Ta lu.u ´y r˘a`ng trˆen m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c z chı’ tˆ` n ta.i mˆo.t diˆe’m vˆo c`ung v`a theoo di.nh ngh˜ıa lˆan cˆa.n cu’a diˆe’m∞:
U(∞;ε) ={z ∈C:dC(z;∞)< ε}
D´o l`a phˆ` n ngo`ai h`ınh tr`on v´o.i b´an k´ınha R =
r
1
ε2 −1 v`a v´o.i tˆam ta.i gˆo´c to.a dˆo.. Trˆen m˘a.t cˆa` u Riemann lˆan cˆa.n d´o tu.o.ng ´u.ng v´o.i h`ınh tr`on cˆa` u v´o.i tˆam ta.i cu..c b˘a´c cu’a m˘a.t cˆa` u.
Nˆe´u thu..c hiˆe.n ph´ep biˆe´n dˆo’i z = 1
ζ hay ζ =
1
z th`ı lˆan cˆa.n diˆe’m z =∞
cu’a m˘a.t ph˘a’ng z biˆe´n th`anh lˆan cˆa.n diˆe’m ζ = 0 cu’a m˘a.t ph˘a’ng ζ. Do d´o viˆe.c kha’o s´at d´ang diˆe.u cu’a h`am f(z) ta.i lˆan cˆa.n diˆe’m z = ∞ du.o..c du.a vˆe` kha’o s´at d´ang diˆe.u cu’a h`amϕ(ζ) =f1
ζ
ta.i lˆan cˆa.n diˆe’mζ = 0.
D- i.nh ngh˜ıa 4.3.7. Diˆe’m vˆo c`ung z = ∞ cu’a m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cˆo lˆa. pcu’a h`am chı’nh h`ınh f(z) nˆe´u c´o thˆe’ chı’ ra gi´a tri. R > 0 sao cho trong phˆ` n ngo`ai h`ınh tr`ona |z| > R h`am f(z) khˆong c´o c´ac diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng m`a khoa’ng c´ach t`u. d´o dˆe´n gˆo´c to.a dˆo. l`a h˜u.u ha.n.
Gia’ su.’ f(z)∈ H(U(∞;ε)). Sau khi thu..c hiˆe.n ph´ep biˆe´n dˆo’i z = 1
ζ ta thu du.o..c f(z) =f1 ζ =ϕ(ζ)
v`a h`am ϕ(ζ) chı’nh h`ınh trong lˆan cˆa.n n`ao d´o cu’a diˆe’m ζ = 0. T`u. d´o suy r˘a`ng t´ınh bˆa´t thu.`o.ngcu’a h`amf(z) khiz → ∞v`a cu’aϕ(ζ) khiζ →0 l`a nhu. nhau v`ı
lim
z→∞f(z) = lim
ζ→0ϕ(ζ).
D- i.nh ngh˜ıa 4.3.8. Gia’ su.’ z =∞l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cˆo lˆa.p cu’a h`amf(z). Ngu.`o.i ta n´oi r˘a`ng diˆe’m z =∞l`adiˆe’m bˆa´t thu.`o.ng khu.’ du.o..c, cu..c diˆe’m hay
diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cˆo´t yˆe´u t`uy theo gi´o.i ha.n lim
z→∞f(z) h˜u.u ha.n, b˘a`ng ∞ hay ho`an to`an khˆong tˆ` n ta.i.o
Tuy nhiˆen c´ac tiˆeu chuˆa’n vˆ` da.ng cu’a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng du.o..c ph´at biˆe’ue du..a v`ao khai triˆe’n Laurent cˆa` n pha’i c´o su.. thay dˆo’i.
Khai triˆe’n Laurent cu’a h`am f(z) ta.i ∞ thu du.o..c t`u. khai triˆe’n Laurent cu’a ϕ(ζ) ta.i lˆan cˆa.n diˆe’m ζ = 0 b˘a`ng c´ach thay ζ = 1
z: f(z) =X n>0 a−n zn +X n>1 anzn = X −∞<b<+∞ anzn, (4.51) trong d´o chuˆo˜i P n>0 a−n zn l`a phˆ` n chı’nh h`ınha chuˆo˜i P n>1 anzn l`a phˆ` n ch´ınha .
