Tài liệu Tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình pptx

Chương 4. Các tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình Nguyễn Thủy Thanh Cơ sở lý thuyết hàm biến phức. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006. Tr 287-309. Từ khoá: Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Định lý Liouville, Hàm chỉnh hình, Chuỗi Taylor, Không điểm, Thác triển giải tích, Nguyên lý modun cực đại. Điểm bất thường cô lập, Tập hợp mờ, Nguyên lý acgumen. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Chu . o . ng 4 C´ac t´ınh chˆa ´ tco . ba ’ ncu ’ ah`am chı ’ nh h`ınh 4.1 C´ac kˆe ´ t qua ’ quan tro . ng nhˆa ´ tr´ut ra t`u . t´ıch phˆan Cauchy . 279 4.1.1 D - i . nh l´y gi´a tri . trungb`ınh 279 4.1.2 D - i . nhl´yLiouville .280 4.1.3 D - i . nh l´y Weierstrass vˆe ` chuˆo ˜ i h`am hˆo . itu . d ˆe ` u .284 4.1.4 T´ınh chˆa ´ tdi . aphu . o . ng cu ’ a h`am chı ’ nh h`ınh. Chuˆo ˜ i Taylor .288 4.1.5 C´ac quan diˆe ’ m kh´ac nhau trong viˆe . c xˆay du . . ng l´y thuyˆe ´ t h`am chı ’ nhh`ınh 305 4.2 T´ınh chˆa ´ t duy nhˆa ´ tcu ’ a h`am chı ’ nh h`ınh . . . . . 310 4.2.1 Khˆong d iˆe ’ m (0-diˆe ’ m) cu ’ a h`am chı ’ nh h`ınh . . . . . 310 4.2.2 T´ınh chˆa ´ t duy nhˆa ´ tcu ’ a h`am chı ’ nh h`ınh . . . . . . 313 4.2.3 Nguyˆen l´y th´ac triˆe ’ n gia ’ it´ıch 317 4.2.4 Nguyˆen l´y mˆod un cu . . cd a . i 320 4.3 D - iˆe ’ mbˆa ´ tthu . `o . ng cˆo lˆa . p 326 4.1. C´ac kˆe ´ t qua ’ quan tro . ng nhˆa ´ tr´ut ra t`u . t´ıch phˆan Cauchy 279 4.3.1 Chuˆo ˜ iLaurent 326 4.3.2 D - iˆe ’ mbˆa ´ tthu . `o . ng cˆo lˆa . pd o . n tri . .337 4.3.3 D´ang d iˆe . ucu ’ a h`am ta . idiˆe ’ m vˆo c`ung . . . . . . . . 348 4.3.4 Phˆan loa . i h`am chı ’ nhh`ınh 350 4.4 T´ınh bˆa ´ tbiˆe ´ ncu ’ atˆa . pho . . pmo . ’ 354 4.4.1 Nguyˆen l´y acgumen . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 4.4.2 D - i . nhl´yRouch´e 360 4.4.3 T´ınh bˆa ´ tbiˆe ´ ncu ’ atˆa . pho . . pmo . ’ .363 4.5 B`ai tˆa . p . 