Chỉ dẫn và trả lời cỏc bài tập chương 4 4.1 a) Defƒ) = ] - s; 0] L2] 1; +s[, ƒ khả vi trờn Def() và ; a Yz eDef(, r= SE) + : = thy 3iaofl ˆ
Tai : +00, fix) = sejagdso(L) vay nhận đường thẳng D cú phương trỡnh yoxed ” a Sal 1
làm tiệm cận, và tại lõn cận của +z, C ở trờn
é.Tương tự, C nhận đường thẳng DY: y = ~x 3
Trang 2398 Chương4 Đường cong trờn mặt phẳng
€ nhận đường thẳng 8, cú phương trỡnh y
+ = x làm đường tiệm cận và tại lõn cận +mo,
€ ở phớa trờn của 8,, 8
C cú hai điểm uốn, với toa độ
3
2° 7)
ot
â) Việc khảo sỏt sự biến thiờn của x Lơ> e°-]-x
chứng tổ rằng : Defƒ/) = ẽW*; f kha vi ten Re c
VÀ: Va eR, fix
Wri ee trong 46 g(x) = (2 - xe" - (2 +x)
Anh xa g thude lop Coren R va Ve eo RQ = (1 - xe" 1, 9") = -xe), từ đú cú bằng biến thiờn của ứ, suy ra bảng biến thiờn của ƒ; x ~00 0 +00 Bray + a - oO | g(a) +o a) ‘ 2 2 Fx) - “5 -3 OO fee NN, TN 2 Vie'=l+x+ + 008) (khi x tiến đến 0), nờn ta cổ thể thỏc triển liờn tục ƒ tại 0 bằng cỏch đật /(0) = $ ƒ@)-/0) ; 2 Chứng minh rằng: xo 3 Ta cú thể, một cỏch tổng quỏt hơn, chứng
minh rang ƒ thuộc lớp Cđ trờn R, vỡ ƒthuộc
lớp CỞ trờn R* và nhận một khai triển
thành chuỗi nguyờn tại 0
Tai -00, fx) = - xt 1-4) +o(2) vay C nhận đường thẳng é: y = -x + | lam tigm can, va x x
Trang 4400 Chương 4 _ Đường cong trờn mặt phẳng ƒ là Z- tuần hoàn : jo 1 À: |z,# #-x|- vo - và: xe af Ấ(Đ x}=/â RE Ta ca were oc] , ƒŒx)=ertnr) ae) ae trong d6: g: JO; 1 > R _ - =! miện zine ' Vay: f (0) =feog” Gan) + tan?x) fa a: gta 2U42) ve | Và: a gữ) q-r22 KO = ha) — ——L—ơ r>tanx Le? 1 ary
trong Bae đồ : #() = Ine+ MD tee + A) = ? wee?
Khảo sỏt tại 0*: Ta cú thể thỏc triển en y tuc f tai Of bang đật g(0) = 0 và ƒ cũng vậy ' 7
tại 0* bằng dat f(0) = 1 7 Hơn nữa: ƒ'(x) —y — TC
x0" r1 <=
T— Khảo sỏt tại ẽ: Ta cú thể thỏc triển liờn e i
Trang 5Chỉ dẫn và trả lời 401 x | -c0 ~In2 0 x + #œ) + 90 = -wl]-0 - 0 + Gn 2)? 0 +00 fla a NNNG ⁄ Ta cú thể thỏc triển liờn tục f tai 0 bang dat (0) = 0, hơn nữa SO) 5-2 xao Tai too: fix) = x? + o(1) (ỡn2}#2 + -in2 oN Tử #) Việc khảo sỏt sự biến thiờn của x r> x - 1 + 2e chứng tổ : Vy cỳ x - | + 2e” > l2 > 0, Vậy Def(/) = EL; ƒ khả vi trờn và: - Vxreù,ƒƑ œ)= 7œ) NY tnqn 2} Tại -9 : /tx) = -# + In2 + = + ole’)
Vay C cú tiệm cận là ỉ: y = ‹# + èn2, và tại lõn cận -s, C ở phớa dưới ỉ
Tại +: /'(x) ~ Inx, vậy cú một nhỏnh x-aHe Vụ lận parabụlic với phương tiệm cận x'x Cú
Trang 7Chỉ dẫn và trả lời 403
4.1.2 Với mọi x thuộc R, ta cú:
= Inf 242 ex 44-8 ”} atb a-b 2x
Trang 8404 Chuong 4 Đường cong trờn mặt phẳng bye <= —————- ứŒ-00+é) se yw „ n= a 2-1)
â Khao sat tai 0:
201-1) > #œ, vậy C cú một nhỏnh parabụlic với phương tự? + sot tiệm cận y'v + Khảo sỏt tại 1: Bằng phộp đổi biến ứ = ¿ - I =232M t2 yw yg =1+-l2 — „3 +o(w2 x ae Tht (=u+aG2)=1+ 22 = Tu +o(ổ), 1+2 we 2 2 „23 3 0)=2—+2-=l-——#——=1—w2(1—20+ứ(0))= L— 82 +09 +ử(w`) „ +2 +2 1+2u+wˆ2 ‹ “)
vay tacộ: KHè Đ ơ[‡H-) B93} (i)
Trang 9Chỉ dẫn và trả lời 405
â) â xé = xŒ) và yCé = -y@) ; vay ta cho Ê biến thiờn trong [O; +œƒ[-| | }, sau đú sẽ thực
