Lý thuyết Jacobian xấp xỉ và ứng dụng

Mônhọc này đã giải quyết các bài toán trên các lớp hàm không có đạo hàmtheo nghĩa thông thường bằng cách đưa ra các khái niệm dưới vi phânkhác nhau để thay thế khái niệm đạo hàm, tại một

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới GS.TSKH NguyễnXuân Tấn Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầytrong suốt quá trình làm luận văn đã giúp tác giả trưởng thành hơn rấtnhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường ĐHSP

Hà nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên nghànhToán giải tích, Sở GD-ĐT Bắc Ninh, Trường THPT Lý NHân Tông, giađình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện thuậnlợi trong suốt quá trình tác giả học tập và hoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, tháng 12 năm 2011

Tác giảNguyễn Văn Hùng

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình của nghiên cứu của riêng tôi.Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2011

Tác giảNguyễn Văn Hùng

Mục lục

1.1 Hàm khả vi từ R → R 8

1.2 Hàm khả vi từ Rn → R 8

1.2.1 Các định nghĩa và tính chất 8

1.2.2 Các phép tính của đạo hàm 12

1.3 Hàm khả vi từ Rn đến Rm 13

1.3.1 Các định nghĩa và tính chất 13

1.3.2 Các phép tính của đạo hàm 15

1.4 Ứng dụng 15

Chương 2 JACOBIAN XẤP XỈ 17 2.1 Định nghĩa và tính chất 17

2.2 Các phép tính của Jacobian xấp xỉ 28

2.3 Jacobian xấp xỉ của hàm vectơ 38

2.4 Hessian xấp xỉ 50

Chương 3 ỨNG DỤNG CỦA JACOBIAN XẤP XỈ 56 3.1 Bài toán tối ưu tổng quát 56

3.2 Các loại bài toán tối ưu 58

3.3 Bài toán tối ưu không ràng buộc 59

3.4 Bài toán tối ưu có ràng buộc 61

3.5 Điều kiện tối ưu cấp hai của bài toán tối ưu vectơ 65

Tài liệu tham khảo 78

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Vào nửa sau thế kỉ XVII, đồng thời và độc lập, nhà toán học ngườiĐức là Leibniz và nhà toán học người Anh là Newton đã phát minh raphép tính vi phân, một công cụ đắc lực để giải quyết nhiều bài toán trongvật lý, cơ học, hoá học, kỹ thuật, Nhưng phép tính vi phân mà Leipniz

và Newton phát minh ra chỉ áp dụng được cho các lớp hàm có tính chấtkhá tốt

Một vấn đề đặt ra là đối với các hàm không khả vi, vì đạo hàm củachúng không tồn tại nên có thể thay thế khái niệm đạo hàm bằng kháiniệm khác được không? Đây là vấn đề nghiên cứu của nhiều nhà toán họcvào nửa cuối thế kỷ thứ XX Từ đó môn giải tích không trơn ra đời Mônhọc này đã giải quyết các bài toán trên các lớp hàm không có đạo hàmtheo nghĩa thông thường bằng cách đưa ra các khái niệm dưới vi phânkhác nhau để thay thế khái niệm đạo hàm, tại một điểm cho trước hàmđược xấp xỉ bằng một họ các hàm tuyến tính Nhờ đó mà giải tích khôngtrơn đã đem lại nhiều kết quả sâu sắc trong lý thuyết tối ưu, giải tích biếnphân, phương trình vi phân, cơ học và lý thuyết điều khiển

Trong những năm gần đây nhiều nhà nghiên cứu về giải tích không trơnbằng cách tập trung phát triển các dưới vi phân suy rộng đảm bảo nhữngtính chất tốt cũng như các điều kiện cần và đủ tối ưu đối với hàm không trơnnhư: F.H.Clarke, R.T.Rockafellar, B.D.Craven, D.Ralph và B.M.Glover,V.F.Demyanov và V.Jeyakumar, A.D.Loffe, B.S.Morduchovich và Y.Shao,J.P.Penot, Đối với hàm lồi, chúng ta có dưới vi phân của hàm lồi Lýthuyết về dưới vi phân của hàm lồi là công cụ cơ bản trong việc giải các bàitoán cực trị liên quan tới các hàm lồi Việc nghên cứu lớp hàm Lipschitz

có tầm quan trọng đặc biệt vì lớp hàm này rất gần với lớp hàm lồi và các

hàm khả vi thông thường.

Rất gần đây, với hàm liên tục, V.Jeyakumar và D.T.Luc đã đưa rakhái niệm mới về dưới vi phân và gọi là Jacobian xấp xỉ Các khái niệmnày cho ta một công cụ hữu ích để nghiên cứu những bài toán về hàmliên tục có Jacobian xấp xỉ và cũng có những phép tính khá tốt, tươngứng với các phép tính của đạo hàm thông thường như phép lấy tích, tổng,hợp, định lý về giá trị trung bình, Đặc biệt, nhiều dưới vi phân cũng làJacobian xấp xỉ, ví như dưới vi phân của hàm lồi, hàm Lipschitz đã nói

ở trên và nhiều dưới vi phân khác như của Moduchovich, Michel-Penot,Treiman, Vì vậy những kết quả thu được bằng sử dụng Jacobian xấp xỉcũng đúng cho các hàm có dưới vi phân theo nghĩa của nhiều tác giả đãđưa ra Hơn nữa, khác với những dưới vi phân đã đề cập đến, Jacobianxấp xỉ ở đây chỉ là tập đóng không nhất thiết bị chặn hoặc lồi Nhờ tínhkhông lồi và không bị chặn mà ta có thể dùng để đặc trưng một số tínhchất của hàm liên tục như tính Lipschitz địa phương, tính lồi, tính đơnđiệu, Việc nghiên cứu Jacobian xấp xỉ đã mở rộng, thống nhất và làmsâu sắc nhiều kết quả trong giải tích không trơn và tối ưu hoá Lý thuyếtJacobian xấp xỉ đang là đề tài được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiêncứu

Với mong muốn được tìm hiểu kỹ hơn về lý thuyết Jacobian xấp xỉ,cùng với sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Nguyễn XuânTấn, tôi xin giới thiệu đề tài:

“LÝ THUYẾT JACOBIAN XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài này là tập trung trình bày có hệ thốngmột số kết quả về Jacobian xấp xỉ của một hàm liên tục trong không gianhữu hạn chiều, trước hết là hàm vô hướng, sau đó là hàm véctơ dựa trên

cơ sở các kết quả mà V.Jeyakumar, D.T.Luc và các cộng sự nghiên cứu Lýthuyết tối ưu vô hướng và véctơ được phát triển mạnh trong những thập

niên cuối thế kỷ 20 và đầu thế kỷ 21 và đã được ứng dụng vào nhiều lĩnhvực quan trọng của toán học, đặc biệt trong lĩnh vực kinh tế Trong nhữngnăm gần đây, lý thuyết này vẫn còn là đề tài hấp dẫn đối với nhiều nhàtoán học trong và ngoài nước và vẫn còn đang được quan tâm nghiên cứu

và ứng dụng Người ta đã mở rộng các kết quả thu được cho những trườnghợp tổng quát hơn như trường hợp ánh xạ véctơ, ánh xạ đa trị trong nhữngkhông gian vô hạn chiều