365 Trong chu . o . ng tru . ´o . c, ta d ˜ach´u . ng minh d i . nh l´y co . ba ’ ncu ’ al´y thuyˆe ´ t h`am chı ’ nh h`ınh - d i . nh l´y Cauchy. Di . nh l´y n`ay k´eo theo mˆo . t loa . thˆe . qua ’ quan tro . ng. D ˘a . cbiˆe . t l`a n´o cho ph´ep ta x´ac lˆa . pmˆo ´ i liˆen hˆe . nhˆa ´ tdi . nh gi˜u . a c´ac gi´a tri . cu ’ a h`am chı ’ nh h`ınh ta . ic´acd iˆe ’ m trong cu ’ amiˆe ` nchı ’ nh h`ınh v´o . i c´ac gi´a tri . biˆen cu ’ ah`amd ´o. Mˆo ´ i liˆen hˆe . d´odu . o . . cmˆota ’ trong cˆong th´u . c t´ıch phˆan co . ba ’ nth´u . hai cu ’ a Cauchy. D ´o l`a cˆong th´u . c trung tˆam cu ’ al´ythuyˆe ´ t h`am chı ’ nh h`ınh. 4.1 C´ac kˆe ´ t qua ’ quan tro . ng nhˆa ´ tr´ut ra t`u . t´ıch phˆan Cauchy O . ’ mˆo . tm´u . cd ˆo . nhˆa ´ tdi . nh, mo . idi . nh l´y cu ’ amu . cn`aydˆe ` ul`ahˆe . qua ’ cu ’ a cˆong th´u . c t´ıch phˆan Cauchy. 4.1.1 D - i . nh l´y gi´a tri . trung b`ınh D´ol`adi . nh l´y sau dˆay. D - i . nh l´y 4.1.1. Gia ’ su . ’ f(z) l`a h`am liˆen tu . c trong h`ınh tr`on d ´ong S(R)= {z ∈ C : |z − z 0 |  R} v`a chı ’ nh h`ınh trong h`ınh tr`on S(R). Khi d´o ta c´o 280 Chu . o . ng 4. C´ac t´ınh chˆa ´ tco . ba ’ ncu ’ a h`am chı ’ nh h`ınh d˘a ’ ng th´u . c f(z 0 )= 1 2π 2π  0 f(z 0 + re it )dt, t´u . c l`a gi´a tri . cu ’ a h`am ta . i tˆam h`ınh tr`on b˘a ` ng trung b`ınh cˆo . ng c´ac gi´a tri . cu ’ a n´o trˆen d u . `o . ng tr`on. Ch´u . ng minh. Theo cˆong th´u . c t´ıch phˆan Cauchy ta c´o f(z 0 )= 1 2πi  ∂S(R) f(ζ) ζ − z 0 dζ. Thu . . chiˆe . n ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ i theo cˆong th´u . c ζ = z 0 + Re it , 0  t  2π ta thu d u . o . . c f(z 0 )= 1 2πi 2π  0 f(z 0 + Re it ) Re it idt Re it = 1 2π 2π  0 f(z 0 + Re it )dt. 4.1.2 D - i . nh l´y Liouville D - i . nh l´y 4.1.2. (Liouville 1 ) Nˆe ´ u h`am chı ’ nh h`ınh trˆen to`an m˘a . t ph˘a ’ ng ph´u . c f(z) c´o mˆod un bi . ch˘a . nth`ın´odˆo ` ng nhˆa ´ th˘a ` ng sˆo ´ ,t´u . cl`af (z) ≡ const ∀z ∈ C. Ch´u . ng minh. Gia ’ su . ’ |f(z)|  M<∞∀z ∈ C. Ta s˜e ´ap du . ng cˆong th´u . c t´ıch phˆan Cauchy cho d a . o h`am f  (z)v`ah`ınh tr`on S(R)v´o . i tˆam ta . id iˆe ’ m z v`a b´an k´ınh R.Tac´o f  (z)= 1 2πi  ∂S(R) f(ζ) (ζ − z) 2 dζ. 1 I. Liouville (1809-1882) l`a nh`a to´an