Trang 10406 Chương 4 Đường cong trờn mat phẳng de x= eat „ ƠO=
ô Cỏc đường thẳng cú phương trỡnh x =i và y=0 là tiệm cận với C
+ Khảo sỏt tại #â: x0) ~ + và yợ) ~ ~(tưđú TÚ) c> - rồi: 1900 post +) ym
#I40]Ê2-Al):
Vậy C nhận đường thẳng cú phương trỡnh y = -x - 2 làm tiệm cận và, khi  —ằ+e (tương:
Trang 11Chỉ dẫn và trả lời Sau đú: 2x =x(u)t+a(v) ằ _ (2 +u+1Xv+D3+(@2 +v+IXu+ ” (u+IXv+]) _ SP +(S? -2P)+2P +2542 _ _ P+S+1 37 2y=y(u)+ Mv) _ (2 ~1X9~2)+(92 — Yu -2) = ứĂ-2v-2 —ĐP—2(Đ2—2P)—Đ+4_ TT P-234+4 7 ey fale | os ơ3 -2 3 ne oe & Hoặc bằng cỏch sử dụng: 3u2 =ư +l:
Như vậy, C cú một điểm kộp, cú tọa độ (4 ` -4)
2) Thực hiện một phộp đổi hệ quy chiếu, trong đú &'=(ỉ;1,J7)c6 được từ ZỞ bảng phộp
quay tõm â va gúc quay + Cỏc tọa độ (X, Y) trong #” của một điểm M, với cỏc tọa độ LL,
v2
tong R: X=V2e4, Ơ=V2(2 42) Nhu vay, C = C, U Cp trong đố Cụ, C¿ là cỏc
đường cong biểu thị cỏc hàm số Y,, Y, xỏc định bai: 2 3 c1 TL -3 3 1 1 W.œ)=42| 2 8X4+2 4X2 |,Y;(X)=v42|—-2 8X4+2 4X? |, (, y) trong , được cho bởi ; X=Tcưtyh Y=-E(-x), từ đú một BDTS của C 2 2 ô YƑQ) >0, VŒ triệt tiờu và đổi dấu với X = œ, trong đú @ =3-4.22 =0,279 và Ơ,(@)=0,212 xịỊo0 x lo a +20 vị | se In 0“ a 220 j
nhận hai nhỏnh parabụlic, cú phương tiệm cận X'X
Trang 13Chỉ dẫn và trả lời 409 a) 8x) = 3P + 4P = ấQ + 40, y `0) = 5+ 6 = (5 + 6n) 5 ~Đ - x-Đ]*-Š-=-096 —] Ta ~~, af 3); 2ó 7-0105, 3) Be [-2)=S=-00 ơ— o-8) 3=-0007 +00 ( 3) p77 0059 ~3).- 2 =_ 7 \ \ \ Khảo sỏt tại too: 22 2 _y +00 vay Oise Geo € nhận một nhỏnh parabụlic cú phương tiệm cận yy
Khảo sỏt tại O : Ta cú ngay cỏc khai triển hữu han tại ệ của x và y, và từ đố : ac SS) (8)? 0l? Như vậy, Vị =Vạ =0, #.=z(0)*|o): Vạ cộng tuyến với Vạ, (V5.Ơ4) độc lập, suy ra +
+g = 5 Ă vậy đõy là một điểm uốn, với tiếp tuyến được định phương bởi V2
Gốc là một điểm kộp của C, ứng với / = -1, Ê =9
ủ) ô x lẻ và y chấn; vậy ta sẽ cho r biến thiờn trong [0 ; + |, rồi thực hiện một phộp đối
xứng qua y’y
ex) = 1-37, yw = 21 - 27)
Trang 14410 Chương 4 Đường cong trờn mặt phẳng
ô Khảo sỏt tại +zo : Ba > $00, vậy C cú
một nhỏnh parabðlic với phương tiệm cận y'y ta
đ ệ là điểm bội của C, ứng với Ă = -\, 0, I â Phương trỡnh Descarfes : Ta khử /, chỳ ý rằng y = (x), và được (nếu x #0): từ đố suy ra một phương trỡnh Descartes của Œ- deeyty 0 mm" Dexa coe ƠO Qt
Trang 15Chỉ dẫn và trả lời Dezr0=-L+ Lấ yeni r |J~2 ~1 a 1 2 too x + 0 - = - 0 + | I +00 T +oo x a NL ns Lo >> +90 HS -5/2 DI + 0 - - 0 + +
ô Khảo sỏt tại 0 : so" YO xO ae INQ +1) =-In2+-5 +00 vay C nhan D: y =x - n2 làm tiệm cận va, khi  => 0* (tương ứng :0- ) C nằm trờn (tương ứng : dưới) ỉ
+ Khảo sat tai to: 20 + +evậyC xŒ)t-xee
Trang 16412 Chương4 Đường cong trờn mặt phẳng
Œ) x
ô Khảo sỏt tại -: Xử)” tel vậy khi thỏc triển C tại ể,tiếp tuyến là đường phõn giỏc thứ nhất Hơn nữa :
WO 20) =| Bo )se=te* (et 1x), do đố, khi ¿ tiến đến -z, yữ) > xứ), và C nằm
trờn tiếp tuyến của nú y y(t) -2 + Khảo sỏt tại +: ““ể=e Ă7 -> 1, rồi: xứ) Loto aod 3(}xŒ) =ef(6 t~e1) 2e!
