a’ = ka 1) Cho Al @ (ax + by + 6) + 2ˆ (x + b!y + e°) =O ¡ khí đồ A cĩ phương trình là :

(a+ a’) (ax + by) + ac + a’e’ =0, vay 4 // D

2) Ngược lại, giả sử 4 là một đường thẳng song song với D Tén tai d € RK sao cho

Alax + by +d=0, ViD#D’, nén tacé c’ # ke ; vậy tơn tại (ø, œ') © IR? sao cho

at kal

(oe 4`

1ừ đĩ : AI at(ax + by + c) + @ (Rax + khy + c°) =0,

Trang 9

Chỉ dẫn và trả lời 305 4.2.7 - Giải hệ phương trình: x-2y+z+3=0 — [x=2y-z-3 2x+y-z-2=0 4) 5y-3z-8=0 4x-3y+z+4=0 |5y-3z-8=0 9 Trả lời : P, ¬ P; ¬ P; là đường thẳng cĩ phương trình dean" di qua (chang han) z+

điểm (0,1, -L), và được định phương bởi vecte (1, 3 5)

1.2.8 - Lập các phương trình Descartes của P và P” : x-L 2 1 (Œy.7)EP @ jyy] | 4=<0 ©œ 5x⁄-3y+72-5=0, z -1 | x-1 0 1 Œy,2)€P' œ |y-2 2 -L| =0œ5x-y-27- z-L T1 3 Sau đồ giải hệ : v.22-5 %x-3y+7z-8§=0 7 wy DEPART 5x-y-22-1=0 ° 92-7 0 2

9 Trả lời : P ¬ P° là dutmg thang D di qua (chẳng hạn) điểm (6, 19, 5) và được định

phương bởi vectơ (13, 45, 10)

1.2.9 a) Tương tự như ở bài tập 1.2.5, đ) b) 1) Giả sử 77 € Đpg„„ 77 | ø(ax+by+cz+d)+a'(a'x+by+c'z+d)=0 Vì các điểm thuộc ạ làm triệt tiêu ax + by + cz + đ và 4*x + by + ©°2 + d", nên ta suy Ta rằng : Øạ C T7 2) Ngược lại, giả sữƒf là một mặt phẳng chứa Ð, Cách thứ nhất

Ký hiệu A là một điểm thuộc Đạ„ ữ là một veclơ chỉ phương của Ø„ ÿ €

B.v'eP, w ETT sao cho các họ (ï,), ,v), (,w) độc lập Vì P/P`,

nên (ữ, ÿ, v) là một cơ sở của RẺ, do đĩ tồn tại (É, a, a”) € BR? sao cho : w=li+aV+d'v,

Với ký hiệu 2= (đ,ÿ,v), các PTD của P, P’, TIA:

det (AM,l,w) =0, det (AM, 8,v)= 0, det (AM, ii.w}=0 Nhung: det | (AM iii) = det, (AM ii Gita +a'v)

= adet, (AM iii) + a'det, (AM.ii,v')

Trang 10

306 Chương 1 Hình học afin trong mặt phẳng va trong khơng gian ba chiều

Cách thứ hai

Chú ý rằng khái niệm chùm tuyến tính các mặt phẳng khơng phụ thuộc việc chọn hệ quy chiếu Descartes, nên ta cĩ thể chọn hệ quy chiếu sao cho P | x = 0, P? | y = 0

Khi ký hiệu Z7l Ax + By + Cz + D =0, Vì Dụ C 71 nên tà cĩ: Vz e R, Cz + D =0, từ đĩ C= D=0, nhuvay: IT Ax + By=0,ntn [Te pp *

Trang 11

Chỉ dẫn và trả lời 307 4.2.12 Vì PXĨ, nên P Ợ là một đường thẳng Ð : tương tự, P* ¬ Ở là một đường thẳng Ð” Ta cĩ : D= PAQ= a0 = Pag -F Vay Df D’ 1.2.13 KyhituD = QR, E=POR.F = PQ, d6 là ba đường thẳng Trường hợp thứ nhất : D if P Ta cĩ: = R {p CORURT DUP »pwPaR=E, Tương tự, Ð /F, Như vậy Ð, E, F là ba đường thẳng song song Trường hợp thứ hai : DY PP Khi dé DAP = {A}, trong d6 A 1a mot điểm, Tac6: DAPS(QAR)AP=PAQAR, suyra AE DAP=ENQ=FAR Như vậy, A € D, E, F, nén D, E, F d6ng quy tai A 1.2.14 Ký hiệu 77 là mặt phẳng được xác định bởi Ø, và Ð; Trường hợp thứ nhất : A TT

Kỹ hiệu 7 là giao điểm của 4 và /#_ Khi đĩ 77 P và

71 P' là hai đường thẳng (A,4;) (4”y4";)

(nếu Ái # A; và Á”, s A";), Và chứa I Trường hợp thứ hai : A Jf 11

Trang 12

308 Chương † Hình học afin trong mặt phẳng và trong khơng gian ba chiều -3 +! 2| b) đet,„ (azz) =| 1 -t -1) =0, vay Dap’ déng phing o 21 Ta tim mot diém M sao cho c6 t6n tai (2, Â`) e R2 thỗa mãn ; AM =Ä và A'M=A? Điền này dẫn đến : x~2=Â x+=22' ye rd] va ly-i=-2" z-1 = 2A z-I=Ä" 2+4 =24'~I ‘Ta suy ra: “Â=I1-Ä' |,từđĩÄ4=1,A'=2 1424 = 142° 0 Tra Idi: DD’ = {A}, trong đố A(3, -1, 3) x=2241 x=3 yaz-} 1.2.16 Tac:(x,y.z)ceDné'ôeâ y=0 x=z+2 y=3z~3 z=l

Nhu vay D va D’ déng phang va D7 D’ = {A}, trong d6 A (3, 0, 1)

Mật phẳng P xác định bởi Ø và Ð" cũng xác dinh bai A va fax) „ trong đồ # (tương tự: ứ') định phương Ð (tương tự : Ð”) Ta cĩ thể chọn : đ (2, 1 1), # (1, 3, 1) Vay: |xT3 2 1 M@ặy.2SP @ |y 1 3j=0 œ -2-3)-y+5ữ-I)=0 z-1 1 1, 9 Trả lời : 2x + y- 5z -1 =0,

Trang 13

Chỉ dẫn và trả lời 309 4218 Vì4//20y, nên Á cĩ một HPTD ml imp tne hop [5S | yA) ERE = yam DNEn 4 [2 T7 TP |m:4azxøe 3@œyzkR3jz=h+p| s p=0, = : x=y=0 và: A¬DzØœ |3(x.y,z) e Ê = mh =h+2 y=mx h AnDz2e |3@yz)e R2 y=2x+l =h+2=mtt 2 ze2x-1 mh=h+2 im=0, h=—l mh =h+2 mh =h+2 , Tiếp theo le most © eee {renee We m= =lm=3 An 2274 Ø xe=0 2) Cũng theo cách đĩ, nến 44 F ^o | tì:4A ¬ De A=zØ | |k=2x9-1 Ø |eœ4đ= xa +2 | dẫn đến mâu thuẫn © Trả lời : Chỉ cĩ đúng hai đường thẳng tương thích : E: E: a

Trang 14

310

Chương 1 Hinh hoc afin trong mặt phẳng và trong khơng gian ba chiều

1.3.4 Trường hợp thứ nhất : (AR)M (A'B)

Ta ký hiệu £2là giao diém cha (AB) va (AB) Cách thứ nhất : Dùng định lý Thales : Cách thứ hai : Trong hệ quy chiếu Descartes (42; 24, GA): 4 4) 4) do 4) 0 cli, oe Ry b e

Ta được các PTD : (AC) x+ cy=l, (CA S+y=1,

vay (AC’) Hf (CA")

Trường hợp thứ hai : (AB) /J (A'B') Vì AB'A'B và BC'BC là những hình bình hành, nên ta cĩ : A'B'= BÀ và BC =CB , từ đồ : A'C= A'B'+BC vậy CA‘C’A 1a mét hình bình hành, (AC?) / (CA*) 4.3.2 Trường hộp thứ nhất : DX D’