ho . c Ph´ap 4.1. C´ac kˆe ´ t qua ’ quan tro . ng nhˆa ´ tr´ut ra t`u . t´ıch phˆan Cauchy 281 T`u . d ´o |f  (z)|  1 2π M R 2 2πR = M R · Vˆe ´ tr´ai cu ’ abˆa ´ td ˘a ’ ng th´u . c n`ay khˆong phu . thuˆo . c R,c`onvˆe ´ pha ’ idˆa ` nd ˆe ´ n0khi R t˘ang vˆo ha . n. T`u . d ´o suy r˘a ` ng |f  (z)| =0v`af  (z)=0∀ C.Dod´o f(z) ≡ const trong C. Nhu . vˆa . yl´o . p c´ac h`am chı ’ nh h`ınh trong to`an m˘a . t ph˘a ’ ng v`a bi . ch˘a . nchı ’ gˆo ` m c´ac h`am tˆa ` mthu . `o . ng (c´ac h˘a ` ng sˆo ´ ). D i . nh l´y Liouville v`u . ach´u . ng minh c´o thˆe ’ kh´ai qu´at du . ´o . ida . ng D - i . nh l´y 4.1.3. Nˆe ´ u h`am f(z) chı ’ nh h`ınh trong to`an m˘a . t ph˘a ’ ng v`a tho ’ a m˜an d iˆe ` ukiˆe . n |f(z)  M|z| n , M<∞ v`a n l`a sˆo ´ nguyˆen du . o . ng th`ıd ´ol`ada th´u . cbˆa . c khˆong cao ho . n n. 2 Ch´u . ng minh. Gia ’ su . ’ z 0 l`a diˆe ’ mt`uy ´y cu ’ am˘a . t ph˘a ’ ng ph´u . c. T`u . cˆong th´u . c t´ıch phˆan Cauchy d ˆo ´ iv´o . id a . o h`am cˆa ´ p cao ta c´o f (n+1) (z 0 )= (n + 1)! 2πi  ∂S(R) f(z) (z − z 0 ) n+2 dz, S(R)={z : |z − z 0 | <R} v`a do d ´o |f (n+1) (z 0 )|  M|z| n R n+1 (n + 1)!. V`ı |z|  |z 0 | + R nˆen qua gi´o . iha . n khi R →∞ta thu d u . o . . c f (n+1) (z 0 )=0. Do z 0 l`a diˆe ’ mt`uy ´y cu ’ a C nˆen f (n+1) (z) ≡ 0. T`u . d ´o suy r˘a ` ng f (n) (z) ≡ const v`ı f (n) (z) − f (n) (z 0 )= z  z 0 f (n+1) (z)dz ≡ 0, t´u . cl`af (n) (z) ≡ f (n) (z 0 ) = const . B˘a ` ng c´ach lˆa . p luˆa . nnhu . vˆa . y, dˆe ˜ d`ang thu d u . o . . cd iˆe ` u kh˘a ’ ng d i . nh cu ’ adi . nh l´y. 2 Khi n =0th`ıtathudu . o . . cdi . nh l´y 12.1 282 Chu . o . ng 4. C´ac t´ınh chˆa ´ tco . ba ’ ncu ’ a h`am chı ’ nh h`ınh Di . nh l´y Liouville c`on c´o thˆe ’ ph´at biˆe ’ udu . ´o . ida . ng D - i . nh l´y 4.1.2 ∗ . Nˆe ´ u h`am f(z) chı ’ nh h`ınh trˆen to`an m˘a . t ph˘a ’ ng mo . ’ rˆo . ng C th`ı n´o d ˆo ` ng nhˆa ´ th˘a ` ng sˆo ´ . Ch´u . ng minh. V`ı h`am f chı ’ nh h`ınh ta . id iˆe ’ m ∞ nˆen lim z→∞ f(z)tˆo ` nta . iv`ah˜u . u ha . n. T`u . d ´o suy ra f(z)bi . ch˘a . n trong lˆan cˆa . n n`ao d´o U(∞)={z : |z| >R} cu ’ ad