Lý thuyết jacobian xấp xỉ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ LƯU LÝ THUYẾT JACOBIAN XẤP XỈ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN HÀ NỘI- 2014 Mục lục Lời nói đầu Hàm khả vi 1.1 Hàm khả vi từ R đến R 1.2 Hàm khả vi từ Rn đến R 1.2.1 Các định nghĩa tính chất 1.2.2 Các phép tính đạo hàm 13 Hàm khả vi từ Rn đến Rm 14 1.3.1 Các định nghĩa tính chất 14 1.3.2 Phép tính đạo hàm 16 Bài toán tối ưu trơn 17 1.4.1 Bài toán trơn ràng buộc 17 1.4.2 Bài toán trơn với ràng buộc đẳng thức 18 1.3 1.4 Jacobian xấp xỉ 20 2.1 Jacobian xấp xỉ hàm thực mở rộng 20 2.2 Phép tính Jacobian xấp xỉ 32 2.2.1 Phép nhân vô hướng 32 2.2.2 Phép cộng 33 2.2.3 Phép lấy maximum 34 2.2.4 Định lý giá trị trung bình 35 2.2.5 Jacobian xấp xỉ hàm hợp 40 2.3 Jacobian xấp xỉ hàm vectơ 42 2.4 Hessian xấp xỉ 58 2.4.1 Hessian xấp xỉ hàm vô hướng 58 2.4.2 Hessian xấp xỉ hàm vectơ 62 Ứng dụng Jacobian xấp xỉ 64 3.1 Nón khái niệm liên quan 65 3.2 Điều kiện tối ưu cấp hai cho toán tối ưu vectơ 67 3.2.1 Bài toán tối ưu không ràng buộc 67 3.2.2 Bài toán tối ưu có ràng buộc 73 Kết luận 79 Tài liệu tham khảo 80 LỜI NÓI ĐẦU Vào nửa sau kỷ XVII, đồng thời độc lập, nhà toán học người Đức Leibniz nhà toán học người Anh Newton phát minh phép tính vi phân, công cụ đắc lực để giải nhiều toán vật lý, học, hóa học, kỹ thuật Nhưng phép tính vi phân mà Leibniz Newton phát minh áp dụng cho lớp hàm có tính chất tốt Một vấn đề đặt hàm không khả vi, đạo hàm chúng không tồn nên thay khái niệm đạo hàm khái niệm khác không? Đây vấn đề nghiên cứu nhiều nhà toán học vào nửa cuối kỷ XX Từ đó, môn giải tích không trơn đời Môn học giải toán lớp hàm đạo hàm theo nghĩa thông thường, cách đưa khái niệm vi phân khác để thay khái niệm đạo hàm, điểm cho trước hàm xấp xỉ họ hàm tuyến tính Từ năm cuối kỷ XX, đầu kỷ XXI, V Jeyakumar D T Lục đưa khái niệm vi phân gọi Jacobian xấp xỉ cho hàm liên tục Khái niệm cho ta công cụ hữu ích để nghiên cứu toán hàm liên tục Jacobian xấp xỉ có phép tính tốt, tương ứng với phép tính đạo hàm thông thường phép lấy tích, tổng, hợp, định lý giá trị trung bình Đặc biệt, nhiều vi phân Jacobian xấp xỉ vi phân hàm lồi, hàm Lipschitz nhiều vi phân khác Michel - Penot, Moduchovich Vì vậy, kết thu sử dụng Jacobian xấp xỉ cho hàm có vi phân Hơn nữa, hàm Lipschitz địa phương có Jacobian xấp xỉ mà bao lồi chứa thật vi phân suy rộng Clarke Khác với vi phân đề cập đến, Jacobian xấp xỉ tập đóng, không thiết bị chặn lồi Nhờ tính không lồi không bị chặn mà ta dùng để đặc trưng số tính chất hàm liên tục tính Lipschitz địa phương, tính lồi, tính đơn điệu Việc nghiên cứu Jacobian xấp xỉ mở rộng, thống làm sâu sắc nhiều kết giải tích không trơn tối ưu hóa Lý thuyết Jacobian xấp xỉ đề tài nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Trong phạm vi