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết Jacobian xấp xỉ và ứng dụng

- Sử dụng các kết quả và ý tưởng của các tác giả đã công bố trên các tạpchí để hệ thống lại theo cách hiểu và vận dụng của mình trong các trườnghợp ứng dụng vào các bài toán không trơn trong thực tế

- Luôn luôn gắn những bài toán trên vào các lĩnh vực ứng dụng trong lýthuyết tối ưu, điều khiển tối ưu liên quan tới các hàm không trơn, để tìm

ra các kết quả mới trong lĩnh vực này

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Trước hết tìm hiểu thật kỹ các kiến thức cơ bản thuộc lĩnh vực giải tíchhiện đại liên quan tới hàm véctơ và giải tích đa trị, đặc biệt là các tínhchất của các hàm có Jacobian xấp xỉ

- Sử dụng các tính chất khác nhau của Jacobian xấp xỉ để tìm các điềukiện cần và đủ cho việc tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu liên quan tớihàm có Jacobian xấp xỉ và đưa ra các ứng dụng trong các bài toán thựctế

- Phân tích đặc thù riêng của từng loại bài toán để tìm ra các phươngpháp khác nhau cho việc áp dụng lý thuyết Jacobian xấp xỉ - Ứng dụngbài toán tối ưu Jacobian xấp xỉ vào một số bài toán khác trong lý thuyếttối ưu như bài toán điểm cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân

5 Phương pháp nghiên cứu

Dịch, đọc tài liệu, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo

Phân tích, tổng hợp kiến thức để phục phục vụ cho mục đích nghiêncứu

6 Những đóng góp mới của đề tài

- Hoàn thành luận văn về đề tài lý thuyết tối ưu Jacobian xấp xỉ và ứngdụng, dày khoảng 80 trang

- Tìm ra những ứng dụng có ý nghĩa trong lý thuyết tối ưu liên quan tớicác hàm có Jacobian xấp xỉ

- Làm rõ, hệ thống các kiên thức về hàm khả vi, Jacobian xấp xỉ, ứng dụngcủa Jacobian xấp xỉ

Chương 1 HÀM KHẢ VI

Trong khoảng ba thập kỷ vừa qua, lý thuyết tối ưu đã thay đổi và pháttriển nhanh chóng nhằm giải quyết kịp thời những bài toán thường gặptrong thực tế được quy về dạng min

x∈D f (x), trong đó D là một tập trongkhông gian Rn còn f là hàm số xác định trên một tập chứa D Một lớphàm số rất quan trọng trong loại bài toán này là hàm khả vi

trong đó h = (h1, h2, , hn) ∈ Rn, ε (h) → 0 khi h → 0.

Hàm tuyến tính L được gọi là đạo hàm của f tại a, kí hiệu là f/(a) hay

Df (a)

Hàm f được gọi là khả vi trong U nếu nó khả vi tại mọi điểm x ∈ U

Từ định nghĩa ta có thể chứng minh được các định lí sau

Định lí 1.2.1 Nếu f khả vi tại a thì đạo hàm tương ứng được xác địnhduy nhất

Định lí 1.2.2 Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a

Định nghĩa 1.2.2 Ta nói f khả vi theo hướng v ∈ Rn tại a nếu tồn tạigiới hạn

Định nghĩa 1.2.3 Nếu f/(a, ei) tồn tại thì được gọi là đạo hàm riêng thứ

i của hàm f tại a, hay đạo hàm riêng theo biến xi của hàm f tại a và kíhiệu là ∂f

∂x i (a) hay Dif (a) hoặc fx/i (a)

Ta có mối quan hệ giữa đạo hàm, đạo hàm riêng và đạo hàm theohướng như sau:

Định lí 1.2.3 Nếu hàm f khả vi tại a thì f có đạo hàm riêng theo mọibiến a và

Định lí 1.2.4 Nếu hàm f có các đạo hàm riêng ∂f

∂x 1 (x) ,∂x∂f2 (x) , , ∂x∂fn (x)trong một lân cận nào đó tại điểm a và chúng là các hàm số liên tục tại athì hàm f khả vi tại a và

f/(a, v) = f/(a) (v) = h∇f(a), vi (v1, v2, , vn) ∈ Rn

Cho U là tập mở trong Rn, hàm f : U → R, a = (a1, a2, , an) ∈ U Giả

sử Dif (x) tồn tại với mọi x ∈ U Như thế ta có ánh xạ

Dif : U → R, x 7→ Dif (x) Định nghĩa 1.2.4 Nếu hàm Dif có đạo hàm riêng theo biến thứ j tại athì đạo hàm này được gọi là đạo hàm riêng cấp hai của f tại a theo biếnthứ i và thứ j hay theo các biến xi và xj, kí hiệu là Dijf (a) hay ∂x∂i2∂xf j(a).Định lí 1.2.6.(Định lí Schwarz)

Cho U là tập mở trong Rn, hàm f : U → R, a = (a1, a2, , an) ∈ U Nếu

∂xα11 ∂xα22 ∂xαnn (a), với α = (α1, α2, , αn) là bộ n số nguyênkhông âm , |α| = α1 + α2 + + αn = p

Giả sử f khả vi trong U Khi đó ta có ánh xạ

f/ : U → L (Rn, R) , x → f/(x)

Ánh xạ B nếu tồn tại là duy nhất và được gọi là đạo hàm của f/ tại a hayđạo hàm cấp hai của f tại a, kí hiệu là f//(a) hay D2f (a).

iii) Hàm f gọi là khả vi cấp hai trên U nếu f khả vi cấp hai tại mọi x ∈ U.Khi đó nếu ánh xạ f// : x → f//(x) là liên tục thì f được gọi là khả vi cấphai liên tục hay thuộc lớp C2 trên U, kí hiệu là f ∈ C2(U )

Định lí 1.2.7 Giả sử f khả vi cấp hai tại a Khi đó f//(a) là ánh xạ songtuyến tính đối xứng từ Rn × Rn vào R.

Bằng quy nạp ta có thể định nghĩa hàm khả vi cấp p, đạo hàm cấp pcủa f tại a, kí hiệu là f(p)(a) hay D(p)f (a); hàm khả vi liên tục cấp p haythuộc lớp Cp trên U Nếu f khả vi cấp p tại a thì f(p)(a) là ánh xạ p-tuyếntính đối xứng từ Rn

× Rn× × Rn

p

vào R Khi f khả vi cấp p tại a, ta sẽ

viết Dpf (a)(hp) thay cho việc viết Dpf (a)(h, h, , h

ma trận này gọi là ma trận Hessian của f tại a.

và tính được gần đúng giá trị của đạo hàm

1 Phép nhân vô hướng

Định lí 1.2.10 Giả sử f : U → R khả vi tại a, λ ∈ R Khi đó hàm λfcũng khả vi tại a và

f (b) − f (a) = f/(c) (b − a)