iˆe ’ m ∞. Gia ’ su . ’ f(z)|  M 1 , ∀ z ∈U(∞). M˘a . t kh´ac, do h`am f chı ’ nh h`ınh (v`a do d ´o n´o liˆen tu . c) trong h`ınh tr`on d´ong S(R)={z : |z|  R} nˆen n´o bi . ch˘a . n trong h`ınh tr`on d ´o. Gia ’ su . ’ |f(z)|  M 2 , z ∈ S(R). Nhu . ng khi d ´o h`am f bi . ch˘a . n trong to`an m˘a . t ph˘a ’ ng: f(z)| <M= max(M 1 ,M 2 ) ∀ z ∈ C. V`ı h`am f chı ’ nh h`ınh trˆen C nˆen theo d i . nh l´y 4.1.2 ta c´o f ≡ const. Bˆay gi`o . ta ´ap du . ng d i . nh l´y Liouville dˆe ’ ch´u . ng minh d i . nh l´y Gauss - di . nh l´y co . ba ’ ncu ’ ad a . isˆo ´ . D - i . nh l´y 4.1.4. (Gauss) Mo . id ath´u . cd a . isˆo ´ bˆa . c m  1 v´o . ihˆe . sˆo ´ ph´u . cd ˆe ` u c´o m nghiˆe . mnˆe ´ umˆo ˜ i nghiˆe . md u . o . . c t´ınh mˆo . tsˆo ´ lˆa ` nb˘a ` ng bˆo . icu ’ a n´o. Ch´u . ng minh. Gia ’ su . ’ P m (z)=a m z m + a m−1 z m−1 + ···+ a 1 z + a 0 ,a m =0,m 1. Ta ch´u . ng minh b˘a ` ng pha ’ nch´u . ng: gia ’ su . ’ P m (z) khˆong c´o nghiˆe . m trong C.Tax´et h`am f(z)= 1 P m (z) · H`am f(z) c´o c´ac t´ınh chˆa ´ t sau d ˆay (i) H`am f(z) ∈H(C)v`ı P m (z) =0 ∀ z ∈ C. (ii) H`am f(z) c´o mˆod un bi . ch˘a . n, t´u . cl`a|f(z)|  M ∀ z ∈ C. Thˆa . tvˆa . y, v`ı lim z→∞ P m (z)=∞ nˆen lim z→∞ 1 P m (z) =0. T`u . d ´o ∃ R>0 sao cho ∀ z : |z| >R ta c´o |f(z)| < 1. 4.1. C´ac kˆe ´ t qua ’ quan tro . ng nhˆa ´ tr´ut ra t`u . t´ıch phˆan Cauchy 283 Trong h`ınh tr`on d´ong |z|  R h`am f(z) c´o mˆodun bi . ch˘a . n, t´u . cl`a|f (z)|  m ∀ z ∈{|z|  R}.T`u . d ´o suy r˘a ` ng |f(z)| <m+1=M, ∀ z ∈ C.Nhu . vˆa . y h`am f(z) ∈H(C)v`a|f(z)  M ∀ z ∈ C,t´u . c l`a tho ’ a m˜an c´ac d iˆe ` ukiˆe . ncu ’ a d i . nh l´y Liouville. Do d´o f(z) ≡ const trˆen C.T`u . d ´o suy r˘a ` ng P m (z ≡ const. Nhu . ng d iˆe ` ud´o khˆong thˆe ’ xa ’ yrav`ı a m =0v`am  1. Nhu . vˆa . ytˆo ` nta . i gi´a tri . α 1 ∈ C sao cho P (α 1 )=0. Do d ´o P m (z)=(z − α 1 )P m−1 (z), P m−1 (α 1 ) = 0. Nhu . ng P m−1 (z)c˜ung l`a da th´u . cd a . isˆo ´ bˆa . c m − 1nˆen∃ α 2 ∈ C sao cho P m−1 (z)=(z − α 2 )P m−2 (z), P m−2 (α 2 ) = 0. Nhu . vˆa . y P m (z)=(z − α 1 )(z − α 2 )P m−2 (z), . Tiˆe ´ ptu . clˆa . p luˆa . nnhu . vˆa . ytathud u . o . . cd ˘a ’ ng th´u . c P m (z)=a m (z − α 1 )(z − α 2 )···(z − α m ). D ˘a ’ ng th´u . c n`ay ch´u . ng to ’ r˘a ` ng α 1 ,α 2 , .,α m l`a nghiˆe . m v`a ngo`ai ch´ung ra da th´u . c P m (z) khˆong c`on nghiˆe . m n`ao kh´ac. Thˆa . tvˆa . ynˆe ´ u β l`a nghiˆe . m β = α i ∀ i = 1,m cu ’ adath´u . c P m (z)th`ı P m (β)=a m (β − α 1 )(β − α 2 )···(β − α m )=0. D iˆe ` u n`ay ch´u . ng to ’ r˘a ` ng mˆo . t trong c´ac th`u . asˆo ´ pha ’ ib˘a ` ng 0, t´u . cl`a β − α i =0,i=1, 2, .,m ⇐⇒ β = α i ,i=1, 2, .,m. Di . nh l´y v`u . ach´u . ng minh c`on c´o tˆen go . il`ad i . nh l´y vˆe ` tru . `o . ng d ´ong da . isˆo ´ . 284 Chu . o . ng 4. C´ac t´ınh chˆa ´ tco . ba ’ ncu ’ a h`am chı ’ nh h`ınh 4.1.3 D - i . nh l´y Weierstrass vˆe ` chuˆo ˜ i h`am hˆo . itu . dˆe ` u Trong 1.4 ta d˜a tr`ınh b`ay kh´ai niˆe . m chuˆo ˜ i h`am hˆo . itu . dˆe ` u trong miˆe ` n D v`a hˆo . itu . d ˆe ` utrˆen t`u . ng comp˘a ´ c cu ’ amiˆe ` n D c`ung mˆo . tsˆo ´ t´ınh chˆa ´ t h`am cu ’ a chuˆo ˜ ihˆo . itu . d ˆe ` u. Bˆay gi`o . ta ch´u . ng minh d i . nh l´y quan tro . ng cu ’ a Weierstrass vˆe ` su . . ba ’ o to`an t´ınh chı ’ nh h`ınh cu ’ atˆo ’ ng cu ’ a chuˆo ˜ i trong ph´ep qua gi´o . iha . n d ˆe ` u v`a ph´ep da . o h`am t`u . ng sˆo ´ ha . ng cu ’ a chuˆo ˜ i h`am chı ’ nh h`ınh hˆo . itu . d ˆe ` u. D - i . nh l´y 4.1.5. (Weierstrass) Gia ’ su . ’ : 1) u n (z) n ∈ N l`a nh˜u . ng h`am chı ’ nh h`ınh trong miˆe ` n D; 2) chuˆo ˜ i h`am u 1 (z)+u 2 (z)+···+ u n (z)+ . (4.1) hˆo . itu . d ˆe ` utrˆent`u . ng comp˘a ´ ccu ’ amiˆe ` n D d ˆe ´ n h`am (h˜u . uha . n) f(z). Khi d ´o 1) Tˆo ’ ng f(z) cu ’ a chuˆo ˜ i l`a h`am chı ’ nh h`ınh trong miˆe ` n D. 2) Chuˆo ˜ ic´othˆe ’ d a . oh`amt`u . ng sˆo ´ ha . ng d ˆe ´ ncˆa ´ pt`uy´y u (m) 1 (z)+u (m) 2 (z)+···+ u (m) n (z)+··· = f (m) (z); m =1, 2, . (4.2) 3) Mo . i chuˆo ˜ i (4.2) d ˆe ` u l`a chuˆo ˜ ihˆo . itu . dˆe ` utrˆent`u . ng comp˘a ´ ccu ’ amiˆe ` n D. Ch´u . ng minh. 1) Lˆa ´ y h`ınh tr`on S(R)bˆa ´ tk`y b´an k´ınh R v´o . i biˆen γ(R) sao cho S(R) ⊂ D.Trˆendu . `o . ng tr`on γ(R)(γ(R) l`a tˆa . pho . . pd ´ong n˘a ` m trong D) chuˆo ˜ i (4.1) hˆo . itu . d ˆe ` udˆe ´ n h`am f(z). Do d´o h`am f(ζ)=u 1 (ζ)+u 2 (ζ)+···+ u n (ζ)+ .; ζ ∈ γ(R) (4.3) liˆen tu . c trˆen γ(R). Nhˆan (4.3) v´o . i h`am v(ζ)= 1 2πi 1 ζ − z ,ζ∈ γ(R),z∈ S(R). 