=~2e'shd ~ ~2°” -ý ~e Proto ff pote 1
vay C cú một nhỏnh parabụlic cú phương tiệm NO
cận là đường phõn giỏc thứ nhất # 6o“ # 'Trờn hỡnh vẽ, hệ quy chiếu khụng trực chuẩn húa $ â tel +h 2-1 ôxứ)= <U, y@) = - De x= ep? xO 2 + ơ 0 1 +00 y| + Oo = - Oo +4
â Khao sat tai -co:
WO) _Prlet-1 _, OQ” 7 type Œ +Ùe! trai @ ie 1 y và y)+xƒ)+I= Tom += vay C nhan dutng thang D wm phuong trinh y = -x-1 Cc Jam tiệm cận và khi tiến đến -, C nằm dưới D, D 2Ú) _/2 +1e!'-I 2 0:
đ Khảo sỏt tại “OQ” DTH, to 1, do đố sau khi tớnh một khai triển hữu hạn, ta cú: {f2 +1Xe!=1)—ứ+1 01 x ()—xữ)= —————————— ——— y)~xứ) te =) 3 =-2+121+0(0;
vậy Œ nhận đường thẳng ỉ' cú phương trỡnh
yex—3 lam tiệm cận và, khớ r tiến đến 0* (tương 1 N
Trang 17Chỉ dẫn và lời giải tay tet "cac 2 +13 Det mye x9 nề” yO Wap? + | -œ ơ +00 x — ~ 9 +00 +00 x NN N a ~œ +00 +00 , LO a — 0 as] yf + a
* Khảo sỏt tại -: ML y Sy Lưới y()+x()=ef — e-L và xứ) to tel
MOF x()-et sel el selettl 1) ~ ergy:
1
vậy C nhận đường thẳng cú phương trỡnh y = -x + e* làm tiệm cận và khi z tiến đến -I*
(tương ứng : -{ˆ) , C ở trờn (tương ứng : dưới) é
ô Khảo sỏt tại +œ : eet > +00, vay C nan mot nhanh parabolic c6 phương XỨ) em
tiệm cận y'y
+ Khảo sỏt tal -co : Ta thỏc triển C tại 0, Hơn nữa 2 0)
nhận một tiếp tuyến song song với y'y tại 0, và đố chớnh là y'y, + Điểm uốn : Giải phương trỡnh
Trang 18414 Chuong 4 - Đường cong trờn mặt phẳng
n) đ x lễ và y chấn, ta sẽ cho ứ biến thiờn trong ]0; +œ(, rồi thực hiện phộp đối xứng qua yy, Ă stư — chứ tcht—shi ô` xự)= ằ ƠO= ? e 'Việc khảo sỏt su bith thien cia w: 19 shứ - chứ, v; > ? chư - sh là để đàng ; #`() = r chứ > 0, VO =F cht > 0 t |0 ô +00 + |9 +00 “ + Vv + a = 1,200, + +oo | x(a) ~ 1,509, a om Ơ _ 3Á) 1,258 ao 0 + 0 a +00 x — 9 + TT ằ +00 -+oo
+ Khảo sỏt tại +e Ă2ệ =tự -> Liổi y()-xợ)<-E -y 0; Vậy Ở nhận đường xứ) mm Fe
thẳng, é cú phương trỡnh y = x làm tiệm cận, và khi Ă tiến đến +œ, C ở dưới é
2) đ x và y cú chủ kỳ là 2z ; vậy ta sẽ được cả đường cong bằng cỏch cho / biến thiờn
Trang 19Chỉ dẫn và lời giải 415 ô Khảo sỏt tại 0: Bằng cỏch tớnh cỏc khai triển hữu hạn, ta cú : y + Từ đú:W2=2l| 7 4) 72, oe
vay p =2, q = 3; day 1a một điểm lựi loại một,
vGi tiộp tuy€n dinti phuong bội V2
p) đ x và y đều 2z - tuần hoàn; ta sẽ được toàn bộ đường cong C bằng cỏch cho f biến thiền
trong một khoảng cú độ dài 2Z
e xCé = -xứ), y(ỉ = -y(9, ta sẽ cho Ê biến thiờn trong [O ; x] sau đồ thực hiện phộp dối xứng qua ể
ô xŒÊ- P) = -xŒ), Vẫz - 0 = y), ta sẽ cho ù biến thiờn trong la, sau đồ thực hiện
Trang 20416 Chương4 Đường cong trờn mặt phẳng
se Điểm kộp :
“Trờn một bản vẽ phỏc, ta thấy xuất hiện một điểm kộp trong gúc phần tư thứ nhất, ứng voi
0<r<2 và 3< <—Z: Trong điều kiện đú, ta cố; ơ Sind * Sin2w ¿„ {sin 2e= sin2u 11 sin 31 = sin 3u sin3t sin 3u Như vay, â c6 mot diộm kộp, v6i toa dộ là (2,V2), cing v6i cộc didn d6i xứng của nú qua yy, O, xx,
4) * x và y cú chủ kỳ là 2z ; vậy ta sẽ cho / biến thiờn trong một khoảng cú độ dài là 2z
để cú toàn đường cong C
Trang 21nh ohn va 181 gids ant
Khả z 3U