4 Đạo hàm hàm hợp

Định lí 1.2.13 Cho U là một tập mở trong Rn, hàm f : U → Rm với

f = (f1, f2, , fn) Giả sử với mỗi i = 1, 2, , m hàm fi khả vi tại a ∈ U, V

là tập mở chứa f(a) trong Rm, hàm g : V → R khả vi tại f(a) Khi đóhàm h = g◦f : U → R khả vi tại a và

h/(a) = g/(f (a))f1/(a) , f2/(a) , , fm/ (a) (1.2.1)

f (a + h) = f (a) + 1

1!Df (a) (h) +

12!D

2f (a) h2
+ +

+ 1k!D

kf (a) hk
+ okhkk

1.3 Hàm khả vi từ Rn đến Rm

Trong mục này ta sẽ trình bày các khái niệm và các kết quả được

mở rộng từ hàm vô hướng khả vi cho hàm vectơ khả vi

1.3.1 Các định nghĩa và tính chất

Cho U là tập mở trong Rn, f : U → Rm là hàm vectơ, f =(f1, f2, , fm), a ∈ U Ta kí hiệu L(Rn, Rm) là không gian các ánh xạ tuyếntính liên tục từ Rn vào Rm

Định nghĩa 1.3.1 Hàm f được gọi là khả vi tại điểm a nếu tồn tại mộtánh xạ tuyến tính liên tục L ∈ L(Rn, Rm) sao cho

kf (a + h) − f (a) − L (h)k = o (khk)

hay là kf (a + h) − f (a) − L (h)k = ε (h) khk ,trong đó h = (h1, h2, , hn) ∈ Rn, ε (h) → 0 khi khk → 0 Ánh xạ tuyếntính L được gọi là đạo hàm của f tại a, kí hiệu là f/(a) hay Df (a).

Hàm f được gọi là khả vi trong U nếu nó khả vi tại mọi điểm x ∈ U.Định lí 1.3.1 Nếu f khả vi tại a thì đạo hàm tương ứng được xác địnhduy nhất

Định lí 1.3.2 Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a

Ta có điều kiện cần và đủ về tính khả vi của hàm f như sau:

Định lí 1.3.3 Hàm f khả vi tại a khi và chỉ khi các hàm thành phần

fi i = 1, m
khả vi tại a Khi đó Df(a) = (Df1(a), Df2(a), , Dfm(a))

Từ đây ta suy ra ma trận của ánh xạ tuyến tính Df(a) là:









D1f1(a) D2f1(a) Dnf1(a)

D1f2(a) D2f2(a) Dnf2(a)

D1fm(a) D2fm(a) Dnfm(a)

Điều kiện đủ: Giả sử trong một lân cận nào đấy của điểm dừng x0 hàm

f khả vi cấp hai và tất cả các đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại x0 Khi

đó, nếu D2f x0
h2
> 0 ∀h ∈ Rn, h 6= 0 thì x0 là cực tiểu địa phươngcủa bài toán (P1)

1.4.2 Bài toán trơn với ràng buộc bất đẳng thức

Xét bài toán:

min

Trong đó D = x ∈ Rn : φi(x) = 0, i = 1, m ; các hàm f, φi : Rn → R.Với các bài toán có ràng buộc, một công cụ hữu ích được sử dụng rộng rãikhi nghiên cứu là hàm Lagrange

Hàm Lagrange của bài toán (P2) được thiết lập như sau:

L (x, λ) := f (x) + λ1φ1(x) + + λmφm(x) (λ = (λ1, λ2, , λm) ∈ Rm) Khi đó bài toán (P2) được đưa về bài toán tối ưu không ràng buộc vớihàm mục tiêu là hàm Lagrange Ta có điều kiện cần của bài toán (P2) nhưsau:

Điều kiện cần: Giả sử x0 là cực tiểu địa phương của (P2); hàm f

và mọi hàm φi i = 1, m
khả vi liên tục trong một lân cận của x0 và

Dφ1 x0
, Dφ2 x0
, , Dφm x0
độc lập tuyến tính Khi đó, tồn tại λ∗ =(λ∗1, λ∗2, , λ∗m) sao cho:

L/x x0, λ∗
= 0 hay Df x0
+ λ∗1Dφ1 x0
+ + λ∗mDφm x0
= 0.Điểm x0 ∈ D gọi là điểm dừng ứng với giá trị λ0 = λ01, λ02, , λ0m
nếu

L/x x0, λ0
= 0

Khảo sát các điểm dừng ta thu được điều kiện đủ sau:

Điều kiện đủ: Giả sử trong một lân cận nào đó của điểm dừng x0 ứngvới giá trị λ0, hàm f và mọi hàm φi i = 1, m
khả vi cấp hai và có tất

cả các đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại x0 Nếu L//

x x0, λ0
h2
> 0

∀h ∈ Rn, h 6= 0, thì x0 là điểm cực tiểu địa phương của (P2)

Chương 2 JACOBIAN XẤP XỈ

Trong chương này, trước tiên ta đưa ra các khái niệm ma trận Jacobianxấp xỉ, để xấp xỉ các hàm số và hàm vectơ không trơn Khái niệm này

đã được Jeyakumar và Đinh Thế Lục đưa ra khoảng 15 năm trở lại đây

và đang được ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết tối ưu liên quan tới cáchàm liên tục Sau đó, ta đi nghiên cứu các tính chất và các phép tính choJacobian xấp xỉ Đồng thời ta cũng chỉ ra dưới vi phân của hàm lồi và dưới

vi phân Clarke, dưới vi phân Michel-Penot của hàm Lipschitz địa phươngđều là các Jacobian xấp xỉ Điều đó cho thấy những kết quả nhận được vớiJacobian xấp xỉ là tổng quát hơn các kết quả đã biết trong giải tích lồi vàgiải tích Lipschitz, như tính chất cực trị và định lý giá trị trung bình Cuốicùng, ta đưa ra khái niệm Hessian xấp xỉ của hàm khả vi liên tục cùng vớicông thức Taylor, chúng sẽ được sử dụng cho việc nghiên cứu bài toán tối

ưu ở chương sau

2.1 Định nghĩa và tính chất

Cho hàm thực mở rộng f : Rn → R, ở đây R = R∪{±∞} Cho x ∈ Rn,

|f(x)| < +∞ Trong phần này, không giảm tổng quát ta xem hàm f là liêntục Khái niệm Jacobian xấp xỉ được định nghĩa thông qua khái niệm đạohàm Dini trên, dưới theo hướng của hàm f Ta nhắc lại:

Định nghĩa 2.1.1 Đạo hàm Dini trên (dưới) của hàm f theo hướng

t↓0 inf f (x + tv) − f(x)

Nhận xét 2.1.1 Trong trường hợp f−

d (x, v) = fd+(x, v) thì f có đạo hàmtheo hướng v tại x và

f′(x, v) = fd−(x, v) = fd+(x, v) = lim

t↓0

f (x + tv) − f(x)

Định nghĩa 2.1.2 Ta nói hàm f có một Jacobian xấp xỉ trên (dưới)

∂∗f (x) (∂∗f (x)) tại x nếu: ∂∗f (x) ⊂ Rn(∂∗f (x) ⊂ Rn) là tập đóng và vớimỗi v ∈ Rn có:

fd−(x, v) ≤ sup

x ∗ ∈∂ ∗ f (x)hx∗, vi(fd+(x, v) ≥ inf

x ∗ ∈∂ ∗ f (x)hx∗, vi)

