Ph`u ho..p v´o.i su.. phˆan loa.i diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cˆo lˆa.p, ta s˜e phˆan loa.i c´ac h`am chı’nh h`ınh do.n gia’n nhˆa´t theo c´ac diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cu’a ch´ung.
D- i.nh ngh˜ıa 4.3.9. H`am f(z) chı’nh h`ınh trong to`an m˘a.t ph˘a’ng C (t´u.c l`a h`am khˆong c´o diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng h˜u.u ha.n) du.o..c go.i l`ah`am nguyˆen.
Khai triˆe’n h`am nguyˆenf(z) th`anh chuˆo˜i Taylor o.’ lˆan cˆa.n diˆe’m z = 0:
f(z) =X
n>0
V`ı h`am f(z) chı’nh h`ınh trong to`an m˘a.t ph˘a’ng C nˆen chuˆo˜i (4.52) hˆo.i tu. v´o.i mo.iz, v`a do d´o chuˆo˜i d´o l`a chuˆo˜i Laurent cu’a h`am f(z) ta.i lˆan cˆa.n diˆe’m
∞v´o.i phˆ` n ch´ınh l`aa f1(z) = X n>1 anzn v`a phˆ` n chı’nh h`ınha f2(z) =a0.
Trong C, diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng duy nhˆa´t cu’a h`am nguyˆen chı’ c´o thˆe’ l`a diˆe’m
z=∞.
D- i.nh l´y 4.3.10. Nˆe´u diˆe’m z =∞ l`a cu..c diˆe’m cˆa´p n cu’a h`am nguyˆen f(z)
th`ıf(z) l`a da th´u.c bˆa. c n.
Ch´u.ng minh. Theo gia’ thiˆe´t, ta c´o
f(z) =anzn+an−1zn−1 +· · ·+a1z+X
n>0
αn zn ·
D˘a.t g(z) =anzn+an−1zn−1+· · ·+a1z. D´o l`a phˆ` n ch´ınh cu’a khai triˆe’na Laurent cu’a h`am f(z) trong lˆan cˆa.n diˆe’m z=∞. Hiˆe’n nhiˆen h`am
h(z) =f(z)−g(z)
l`a mˆo.t h`am nguyˆen v`a diˆe’m z =∞ l`a diˆe’m chı’nh h`ınh cu’a n´o. Do d´o theo di.nh l´y Liouvilleh(z)≡ const. T`u. d´o suy ra f(z) l`a da th´u.c bˆa.cn.
H`am nguyˆen, m`a diˆe’m z = ∞ l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cˆo´t yˆe´u du.o..c go.i l`a
h`am nguyˆen siˆeu viˆe.t, (v´ı du. c´ac h`am ez,sinz,cosz, . . .) L´o.p tˆo’ng qu´at ho.n c´ac h`am nguyˆen l`a c´ac h`am phˆan h`ınh.
D- i.nh ngh˜ıa 4.3.10. H`amf(z) du.o..c go.i l`ah`am phˆan h`ınhtrong miˆ`ne D ⊂C nˆe´u tˆ` n ta.i tˆa.p ho..p (h˜u.u ha.n ho˘a.c vˆo ha.n) c´ac diˆe’m cˆo lˆa.po
m`a mˆo˜i diˆe’m trong d´o l`a cu..c diˆe’m cu’a h`amf sao cho
f ∈ H (D\ {ai}).
N´oi c´ach kh´ac: trong tˆa.p ho..p D h`am f khˆong c´o c´ac diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng n`ao kh´ac ngo`ai cu..c diˆe’m.
Trong lˆan cˆa.n cu’a mˆo˜i diˆe’m thuˆo.c D h`am phˆan h`ınh c´o thˆe’ biˆe’u diˆ˜ne du.´o.i da.ng thu.o.ng cu’a hai h`am chı’nh h`ınh ϕ(z)/ψ(z), trong d´o ψ(z) khˆong dˆ` ng nhˆa´t b˘a`ng 0. Mˆo.t c´ach tu.. nhiˆen, ta c´o thˆe’ x´ac di.nh ph´ep cˆo.ng v`a nhˆano c´ac h`am phˆan h`ınh. R˜o r`ang l`a dˆo´i v´o.i c´ac ph´ep to´an d´o, tˆa.p ho..p c´ac h`am phˆan h`ınh trong D lˆa.p th`anh mˆo.t v`anh.