# Kindo sit tal 27% x
i-sint-sintcost _ 1-cosu -cosusinu f)-x)= = „)-+0) cost SHHW 2 cate to(u?) tebe 5 wrote) hà vay C nhận đường thẳng é cú phương trỡnh y = x - làm tiệm cận và khi ¿ tiến đến {tương ứng : }, C ở phớa trờn (tương ứng : dưới) é + Khảo sỏt tại z: Vi œ_SHƯ sing l1 1+cos3/ I+COSf |~—cosf+cos2r =tnÊ——_1 _ 400, 2 | -cost +co: tone
nờn € cú một điểm tại đú tiếp tuyến song, song, với y`y; sau Khi thực hiện phộp đối xứng, điểm
Trang 22418 Chương4 Đường cong trờn mặt phẳng
ô Khảo sỏt tại -4: Bằng phộp dBi bien w=r +3 „ ta được: 4010) 1 Š y a 4 38443242 2 : (14gu+a) 3612207 tow), 2w 32u Pe ' uts =-32u+192w2 +ứ(w2), từ đú, bằng cỏch lấy tớch phõn: axl -1)44,2 +323 3 x= 2 +4 tiệm +ử(8)), x2=3(-‡)- 1612 + 643 + 0(u3) — (41/8) ~ (32) (% và:W=2| 5 |=| 5 | wạ=3|75|=|25 | -16 -32 64 384 Ở đõy p = 2, q = 3, vậy đú là một điểm lựi loại 1 với tiếp tuyến được định phương bởi W, Trờn hỡnh vẽ sơ lược, hệ quy chiếu khụng trực chuẩn
4.1.4 —— Phương trỡnh Descaries của tiếp tuyến - „5 ⁄ v6i C tai A(O la mx - y - ấ =0; phương trỡnh
Descartes của phỏp tuyến tại Blu): x + uy - Gi? + 2u) = 0 Hai đường thẳng này trựng nhau khi và chỉ khi : SN 2 Ley = But +2u4 ý t pT ?| # 1Z0,w#0,
â Trả lời : Cú hai và chỉ hai đường thẳng thớch hợp và chỳng đối xứng nhau qua x`z Một trong,
chỳng nối 4 (6,42) ứng với tham số ¿=2 và
Trang 23Chỉ dẫn và lời giải 418
4.1.8 Ta chọn hệ quy chiếu trực chuẩn (4;7,7) sao cho khi ký hiệu # (> 0) là bỏn kớnh của C, thỡ ỉ sẽ cú tọa độ (-R,ỉ), Ký hiệu ¿ là hệ số gúc của (ÁP) và (X, V) là tọa độ của P ven yo 2k cỏc ‘ 142 a6: Te oer eo Suyraty | oR 1+2 = 2 Vậy : OF ee 28s) ff (1-12.28) va mot PTD của đường vuụng gốc tại O v6i + (GP): q-œ+ R) + 20 =0 Ta cú tọa độ (x, y) của M bằng cỏch giải hệ phương trỡnh : y=x ° (—??Xx+R)+2iy=0 9 Trả lời : Quỹ tớch phải tỡm là đường strụphụft thẳng (xem 4.1.7, 2)) cú BDTS là :
4.16 Ta chọn một hệ quy chiếu trực chuẩn
(O7, ƒ) sao cho A(R, 0) trong đú # > 0 ]à bỏn kớnh
của C
Tọa độ của M là : (K cosỉ, Rsin6), Oe R —~ Cho Ơ rang (OH) 1a dutng phan gid cha AOM và (MIF) 11 y'y, ta suy ra tọa độ của Jj:
( cosổ, R cosỉ tan ằ
Khi kỹ hiệu = tan, tà cú BDTS của quỹ tớch phải tỡm 9 Trả lời : Quỹ tớch phải tỡm là strụphụit thẳng, (xem 4.1.7.2) cú BDTS là: 4.1.7 Ta chọn (sai khỏc một hệ tử nhõn > 0 cố định) một hệ quy chiếu trực chuẩn (G:ù,/) sao cho #7 6 PID : xy = 1 “Tọa độ của M € HA (4) eR
Trang 24420 Chương4 Đường cong trờn mặt phẳng *x và y lễ: 43 =, 49 =x) $ Trả lỡi : Quỹ tớch phải tỡm cú BDTS: = Tựa ae yt, re Rt, * xứ)= 41.8 Giả sửM lệ ỡ là điểm chạy của C Tiếp tuyến với C tại được định phương 2
bởi ( ) › suy ra PTD của phỏp tuyến với € tai M: AG -E)+o ~0=0 vay P{ #4 po a gots: ty laa te 3> if Vị at 3p
và tọa độ trung điểm 7 của PO là : olf -1|-ˆ :-3(6 +} v4 Bred) Ta cú PTD của quỹ tớch phải tỡm bảng cỏch khử ứ: py? = 4x2 2p 2 te — TH y Ye y=2|-=+!| ) 41,9 Ta chọn một hệ quy chiếu trực chuẩn (O;, $ Trả lời : Quỹ tớch phải tỡm cú BDTS: x=
„J) trong đú khi ký hiệu a = OBI
thỡ ỉ là rung điểm của A8 và i=top Khi đú: A(-a, 0), B(a, 0), M(acost, asint), + € R: do tớnh đối xứng, và cũng để đơn giản hoỏ việc khảo sỏt, ta cú thộ giả thiết: ( € [o Ta lập một PTD của (8M) : “-aoo Z|9 xmrxd-esnySador~o -asing t al t â xcos—+ysin—-acos—=0, 2 2 2