Ta thˆa´y, kh´ac v´o.i khai triˆe’n Laurent trong lˆan cˆa.n diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng h˜u.u ha.n, trong khai triˆe’n (4.51) dˆo´i v´o.i h`am f(z) ta.i lˆan cˆa.n diˆe’m z = ∞ tˆa. p ho..p mo.i sˆo´ ha.ng v´o.i l˜uy th`u.a du.o.ng cu’a z d´ong vai tr`o phˆ` n ch´ınha , c`on tˆa.p ho..p l˜uy th`u.a ˆam lˆa.p nˆen phˆa`n chı’nh h`ınh. T`u. di.nh ngh˜ıa 4.3.8 v`a cˆa´u tr´uc cu’a chuˆo˜i Laurent (4.51) ta c´o
D- i.nh l´y 4.3.9. Diˆe’m z =∞ l`a
1+ diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng khu.’ du.o..c cu’a h`am f(z) khi v`a chı’ khi khai triˆe’n
(4.51) khˆong ch´u.a phˆ` n ch´ınh (t´a u.c l`a khˆong ch´u.a c´ac sˆo´ ha. ng v´o.i l˜uy th`u.a du.o.ng cu’a z); (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2+ cu..c diˆe’m khi v`a chı’ khi phˆa` n ch´ınh trong (4.51) chı’ ch´u.a mˆo. t sˆo´ h˜u.u ha. n sˆo´ ha. ng;
3+ diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cˆo´t yˆe´u khi v`a chı’ khi phˆ` n ch´ınh ch´a u.a vˆo sˆo´ sˆo´ ha. ng (t´u.c l`a ch´u.a vˆo sˆo´ sˆo´ ha. ng v´o.i l˜uy th`u.a du.o.ng cu’a z).
Dˆo´i v´o.i diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cˆo´t yˆe´u ta.i ∞di.nh l´y Weierstrass diˆe˜n da.t nhu. sau: Nˆe´u z =∞ l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cˆo´t yˆe´u cu’a h`am f(z) th`ı trong lˆan cˆa. n
bˆa´t k`y cu’a n´o h`am f(z) nhˆa. n nh˜u.ng gi´a tri. gˆa` n mˆo. t sˆo´ ph´u.c cho tru.´o.c bao nhiˆeu t`uy ´y.
Di.nh l´y Picard dˆo´i v´o.i tru.`o.ng ho..p diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cˆo´t yˆe´u vˆo c`ung c˜ung du.o..c ph´at biˆe’u tu.o.ng tu.. nhu. tru.`o.ng ho..p h˜u.u ha.n.
Ta minh ho.a di.nh l´y Picard b˘a`ng hai v´ı du. sau.
V´ı du. 10. 1) Diˆe’mz =∞l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cˆo´t yˆe´u dˆo´i v´o.i h`amf(z) =ez. Ta x´et phu.o.ng tr`ınh
ez =A, A 6= 0.
Phu.o.ng tr`ınh n`ay c´o c´ac nghiˆe.m sau dˆay
zk = ln|A|+i(argA+ 2kπ),
trong d´o argA l`a gi´a tri. ch´ınh cu’a acgumen, k ∈ Z. T`u. d´o suy r˘a`ng trong lˆan cˆa.n bˆa´t k`y cu’a diˆe’mz =∞tˆ` n ta.i vˆo sˆo´ diˆe’mo zk m`a ta.i d´o h`am ez nhˆa.n gi´a tri. A (A 6= 0). Gi´a tri. A = 0 l`a gi´a tri. ngoa.i lˆe. Picard (h`am ez khˆong nhˆa.n gi´a tri.A= 0).
2) Dˆo´i v´o.i h`am f(z) = sinz diˆe’m z =∞ l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cˆo´t yˆe´u v`a dˆo´i v´o.i mˆo˜i gi´a tri.A phu.o.ng tr`ınh sinz=A c´o vˆo sˆo´ nghiˆe.m
zk = 1
i ln(iA+
√
1−A2) + 2kπ, k ∈Z.
Do d´o h`am f(z) = sinz khˆong c´o gi´a tri. ngoa.i lˆe. Picard.