Định nghĩa 2.1.3 Ta nói hàm f có một Jacobian xấp xỉ ∂xf (x) tại x nếu

∂xf (x) đồng thời là Jacobian xấp xỉ trên và Jacobian xấp xỉ dưới của f tạix

Điều này có nghĩa : ∂xf (x) ⊂ Rn là tập hợp đóng và với mỗi v ∈ Rn có:

fd−(x, v) ≤ sup

x ∗ ∈∂ x f (x)hx∗, vi và fd+(x, v)≥ inf

x ∗ ∈∂ x f (x)hx∗, vi (2.1)Nếu với mỗi x ∈ Rn, ∂xf (x) là một Jacobian xấp xỉ của f tại x thì ánh xạ

đa trị ∂xf : x 7→ ∂xf (x) được gọi là ánh xạ Jacobian xấp xỉ của f

Nhận xét 2.1.2 Với các định nghĩa trên ta dễ dàng thấy rằng:

i) Điều kiện (2.1) tương đương với điều kiện:

∀v ∈ Rn : max{fd−(x, v), −fd+(x,−v)} ≤ s(v|∂xf (x)),

ở đây s(v|A) := sup

ξ∈Ahv, ξi (v ∈ Rn) là hàm tựa của tập A ∈ Rn.ii) Nếu ∂xf (x) là một Jacobian xấp xỉ của f tại x thì bất kì tập đóng nàocủa Rn mà chứa ∂xf (x) cũng là Jacobian xấp xỉ của f tại x Như vậy nhìnchung Jacobian xấp xỉ của f tại một điểm là không duy nhất

Ta sẽ minh họa khái niệm trên bằng một số ví dụ và qua đó thấy rằngJacobian xấp xỉ không nhất thiết là tập lồi hoặc compact

2 Dưới vi phân của hàm lồi

Giả sử f là hàm lồi trên Rn

Định nghĩa 2.1.4 Dưới vi phân của hàm lồi f tại x, kí hiệu là ∂f(x) vàđược định nghĩa như sau:

∂f (x) := {x∗ ∈ Rn : f (x) − f(x) ≥ hx∗, x − xi ∀x ∈ Rn}

Mệnh đề 2.1.2 Nếu f là hàm lồi chính thường trên Rn thì ∂f(x) 6= φ,lồi, compact và

f′(x, v) = max {hx∗, vi : x∗ ∈ ∂f(x)} ∀v ∈ Rn.Mệnh đề 2.1.3 Giả sử f là hàm lồi chính thường trên Rn Khi đó, ∂f(x)

là một Jacobian xấp xỉ lồi, compact của f tại x

Chứng minh: Từ mệnh đề 2.1.2, ta có ∂f(x) 6= φ, lồi, compact

đề được chứng minh.

3 Gradient suy rộng của hàm Lipschitz địa phương

Giả sử hàm f Lipschitz địa phương tại x

Định nghĩa 2.1.5 Đạo hàm suy rộng trên và dưới Clarke của f theohướng v ∈ Rn tại x tương ứng kí hiệu là f0(x, v) và f0(x, v) được địnhnghĩa như sau:

số K tại x Khi đó:

i) ∂0f (x) 6= φ, lồi, compact trong Rn và kξk ≤ K ∀ξ ∈ ∂0f (x)

ii) Với mọi v ∈ Rn ta có f0(x, v) = maxhξ, vi : ξ ∈ ∂0f (x)

và f0(x, v) = minhξ, vi : ξ ∈ ∂0f (x)

Mệnh đề 2.1.5 Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x Khi đó,

∂0f (x) là một Jacobian xấp xỉ lồi, compact của f tại x

Chứng minh: Từ mệnh đề 2.1.4, ∂0f (x) 6= φ, lồi, compact và mọi v ∈ Rn

Nhận xét 2.1.3 Do hàm f xét trong không gian hữu hạn chiều nên cụthể hơn ta có

∂0f (x) = conlim

n→∞∇f(xn) : xn ∈ Ωf, x/ n ∈ S, x/ n → xo,

trong đó Ωf là tập tất cả các điểm mà tại đó hàm f không khả vi, S là tậptùy ý trong Rn có độ đo Lebesgue bằng 0 Kí hiệu co(A) và co(A) tươngứng là bao lồi và bao đóng của tập A.

Vìnlim

n→∞∇f (xn) : xn ∈ Ωf, x/ n ∈ S, x/ n → xolà tập compact và ∂0f (x)

là một Jacobian xấp xỉ của f tại x nên tập

nlim

n→∞∇f (xn) : xn ∈ Ωf, x/ n ∈ S, x/ n → xocũng là một Jacobian xấp xỉ của f tại x

Tiếp theo ta sẽ chỉ ra một dưới vi phân khác của hàm Lipschitz địaphương cũng là Jacobian xấp xỉ

Định nghĩa 2.1.7 Đạo hàm trên và dưới Michel-Penot của f theo hướng

v ∈ Rn tại x, tương ứng kí hiệu là f♦(x, v) và f♦(x, v) được định nghĩanhư sau:

∂♦f (x) 6= φ, là tập lồi, compact trong Rn và:

f♦(x, v) = max

x ∗ ∈∂ ♦ f (x)hx∗, vi ∀v ∈ Rn

f♦(x, v) = min

x ∗ ∈∂ ♦ f (x)hx∗, vi ∀v ∈ Rn.Mệnh đề 2.1.7 Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x Khi đó,

∂♦f (x) là một Jacobian xấp xỉ lồi, compact của f tại x

Chứng minh: Ta biết từ mệnh đề 2.1.6, ∂♦f (x) 6= φ, là tập lồi, compact

∂0f (x) và ∂♦f (x) đều là các Jacobian xấp xỉ của f tại x Hơn nữa, các ví

dụ dưới đây sẽ cho ta thấy rằng chúng còn có thể chứa thực sự bao lồi củamột Jacobian xấp xỉ và trong trường hợp tại x hàm không Lipschitz địaphương thì tại đó f không có gradient suy rộng Clarke, tuy nhiên vẫn cóthể tồn tại Jacobian xấp xỉ của f tại x Nhờ đó mà những điều kiện nhậnđược bằng sử dụng Jacobian xấp xỉ sẽ sâu sắc hơn, ngay cả khi hàm làLipschitz địa phương

Ví dụ 2.1.3 Cho hàm f : R2 → R xác định bởi f (x, y) = |x| − |y|

Khi đó tại 0 hàm f có một Jacobian xấp xỉ là tập ∂xf (0) = {(1, −1), (−1, 1)}.Mặt khác f là hàm Lipschitz địa phương tại 0 và

∂0f (0) = co({(1, 1), (−1, 1), (1, −1), (−1, −1)})

Do đó co(∂xf (0)) ⊂ ∂0f (0)

Ví dụ 2.1.4 Cho hàm f : R → R xác định bởi f(x) = x1

3.Khi đó f không Lipschitz địa phương tại 0, vì vậy không tồn tại gradientsuy rộng Clarke của f tại 0 Tuy nhiên tại điểm này ta có thể chỉ ra mộtJacobian xấp xỉ của f là ∂xf (0) = {α ∈ R : α ≥ 1}

Tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh một số tính chất của Jacobian xấpxỉ

Định lí 2.1.1 Giả sử hàm f : Rn → R có một Jacobian xấp xỉ ∂xf (x) tại

x Nếu f đạt cực trị tại x thì 0 ∈ co(∂xf (x) )