“Trong một hệ quy chiếu thích hợp :

Ala} af?) đạ) A(9) 0(9) c(2) wom doa nc 0:4: e'€ 8 ens

hợp một trong sấu điểm là giao điểm của D va D’ thi két quả là hiển nhiên) TTa cĩ các PTD :

(AB)

Trang 15

Chi dẫn và trả lời 311 a ya aa’ BB Wad Ta lap định thức : a lập định thức aa BF a-B ae nad 1 ha 1 OP Bay ya - TT * [am-BP'XBB-0y-sa) = hoe Weel định thức này bằng khơng vì tổng các cột bằng khơng 'Từ đĩ kết luận rằng 4”, 8” C” thẳng hàng Trường hợp thứ hai ;Ð š Ð Theo để bài, Ø # 2” Trong một hệ quy chiếu Descartes thích hợp : 40 4) 43 A0 4) 40

Ta cĩ các PTD : (AB) tr+(4- 69y 2ä, (BA) |x + (b- đ)y = b, Từ đĩ ta suy ra các tọa độ của C”:

Trang 16

312 Chương 1 Hình học afin trong mat phẳng và trong khơng gian ba chiều Mặt khác : Tương tự ta cĩ : Vậy:

và ta lại cĩ được điều kiện đã thấy ở trên

1.3.4 Trong hệ quy chiếu Descartes (0; O4j, OB), OC}): Ay 0

Prety+z=i, Pạeix+y+z=a Pyletytz= ZB, “ BG) a 8 9 6 4al0| 8| | Ca|0k 0 0 8 Ta cĩ : (L)=(B|C2YXBICL) = (OBC) A (AIBIC2) ^ (AIB2CU) Từ đĩ thu được các tọa độ của L bằng cách > 0 x=-4)Ø a ‘ ]| ca, # , L| S| Ta suyramor BDTS ola LA,): y= +725 | Ae - = pede l+a ath = pe “iyz fay — "Tương tu một BDTSCla48,)b { y = (1~ /2)/8 | € #, vàm@BDTScla(NC) | „ l Xa =p z=q-w)8 1+£ veR ‘Vay : M(x ys 2) € (LAs) ¬ (MB,) n (NC,) =0-A)8=u-#-=v-#— x=d 38 “xi atl a a =A 2 0- wp =v ey atl a “8 "atl =A~#_—u_#Z_=(— , a+l Pasi ad Nến ø + 8 + af 0, thi ba đường thẳng (EA;), (MB,), (NC) 66 didn chung Ia didin c6 ap ác tọa dộ x=y=z=—— — fe toa dg x= y= z= 7

Trang 17

Chỉ dẫn và trả lời 313 4.3.5 Trong hệ quy chiếu Descartes (A; A442, A143, A|A4): 0 1 0 0 a { } aa} af } af | v[P| mesessem a 0 0 Hl y lk 1 @ ly 0 Zz Oy M6t PTD cita mat phang (MA,A,) Fe z =0, tứclàz- ®=0 Klú ký hiệu Ø) [Fs z ơ xo B, (424) â (0SB.,A344) phụ thuộc) © || y~1 || 1| | phụ thuộc eb Ẹ: Zz ¡ : 'Từ đĩ suy ra các tọa độ của 8, bằng cách giải hệ | “Theo cách tương tự ta cũng thu được các tọa độ của B;, Bs, By: a a 6 Fey oe B: 2 _¬ 0 |, B: 3 ø 0 Byl——| 4 +8 a+8 Ụ ‘Ta lap định thức : a a ° ° Bty-1 a+Z | A 8 Bty ° ° œ+Ø 7 y sec -—— |8 +z œ+8-L 0 9 1 1 1 I 9 9 -a a = 1 8 9 6 8 (8+yXe+8~1+y~1)(@œ+8) | 7 -7 0 of

+y at+B-l Bty-1 a+/j

định thức này bằng khơng do các cột thỏa mãn : C4 = CỊ +C2 ~C3

Ta kết luận : Z1,82,ạ,B„ đồng phẳng

1.3.6 Ta khảo sát điểm Ở được xác định bởi OA+ OB+ OC = ứ (rõ ràng Ở tổn tại

Trang 18

314 Chương 1 Hình học afin trong mat phang va trong khéng gian ba chiéu

Ta khảo sát giao E của ba mặt phẳng đĩ : 3a „30 _ 3 _ - MO, 92) 6 Bee T= os Ty x+y+z~1 38 3 song song với cùng một đường thẳng lta 1+ l+y Nếu “ta 3p tay = 3x 38 mật phẳng (ABC?) Cuối cùng, tổn tại một đường thẳng song song với cả ba mat ring khí và chỉ khi Le vi + tự =1 tức là — T112” 1.1 ae By

1.4.1 1) Giả thiết " tại một phếp vị tự - tịnh tiến ; sao cho : A’ = f(A) va BY = f(B)

Nếu ƒ= Tt (ie), thi AB = A’A+AB + BB

1, thi E = @, vay đường thang (A’BC) (AB‘C) song song với

utAB+u= AB

Néu f=Ho,(Qe Ake R"), th AB = OF De = KOR -KDA= RAB Vay (AB, A'B' ) plu thudc

2) Ngược lại, gid thi€t (AB , AB ) phụ thuộc, tổn tại k € Rt duy nhdt sao cho A'B' =k AB

Trường hợp thứ nhất : k = 1

Phép tinh tig T, dim din A’ vaB din 8’ vi B+ AA'= 8 + AB + BB+ BA‘ = B+ B= 8

Giả sử ƒ là một phép vị tự - tịnh tién dua A dén A’, 8 đến BY ® Nếu ƒ= Tạ Œ € 2Ã), tủ ứ= Ấ", ONG SHH (MEA, KER *), đủ em D) A#= # “A8, dw =1 f= 1d, và Tigh Nhu vay, tổn tại một và chỉ một phép vị tự- tịnh tiến đưa A đến A'và 8 đến 8" và d6 1a To Trường hợp thứ hai : k z L Ta ký hiệu #2 là điểm thuộc „A, xác định bởi A= ad „ sao cho 124° KOA ; nĩi cách

khác a-r|2 2 (xem dưới đây, 1.5.1) Ta 06 : 128" = 2+ AB = KA +kAB = kD,

vay Ho, dua A dn A’va B den BY

Giả sử ƒ là một phép vị tự - tịnh tiến đưa A đến A' và B dén B’ « Nếu ƒ= T; ( e 2Ä), thì xem D 4'8'=48, k= L, loại + Nếu /ƒ= Hay (2 € x4, ,É 6 RỊ, thì (xem 1) A'8'= &' AE, vậy k= &, rồi ki { B= kB

Nhu vậy, tổn tại một và chỉ một phép vị tự - tịnh tiến đưa A đến A’ va # đến B”, và đĩ là Hay, trong đồ (2 xác định bởi ; Ø24'= ký24

Trang 19

“Ong

Chỉ dẫn và trả lời 315

1.4.2 Xe 7eD-{0}, jeD'-(0}, O € D, va chon hé quy chigu Descartes i ]ea tại một và chỉ một ø € R sao cho i (a, 1) định phương Ð°

Giả sh MCx, y) © A, AO, 0) 1a

® Trước tiên ta xây dựng cơng thức của f trong oi hình chiếu cia M lén D song song với Ð./(MỀ',y} Vì MH € D, nén: từ đĩ X= x - ay H/[M]=aHM, x =x-ay+aay, y =ay

+ Suy ra: ge f(M\x-ay+aay, fay),

# Ta hay xết xem liệu cĩ tơn tại (6, 2) 6 ĐÊ sao cho gs f là phép co # cĩ trục Ø, phương 4 định phương bởi ÿ(b 1), tỷ số y; với mọi Mức, y) thuộc zA,„ ta cố : ACM) (x - by + yby yy)