4.1. C´ac kˆe ´ t qua ’ quan tro . ng nhˆa ´ tr´ut ra t`u . t´ıch phˆan Cauchy 285 H`am n`ay bi . ch˘a . n trˆen γ(R). Do d´o chuˆo ˜ ithudu . o . . c sau khi nhˆan (4.3) v´o . i v(ζ)vˆa ˜ nhˆo . itu . d ˆe ` u trˆen γ(R) v`a c´o thˆe ’ t´ıch phˆan t`u . ng sˆo ´ ha . ng theo γ(R). Tathud u . o . . c 1 2πi  γ(R) f(ζ) ζ − z dζ = 1 2πi  γ(R) u 1 (ζ ζ − z dζ + ···+ 1 2πi  γ(R) u n (ζ) ζ − z dζ + . T´ıch phˆan o . ’ vˆe ´ tr´ai l`a t´ıch phˆan da . ng Cauchy. Do d ´ovˆe ´ tr´ai l`a h`am chı ’ nh h`ınh trong h`ınh tr`on S(R). Ta k´y hiˆe . uh`amd ´ol`af R (z). ´ Ap du . ng cˆong th´u . c t´ıch phˆan Cauchy cho c´ac h`am u n (ζ)t`u . biˆe ’ uth´u . c trˆen ta thu d u . o . . c f R (z)=u 1 (z)+u 2 (z)+···+ u n (z)+ . (4.4) Nhu . vˆa . y chuˆo ˜ id u . o . . c x´et hˆo . itu . d ˆe ` udˆe ´ n h`am f R (z)chı ’ nh h`ınh trong h`ınh tr`on S(R). Nhu . ng trong S(R) h`am f R (z)tr`ung v´o . i f(z). Ngh˜ıa l`a f(z)l`a h`am chı ’ nh h`ınh trong S(R). V`ımˆo ˜ id iˆe ’ m z cu ’ amiˆe ` n D dˆe ` u thuˆo . cmˆo . th`ınh tr`on S(R), S(R) ⊂ D n`ao d´o nˆen h`am f(z)chı ’ nh h`ınh trong D. C´ac lˆa . p luˆa . ntrˆend ˆay chı ’ d´ung nˆe ´ umiˆe ` n D khˆong ch´u . ad iˆe ’ m ∞. Gia ’ su . ’ miˆe ` n D ∞. T a s ˜e x ´e t “ h `ınh tr`on” S R (∞)={z : |z| >R} v´o . i b´an k´ınh R d u ’ l´o . n sao cho to`an bˆo . biˆen ∂D d ˆe ` un˘a ` m trong du . `o . ng tr`on γ R (∞)={z : |z| = R}.Lˆa . p luˆa . nnhu . trˆen v`a thay cho chuˆo ˜ i (4.4) theo d i . nh l´y 3.2.13 ta thu d u . o . . cd ˘a ’ ng th´u . c f R (z)=[u 1 (z) − u 1 (∞)] + [u 2 (z) − u 2 (∞)] + . +[u n (z) − u n (∞)] + . hay l`a f R (z)=[u 1 (z)+···+ u n (z)+ .] − [u 1 (∞)+u 2 (∞)+···+ u n (∞)+ .]. Chuˆo ˜ i trong dˆa ´ u ngo˘a . c vuˆong th´u . hai o . ’ vˆe ´ pha ’ ihˆo . itu . d ˆe ´ n f(∞) v`a do d´o f R (z)+f (∞)=u 1 (z)+u 2 (z)+···+ u n (z)+ . 