Chứng minh: Giả sử f đạt cực tiểu tại x Khi đó với mỗi v ∈ Rn ta có

fd−(x, v) ≥ 0 Vì ∂xf (x) là Jacobian xấp xỉ của f tại x nên

sup

x ∗ ∈∂ x f (x)hx∗, vi ≥ fd−(x, v) ≥ 0

x ∗ ∈co(∂ x f (x))hx∗, vi ≥ 0 ∀v ∈ Rn Vậy 0 ∈ co(∂xf (x))

Trường hợp f đạt cực đại tại x thì với mỗi v ∈ Rn ta có:

inf

x ∗ ∈∂ x f (x)hx∗, vi ≤ fd+(x, v) ≤ 0

x ∗ ∈∂ x f (x)hx∗, vi ≥ 0 ∀v ∈ Rn

Từ đây suy ra 0 ∈ co(∂xf (x) ) Định lí được chứng minh

Ta đã thấy rằng Jacobian xấp xỉ (trên/dưới) của hàm f tại một điểmnhìn chung là không duy nhất Khi ta xét tập Jx 6= φ là tập hợp tất cả cácJacobian xấp xỉ (trên/dưới) của hàm f tại x với quan hệ thứ tự là quan

hệ bao hàm thì đó là tập được sắp từng phần Vì vậy, trong Jx sẽ có phần

tử tối thiểu Khi đó ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 2.1.9 Jacobian xấp xỉ (trên/dưới) ∂∗f (x) của f tại x đượcgọi là Jacobian xấp xỉ (trên/dưới) tối thiểu của f tại x nếu tại x không tồntại một Jacobian xấp xỉ (trên/dưới) C(x) nào của f mà C(x) ∈ ∂∗f (x),C(x) 6= ∂∗f (x)

Về quan điểm ứng dụng thì một Jacobian xấp xỉ "càng nhỏ" lại "càngtốt" Vì vậy một vấn đề được đặt ra là tìm điều kiện cho sự duy nhất vàtối thiểu cho Jacobian xấp xỉ (trên/dưới) Để có khái niệm này trước tiên

ta trình bày khái niệm Jacobian xấp xỉ chính quy trên (dưới), chúng đóngmột vai trò quan trọng trong đặc trưng của Jacobian xấp xỉ tối thiểu.Định nghĩa 2.1.10 Ta nói hàm f : Rn → R có một Jacobian xấp xỉ chínhquy trên (dưới) ∂∗f (x) ⊂ Rn(∂∗f (x) ⊂ Rn) tại x nếu ∂∗f (x) (∂∗f (x)) làtập đóng và ∀v ∈ Rn ta có:

fd+(x, v) = sup

x ∗ ∈∂ ∗ f (x)hx∗, vi(fd−(x, v) = inf

x ∗ ∈∂ ∗ f (x)hx∗, vi)

Định nghĩa 2.1.11 Nếu ∂xf (x) ⊂ Rn vừa là Jacobian xấp xỉ chính quytrên vừa là Jacobian xấp xỉ chính quy dưới của hàm f tại x thì ta gọi

∂xf (x) là Jacobian xấp xỉ chính quy của f tại x

Nhận xét 2.1.4 Mỗi Jacobian xấp xỉ chính quy trên (dưới) của f tại xđều là Jacobian xấp xỉ của f tại x

Ta sẽ thấy mối quan hệ giữa tính khả vi của f và tính chính quycủa Jacobian xấp xỉ qua định lý dưới đây Trước hết ta nhắc lại: Hàm

f : Rn → Rm được gọi là khả vi Gateaux tại x nếu tồn tại x∗ ∈ L(Rn, Rm)sao cho với mỗi v ∈ Rn ta có:

f (x + tv) = f (x) + tx∗(v) + o(t)

Khi đó , ta gọi x∗ là đạo hàm Gateaux của f tại x

Định lí 2.1.2 Hàm f : Rn → R khả vi Gateaux tại x khi và chỉ khi f khả

vi theo hướng tại x và f có một Jacobian xấp xỉ chính quy tại x

Chứng minh: Giả sử f khả vi Gateaux tại x với đạo hàm Gateaux

fG/(x) = x∗.Điều này có nghĩa là

f (x + tv) = f (x) + t hx∗, vi + o(t) ∀v ∈ Rn.Khi đó f khả vi theo hướng tại x và f/(x, v) = hx∗, vi ∀v ∈ Rn (2.1.2).Bằng cách lấy ∂xf (x) = {x∗} thì ∂xf (x) ⊂ Rn là tập đóng và từ (2.1.2)suy ra:

Bây giờ thông qua điểm cực biên chúng ta sẽ thấy được tính duy nhất

và tối thiểu của Jacobian xấp xỉ

Định nghĩa 2.1.12 Cho tập A ⊂ Rn Điểm x ∈ A được gọi là điểm cựcbiên của A nếu A không chứa bất kì một đoạn thẳng nào nhận x là điểmtrong Tức là tồn tại hai điểm x1, x2 ∈ A, x1 6= x2, λ ∈ (0, 1) sao cho

Chứng minh:

Giả sử ∂∗f (x) Jacobian xấp xỉ compact chính quy trên của f tại x

Lấy A là một Jacobian xấp xỉ chính quy trên bất kì của f tại x Khi đó

∀v ∈ Rn ta có:

fd+(x, v) = max

x ∗ ∈∂ ∗ f (x)hx∗, vi = sup

x ∗ ∈Ahx∗, vi ,

Vì vậy A là tập compact trong Rn với co(∂∗f (x)) = co(A)

Suy ra Ext(co(∂∗f (x))) = Ext(co(A))

Ta có (Ext(co(A)) ∩ A) ⊂ Ext(A)

Vì Ext(co(A)) ⊂ A , suy ra Ext(co(A)) ⊂ Ext(A)

Thành thử Ext(co(∂∗f (x))) = Ext(co(A)) ⊂ Ext(A) ⊂ A

Vì A là tập đóng nên Ext(co(∂∗f (x))) ⊂ A = A.

Mặt khác do ∂∗f (x) là một Jacobian xấp xỉ compact chính quy trên của

f tại x nên với ∀v ∈ Rn ta có:

fd+(x, v) = max

x ∗ ∈∂ ∗ f (x)hx∗, vi = max

x ∗ ∈Ext(co(∂ ∗ f (x)))hx∗, vi Suy ra Ext(co(∂∗f (x))) cũng là một Jacobian xấp xỉ chính quy trên của ftại x

Vậy Ext(co(∂∗f (x))) là một Jacobian xấp xỉ chính quy trên tối thiểu duynhất của f tại x

Trong trường hợp ∂∗f (x) là Jacobian xấp xỉ compact chính quy dưới của ftại x, chứng minh tương tự như trên ta được Ext(co(∂∗f (x))) là Jacobianxấp xỉ chính quy dưới tối thiểu duy nhất của f tại x Định lí được chứngminh

Nhận xét 2.1.5 Nếu hàm f : Rn → R có một Jacobian xấp xỉ compactchính quy ∂xf (x) tại x Khi đó Ext(co(∂xf (x))) là Jacobian xấp xỉ chínhquy tối thiểu duy nhất của f tại x