Vậy: ay: get =( (xyJe R {eae sƒ=hel Xí 2 |x-by+?hy =x—ay+aay -ÿ-#-t «J2 vậy: 9 Trả lời : øe ƒ là một phép co trục Ø, tỷ số 2, 1.4.3 Theo giả thiết, với mọi (M, M) thuộc A? , tén g tại một và chỉ một 1, „ € lR sao cho : ụ FUDAN) = An MN

Rõ ràng là tổn tại (4, B) € >Aˆ sao cho A # 8 ; ta cố định một cặp (4, 8) nh vay

1) Giả sừ4/ c „A, Ta cĩ: /(4J/(B)= /AJ/(M), từ 46:

Nap AB= 2p yg AM =Ấp „BM, vàdvy: (bạ g —Ãx„ AMĂ,s ~As„ )BM =0 Nếu M ¢ (AB) thi (mm) độc lặp, suy ra Â„„ =Aa„/bd 2¿g =Ãpy}

Nếu M € (AB) va M A, thi tổn tại C € A, sao cho C # (A8) ; do C £ (AB) và M # (AC), nên theo lập luận vừa rồi, ÂA,c =ÂA,ø Và ÂA,w =ÂA,C, Suy ra ÂA,M =ÂA,B-

Nhu vay ta dé ching minh ring: WM e z^„ /(4)/(M)= 4, „ AM 2) Cho (M, N)€ AZ Tact:

7(MỳĐ}= /AÌ@]-rAy (M) 244 gAN-A, AM =A, _MN, tirdé (néuM#N): AM =ÂA,B-

Nhu vay: VOM, Nye a2, ƒ(M)/(M]=^A,aMN Nếu 4„ „= 0, thì ƒ là ánh xạ hằng

Trang 20

316 Chương 1 Hình học afin trong mặt phẳng và trong khơng gian ba chiều

1.444 Giả sửA, B, C, Ð là bốn điểm thuộc A, khơng đồng phẳng, 4", 8", C°, Ð' là bốn điểm thuộc zA;, ƒ: ~Ã; => +A; là một ánh xạ afin Ta cĩ : a=/(A)_ [^=⁄4) #= /(œ) -" = " c=s(c) D's f(D

Vì Ă5.ac.an] là một cơ sở của Đ” niên tổn tại một và chỉ một ánh xạ tuyến tính ø: IR? + R? sao cho :

ola) AB, ol ac) = BC, 2£?) ,

đo đồ tơn tại một và chỉ một ánh xạ afin thích hợp : đố là ánh xạ afin chuyển 4 thành 4” và cĩ thành phần tuyến tính là ø 1.4.5 « Tập hợp các diểm bất biến cũa ƒ là mặt phẳng P | x + 2y +z - 2 =0 1 ® Voi M(x, y, 2) € Ay, ta tinh các tọa độ của Mƒ(M): ðx+4y+2z + ) 2

Ky hiệu ai(1-1, 2), D= TRE, p là phép chiếu lên P song song voi D

Cho M(x y, 2) € Ay, p(M)X, ¥, Z) Tén tai A € KR san cho Mp(M)= au, suy ra: X=xX+Â, y=y-Â,Z=z+2Â

ROL: PUM) & P© Œ+ Ã) + 20 + Â) + Œ + 2Â) © 2 =Ĩ @ Â= ‹Ú +2y +7 — 2),

Vậy: Mplet)= (e+ 2y +2 ~ 2} = Ligon}

Trang 21

4.5.3 a) Trước tiên ta chú ý rằng G là trọng tâm của A”B'C”, vì :

ne | -—aaG A.A 5B

Te(4 1 ft T902] ‘|

moe ¢'

=5 2 3]

Nếu ký hiệu # là phép vị tự tâm M và tỷ số 2 thì :

K~ru|É) we) Hey)

- 4|† a ())=He

tức là: ÄMK =2MG

b) Vi PO = PM + MQ =2A'M +2MB' =2A'B = BA, nén ABPQ 1a hinh binh hanh, do d6 AP và BQ cĩ cùng trung điểm, ký hiệu là 7

“Tương tự như vậy, AP và C# cĩ cùng trung điểm 7 Ký hiệu / là trung điểm của GK Ta cĩ : =1 | J0 G41 DXT 2= 1| K|> | ƒ 121001751 | alan PBR Ore 3 Migenaiior a ial ah Lege a li 2 5 |=" 4.5.4 Trong hé quy chiéu Descartes (;asae): ms) a(S} a

9 Trả lời : Khi ky hieu A’, B’, C’ là các trung điểm

theo thứ tự của BC, CA, AB, thì 7 vạch hình bình hành (bên trong va bd) AC’A’B’ D (<y)e|01 SI<Mlxz 1.5.5 Các điểm P, Q,#, § được đặc trưng bởi : Pate 4 424 o-t 8 Fy R=Tr|E tàn szT|# đội

với (a, B, y, 5) chạy khắp [0 ; 1]

Nếu ký hiệu M 1a tam dang tỷ cự của PORS, thì ta cĩ :

tự A B a D

mate 2 5 1+8-ø 13yz-# ear

Ký hiệu 7, J, K, L là các trung điểm theo thứ tự của AB, 8C, CD, ĐA Khi nhân đơi mọi

SỐ từ trong tâm tử cự trên, ta được :

a I J K ip

Trang 22

318 Chương 1 Hình học afin trong mặt phẳng và trong khơng gian ba chiều

Ký hiệu w = ø-, v= B- 6; khi (a, B, 7, 6) chạy kháp [0 ; 1]”, thi (uw, v) chạy kháp [-1,

1]?, và ta cĩ, nếu ký hiệu Œ là tâm đẳng tỷ cự của ABCD (do đĩ cũng là của JJKU) :

Es Teed, (oR

M=Tr|2 1y 2-u 2-v wl

eo oi iat + MR + a) Qi -R) +ufpad Ơi) =

âM +vRẽ+ulJE= â Gỏi =1|yđï +uưf)

9 Trả lời : Tập hợp các tâm đẳng tỷ cự của PORS là hình bình hành vị tự của hình bình

hành IJKL trong phép vi ty tam G, tỷ số t , trong d6 J, J, K, L theo thứ tự là trung điểm

của AB, BC, CD, DA và G là tâm đẳng tỷ cự của ABCD 4.5.6 Với ký hiệu G =Tu| 2 ei 2 it

thì do tính kết hợp của khái niệm tâm ty cu, ta c6:

G= Tel 1 vậy G là trung điểm của /J Tương tự, G là trung điểm cia KL, MN

48.7 VI AM=AAB=A[AM+MP] nên: p

(\-a)MA +aMB =0 P Ny

vay: m=te[ A, a Cũng như vậy : i bộ

SOI Cia cel 2 gk VƯÀÌ) ĐÀ rluà”- ví us) 2

wets 1a} rt 2, 2975 wf 2

Nếu ký hiệu G =Te|q~ 2Đ\-») at lì vm ( CÀ thì do tính kết hợp của khái niệm tâm tỷ cự, ta được :

G=tel Nien yếu at

Trang 23

Chi dan va tra 101 $19

ØƯ.¡=Ọ, !=Of Điều kiện đặt ra 15.9 Téntai Oe A; taky higna= OA, quy về hệ phương trình : ` j+k+l +k+i +/+l +j+k hệ này chỉ cĩ một nghiệm duy nhất là : i=-2u„+b+c+d j=a-2b+c+d +h+2c+d ` I=a+b+c-2d Đựng l1, K, L :

Với ký hiệu wate? ẹ oI

thì theo những điều nĩi trên, ta CĨ :

[= Te 4 44 từ đĩ cĩ vị trí của J trên (AA"):

Al = 3AA-

Cling vay, BY = 3BB',CK = 3CC, DL =3DD,

1.5.10 Đường thang D cé thé x4c dinh bdi hai diém U, V Vi Ay, Ap, Ag, Ay khOng đồng phẳng, nên tồn tai cc sO thye ,, ¥(1 $k S 4) sao cho : A A 4 4 vant] ven] ` -< ` + hskz4 kÌks4 kel ket Cho È € (1, , 4] Vì Ø, € Ð, nên tồn tai (a, B) € IR? sao cho : UV By -1.(0 HN và a, + 0 A, A A Vay tacé: B, =T,, 1 2 3 A L