286 Chu . o . ng 4. C´ac t´ınh chˆa ´ tco . ba ’ ncu ’ a h`am chı ’ nh h`ınh O . ’ d ˆay f R (z)+f(∞)=f(z) ∀ z ∈ S R (∞) v`a h`am f R (z)+f(∞)chı ’ nh h`ınh trong S R (∞). Do vˆa . y h`am f chı ’ nh h`ınh trong lˆan cˆa . ndiˆe ’ m ∞. 2) Nˆe ´ u nhˆan chuˆo ˜ i (4.3) v´o . i h`am v m (ζ)= m! 2πi 1 (ζ − z) m+1 ,z∈ S(R) bi . ch˘a . n trˆen γ(R) v`a t´ıch phˆan t`u . ng sˆo ´ ha . ng theo γ(R) th`ı thay cho (4.4) ta thu d u . o . . cchuˆo ˜ i f (m) R (z)=u (m) 1 (z)+u (m) 2 (z)+···+ u (m) n (z)+ . V`ı f R (z)=f (z) ∀ z ∈ D nˆen t`u . d ´othudu . o . . c (4.2). 3) D ˆe ’ ch´u . ng minh phˆa ` nth´u . ba cu ’ ad i . nh l´y ta phu ’ tˆa . pho . . pd ´ong t`uy ´y E ⊂ D bo . ’ ihˆe . c´ac h`ınh tr`on S  sao cho S  ⊂ D.Nˆe ´ utˆa . pho . . p E  z = ∞ th`ı ta c´o thˆe ’ lˆa ´ y h`ınh tr`on l`a tˆa . pho . . p S  (∞)={z : |z| >R>0}, S  (∞) ⊂ D. T`u . hˆe . c´ac h`ınh tr`on n`ay ta c´o thˆe ’ cho . nmˆo . tphu ’ con gˆo ` mmˆo . tsˆo ´ h˜u . uha . n c´ac h`ınh tr`on. Ho . . pmo . i h`ınh tr`on d ´ong n`ay du . o . . ck´yhiˆe . ul`aE ∗ . Gia ’ su . ’ δ l`a khoa ’ ng c´ach t`u . E ∗ dˆe ´ n biˆen miˆe ` n D: δ = dist{E ∗ ,∂D}. D ˆo ´ iv´o . imˆo ˜ i h`ınh tr`on S  cu ’ aphu ’ h˜u . nha . n ta du . . ng h`ınh tr`on S d ˆo ` ng tˆam v´o . i b´an k´ınh l´o . nho . n b´an k´ınh cu ’ a S  mˆo . tda . ilu . o . . ng b˘a ` ng δ 2 (d ˆo ´ iv´o . i S  (∞) th`ı cˆa ` nlˆa ´ y b´an k´ınh b´eho . n δ 2 ). Chu tuyˆe ´ n L cu ’ a c´ac h`ınh tr`on n`ay lˆa . p th`anh tˆa . pho . . pd ´ong Γ ⊂ D.Dod´o chuˆo ˜ idu . o . . cx´et  n≥1 u n (z)hˆo . itu . dˆe ` u trˆen Γ, ngh˜ıa l`a ∀ ε>0, ∃ N ∈ N : ∀ n>N, ∀ p ∈ N, ∀ ζ ∈ Γ ⇒    n+p  k=n+1 u k (ζ)    <ε. Gia ’ su . ’ z l`a d iˆe ’ mt`uy ´y cu ’ a E v`a gia ’ su . ’ n´o thuˆo . c h`ınh tr`on S  cu ’ aphu ’ . 4. Các tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình Nguyễn Thủy Thanh Cơ sở lý thuyết hàm biến phức. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006. Tr 287-309. Từ khoá: Cơ sở. gia Hà Nội 2006. Tr 287-309. Từ khoá: Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Định lý Liouville, Hàm chỉnh hình, Chuỗi Taylor, Không điểm, Thác triển giải tích,