Ta cling c6 mOt PTD tuong ty cho (AM): xsin 5 yoos$ +asinÊ=0
Điểm / là tõm của đường trũn nội tiếp (AB) khi và chỉ khi:
- xc08 A+ 5 + ysin > ~ aoos5 ysinL~ acost
Trang 25Chỉ dẫn và lời giải 421 3 N 2 9 Trả lời : Quỹ tớch phỏi tỡm cú PTD y=+—_# x? aty2a? ~ x? ` 4.110 Trong một hệ quy chiếu rực chuẩn được , chọn một cỏch thớch hợp Z= (ể;ù,7), # cổ tọa độ
(acos6, bsinđ), 6 € R Tọa độ của cỏc tiờu diộm F, F’ la: P(e, 0), F'(-c, 0), trong đú e = V23 =b2 Từ đú suy
Ta cỏc tọa độ của trực tõm #7 của tam giỏc MƑ/° —\ 5 OF} 9 Trả lời : Quỹ tớch của 77 là dường cong được biểu E
điễn tham số bởi:
( = acos? 42 sin2ỉ— b3
bsin€ 44.11 Ky hiew (rt) là điểm chạy của €, một vectơ ctủ phương của tiến tuyến 7 tại Aƒ với € là @2, -I) Ký
hiệu /f(x, y) là hỡnh chiếu vuụng gúc 4 M của ỉ lờn 7, ta cố: {om L7 wer Fy) 0 y= + 9 Trả lời : Quỹ tớch phải tỡm, gọi là dường (hủy tỳc của ể đối với 01, là đường lemniscat (xen: 4.1.7) cú BDTS : 21 -.20 1+?" 1+ 4.1.12 a) â Truce tiờn ta chỳ ý rằng Ca suy từ Cụ một cỏch để dang Với mọi r thuộc I, tạ cú: x= +7)—m YẠŒ +)
Vậy ta chuyển từ Cạ sang C¿ bằng phộp tịnh tiến theo veclơ <i
Bõy giờ ta giả thiết  > 0
X-4()=f + ÂsỈn/ =f — sinŒ +)
X-AŒ)=l+Âcos, Acostt +2
đTacổ: WreR, xt+2m=x0)+22 va yứ + 2z) = y0),
Vay ta chuyển từ M4) sang Mƒ(/ + 22) bằng phộp tịnh tiến theo veclơ 2Zù Ta cho ớ biến
thiờn trong một khoảng cú độ dài 2z, rồi thực hiện cỏc phếp tịnh tiến theo cỏc vectơ
2m1 vn €
eTacộ: Wr eR, xf = 3€) và yC/) = yV); Vậy ta sẽ cho / biến thiờn trong |0; 2], rồi thực hiện phộp đối xứng qua y`y,
Trang 27Chỉ dẫn và trả lời 423
đ) Ta tớnh : x'y`” - x''y' = A(cosr - 3), biểu thức này triệt tiờu và đổi dấu với trị t sao cho cosr = Â, nếu 0 < À <1 Vậy cú điểm uốn khớ và chỉ khi 0 < 4 < 1, và cỏc điểm đú ứng với
cỏc trị của Ê sao cho cosf = 2 Suy ra một BDTS của quỹ tớch "của cỏc điểm uốn cla Cx: x=!~costsint 7 y=1~cos2r 2 Ta chỳ ý rằng khi ký hiệu = 21, ta cú: , 1 : = 3 (Hsin) =—(1-cosu) 3! 1 S1
9 Trả lời : 7 là đường cyclụif, vị tự của Cụ trong phộp vị tự tõm ỉ và tỷ số ỹ (thiếu cỏc
điểm lựi và cỏc đỉnh của nú) 2 „2 ep tor om yw 1 2 + 2 1 41.13 @( <ớ<4) đồng chủ) ô|? 5 om Ng 3 +Ơ3 x3 ys Ul ba +94 x4 ya I pt oe mt y2 92 vị 1 bs vi yy A 2 bớ y2 %4 4 bid yok yy 4° 22 eobiyt vixi vrằa|=0 4 2 2 bird y3-Ơ8 ra 3 2, 2 3 A+VYat Mya tye NtYs 2 3 li tyiya +uyi tyi và tựa 1è=0 Â TấN TYYẾ tI Ia tI I vỉ -yi + —32J94 +ỚI TY x 0 bộ -y tOỆ —J2)W4 ty T wh Is
bŸ +yyyy ty tụn ty, vyi DỆ +yaya tyỶ +(a +yjy +) 1
=f 98 +04 ~ eds +01 ~ y;)y =0
Trang 28424 Chương4 Đường cong trờn mặt phẳng
4.1.14 2) FỢ) là một đoạn của đường strụphụit thẳng (xem 4.1.7)
) đ Theo định nghĩa, f : 7 => F() là toàn ỏnh
Trang 29Chiddn va tra lai 425 b) a) Xột một đường thang D: ax + by +e = 0 Phương trỡnh theo của cỏc điểm thube DC la: ax() + byữ) + c = 0 â -ọf + (4 - c} + ct + b=0, bậc 4 đối với r Muốn cho Ä@), 1 < ớ <4 là bốn điểm thuộc ỉ2 /ơ C, điều kiện cần và đủ là: ỉĂ =0, ơa= Khử (4 6, c) ta sẽ cú ĐKCĐ phải tỡm, 9 Trả lời : ứ, = 0 và ứy = ỉ; + 1,