đu +, đua + Vy đua tẩy Metta + Bers Vì B, e P,, nên phải cố : ơyng + /Øyvy =0

Và vì (y8) được định nghĩa sai khác một hệ tử nhân khác khơng, nên : đ, = 0, Và đ, = -#c

U V Nhu vay: 8, -1]7 “

Cho 0 1a mot diém bit ky thuge -A,.Tac6: 200, =OA, +08B,, vay:

2, ~u,)ĐEy =, ~,)Đẫu +v,Đ0 ~u,ĐỸ,

Cộng lại, 1a suy Ta :

4 — 4 — 4 — 4 —— 4 —

230, — 4 OCr = Dy, OAk ~ Ym, OAR 4$ [bám

Trang 24

320 Chương 1 Hinh hac afin trong mặt phẳng và trong khơng gian ba chiều

Trang 25

Chỉ dẫn và trả lời các bài tập chương 2 2.1.1 Ap dung bat ding thitc Cauchy-Schwarz cho # = (Oye, V8 ¥= (Wk) chen trong ÍĐ' thơng thường : ; (Sa) ề [ ye jean as đc À nn+2n+D) na +1) 2.4.2 Ap dung bat dang thite Cauchy-Schwar cho (WE) cpeqe1 VA [ | 1Sksn—l trong ÏR”! thơng thường : ` ‘acl 2 ay, tel rar «(354 = a bi „ kel = £=(n~&# 24.3 Ky hidu: Astle 1, gate 1, uayH, veto Ta cĩ : Hy Hall vl < z~ylle©sllU ~V HỄ < ILÃU — z lỂ © 1-2UV+t<42—2ÂU.V+ g2

và bất đẳng thức cuối cũng là đúng vì Âø - 1 >0 và /.V - 1 < O (bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) Khảo sát trường hợp đẳng thức : am" lún THỊ = lla—ylle(Au—1XU.V—1)=Â- =0 Â=m=l JIxJ=lvll=1 = |hoặc = | hoac

Â=g và UV=1l |u=y

$ Trả lời : Cĩ đẳng thức khi và chỉ khi : lixll = lv = 1 hoặc w = 9 2.1.4 Giả sử Œ, y) là một nghiệm Khi đồ ta cĩ :

(4+B)A(Œx~y)=0 và (a+b).(x¬y (a—b)A(x+y)=0 và (ab) (x+y

Từ đĩ, do ø + b #0 và (4 - b) z0, nên x- y= x + y = Ú, và vì vậy x = y = Ơ

Phân đảo là hiển nhiên

Trang 26

322 Chương 2 _ Hình hoc afin Euclide trong mặt phẳng và trong

khơng gian ba chiều

2.1.5 a) Hiển nhiên

b) Cho (a, 6) € (RỞ)? sao cho a.b = 0

Cách thứ nhất

Với mọi x thuge R?, vì (6 A x L b và (4.x)a 1 5), nên /¿» (4) L b Vậy I„¿„) thuộc mật

phẳng (vectơ) trực giao với b, vậy rank (f, 5) < 2

Cách thứ hai

Vì trường hợp b = Ĩ là hiển nhiên, nên ta giả thiết b z 0

Vì ƒ„ p() =0, nên ta cĩ Kerf„ „) # {0}, từ đĩ, theo định lý về hạng : rank(f,,g) = 3 - dim(Ker (ạ¿)) < 2 ©) * Giả sử x € RẺ ; ký hiệu y= /„øŒ© Khi đĩ ta cĩ : OY i: bộ = M4 4 + bax) = (4-4)(), suy ra ax = 2 a any = an((ax)a + BAD = aA( BAX) = (a.x)b - (a.b)x = 22h tay, vậy: x= b~ aAy, tức là x=/¡, s1 6) ( bP aoa Điều này chứng tơ: /¡ ¡ 5/2, =1; ah ab ý te rt yo * Ky higua’s 256 và =—- TT c6 đi = Jp pe

từ đĩ, bằng cách áp dụng kết quả tren cho (a’, b’) thay vi (a,b): fano fay ald, Điều này chứng tổ /„„ là song dnb va fz} = fry

9 Trả lời : đà 4

ab ao" a

2.1.6 a) Anhxa g: (R°)’ > R, xdc dinh béi :

Vũv,w)€ RỂ, glu) =Lf(e) vow) +l f(v1.w]+[e.v, ƒQ6)] hiển nhiên là tam tuyến tính, và thay phiên vì, chẳng hạn : ø(,v.w)=0 Như vậy (xem Tập 5, 9.2.1); øe 4a(E)

Theo Tap 5, 9.2.1, Định lý - Định nghĩa, đim(4;(E)) =1, vậy tên tại ø eR (œ phụ thuộc / sao chờ :

Vu, v, w) © (RY, ou, v, w) = a (u,v, w)

Giả sử 8 = (e,,£;„£; ) là một cơ sở trực chuẩn cũa E2 (shẳng hạn, cơ sở chính tắc) Ta cĩ : [Fler ),e2,¢31= fle, Kern e3)= fle ).e1,

vatuongty: — [e,flerea]=flerder, lesen, flesdI=Fles) 3

Ta ky higu A = (4,),4, <3 = Mat, ) Vi 8 truc chudn, nên ta cĩ : Vij € (1,2, 3)%.4,= fle)

Từ đĩ : p(e),¢2.03)= f (eer +f (ez )en +f (05) = aj + 99 +455 = tr(A)= tr)

Cuéi cing : Vu, v, w) € (RY, gUe.v,w) = ray, w]

ð) Với mọi (w,vuw) thuộc (R)? ta cĩ ;

(G)^y+A ƒ(v))w ={1ƒ(,v.]+(a, ƒ(9),w]= rỢ) ,v,w]~ [é,v, ƒ(9)] = trỢ) (# A v)a9 = (HA Vfl)

Trang 27

V6i moi (x, v, w) thuộc (R?Ÿ, ta được ;

UAY + MA fG))-W= (tr) HAY) - ƒ#( HAY) .le = (Tạ? - ƒ*) (Av)), Từ đĩ, với mọi ø thuộc £ (RY): +

(YG,v)e(R?, ƒ)Av+wA ƒ(v)=g^Av))

& Merde ROY, (UUM, — f Yu avyav = (gerne) © (V(v)e(R?)?, (Id, 5 ~f anv) = guar)

f

@ guild, 2.17 OTra loi:

@ f =Rotz , tong dé D- được định phương và định hướng bởi (1, Ì, 3), và Ø= Arso(~Š] 3ƒ =Rotz eRef„ trong đổ Ð được định phương và định Hướng bởi (1, L, 0), và ø =-Arceos{ ~ 3) Pap

Of = Ref, trong đĩ ? là mặt phẳng trực giao với vectơ (~V1-x2,x,1)

2.1.8 a) Tổn tại (v, w) © RY)? sao cho B’ = (4, v, w) là một c.s.t.c.t của RẺ, Mọi x

thuộc Ï#* đều cĩ thể phân tích thành x = au + By + pe (@ £7) € BR vado

1 0 0

Maty(f)=|0 0 cos® -—sinØ |,

sin@ cos

niên tac6 : f(x)=au + (feos -y sin Ov +( sind +7 cosO)w = đw +eosƠ(/w +7) + sin O(-yv + fw)

Vi kus Bot pw aa tM, VA UN = uA (aut f+ p= Bow nen tả được : FO) = (eau t 00s BC e~ (e4)u) + sin O(unx)=.x+ sin BW AY) + cos Ow A (u Ax), theo cơng thức tích vectơ kép : RA (MA 4) = (6x) — (Ha) + ð) Với mợi x thuộc RP; ƒ(@)=x+—2P neg ( - E8} A (dunx] tiệt 1+? }t 2» : = xt 140 ACH AX) 2.24 BD.BF ~BABE = BD.(BC +CF)—BA(BC+CB) =(BD~ BA).BC = AD.BC = BC?, ——- —- — — — ——-—— —— —+?