luận văn cao học, tác giả tập trung trình bày có hệ thống số kết Jacobian xấp xỉ hàm liên tục không gian hữu hạn chiều, trước hết hàm vô hướng, hàm vectơ dựa sở kết mà V Jeyakumar D T Lục cộng nghiên cứu Với nội dung này, luận văn bố cục sau: Chương trình bày kiến thức hàm vô hướng hàm vectơ nhiều biến khả vi như: Các khái niệm, tính chất, phép toán ứng dụng toán cực trị Chương trình bày khái niệm, tính chất phép tính Jacobian xấp xỉ hàm thực mở rộng, hàm vectơ Phần cuối chương trình bày khái niệm Hessian xấp xỉ công thức Taylor hàm khả vi liên tục Chương trình bày ứng dụng Jacobian xấp xỉ toán tối ưu Ở đây, ta đưa số điều kiện cần đủ cấp hai cho toán tối ưu với hàm vectơ khả vi liên tục không gian hữu hạn chiều Trong trình thực luận văn thạc sĩ, tác giả nhận giúp đỡ, tạo điều kiện nhiệt tình quý báu nhiều cá nhân, tập thể Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, người thầy trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo nhà trường, đặc biệt thầy cô giáo chuyên ngành Giải tích, khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội tận tình giúp đỡ tác giả suốt thời gian theo học, thực hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến người thân, gia đình, bạn bè động viên giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Nguyễn Thị Lưu Bảng kí hiệu R = R ∪ {±∞} L(Rn , Rm ) : không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ Rn vào Rm Bn : hình cầu đơn vị Rn Bm×n : hình cầu đơn vị L(Rn , Rm ) coA : bao lồi tập A coA : bao lồi đóng tập A Int(A) : phần tập A Ext(A) : điểm cực biên tập A f (a) : vectơ gradient f a Df (a) : đạo hàm hàm vectơ f a + fd (x, v) : đạo hàm Dini − fd (x, v) : đạo hàm Dini f (x, v) : đạo hàm theo hướng f ◦ (x, v) : đạo hàm suy rông Clarke f (x, v) : đạo hàm Michel-Penot ∂ ◦ f (x0 ) : gradient suy rộng Clarke f x0 ∂ f (x0 ) : vi phân Michel-Penot ∂ f (x) : Hessian xấp xỉ coneC : nón sinh C C : nón cực nón C T1 (D, x0 ) : nón tiếp tuyến cấp D x0 T2 (D, x0 ) : nón tiếp tuyến cấp D x0 min(A \ C) min(A): tập điểm hữu hiệu A nón C W M in(A\C) W M in(A): tập điểm hữu hiệu yếu A nón C Chương Hàm khả vi Trong sống, ngành kỹ thuật kinh tế thường gặp toán quy toán dạng f (x), x∈D n D tập không gian R , f hàm số xác định D Thông thường, hàm f có nhiều tính chất Ta cần tìm tính chất quan trọng để toán có nghiệm thuật toán giải nghiệm Ta xét lớp hàm vậy, lớp hàm khả vi Trong chương ta nhắc lại số kiến thức hàm khả vi phép tính vi phân hàm nhiều biến 1.1 Hàm khả vi từ R đến R Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm f : (a, b) ⊂ R −→ R Hàm f gọi khả vi điểm x0 ∈ (a, b) tồn giới hạn lim x→x0 f (x) − f (x0 ) x − x0 Khi đó, đặt A = lim x→x0 f (x) − f (x0 ) x − x0 A gọi đạo hàm hàm f điểm x0 , ký hiệu f (x0 ) Nếu hàm f khả vi điểm x ∈ (a, b), ta nói f khả