B) Một đường thẳng tiếp xỳc kộp với C khi và chỉ khi nú cất C- tại bốn điểm A/()
1 Sĩ S4 sao cho ớ, = t; và f, = r¿ Ký hiệu Š = fĂ + ty, P = rực, tà cú ;
og, = 25, oy = 9 + OP, o, = 28P, as P
Từ đú : {sai khỏc về thứ tự)
$ Trả lời : C cú một và chỉ một tiếp tuyến kộp, nối cỏc điểm ứng với tham: số
soa ——=.tức là cú tọa độ fon sa +0|a|-ẾP hay cu) 1 2 fy 2° 2 â) ở) (M,@), 1 <Ê < 3 thẳng hang) > ty, Äf/(0), 1 < ý < 4 thẳng hàng) a =0 fị+a=0 2} Sty, =1, đ =đa +Í T3 47g S72 +71 +1 2 7g - 7g) = 02-77 +1 â Tra Idi: 4-454 77-m-1=0 5 h B) Cỏc điểm uốn ứng với / sao cho cỏc điểm ##,(0) fị = ớ; C6: rị = 3t, ty = 3, ty = Í, Tụi: {; = thẳng hàng ; khi đố ta Ty ô f8 + TỔ Ÿ {1 =0 œ -8P +6ấ -1=0 Bàng cỏch khảo sỏt sự biến thiờn của hầm, ta thấy ràng P: 1 87" - oF + 1 cú một và chỉ một khụng điểm thực œ = -0,3388 9 Trả lời : C c6 một và chỉ một điểm uốn /, ứng với Ă = -0.3388, và cú tọa độ x ~ -0/224, y = -2,205 4.4.16 a) Xem4.1.7, Vidu 3)
%) Cỏc điểm Mứ) (1 < ớ < 4) đồng chu hoặc thẳng hàng khi và chỉ khi tổn tại (A, B,C, D)
Trang 30426 Chương4 Đường cong trờn mặt phẳng â Trả lời : ứ; =0 và ứ = 1
B) Ba điểm M@) (1 < ớ < 3) thẳng hàng khi và chỉ khi tổn tại ớ„ TR sao cho bốn điển:
M(q) (1 $i $4) thang hang, Khir Â, trong (9; = 0, ơy = 1) bằng cỏch sử dụng cỏc hàm đối
xứng SƠ CẤP fị, 7ạ, 7¿ Của fị, fạ, fs
9 Trả lời : r, + m7, = 0
đ) Tõm #2 của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc OM,Œ,)M;(2) được đặc trưng, bi 20 =
OM (t,) = QM, {t,), didu kign nay din dộn: Vie l2} 2x+2z2y-n =0, khi ký hiệu Œ, y) là tọa độ của (2 Chớmg mớnh rằng hệ phương trỡnh đú quy về: 4x+2(S?=2P)yơS =0 28y-1=0 trong d6 854+, P= hh Mat khỏc, bảng cỏch ấp dụng c) /) cho bộ ba ứ, f, 7) và Œ, f, ớ2), chứng mỡnh rằng ớ, và ứ; là nghiệm của phương trỡnh 2P? + (1+ f9 + 2 1+Â4 =0, với ấn œ từ đú $277, pe 2
9 Trả lời : Quỹ tớch phải tỡm là bộ phận của
Chứng với |¿| eo y2-V3 wiy2+v3; +4
Cụ thể hơn, tõm của đường trồn ngoại tiếp tan
giỏc OM,(,)M;(/2) là điểm đối xứng với A0) qua ể
e) Tiếp tuyến với C tai M(O di qua M,(4,) khi va chi khi tn tại #, € IR sao cho Œ, Ê, „ t)
thoả món điều kiện e) đ)
9 Trả lời : Phương trỡnh bậc 4 cú nghiệm là cỏc tham số ? ứng với cỏc điểm 8Z() của C
sao cho tiếp tuyến với C tại M,( đi qua Miứn) lỏt nể +22 +2t+ù =0
Chứng minh rằng cỏc hàm đối xứng sơ cấp của bốn nghiệm của phương trỡnh này thỏa món điểu kiện c) œ) Khụng thể hiện được trờn lược đồ vỡ hai trong cỏc nghiệm là số phức (khụng thực)
é Cỏch thứ nhất :
Ký hiệu (œ, đ) là toa độ của ⁄2, phương trỡnh của đường trồn tõm #2đi qua ỉ là :
x2 + y2 - Zax - 2fy = 0, Phương trỡnh theo  cha cỏc điểm thuộc 77x C 1À : 2ˆ - (+ 2ứ = 0 Phương trỡnh này cho một nghiện kộp khi và chỉ khi 1 - 16@#= 0 Cỏch thứ hai : Bằng phộp nghịch đảo cực ỉ và tỷ số 1, muốn cho đường trồn tõm Qa) va di gua ệ tiếp
xỳc với Œ, cần và đủ là đường thẳng cú phương,
Trang 32428 Chuong 4 Đường cong trờn mặt phẳng
4) VẽC
Vũng khuyờn ứng với ứ biến thiờn từ 0 đến 1 Ta thừa nhận ràng phộp tớnh diện tớch A van cũn hợp lệ khi cú mặt một tớch phõn trờn một khoảng bất kỳ của một hàm khả tớch -=-[ xk 1 2 =-[,0n1)đ(@r Inr+?)dr nas = -2),P ann? de— ae 3 FP dn) ae ô Heo, 2 1 Xột với (n, p) € ẹ xẹ: 1„„ =[ t" (Int)? dr Với p > 1 một phộp tớch phõn từng phõn, ở đõy là hợp lệ, sẽ cho ta:
tap= [anor] = |S panne ‘har=-—Po ty
Trang 33Chỉ dẫn và trả lời 429
4.2.1 2ứ cú chủ kỳ là 2z và lẻ ; vay ta khảo sỏt trờn [ỉ, z], rối lấy đối xứng qua y'y * 21 =2cos2ỉ+ cosỉ = 4cos”ỉ + cosỉ - 2, triệt tiờu và đổi đấu tại những số thực -936 và ỉ=Arccos— TC * 2(0)= sinỉ(2cosỉ +l) triệt tiờu tại 0 tự p(a)=1.760, p(B)=-0369
f) đ ứ là 6z - tuần hoàn; ta sẽ cho ỉ biến thiờn trong một khoảng cú độ đài 6z để thu
được cả đường cong,
* 2 lẻ Ă ta sẽ cho ỉ biến thiờn trong |0 ; 32] rồi thực hiện phộp đối xứng qua y`y
* 2Gz - 6) = p(; la sẽ cho ỉ biến thiờn trong | 0;-3# | để cú được đường cong (trước : ig khi lấy đối xứng) '(ỉ)=cos ỉ8 * 20) < 1e
â) đ ứ cú chu kỳ là 3z; vậy ta sẽ cho ỉ biến thiờn trong một khoảng cú độ đài 3z rồi thực hiện đối xứng qua O
ar], °
* 2 lễ: ta sẽ cho ỉ biến thiờn rong [o-%] rồi thực hiện phộp đối xứng qua y'y
#- = ứ(8}: ta sẽ cho ỉ biến thiờn trong [s#] tối lấy đối xứng qua dường
Trang 34430 Chuong 4 Đường cong trờn mat phẳng * ứ(0)= joo đ € cú cỏc điểm kộp, nằm trờn trục đối xứng của nú đối xứng qua xx 39 ` ” Lộ *ứ'0)= i Cd 3 z6) €os”ỉ(1 —sinỉ)2 z = Ltsind tsin20 va - +00 eos2 ỉ(1 ~ sin ỉ) a —œ â Khao sat lại —F-: Bằng phộp đổi biến =0 +Ễ, tạ c6: -# mm Z+9) —sin( -2 1 sin( Z+9) 2 2 -1(-#+eeo [is xaứ]s- cosy ttosp Y=psi(2+8)= sing =- +o(02) 2 Vậy C sẽ nhận đường thẳng é cú phương trỡnh Y = = làm tiệm cận, trong hệ quy chiếu — — —— ỳ +
(G;0X;0Y} xỏc định bởi Ox, OX) =F [27], va trong lõn cận của (-#) „€ nảm trờn ỉ trong hệ quy chiếu ấy
Trang 35Chỉ dẫn và trả lời 431
â đ/2 là 2z - tuần hoàn; ta sẽ cho ổ biến thiờn trong một khoảng cố độ dài 2z để cú được toàn bộ đường cong
* 2(z ~ 8) = p(8) ta sẽ cho ổ biến thiờn ton|~ cosd °sz)=
ô Khao sat tai 0:
Ơ0) = 2(6)sinỉ =I+sinỉ —s 1'; vậy Œ nhận ‡
ứ—o1 2
đường thẳng ỉ cú phương trỡnh y = 1 làm tiệm cận, và khớ ỉ ~ằ 0° (tương ứng : 0), C nằm trờn
(tương ứng : dưới) đường ỉ "`:
#9 *ứ là z- tuần hoàn; ta sẽ cho ỉ biến thiờn
trong [0; z|, sau đú lấy đối xứng qua ể 0 x đ ỉ{6)=I + tan? ỉ >0 *2(0)=0 =3,
â Khao sat tai = Bằng phộp
đổi biến p=0—F, ta co: Y(@)= (0 sin{ 0-2) =o(Z+9)sing 1 -cotang)sing =-cosg+sing =-ligt o et 2 a
Vậy C nhận làm tiệm cận dudng thang D o6 phuong tinh Ơ = -1 trong hệ quy chiếu trực chuẩn thuận (2;OX,OY) thỏa món
40.08) == (27) và khi 65 (tương img : a) c
Trang 36432 Chương 4 _ Đường cong trờn mặt phẳng
#) đ ứ là 4z - tũn hồn; ta số cú toàn bộ đường cong khi cho ỉ biến thiờn trong một khoảng cú độ dài 4z * ứ(ỉ + 2z) = -0(); ta sẽ cho ỉ biến thiờn trong một khoảng cú độ dài 2z, sau đú lấy đối xứng qua ỉ *đ ỉ(-ỉ) = -2(); ta sẽ cho ỉ biến thiờn trong {0 ; Z|, sau lấy đối xứng qua y`y +2(0)=0âSsinŠ =0<8=0 tới 0<ỉ<z) đ1~2c05ỉ<0 c9 co8ể= 2 C0 =E: (với 0<6<z) 2 2 ela a t - = sping phộp d6i bien y =0 - 4 và tớnh khai triển hữu hạn: 3 sinf 242 sing 1 668 4 sin? leing a @ 2 2.2 2.2 Y(ỉ)= ứ(0)sin| é8— fT H 1 ~eosứ+ V3 sinứ 3 Yo a9) ke +o?) 24 1 1 =>———————-=—~~t—~p+ứ(0) Vie+ 50? +010") 2j3 6