2.2.2 AP-BE = (AD ++ DE\BD+DE) = ADDE+1DEDD4+1 DE 2 - 2 2

AE sD) best peer el ae Io? 1

Trang 28

324 Chương 2 Hinh hoc afin Euctide trong mat phẳng và trong

khơng gian ba chiểu

2.2.3 Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong R? thơng thường :

(AB+BC+CD)2 < (AB? + BC2 +CD2XI? +12 +12)=3(AB2 + BC? +CD?) Mật khác, theo bất đẳng thức tam giác và vì A, #, C, Ð khơng thẳng hàng :

AD < AB + BC +CD

Từ đĩ: AD?< 3(A#? + BC? + CŨ?)

2.24 Ký hiệu 4, là các đỉnh của hình Ay 23 AA, vuơng, 8, là các đỉnh của tứ giác (My € [AAD = MAC SES 4), To , lộ ›

'Theo định lý Pythagore : Xi anes ap =x? +(1-x,) A 4 4s 4 Từ đĩ: 5 a2 =3 )x?2+)-x;}2 i=l f= i= 1 2 Tacé: Vee [0:1], 2 e(i-ay? <2? 2941-9 <2) += Vậy: Wee (0:11, + 2 Sx74+(1-xP <1, 4 từ đĩ, bằng cách lấy tổng: 2< 5z < 4 é=1 —~ ‘

2.2.5 Với ký hiệu Ø= MBP, ta cĩ : MP=MB sinổ và AC= BCsin8 Vì MB < AB < BC

và vi sin@ > 0, nên kết luận : MP < AC

AB+ACI|s LAB + AC) 2.2.6 Theo bất đẳng thie tam giác: {, 1 2

28C < 2(AB+AC), suy ra: AM+2BC S AB+AC

—2 — — —?2 — — —2

2.2.7 a) c?=AB =(CB-CA)?= CB -2CBCA+CA

b) Nếu ký hiệu A" là hình chiếu vuơng, a? —2abcosC +b? A gĩc của A lên (BC), thì ta cĩ : S= aaa va AA'= ACSinC Từ đĩ : § =2 absin é B a c Thea a) : 16S? =4a2b? sinC =4a2b? ~ 4a2b? cos? C=4a2b? —(c? — —b?)? = (2ab—c? +a? +b2)(2ab+c2 - a2 — b2) = (a+ bY? =c?Xc2 =(a— b)2) = (a+b+£Xa+b~ceX~a+b+eXa~b+c)=16p(p~ aX(p ~ B)(p ~—c) e) Khi ký hiệu A" là hình chiếu vuơng gĩc của A lên (8C), ta cĩ : — oo

AA'= AB sin ABC = AC sin ACB,

Trang 29

Chỉ dẫn và trả lời 325 228 vi C=2-A-B vavi A,B,C,A+B đều khác Z „nên: tan€ =~tan(A+8)=-anA+tanB 1-tanAtanB từ đồ cĩ kết quả cần thiết, 2.2.9 @) di): Đấbiết (iii) = Gi) : Tâm thường Gow:

Ta ký hiệu M la trung diém cia BC va A’ Ia hình chiếu vuơng gĩc của A lên (BC) Vì trong giả thiết các vai trị của A, 8, C dối xứng nên chỉ cần chứng minh rằng A8 = ÁC hoặc Ä = Ê 1) Nếu G = H hoặc G = Ĩ, thì (A89) L (BC), vậy AB = AC ?) Nếu G=/ thì A8=-2_„_MC A A sins sin = 2 2 3) Néu H = O, thi OB = OC va (0A’) 1 (BC), vay A’B = A’C, A’ = M, (AM) 1 (BO), AB = AC 4) N&u A= 1, thi AB = A4 = AC, cos 4

5) Néu O = 1, thi vi GA = 8, tacé OB = OBA „ ức là 48, vay A=B

2.2.10 a) Theo bai tập 2.2.7, c), dp dung

vào các tam giác AA'8 và A APC: BA’ AB h AC SE ~*————- A „ 4 sindAA'B Á- SinAAC sin— sin— 2 2 Vi AA'B+AA'C =n, tasuy ra: a a c b) * Xét wat ABC b cf

Theo a), aan? cl¬w M12 wale (Aa),

Cling vay, M € (BB’), M € (CC’), tit dé M = 1

Trang 30

326 Chương2 Hinh hoc afin Euclide trong mặt phẳng và trong

2.2.11 4) Đâu tiên ta giả thiết Ê và C nhọn Tao6: ^^ = mạ ê và 44! _ ma, BA’ A từ đố : BA'tan B= Ca'tan€

ViA’ & [BC], tasuy ra:

tan B BA'+ tan

Bo 7

tie la; A'=T,,] - al B a c

tanB tan Lập luận tương tự nếu # hoặc C tù

b) Dũng Ê=#~ Â~ đ, đầu tiên ta chứng tỏ tan Ả+ tan Ê + tan #0 :

| A B c

ky higu H'=T.| ^- 2 ah

tanA tanB tanC

Theo a): 7=T, › “lun - le (AAT mốc anề | (44) Cũng vậy, H’ © (BB’), H 6 (CC?, indo =H

Cuối cùng: Mối cùng : #= # #=1y|Â, F[tanA tan tane[ - # © = Ạ 2.2.42 Ta ký hiệu Aƒ, N, P là các trung điểm

theo thứ tự của 8C, CA, AB Rõ ràng là các ® đường trung trực của A8C là các đường cao của a MNP va rang cic g6c M.N.P cia MNP cing

tương img bang cdc g6c A,B,C cla ABC, vi 8 „ e

(AN) if (AB), (NP) Hf (BC), (PM) HH (CA)

Theo bài tap 2.241: o=Ty|, ® he l .211: Ø= “lta? nổ tan - ` - r Vì M= t]— sự: BoC C€ A 4 B O=Tg| lant tana tan# tanB tanC tán 4, A B € =T, mm ˆ ˆ tanC+tand tain’ ˆ ˆ ˆ a

2.2.13 a) Xem Idi gidi của bài tap 2.2.7.6)

b) Theo a) : 53 =} (abe)? sin Asin Bsin€

Ảnh xạ ƒ: Wz| => #>— Insinr Rkhẩvihsilánvà: Vre ]0:®[, ƒ"()= —L— >0, vậy Sin“r ƒ lồi chật

Trang 31

Khảo sắt trường hợp đẳng thúc

i ‡ Ta ^^

Nến S = Babess, thi vì ƒ lồi chat nen A= B=C, vay ABC ta tam gide déu Phần đảo là hiển nhiên

9 Trả lời : Cĩ đẳng thức khi và chỉ khi A8C là tam giác đều c) Sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình nhân và trung bình cộng : 3 1 53% (abet 93 (y242¢2)3 < Ea? thê kết 4 3

ssi B aoxonxeays < Bab sbe-ven Ore) yaw 4 X3fa+b+ec\)„ v3

3<< (abc)3 a Ap (abe)3 Y < Barbee) aS

Néu dang thức xảy ra ở một trong ba đẳng thức trên, thì & =X2 (an , Vậy (Xem )) ABC là tam giác đều Phần đảo là hiển nhiên

9 Trả lời : Cĩ đẳng thức khi và chỉ khi ABC là tam giác đều

2.2.14 1) Theo dinh ly Thales : AK An AT AL AI AM Vậy, theo mệnh dê đảo của định lý Thalès : UK) HEM) 2) Ta ký hiệu ? (tương ứng : Q) 1a giao điểm của (Af) với (#8) (tương ứng : (CK)) Theo định lý Thal&s : cB OCT

vậy, theo mệnh để đảo : (fQ) /f (BK) = (AB)

Điều nay ching td rang /LKQ la hinh binh banh, vay (LM) cét (7K] tại trung điển: của nĩ Cing vay, /MJP 18 mot hint binh hank, nén (Lad) cét [7] tại trung điểm của nĩ