Trong định lí trên nếu thêm điều kiện khả vi theo hướng của f thì tathu được kết quả mạnh hơn

Định lí 2.1.4 Nếu hàm f : Rn → R khả vi theo hướng tại x và có mộtJacobian xấp xỉ compact chính quy trên (dưới) ∂∗f (x) (∂∗f (x)) tại x thìExt(co(∂∗f (x))) (Ext(co(∂∗f (x)) ) là một Jacobian xấp xỉ trên (dưới) tốithiểu của f tại x

Chứng minh: Giả sử ∂∗f (x) Jacobian xấp xỉ compact chính quy trên của

f tại x Theo định lí 2.1.3 thì Ext(co(∂∗f (x))) là một Jacobian xấp xỉ trêncủa f tại x Lấy A ⊂ Ext(co(∂∗f (x))) là một Jacobian xấp xỉ trên nào đócủa f tại x Khi đó A ⊂ ∂∗f (x) và A là tập compact do A đóng, ∂∗f (x) làtập compact Ta có f−

Ta lại có Ext(co(∂∗f (x) )) = Ext(co(A )) ⊂ Ext(A ) ⊂ A.

Lấy bao đóng hai vế ta được Ext(co(∂∗f (x) )) ⊂ A = A

Do đó Ext(co(∂∗f (x) )) = A

Vậy Ext(co(∂∗f (x) )) là một Jacobian xấp xỉ trên tối thiểu của f tại x.Với ∂∗f (x) là một Jacobian xấp xỉ compact chính quy dưới của f tại x, bằngcách chứng minh tương tự như trên ta cũng được kết quả Ext(co(∂∗f (x) ))

là một Jacobian xấp xỉ dưới tối thiểu của f tại x Định lí được chứng minh.Nhận xét 2.1.6 Nếu hàm f : Rn → R khả vi theo hướng tại x và cómột Jacobian xấp xỉ chính quy ∂xf (x) tại x thì Ext(co(∂xf (x) )) là mộtJacobian xấp xỉ tối thiểu của f tại x

Ta sẽ thấy Jacobian xấp xỉ trên (dưới) tối thiểu duy nhất của hàm ftrong một số trường hợp đặc biệt sau:

1) Hàm f lồi chính thường trên Rn Khi đó: từ mệnh đề 2.1.2 ta suy radưới vi phân ∂f(x) của f tại x là một Jacobian xấp xỉ lồi, compact chínhquy trên của f tại x Vì vậy từ định lí 2.1.3 suy ra Ext(∂f(x) ) là Jacobianxấp xỉ chính quy trên tối thiểu duy nhất của f tại x

Hơn nữa, f khả vi theo hướng tại x Do đó theo định lí 2.1.4 thì Ext(∂f(x) )

là một Jacobian xấp xỉ trên tối thiểu của f tại x

2) Hàm Lipschitz địa phương tại x Ta có ∀v ∈ Rn

với Bn là hình cầu đơn vị mở trong Rn.

Ta nhắc lại: Hàm f hữu hạn và liên tục tại x được gọi là chính quy trên(dưới) tại x nếu ∀v ∈ Rn ta có: f+

d (x, v) = f↑(x, v) fd−(x, v) = f↓(x, v)
.Dựa vào đây ta dễ dàng suy ra:

Nếu f là Lipschitz địa phương và chính quy trên (dưới) tại x, thì gradientsuy rộng Clarke ∂0f (x) của f tại x là một Jacobian xấp xỉ chính quy trên(dưới) của f tại x

Do ∂0f (x) là tập lồi, compact nên từ định lí 2.1.3 và định nghĩa 2.1.10 ta

1 Phép nhân vô hướng

Định lí 2.2.1 Cho ∂∗f (x) và ∂∗f (x) tương ứng là các Jacobian xấp xỉtrên và Jacobian xấp xỉ dưới của f tại x Khi đó:

i) Nếu λ > 0 thì λ ∂∗f (x) và λ ∂∗f (x) tương ứng là các Jacobian xấp xỉtrên và Jacobian xấp xỉ dưới của f tại x

ii) Nếu λ < 0 thì λ ∂∗f (x) và λ ∂∗f (x) tương ứng là các Jacobian xấp xỉdưới và Jacobian xấp xỉ trên của f tại x

Chứng minh:

* Ta xét trường hợp λ > 0:

* Trường hợp λ < 0 ta có:

∀v ∈ Rn : (λf )+d(x, v) = λfd−(x, v) và (λf )−d(x, v) = λfd+(x, v)

Tiếp theo sử dụng cách chứng minh của trường hợp trên ta nhận đượckết quả λ ∂∗f (x) và λ ∂∗f (x) tưng ứng là Jacobian xấp xỉ dưới và Jacobianxấp xỉ trên của λf tại x Định lí được chứng minh

Kết quả trong định lí sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa 2.1.3

và định lí trên

Định lí 2.2.2 Nếu ∂xf (x) là một Jacobian xấp xỉ của f tại x thì với λ 6= 0

ta có λ ∂xf (x) là một Jacobian xấp xỉ trên của λf tại x

Nhận xét 2.2.1 Định lí 2.2.1 cũng thỏa mãn đối với Jacobian xấp xỉchính quy trên và dưới vì vậy định lí 2.2.2 thỏa mãn với Jacobian xấp xỉchính quy

2 Phép cộng

Định lí 2.2.3 Giả sử các hàm f, g : Rn → R tương ứng có Jacobian xấp

xỉ trên ∂∗f (x) và ∂∗g(x) tại x và một trong hai Jacobian xấp xỉ trên đó

là Jacobian xấp xỉ chính quy trên tại x Khi đó ∂∗f (x) + ∂∗g(x) là mộtJacobian xấp xỉ trên của f + g tại x

Chứng minh: Giả sử ∂∗f (x) là một Jacobian xấp xỉ trên của f tại x còn

∂∗g(x) là một Jacobian xấp xỉ chính quy trên của g tại x

Nhận xét 2.2.2 Với cách chứng minh hoàn toàn tương tự ta thấy định

lí 2.2.3 cũng thỏa mãn với Jacobian xấp xỉ dưới, nghĩa là:

Nếu các hàm f, g : Rn → R tương ứng có Jacobian xấp xỉ dưới ∂∗f (x) và ∂∗g(x)tại x và một trong hai Jacobian xấp xỉ dưới đó là Jacobian xấp xỉ chínhquy dưới tại x Khi đó ∂∗f (x) + ∂∗g(x) là một Jacobian xấp xỉ dưới của

f + g tại x

Từ đây ta có ngay:

Định lí 2.2.4 Giả sử các hàm f, g : Rn → R tương ứng có Jacobian xấp

xỉ ∂xf (x) và ∂xg(x) tại x và một trong hai Jacobian xấp xỉ đó là Jacobianxấp xỉ chính quy tại x Khi đó ∂xf (x) + ∂xg(x) là một Jacobian xấp xỉ của

Chứng minh: Ta có ∂∗f (x) + {g′(x)} là tập đóng trong Rn Mặt khác,

do ∂∗f (x) là một Jacobian xấp xỉ chính quy trên của f tại x và g khả viGateaux tại x nên với mỗi v ∈ Rn ta có:

Nhận xét 2.2.3 Với cách chứng minh hoàn toàn tương tự ta thấy định lí2.2.5 cũng thỏa mãn Jacobian xấp xỉ dưới, tức là: Nếu hàm f : Rn → R cómột Jacobian xấp xỉ chính quy dưới ∂∗f (x) tại x và nếu hàm g : Rn → Rkhả vi Gateaux tại x với đạo hàm g′(x) thì tập ∂∗f (x) + {g′(x)} là mộtJacobian xấp xỉ chính quy dưới của f + g tại x Vì vậy ta có ngay:

Định lí 2.2.6 Nếu hàm f : Rn → R có một Jacobian xấp xỉ chính quy

∂xf (x) tại x và nếu hàm g : Rn → R khả vi Gateaux tại x với đạo hàm

g′(x) thì tập ∂xf (x) + {g′(x)} là một Jacobian xấp xỉ chính quy của f + gtại x

Vì vậy ∂∗h(x0) là một Jacobian xấp xỉ trên của h tại x0.