Vậy, C nhận đường thẳng é cú phương tinh Ơ=— làm tiệm cận trong hệ quy chiếu trực a3
chuẩn thuận (0:0%,07 aocho Ê(0x,0X) == [2a], va khi ỉ tiến đến Ấ~ (ương ứng:
a 3C nằm dưới (tương ứng: trờn) đường thẳng D
Trang 37Chỉ dẫn và trả lời 433 ủ) đứ là 2% - tuần hoàn; ta sẽ cú toàn bộ đường cong bằng cỏch cho ở biến thiờn trong một khoảng c6 độ đài 2z chẳng hạn [-z; Z] x 4 ? J1+⁄2 + 0 - -ml|[+s + ° ~ —mll+~ + 1+V2
ô Khảo sỏt tại ộ: Bang phộp dổi biến g = 0 _ sau khi tớnh toỏn ta được:
Y@)= pO)sin( 8 - z)- 32-203 ae s “ma 0+9)
2 3Ơ2 -2Ơ3
Vay C nhan làm tiệm cận đường thang D, c6 phuomg tinh Ơ, 302-23, tong hộ quy chiếu trực chuẩn thuận (O:0X1 ,OƠ 1) sao cho LOK OK 2% [2z] và khi ỉ tiến đến
đ— (tương ứng: = 3„C nằm Tờn (tương ứng: đưới) đường ỉ,„ õn cỏ ớ > 5 ô Khảo sỏt tại = : Bằng phộp đổi biến = ỉ~ = sau khi tớnh toỏn 1a được: + oly) 7 y + oly) ti=pnn(o-5P)„ Sấ ; Ye s2 = : 3 Vậy C nhận làm tiệm cận đường thẳng /2; cú phương trỡnh Y; ae 6 trong hệ quy
Trang 38434 Chương 4 Đường cong trờn mặt phẳng
é #@ là Z- tuõn hoàn ; ta sẽ cho ỉ biến thiờn trong lz =
ay chẳng hạn sau đồ lấy đối xứng qua ể + Khảo sỏt tại 4 : Bảng phộp đổi biến : =0 ~^ „ta được Y(ỉ)= 6)s(2~5} sul = 20) ttn( +0) _ U-tang) cos 2g sing ~2tang sing ~FUl- tng) cos2p 0089 >1~ứ*2)) ta =-—+—ứ@+o(ứ) 2†20+o(ứ)
Vậy C nhận lim tiệm cận đường thẳng é cú phương trỡnh Y =—- trong hệ quy chiếu trực
chuẩn (ỉ:OX,OY) sao cho ⁄ (Ox,ĐX) = 4 [2z] và khi ỉ tiến đến 7 đương ứng ; = ằ C nam & đưới (tương ứng: trờn) đường thẳng D
J * ứ là 4+ tũn hồn; ta cú cả đường cong C bằng cỏch cho ỉbiến thiờn trong một khoảng cố độ dài là 4z */2 chấn: ta số che ỉ biến thiờn trong [0; 2Z): rồi lấy đối xứng qua xx,
*/437- đ=-(ệ): ta sẽ cho ỉ biển thiờn trong [O: z] rồi lấy đối xứng qua yy Asin 9 ứ |0 x ^ (0-2752 | cost | ˆ * Khảo sỏt tại z : Ký liệu @= ỉ- z, ta cú; 1 T(ỉ = p(ểsin(0- ứ) _—_— Sing y ZyP —— 4 2 fF) 2 2 =-2cos2 200s =-2+Ê + 0(p2) 242" 2
Vay C cú một tiệm cận /, với phương ĩ â trinh Ơ = -2 trong hệ quy chiếu trực
chuẩn thuận (ỉ:OX:ểY) được xỏc đớnh
bởi Z(ễt,OÄ)= z|2z], và khớ ỉ tiến đến Ty y
Trang 39Chỉ dẫn và lời giải 435 4) đ ứ ]à 4Z- tuần hoàn ; ta sẽ được cả đường cong C bằng cỏch cho ỉ biến thiờn trong một khoảng cú độ đài 4z * ứ chắn ; ta sẽ cho đ biến thiờn trong [ 0:22], r6i lấy đối xứng qua x'x Lon? dein? ô(0= + 2> =—Lunđ #10 x ox l+cos2 2 2 4 pio ” - I2 p — 9 ~~, * Khao sat tai 22° : Ky hidu g = ỉ-2z, ta cố: Ơ(@)= p(@)sin(6 - 22)
=In| i+ saÍz + )) sing
=Inl 1—cos'? èsi inl 1-cos + ]sing
= (of Đ +ứ(ứ? ) @+(0))
~ 2pInlp| —y 0*,
gơn~ p0”
Vay C nhận z'+ làm tiệm cận, và khi ỉtiến đến 2 z~ , C nằm ở trờn +”x,
Trang 40436 Chuong4 Đường cong trờn mặt phẳng
m0 đ p lễ ; ta cho ỉ biến thiờn trong [O; +œ|, rồi lấy đối xứng qua y’y y ứ |0 +00
â 66 mot Ahdnh Kody ốc
Đường cong C duge goi 1a duộng xoay Ge Archimộde
n) â pchan : ta cho ỉ biến thiờn trong [O: +1, rồi lấy đối xứng qua x'x ứ |0 +00 ứ |0 + +00 ũ a 0 đ C cú một nhỏnh xoỏy ốc ỉ) đ ứ lẻ; ta cho ỉ biến thiờn trong ]0; +œ[, rồi lấy đối xứng qua y'y y 6 0 +00 1 2 =
* Khao sat tai 0°: ta co: yO) = p@)sing = sind =I -& +0162)