Trang 32

328 Chuong 2 Hình hoc afin Euclide trong mặt phẳng và trong

2) Ký hiệu P, Ø, # là hình chiếu vuơng gốc của ƒ theo

thứ tự lên (8C), (CA), (AB)

sty [AQ=AR, BR=BP, CP=CO R 2

AR+RB=c, BP+PC =a, CO+QA=b,

tasuyra AQ=AR =p-a (trong d6 p= Flarb+e) »

từ đồ:Ø,lx+y+a-p=0, Ỷ

3) Ta kỹ hiệu Ủ, V theo thứ tự là chân của các đường phân giác trong kẻ từ Z và C Ta cĩ (Xem 2.2.7, c)) : BU va cu 1 từ đồ : b = AU + UC = sinB| 1 2 (sin4 và: AU= 1+ sina 144 a+e —-ð—„~=—~=_ÈC Tượng tự: AV = —ƯE : a+b sinC ‘ Ta suy ra : Ð, | (4 + bx + (a + cy - bc =0,

Rõ ràng là nếu b = c, thì ba đường thẳng Ð,, Ð;, Ð; song song Giả thiết ð z e ; khú đĩ Ø, và D, cat nhau tại một điểm, ký hiệu là X

Tổng của hai vế đầu của các PID của Ð, và Ð, là : 2px + 2py - be (L + cos Â ) Theo bài tập 2.2.7, a): a? = b? +c? - 2be cosa,

ˆ 2 2 T-g2

từ đồ : be(1 +cosÁ ) = ber EO (G+0P a?) =A (arbrc)(b+e~a)=2p(p-a) - Suy ra X € Ð¿, vay D,, D;, D, đồng quy

Xem thêm chùm tuyến tính các đường thẳng, bài tập 1 2 5

2.246 )VìiG,= 1 a ‘al s6, = Tet 4 feos: 11 1 11 1 3G061¿ = GiiÁ + Gii + GuCy = ÝGi,C¡ + Gi0y = CC; - Cũng vậy: — 3G; =CạC¡

Từ đồ: Gii0t; = Ởa¡Gz;, và như vậy G,G,zG„G;¡ là một hình bình hành 23 Ta cĩ: - (Ay Aha) 1L (CC, và (HuyHz) L (CịC,) vậy Œiưnn) Hf Hatt)

Tuong ty: Hats.) /[ (11,,Hạ,), và như vay HH, Hoff, 12 một hình bình hành 3) Cũng lập luận như ở 2) để chứng tỏ rằng Ø,yĨ,zØ,;Ø;¡ là một hình bình hành 2.2.17 _ Ta ký hiệu P, Ợ R là các hình chiếu vuơng gĩc

của ƒ theo thứ tự lên (BC), (CA), (A#) ; vậy : IP= 1Q =1 R 2 Sử dụng định lý về cộng tính của các diện tích ta cổ : 2A(ARIQ) = 4,A(ARD =2ARRI = 2{srcor {asin ort sind 4 ? ẹ A

Tương tự đối với hai diện tích khác Từ đĩ suy ra :

Trang 33

Chỉ dẫn và trả lời 329 2.2.18 4) ô H thc Đ= “hà = Php =F ohe đã biết « Ký hiệu ? là tâm đường trồn nội tiếp Áp dụng một định lý về cộng tính của các diện tích, ta cĩ : S= AUAB) + AUBC) + AUCA) và ZAGAB) = an ` Từ đĩ : 25 = ar + br + cr atht€ và Dự Dự, g6 2 hạ hg hẹ 23 29 2§” b) Theo a) 1 = r Suy ra ©) Theo bất đẳng thức giữa các trung bình nhân và trung bình cộng : 1 1 —A sf bib 3 oh hahghc ha hp tc} 3 Từ đố : pg 2A HP, 27 Khảo sát trường hợp đẳng thức 'Theo kết quả khảo sát trường hợp đẳng thức giữa các trung bình cộng và trung bình nhân, cố đẳng thức trong bất đẳng thức vừa xét khi và chỉ khi điều tương đương với : 4= b =€, 9 Trả lời : Cĩ đẳng thức khi và chỉ khi A8C là tam giác đầu

2.249 Taco: 2,A(PAB) = | Passa = (Pa +a) Ped a8

= PM.AB IsinØ, trong đĩ Ø= <((P@), (AB)) [m)

Cũng vậy : 2zA(QA8) £ VẬY: = QM.AP Isin@ Tir do: PAS) _ MP = OM NTS

2.2.20 Tac6: 2A(ABC) = [aaa AB.BC sin ABC”

~

va 2A(A BC) =A BBC sin ABC

Vi sin ABC =sin ABC , nen suy ra; ABC) aB.oc Awrey a 2.2.21 Kyhitur= BEAR , TS (QAR) QA.AR ‘Theo bai t4p 2.2.20, vi GAR=CAB , nén ta c6: Sim) 2A(CAB) CA.AR =:{t-d 7 (rep) _A(Pcg)_¢_ Cũng vậy : alee) ated) (Í 1) Từ đĩ, áp dụng một định lý về cộng tính của các điện tích : ACPQR) = „A(ARC} - VA(QAR) + ARBP) + A(PCQ)) 2 =Œ -3(1- 0)2AVABC)= (:s(-3) |se›

Suy ra: A(PQR) 2 xa (ABC}., với đẳng thức khi và chỉ khi £ = i

Trang 34

330 Chương 2 Hình hoc afin Euclide trong mặt phẳng và trong

2.2.22 Gia sit ABCD 14 mot hinh vung canh a va MNP

4 D

là một tam giác nằm bên trong hình vuơng đĩ Bằng cách kéo dài cạnh MN ít ra theo một cách, ta được các điểm _ „| Mˆ,N” nằm trên các cạnh của hình vuơng sao cho : Ss MNP) < A(M? NP) < AWW? N’ Đ _: XS Rồi, bằng cách kéo dai canh M’P, ta duge điểm ?” nằm Iw’ A B trên một cạnh của hình vuơng và sao cho : 2A(M°N?P) < >\M}N'P)).,

1) Néu hai trong các điểm &*, W*, P nằm trên cùng một cạnh của hình vuơng, chẳng hạn A” và ?” trên [8C], và M” tren [CD], v6i B, N’, P’, C theo thứ tự đĩ, thì :

AWN’ P’) = Sure s 1úccnŠ SÀ: 1 a2 2 M'C.CB

2 2

2) Nếu cả 3 điểm A°, W°, P” déu & trên ba cạnh khác nhau của hình vuơng, chẳng hạn &*e [ĐA], N?e[AB], Pˆe [BC], thì khi ký hiệu #” và Ð" là hình chiếu vuơng gĩc theo thứ ty cla M? va D trén (N’P’), ta c6 MH? < DD’, suy ra : AWN'P) = LM HNP

SDD.N'P'= A(DN'P')

“Tương tự, nếu ký hiệu K? và C° là các hình chiếu vuơng gĩc

theo thứ tự cla P’ va C trén (DN’), tac6 P°K’ < CC’, suy ra: ADN'P’) = 2PK'DN" 2 1 < SCC'.DN'=A(CDN)=^— 2 2 C6 thé cai biên các lập luận để chứng minh rằng một tam giác MMNP cĩ diện tích cực đại 2

(bàng, a ) khi và chỉ khi một trong các cạnh của nĩ trùng với một cạnh của hình vuơng, cịn đỉnh thứ ba của &/WP nằm trên cạnh đối điện của hình vuơng

2

9 Trả lời : <ˆ T

2.2/23 Chia hình vuơng cĩ cạnh z thành chín

hình vuơng cạnh Š „ như lược đồ bên Ít nhất một trong chín hình vuơng đĩ chứa (ít nhất) hai trong

số mười điểm đã cho, A,, M, (¡ # /) : đĩ là "nguyên la lý ngăn kéo” ; vậy, bàng cách so sánh với đường