Tương tự nếu f2(x0) > f1(x0) thì ∂∗h (x0) = ∂∗f2(x0) cũng là Jacobianxấp xỉ trên của h tại x0 Bây giờ ta giả sử rằng f1(x0) = f2(x0)

Khi đó I(x0) = I và ∂∗h (x0) = ∂∗f1(x0) ∪ ∂∗f2(x0) là một tập đóng trong

x0 Định lí được chứng minh

Nhận xét 2.2.4 Với cách lập luận như trên ta cũng thu được kết quảtương tự đối với Jacobian xấp xỉ dưới tức là: Với mỗi i ∈ I, nếu fi có mộtJacobian xấp xỉ dưới ∂∗fi(x0) tại x0 thì ∂∗h(x0) := ∪

i∈I(x 0 )∂∗fi(x0) là mộtJacobian xấp xỉ dưới của h tại x0

Từ đây ta suy ra:

Định lí 2.2.8 Với mỗi i ∈ I, nếu fi có một Jacobian xấp xỉ ∂xfi(x0) tại

giả đưa ra bằng những cách tiếp cận khác nhau Trong định lí dưới đây ta

sử dụng Jacobian xấp xỉ trên và dưới, không nhất thiết là tập compact.Khi đó ta sẽ được kết quả sâu sắc hơn, ngay cả trong trường hợp hàmLipschitz địa phương

4 Định lí giá trị trung bình

Định lí 2.2.9 Cho a, b ∈ Rn và f : Rn → R là một hàm mà f [a,b] là hữuhạn và liên tục Giả sử rằng, với mỗi x ∈ (a, b), ∂∗f (x) và ∂∗f (x) tươngứng là Jacobian xấp xỉ trên và Jacobian xấp xỉ dưới của f tại x Khi đó,tồn tại c ∈ (a, b) và một dãy {x∗

k} ⊂ co(∂∗f (c)) ∪ co(∂∗f (c)) sao cho:

f (b) − f(a) = lim

k→∞hx∗k, b − ai Chứng minh: Xét hàm g : [0, 1] → R xác định bởi

g(t) := f (a + t(b − a)) − f(a) + t(f(a) − f(b))

Khi đó hàm g liên tục trên [0, 1] và g(0) = g(1) = 0

Vì vậy tồn tại γ ∈ (0, 1) sao cho g đạt cực trị tại γ

Mà g(γ + dv) − g(γ) = f(a + (γ + dv)(b − a)) − f(a) +

+ (γ + dv)(f (a) − f(b)) − f(a + γ(b − a)) + f(a) − γ(f(a) − f(b))

= f (a + γ(b − a) + dv(b − a)) + dv(f(a) − f(b)) − f(a + γ(b − a))

Vì vậy tồn tại một dãy {x∗

k} ⊂ co(∂∗f (c)) sao cho:

f (b) − f(a) = lim

k→∞hx∗k, b − ai Trường hợp f đạt cực đại tại γ, sử dụng cách chứng minh giống như trên

ta cũng nhận được kết quả: tồn tại dãy {x∗

k} ⊂ co(∂∗f (c)) sao cho:

f (b) − f(a) = lim

k→∞hx∗k, b − ai Như vậy luôn tồn tại một dãy {x∗

k} ⊂ co(∂∗f (c)) ∪ co(∂∗f (c)) sao cho:

f (b) − f(a) = lim

k→∞hx∗k, b − ai Định lí được chứng minh

Nhận xét 2.2.6

i) Từ định lí suy ra tồn tại c ∈ (a, b) sao cho:

f (b) − f (a) ∈ co (h∂∗f (c) ∪ ∂∗f (c) , b − ai) ii) Nếu ∂∗f (c) và ∂∗f (c) là tập compact thì ta có:

f (b) − f(a) = hξ, b − aivới ξ nào đó thuộc co (∂∗f (c)) ∪ co (∂∗f (c))

Ta thấy ngay

Hệ quả 2.2.1 Cho a, b ∈ R và f : Rn → R là một hàm mà f [a,b] là hữuhạn và liên tục Giả sử rằng, với mỗi x ∈ (a, b), ∂xf (x) là Jacobian xấp xỉcủa f tại x Khi đó, tồn tại c ∈ (a, b) sao cho:

f (b) − f(a) ∈ co(h∂xf (c), b − ai)

Hệ quả 2.2.2 Nếu với mỗi x ∈ (a, b), ∂xf (x) là Jacobian xấp xỉ compactcủa f tại x Khi đó, tồn tại c ∈ (a, b) sao cho:

f (b) − f(a) ∈ co(h∂xf (c), b − ai)

Nhận xét 2.2.7

i) Nếu f khả vi trên một tập mở chứa đoạn [a, b] thì tồn tại c ∈ (a, b) saocho:

f (b) − f(a) = Df/(c), b − aE,đây chính là định lí về giá trị trung bình ở chương 1

ii) Nếu f Lipschitz trên một tập mở chứa đoạn [a, b] thì với mọi x ∈ (a, b),gradient suy rộng Clarke ∂0f (x) của f tại x là một Jacobian xấp xỉ lồi,compact của f tại x Do đó, từ hệ quả 2.2.2 suy ra tồn tại c ∈ (a, b) saocho:

f (b) − f(a) ∈ ∂0f (c), b − a.Đây chính là định lí giá trị trung bình của G.Lebourg

Định lí về giá trị trung bình ở trên sẽ được ta sử dụng để chứng minh cáccác kết quả tiếp theo như: Định lí về điều kiện cần và đủ để một hàm liêntục trở thành Lipschitz địa phương, phép tính về Jacobian xấp xỉ của hàmhợp

Ta biết rằng nếu hàm f : Rn → R khả vi thì tính Lipschitz địa phươngcủa f có thể được đặc trưng hóa bởi tính bị chặn địa phương của ánh xạđạo hàm f/ : x 7→ f/(x)

Sử dụng Jacobian xấp xỉ chúng ta có thể mở rộng kết quả trên đối với mộthàm liên tục và sẽ thấy rằng tính Lipschitz địa phương của một hàm liêntục có thể được dặc trưng bởi tính bị chặn địa phương của ánh xạ Jacobianxấp xỉ

Ta nhắc lại một số định nghĩa về ánh xạ đa trị:

Định nghĩa 2.2.1 Cho ánh xạ đa trị F : Rn → 2Rm Ánh xạ F được gọi

là nửa liên tục trên (viết tắt là u.s.c) tại x ∈ Rn, nếu với mọi ε > 0, tồntại δ > 0 sao cho F (x) ⊂ F (x) + εBm ∀x ∈ x + δBn, trong đó Bm, Bn

tương ứng là các hình cầu đơn vị mở trong Rn, Rn.