D- i.nh l´y 4.3.11. Gia’ su.’ h`am f(z) phˆan h`ınh trong D. Khi d´o h`am f0 c˜ung l`a phˆan h`ınh trong D. H`am f v`a f0 c˜ung c´o cu..c diˆe’m nhu. nhau, dˆo` ng th`o.i nˆe´u z0 l`a cu..c diˆe’m cˆa´p m >0 cu’a h`am f th`ı n´o l`a cu..c diˆe’m cˆa´p m+ 1 cu’a da. o h`am f0.
Ch´u.ng minh. H`amf0x´ac di.nh v`a chı’nh h`ınh ta.i mo.i diˆe’m cu’a miˆe`nD khˆong pha’i l`a cu..c diˆe’m cu’a h`am f. Ta s˜e ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u z0 l`a cu..c diˆe’m cu’a
f th`ız0 c˜ung l`a cu..c diˆe’m cu’a f0. V´o.i z du’ gˆ` na z0 ta c´o
f(z) = 1
(z−z0)m ·h(z), (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
trong d´o h(z) l`a h`am chı’nh h`ınh trong lˆan cˆa.n diˆe’m z0, h(z0) 6= 0. Do d´o, nˆe´u z 6=z0 th`ı
f0(z) = 1
(z−z0)m+1[(z−z0)h0(z)−mh(z)]
= 1
(z−z0)m+1˜h(z).
V`ı ˜h(z0) =mh(z0)= 0 nˆ6 en diˆe’mz0l`a cu..c diˆe’m cˆa´pm+ 1 cu’a h`amf0. Ta nhˆa.n x´et r˘a`ng trong miˆ`n d´e ong bi. ch˘a.n bˆa´t k`y cu’a m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c h`am phˆan h`ınh chı’ c´o mˆo. t sˆo´ h˜u.u ha. n cu..c diˆe’m.
Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u trong miˆe`n d´ong bi. ch˘a.n bˆa´t k`y D ⊂C h`am c´o vˆo sˆo´ cu..c diˆe’m th`ı t`u. tˆa.p ho..p c´ac cu..c diˆe’m c´o thˆe’ tr´ıch ra d˜ay (zn) hˆo.i tu. dˆe´n diˆe’m z0
n`ao d´o n˘a`m trong miˆe`n d´ong du.o..c x´etz0 ∈D. Khi d´oz0 l`a diˆe’m tu. cu’a d˜ay c´ac cu..c diˆe’m (zn) cu’a f(z) v`a
lim
zn→z0f(zn) =∞.
Do d´o z0 l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cu’a h`am f(z). M˘a.t kh´ac l`a diˆe’m tu. cu’a d˜ay (zn), diˆe’m z0 khˆong thˆe’ l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cˆo lˆa.p cu’a f. Nhu. vˆa.y, diˆe’m z0
khˆong thˆe’ l`a cu..c diˆe’m cu’a h`am f(z). Nhu.ng diˆ`u d´o mˆau thuˆa˜n v´o.i t´ınhe phˆan h`ınh cu’af(z).
Ta c´o di.nh l´y sau:
D- i.nh l´y 4.3.12. H`am chı’nh h`ınhf(z)trongCkhˆong c´o c´ac diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng kh´ac ngo`ai cu..c diˆe’m khi v`a chı’ khi f l`a h`am h˜u.u ty’.
Ch´u.ng minh. 1. Hiˆe’n nhiˆen h`am h˜u.u ty’ l`a mˆo.t h`am phˆan h`ınh c´o mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.n cu..c diˆe’m.
2. Ngu.o..c la.i, r˜o r`ang l`a sˆo´ cu..c diˆe’m cu’a h`am f trong C l`a h˜u.u ha.n (v`ı C l`a comp˘a´c). Ta k´y hiˆe.u aν (ν = 1,2, . . . , n) l`a nh˜u.ng cu..c diˆe’m cu’a n´o v`a
gν(z) l`a phˆ` n ch´ınh cu’a khai triˆe’n Laurent tu.o.ng ´a u.ng ta.i diˆe’m aν. Go.i g(z) l`a phˆ` n ch´ınh cu’a khai triˆe’n Laurent ta.i diˆe’ma z =∞ (nˆe´u f chı’nh h`ınh ta.i
∞th`ıg(z)≡0). H`am
ϕ(z) =f(z)−g(z)−X
ν=1
gν(z)
chı’nh h`ınh trong Cv`a theo di.nh l´y Liouville th`ıϕ(z)≡ const. T`u. d´o suy ra
f(z) =g(z) +
n
X
ν=1
gν(z) + const