Trang 35

Chỉ dẫn và trả lời 331 2.2/24 Tương tự như trong lời giải bài tập 2.2.23, khi chia hình vuơng cạnh z thành chứa hình vuơng cạnh +, (it nhất) một trong chín hình vuơng đồ chứa (ít nhất) 3 trong số

3 19 điểm đã cho (vì 19 > 9 x 2), và, theo bài tập 2.2.22, diện tích của tan) giác đĩ < ‡) - 2.2.25 Ky hiu f: & — lĐ,/M)= MA2+2MB?S—2MC2 và P= Tụ [ ; |:

Ta cĩ, với mọi 8ƒ thuộc £; (xem thên 2.2.4.2) : M) = (MP+PA)? +2(MP+PB)2~2(MP+ PC)? = MP2 42MP (PA+2PB-2PC)}+ PA2 42PB2 -2PC2 = MP? + fiP) 'Từ đồ suy ra: VM © &, In e ƒ(M)=/0)SM=P

Nĩi cách khác ƒ cĩ một biên dưới va đạt tới biên này tại A mot va chi mot diém, diéin P, Van dé cdn là tinh {(P)

Theo wren, flP) = fia) - AP? Vì ƒ(A)=2AB? -2AC? =0, va ring AP? =(2CB)?=4a2,tasuy ra: WP) =-4a’, p?p 9 Trả lời : - 422,

22.26 - Kỹ hiện #= Arctan À và, với + e R, = Arctant Vì ~— và — khơng phải BB 1à nghiệm của phương trình đã cho, ta cĩ : 3 2 Ơ _3r t)~3t+(1—-3/2)=0œ——— =À, 3—I © tan 30= Lan ở © 30 ứ [z] c Ø= 3l] Vậy các nghiệm la : 7, = ¡ ehÚ ý rằng ann 3 ata 3 # 3 Ký hiệu ø, = Với È € [1, 2, 3], Ðy cĩ PTD : tan2@x - tan đyy + đ = 0, cos” a, hoặc: sina, x-cosa,y+a sina, Một phương trình dạng chuẩn của Ø, là :

+Co§ Fe tk +ysin 7 +e Tes ye

Trang 36

332 Chương 2 Hình học afin Euciide trong mặt phẳng va trong

2.2.27 _ Trong hệ quy chiếu Descartes (nĩi chung là khơng trực giao cũng khơng chuẩn

hĩa) R= (^:45.ac} „ ta ký hiệu (x„„ y,) là các tọa độ của M„„ n & Đ Khi đố ta cĩ : X= Wo = Ox, =hy, = Oxy = Oy = 1 yay Ont et Hn) VneN 3 Ly ) Yuva = yn tnt $e

Các dây (x„);ew về (y„);e„ là những đấy truy hổi tuyến tính cĩ hệ tử khơng đổi cấp 3 Phương trình đặc trưng rỄ -sữ? +r+]) =0 với ẩn r € Ú, cĩ ba nghiệm đơn : - ~iy2 m=lury= = an Vậy tổn tại (đi a, 5), (Br, Br» Ø,) € C? sao cho : 2

Xu Haye! tar} tare

2100)

h 1 à 2

Vi lrl = irl = = <1, rj} ——30 va rf ——>0, 3 R 2 3 “mm nan x, ——»ø và a Hư 1„——8i-

Ta tinh ø, và Ø, nhờ các điểu kiện ban đầu, chú ý rằng r; và r, là nghiệm của phương trình 37 + 2r +150: a@taz+a3=0 |*l @ +427) $437 =1 |x2 | > 6a,=2> 0, = ‡ đi +ửzrỆ +aarÿ =0|x3 Ait B+ fy=0 [xl 1 By + Ban + yry=0 |x2 | = 68,=3 > B= ? By + Bath + Bsr} =1|x3 Như vay, x, >i v2 Yn ot „nên M,, 9M xác dịnh bởi : m0 m3 m A — Iứ>i— AM =~AB+-ÁC, 372 mm ¢ Nhận xát : M = 1Ì > SI: ry A

ð Trả lời : M„ ———>M, trong đĩ AM=2AB+2AC, >

2.2.28 Ký hiệu Ð = (BC) và, với mọi M thuộc Ð, W là v hình chiếu vuơng gĩc của 8# lên (C4), P là hình chiếu vuơng

gốc của N lên (AB) và Ở là hình chiếu vuơng gĩc của P lên „ 3 (BO), af; D > D MoQ@ Với mọi Äf,, M; thuộc Ø fa cĩ : NiNz=M\MycosC, PP, =N\N2 008A, O12) =F,P, cos 8

‘Tu 46: d(f(M,), f(a) =kd (MM) , vOi ky higu k= cos Acos BeosC

Vi ldl <1, nén fla anh xa co Theo định lý điểm bất động (Ð là mot kev dink chudn hữu

Trang 37

2.2.29 Ta lap luan phan ching : Giả thiết các điểm thuộc E khơng đều thẳng hàng

Tập hợp các độ đài của các dường cao các tam giác khơng bẹt được hình thành từ ba điểm

của E cĩ một phần tử nhỏ nhất Vậy tồn tại A, 8, C e E khong thẳng hang, sao cho đường

cao AH (ké tit A trong ABC) là đường cao cĩ độ dài nhỏ nhất trong các đường cao của các tam giác khơng bẹt hình thành từ ba điểm của Z

Trước tiên ta chú ý rằng # phải ở giữa 8 và C Thật

vậy, nếu #f (trên (#C)) nằm ngồi [BC], thì đường, ‘

cao BK (ké tis B trong ABC) sé thoa min BK < AH K

(xem thêm bài tập 2.2.5), mâu thuẫn

Theo giả thiết, tổn tại 2 € E sao cho 8, C, D thẳng HOB Cc

hang Vi H € [8C] và do các vải trị đối xứng của #

và Œ, ta cĩ thể giả thiết, chăng han, ring D và B déu

ở vẻ một bên đối với 1ƒ, 'Ta phân biệt hai trường hợp :

Đồ giữa B và H: ở giữa Ð và J/ :

Theo bài tập 2.2.5, dường cao ĐM (kẻ từ Theo bài tập 2.2.5, đường cao Ø8, (kẻ từ #

D wong ABD) thỏa nãn ĐM < AH, mâu trong ABĐ) thỏa mãn Bí, < A7, mâu thuẫn, thuẫn A Lb M, > D B HC

2.2.30 Neu 0, =0,, thi f= Roto,.@,+8, -

Ta giả thiết Ø, # O,, Tén tai hai dudny thing D,, D, \dn luot di qua O,, G2 sao cho

Roto, o, = Reffo,, )oRefp, va Roto, a, = Relp, oRetin,o, ), từđồ: f= Refp, o Refp, - Hơn nữa : Z((O,0,)Ð,) = -_ ] a <(0,0,}0,) Vậy : Z(D,,D,)= 2 TẾ tị,

7) Nếu 6, + 6, =0 [2m], thì Ð, // Ðy, và ƒ| — 2) Neu 6 + 6, x 0 [2m], thì Ð, và Ø; cất là phếp tịnh tiến theo vectơ 2#, trong đĩ nhau tại một điểm, ký hiệu là Ĩ, và ƒ=

đ thỏa mãn : Ð, = Tạ (Dị) va @LD, Roto,a, +02 +

Trang 38

334 Chương 2 Hinh hoc afin Euclide trong mặt phẳng và trong

khơng gian ba chiều $ Trả lời ) Nến Ở, = Ĩ,, thì /= Roto, 6,405 - 2) Néu 0, # On, ta ky higu D, và D, là các đường thẳng lần lượt di qua Ø, và O, sao cho : ⁄ (0,00, Đà = = LIr] và 2 40,02, Dị)

9 Nến ổ,+8,= 0 [2m], thì ƒ= Tạ; , trong đĩ Z là vectơ thỏa mãn: 2, =T,(D,) va 71D, + Nếu O, + A%0 [2m], thi f= Rotog, «9, , trong dĩ Ở là giao điểm cũa D, vA Dy 2.3.31 Theo vide khdo sát tích của hai phép phn chigu (2.2.2) Ref, © Rely = Tạ và Refs ø Ref, = Ty, vì Ref„ là đối hợp nên suy ra :