Định nghĩa 2.2.2 Ánh xạ đa trị F : Rn → 2Rm được gọi là bị chặn địaphương tại x ∈ Rn, nếu tồn tại một lân cận U của x và một hằng số α > 0sao cho kvk ≤ α với mỗi v ∈ F (y) và y ∈ U

Định lí 2.2.10 Cho hàm f : Rn → R liên tục Khi đó, f có ánh xạ cobian xấp xỉ ∂xf bị chặn địa phương tại x khi và chỉ khi f Lipschitz địaphương tại x

Ja-Chứng minh: Giả sử ∂xf bị chặn địa phương tại x Theo định nghĩa, tồntại một lân cận U của x, một số α > 0 sao cho kvk ≤ α ∀v ∈ ∂xf (U ), ởđây ∂xf (U ) := S

Ngược lại giả sử f Lipschitz địa phương tại x Như vậy gradient suyrộng Clarke ∂0f của f là bị chặn địa phương tại x Khi đó ta có thể chọn

nó là ánh xạ Jacobian xấp xỉ của f Định lí được chứng minh

5 Jacobian xấp xỉ của hàm hợp

Định lí 2.2.11 Cho f = (f1, , fm) là hàm liên tục từ Rn tới Rm và cho

g là hàm liên tục từ Rm tới R Giả sử rằng với mỗi i = 1, m; fi có mộtJacobian xấp xỉ bị chặn ∂xfi(x0) tại x0 và g có một Jacobian xấp xỉ bị chặn

∂xg(f (x0)) tại f (x0) Với mỗi i = 1, m nếu ∂xfi là u.s.c tại x0 và ∂xg làu.s.c tại f(x0) thì tập hợp

∂x(g◦f ) := ∂xg(f (x0))(∂xf1(x0), ∂xf2(x0), , ∂xfm(x0)) (2.2)

là một Jacobian xấp xỉ của g◦f tại x0

(Vế phải của (2.2) là tập hợp có dạng:

Chứng minh: Lấy u bất kì thuộc Rn Khi đó:

Mặt khác với ε > 0, tồn tại t0 > 0 sao cho

[x0, x0 + tu] ⊂ x0+ δBn và [f(x0), f (x0+ tu)] ⊂ f(x0) + δBm với t ∈ [0, t0]

Vì ∂xfi(x0) và ∂xg(f (x0)) là các Jacobian xấp xỉ bị chặn nên tồn tại M > 0

không phụ thuộc ε sao cho với mỗi

Bằng cách chứng minh tương tự ta nhận được kết quả:

Tập hợp ∂xg(f (x0)) (∂xf1(x0), ∂xf2(x0), , ∂xfm(x0)) là một Jacobian xấp

xỉ dưới của g◦f tại x0

Vậy ∂xg(f (x0)) (∂xf1(x0), ∂xf2(x0), , ∂xfm(x0)) là một Jacobian xấp xỉcủa g◦f tại x0 Định lí được chứng minh

2.3 Jacobian xấp xỉ của hàm vectơ.

Cũng như đối với đạo hàm của hàm vectơ khả vi trong mục nàychúng ta đề cập đến khái niệm Jacobian xấp xỉ của hàm vectơ Những kếtquả đã có về Jacobian xấp xỉ của hàm thực mở rộng phần trước là cơ sởgiúp ta trình bày các khái niệm, các kết quả tổng quát hơn Ở đây ta chỉxét hàm vectơ liên tục trong không gian hữu hạn chiều

Cho f : Rn → Rm là một hàm vectơ liên tục với f = (f1, f2, , fm).Khi đó, với mỗi v ∈ Rm, v = (v1, v2, , vm) ta có hàm hợp vf : Rn → Rđược xác định bởi:

Thông qua đạo hàm Dini trên theo hướng của hàm vf ta có khái niệmJacobian xấp xỉ của f như sau:

Định nghĩa 2.3.1 Ta nói rằng hàm f có một Jacobian xấp xỉ ∂∗f (x) tại

x ∈ Rn nếu ∂∗f (x) ⊆ L (Rn, Rm) là tập đóng và với mọi v ∈ Rm, u ∈ Rn,

ta có:

(vf )+d (x, u) ≤ sup

M ∈∂ ∗ f (x) hv, M(u)i (2.3.1)Trong đó L(Rn, Rm) là không gian các ánh xạ tuyến tính từ Rn vào Rm

hay là không gian các m x n-ma trận Rm×n với chuẩn Ơclit được xác địnhnhư sau: với M ∈ Rm×n thì kMk = kM1k2 + kM2k2 + + kMmk2

1 2

, ởđây Mi là hàng thứ i của M Ta kí hiệu Bm×n là hình cầu mở đơn vị trong

Rm×n

Mỗi phần tử M ∈ ∂∗f (x) được gọi là một ma trận Jacobian xấp xỉ của ftại x Nếu với mỗi x ∈ Rn, ∂∗f (x) là một Jacobian xấp xỉ của f tại x thìánh xạ đa trị ∂∗f : x 7→ ∂∗f (x) được gọi là ánh xạ Jacobian xấp xỉ của f.Nhận xét 2.3.1

i) Nếu ∂∗f (x) là một Jacobian xấp xỉ của f tại x thì từ bất đẳng thức(2.3.1) ta suy ra (vf)−

d (x, u) ≤ sup

M ∈∂ ∗ f (x) hv, M(u)i ∀v ∈ Rm, ∀u ∈ Rn.Bất đẳng thức này tương đương với (vf)+

fd−(x, u) ≤ sup

M ∈∂ ∗ f (x)hM, ui và fd+(x, u) ≥ inf

M ∈∂ ∗ f (x)hM, ui Như vậy ∂∗f (x) là Jacobian xấp xỉ của f tại x theo định nghĩa 2.1.3.iii) Nếu ∂∗f (x) là một Jacobian xấp xỉ của f tại x thì mọi tập đóng của

Rm×n chứa ∂∗f (x) cũng là Jacobian xấp xỉ của f tại x

... ma trận Jacobian xấp xỉ ftại x Nếu với x ∈ Rn, ∂∗f (x) Jacobian xấp xỉ f x thìánh xạ đa trị ∂∗f : x 7→ ∂∗f (x) gọi ánh xạ Jacobian xấp xỉ f.Nhận... ∂∗f (x) Jacobian xấp xỉ f x theo định nghĩa 2.1.3.iii) Nếu ∂∗f (x) Jacobian xấp xỉ f x tập đóng

Rm×n chứa ∂∗f (x) Jacobian xấp xỉ f x

... ∂xfm(x0)) Jacobian xấp xỉcủa g◦f x0 Định lí chứng minh

2.3 Jacobian xấp xỉ hàm vectơ.

Cũng đạo hàm hàm vectơ khả vi mục nàychúng ta đề cập đến khái niệm Jacobian