vi khoảng (a, b) Định lý 1.1.1 [1] Cho f, g : (a, b) ⊂ R → R hàm khả vi x0 ∈ (a, b) Khi hàm f ± g, cf (c thuộc R), f · g f g g(x0 ) = hàm khả vi x0 ta có i) ii) iii) iv) (f ± g) (x0 ) = f (x0 ) ± g (x0 ); (cf ) (x0 ) = cf (x0 ); (f g) (x0 ) = f (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g (x0 ); f g (x0 ) = f (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g (x0 ) g (x0 ) Định lý 1.1.2 (Đạo hàm hàm hợp) Cho (a, b), (c, d) ⊂ R hàm f : (a, b) → (c, d), g : (c, d) → R Giả sử f khả vi x0 ∈ (a, b) g khả vi y0 = f (x0 ) ∈ (c, d) Khi đó, hàm hợp g · f khả vi x0 (g.f ) (x0 ) = g [f (x0 )]f (x0 ) Định lý 1.1.3 (Đạo hàm hàm ngược) Giả sử 1) Hàm số f : (a, b) → R liên tục đơn điệu thực (a, b) 2) f có đạo hàm f (x0 ) = x0 ∈ (a, b) Khi hàm ngược g = f −1 hàm f có đạo hàm điểm y0 = f (x0 ) g (y0 ) = f (x0 ) Định lý 1.1.4 (Định lý giá trị trung bình) Giả sử hàm số f : [a, b] → R có tính chất: 1) f liên tục [a, b]; 2) f khả vi (a, b); Khi tồn điểm c ∈ (a, b) cho f (b) − f (a) = f (c)(b − a) 1.2 Hàm khả vi từ Rn đến R 1.2.1 Các định nghĩa tính chất Cho U tập mở Rn , hàm f : U → R, a = (a1 , a2 , , an ), a ∈ U Ta ký hiệu L(Rn , R) không gian hàm tuyến tính liên tục từ Rn đến R Định nghĩa 1.2.1 Hàm f gọi khả vi điểm a tồn hàm tuyến tính liên tục L ∈ L(Rn , R) cho f (a + h) − f (a) = L(h) + (h)||h||, h = (h1 , h2 , , hn ) ∈ Rn , (h) → h → Hàm tuyến tính liên tục L gọi đạo hàm f a, ký hiệu f (a) hay Df (a) Hàm f gọi khả vi U khả vi x ∈ U Định lý 1.2.1 [2] Nếu f khả vi a đạo hàm tương ứng xác định Định lý 1.2.2 [2] Nếu f khả vi a f liên tục a Định nghĩa 1.2.2 Ta nói f khả vi theo hướng v ∈ Rn a tồn giới hạn f (a + tv) − f (a) t→0 t lim Khi đó, giới hạn gọi đạo hàm f theo hướng v a, ký hiệu f (a, v) Trường hợp đặc biệt, v vectơ sở tắc {e1 , e2 , , en } Rn (v = e1 = (1, 0, , 0) e2 = (0, 1, , 0)) ta có khái niệm sau Định nghĩa 1.2.3 Nếu f (a, ei ) tồn gọi đạo hàm riêng thứ i hàm f a, hay đạo hàm riêng theo biến xi hàm f a ký hiệu ∂f ∂xi (a) hay Di f (a) fxi (a) Tài liệu tham khảo [1] T Đ Long, N Đ Sang, H Q Toàn (2001), Giáo trình giải tích I, NXB Đại học Quốc Gia, Hà Nội [2] N V Mậu, Đ H Ruận, N T Thanh (2001), Phép tính vi phân tích phân hàm nhiều biến, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội [3] N V Khuê, P N Thao, L M Hải, N Đ Sang (1997), Toán cao cấp II, NXB Giáo Dục, Hà Nội [4] N X Tấn, N B Minh (2007), Lý thuyết tối ưu không trơn, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội [5] F H Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New York [6] V Jeyakumar and D T Luc (2000) , Nonsmooth Vector Functions and Continous Optimization, Springerl, New York [7] V Jeyakumar and D T Luc (1998), Approximate Jacobian Matrices for Nonsmooth Continous Maps and C - Optimization, Springer-Verlag, New York