Rely = TgoRefy va Ref~=RefpoTz

2.3.32 Vi sy, sa 55 18 d6i higp, nén nếu ký hiệu (1) là đẳng thức đang xét thì ta cĩ : (1) 08,68; “in 66s, 1) Ta giả thiết Ð, /f D, Với ký hiệu Ú là veetơ thỏa mãn D, = 7; (2,) va LD, , ta cĩ 5,0, = Thy và Sy 082 =T_gg , tir dé (1) > Tyz 053 =383 0Tyg TT Q ~_ > oS Ta phan tích : #=Ÿ+#., wong dé He D3 va we D, Néu ky higu D’ = T_; (D3), thi theo bai tap 2.2 1:

Tag osy=Refyy va 54 0Tyg =Refy

TU AS #1) €> Ty of 5 083} = (64 0Tgg Jo Typ <> Tae eRe fy =RefyoTys

Vi veD', Refyy giao hốn với Tạy và Tog, dod6:

(1) Tag = Tay © -27 = 25-0 @ FLD, @ DD ?) Giả thiết Ø, # D; ; ký hiệu A la giao diém cia D, vAD,, vaca = Z (Dy D;) [a] Khi 46 (@ 06 8) 0.5; = Rolg rg VAS) 05,= Roty oq titdé :

(Q) & Roly 2g 08 =53 0ROt 4 20 - ® Đặc biệt, khi xét ảnh của A, va vi -20 50 [2x] :

(0) = Rota_2a (3 (4)) = 53(4)>5;(4)= A> Ae Ds, và như vậy Đụ, Dy, Dy déng quy

* Nguoc lai, gid sit D,, D>, D, déng quy tai mot diém A

Các ánh xạ

in f= Roly z„a$; và g= $30ROt4q théa man : f(A) = g(A) (= A) vA

Trang 39

2.2.33 + Rõ ràng là mọi phép đối xứng trượt là một phép phân đời hình của mật phẳng

ø Cho ƒ là một phép phản đời hình của mặt phẳng

Gid sh A € & (bat kỳ) Theo 1.4.2, Mệnh để 6, tổn tại P€ế; g: E> & la Anh xa atin

théa man : f= Tyog va g(A) = A

Vì g=f, nên ÿ là một phép đẳng cự nghịch của Z:,vậy ÿ =Ref;, trong đĩ 4 là một trục (của £; )

Ta ký hiệu 4 là trục của £› đi qua Á và được định phương vẻ định hướng bởi 4 Vậy #= Refx nên ƒ =TzoRefu si xE +iỡ., trong đồ ä € Awe A Ta phân tích ý =a Theo bài tập 2.2.31, néu ky higu D=Tg(4), thi la cé TgoRef,=Refp, va nhu vay : 3 joRefp , trong dS we D f 2.3.34 Vi We D, nén Ref; và Tạ giao hốn suy ra : rõ (Ref,.o Refz) sTz Khi ký hiệu ÿ là vectư thỏa mãn Ø'=T;(Ð) và ÿ.LØ, tac6: Refpo Rety = „ SUYTA: 9 Trả lời : ses=Tz,ag,s, trong đố Ÿ là vectơ thỏa mãn : Ø'=T;(0) va VLD 2.3.35 Vi cdc tam giác OAB va OA’B’ déng dang, nén 22 oe, tức là: A OB’.AB = OB.A’B’ Mật khác, @8` < ĨA, từ đĩ :

OB2+AB2 < OA2 + AB? =OB2 <OB?+A'B9,

và do vậy : (OE+AB)? =(OH?+AB?)+20B.AB < (OB? +A'B? )+20B.A' B =(OB+A'B)2, 2.2.36 Ký hiệu Aƒ là trung điểm cia AA’ Vi #Z và / là các trung điểm theo thứ tự của AA' và BÀ", nên MỸ =2 AB Tương tự, MỸ 24a

Khi ký hiệu 1a phép déng dang tam Ở biến A thành Á' và ở thành 8” (xem các giả thiết) ` Mỹ =2S(AW)= š($à) = SMD) Ký hiệu S° là phép đồng dạng thuận tâm Mf va sao cho S" ¡ khi đĩ ta cổ / = 8°) Mặt khác, vì các phép đồng đạng thuận bảo tồn các gĩc, nên #' = Sự?)

Từ đĩ suy ra rằng các tam giác OH" và A{l/ đồng dạng thuận Đặc biệt : ⁄ 0U, MD = ⁄ HH’ OF) (2),

Trang 40

zl-336 Chương 2 Hình học afin Euclide trong mặt phẳng va trong

2.2.37 - Rõ ràng là các ánh xạ đang xét là những phép đồng dạng nghịch

Đảo lại, giả sử ƒ là một phép đồng dạng nghịch Tổn tại & R7 sao cho:

Nếu ƒ là một phản-đời hình, thì (xem bài tập 2.2.33), ƒ là một phép đối xứng-trượt Giá thiết ƒ khơng phải là một phếp phản dời hình, tức là # z 1

Xét B e£;, bất kỳ ; ký hiệu g = A, el:

Khi d6 g t& mOt phép phan dai hinh ; tén tai một đường thẳng Ð, và một veclơ #e Đị

sáo cho #=TạsRefa, , suy ra: /= Hạng =(Hạ xoT;}Refp,

Theo 1.42 2), Mệnh để - Định nghĩa 3, Hạ øT;

là một phép vị tự Hẹz , nên f= He yo Ref „ Ta ching 18 rang t6n tai A € & và một đường thẳng Ø2 song song với D, sao cho :

A 6Ð và Hạ,o Refp, =HA¿oRefo 'Ta chọn một hệ q.c.Lc+t (Ở; sao cho Ở = € và ỉ e /)¡ ; khi đồ Ð, cĩ một phương trình Descafes : V = (uc RB) Voi M(x y 2), ta ky higu M, = Refp (M) va M’ = Ho,(M,) Kni đĩ, M,G%, 2g - 9), M (kx, k2 - y)) Ta tim 4 € IB sao cho : A(O, 4) va D ly = 4, Ta cé: Ref Has

M(x,y) > (x2Ã~ y) Bà (#x, k(2Â— y~Ä)+4)

hợp Ta cũng cĩ thể giải bài tốn bằng cách “chuyển sang số phức” 2.3.38 Sir dung bai tap 2.3.37:

s Nếu ƒ =TpeRefa, trong đố #€ D, thi, Tz va Ref, giao hốn : ƒ? =(T;)2s(Refp } = Ty + Ntu f= H,yRefp, A € D, ke RY, thì, Hạ, và Refz giao hốn : Ff? =(H 44) oRefp = Haye: "Ta cũng cĩ thể giải bài tốn bằng "chuyển sang số phức” 2.3.38 Ta cĩ thể chọn một hệ q.c.Lc.t (0 37,7) sao cho D = xx ; Ð" nhận một PTD : X= ay, ae R Khi kg higu M(x, y), ta c6 P(x, 0), r6i sau khí tính tốn : p{ axty) axtry asl “atsif và t(»- G9, g2+l Œ-ø)\ a?+1 Kỹ hiệu @ “Ỷ— Arctana = Z(D, D') Tà dược Í*=€osƯ(xeosØ+ ysin 0)

^ dược {rc sosØ(x sìn Ø — ycosØ) |, và như vậy :

ƒ=H@„„s¿oRef¿, trong đĩ 4 là dường thẳng di qua Ĩ và cĩ gốc cực : (4 là một đường phân giác của (Ð, Ð”))

9 Trả lời : ƒ là một phép đồng dạng nghịch, ƒ = Ho cos RE fy -

b) Xem thêm bài tập 2.2.38,

Vì ƒ=Ho cose Va Refs giao hốn : ƒ? = (Ho cosa )70(Re £4)? =Hy costa

Định dạng
Số trang	100
Dung lượng	9,53 MB