Lý thuyết Jacobian xấp xỉ và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướ ng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình làm luận văn đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều tr ong cách ti ếp cận một vấn đề mới. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường ĐHSP Hà nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giá o giảng dạy chuyên nghành Toán giải tích, Sở GD-ĐT Bắc Ninh, Trường THPT Lý NHân Tông , gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập và hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 201 1 Tác giả Nguyễn Văn Hùng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn l à công t rình của nghiên cứu của riêng t ôi. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 201 1 Tác giả Nguyễn Văn Hùng Mục lục Mở đầu 4 Chương 1. HÀM KHẢ VI 8 1.1. Hàm khả vi t ừ R → R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Hàm khả vi t ừ R n → R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1. Các đị nh nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. Các phép tính của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Hàm khả vi t ừ R n đến R m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1. Các đị nh nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2. Các phép tính của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . 15 1.4. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. JACOBIAN XẤP XỈ 17 2.1. Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Các phép tính của Jacobian xấp xỉ. . . . . . . . . . . . . . 28 2.3. Jacobian xấ p xỉ của hàm vectơ. . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4. Hessian xấp xỉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Chương 3. ỨNG DỤNG CỦA JACOBIAN XẤP XỈ 56 3.1. Bài toán tối ưu tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2. Các l oại bài to án tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3. Bài toán tối ưu không ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . 59 3.4. Bài toán tối ưu có rà ng buộc . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5. Điều kiện tối ưu cấp hai của bài toán tối ưu vectơ . . . . . 65 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Vào nửa sau thế kỉ XVII, đồng thời và độc lập, nhà toán học người Đức là Leibniz và nhà toán học người Anh là Newton đã phát minh ra phép tính vi phân, một công cụ đắc lực để giải quyết nhiều bài toán trong vật lý, cơ học, hoá học, kỹ thuật,. . . Nhưng phép tính vi phân mà Leipniz và Newton phát m inh ra chỉ áp dụng được cho các lớp hàm có tính chất khá tốt. Một vấn đề đặt ra là đối vớ i các hàm không khả vi, vì đạo hàm của chúng không tồn tại nên có t hể thay thế khái niệm đạo hàm bằng khái niệm khác được không? Đây là vấn đề nghiên cứu của nhiều nhà toán học vào nửa cuối thế kỷ thứ XX. Từ đó môn giải tích không trơn ra đời. Môn học này đã giải quyết các bài toán trên các lớp hàm không có đạo hàm theo nghĩa thông thường bằng cách đưa ra các khái niệm dưới vi phân khác nhau để thay thế khái niệm đạo hàm, tại một điểm cho trước hàm được xấp xỉ bằng một họ các hàm tuyến tính. Nhờ đó mà giải tích không trơn đã đem lại nhiều kết quả sâu sắc trong lý thuyết tối ưu, giải tích biến phân, phương trình vi phân, cơ học và lý thuyết điều khiển. Trong những năm gần đây nhiều nhà nghiên cứu về giải tích không trơn bằng cách tập trung phát triển các dưới vi phân suy rộng đảm bảo những tính chất tốt cũng như các điều kiện cần và đủ tối ưu đối với hàm không trơn như: F.H.Clarke, R.T.Rockafellar, B.D.Craven, D.Ralph và B.M.Glover, V.F.Demyanov và V.Jeyakumar, A.D.Loffe, B.S.Morduchovich và Y.Shao, J.P.Penot,. . . Đối với hàm lồi, chúng ta có dưới vi phân của hàm lồi. Lý thuyết về dưới vi phân của hàm lồi là cô ng cụ cơ bản trong việc giải các bài toán cực trị liên quan tới các hàm lồi. Việc nghên cứu lớp hàm Lipschitz có tầ m quan trọng đặc biệt vì lớp hàm này rất gần với lớp hàm lồi và các 5 hàm khả vi thông thường. Rất gần đây, với hàm liên tục, V.Jeyakumar và D.T.Luc đã đưa ra khái niệm mới về dưới vi phân và gọi là Jacobian xấp xỉ. Các khái niệm này cho ta một công cụ hữu ích để nghiên cứu những bài toán về hàm liên tục có Jacobian xấp xỉ và cũng có những phép tính khá tốt, tương ứng với các phép tính của đạo hàm thông thường như phép lấy tích, tổng, hợp, định lý về giá trị trung bình,. . . Đặc biệt, nhiều dưới vi phân cũng là Jacobian xấp xỉ, ví như dưới vi phân của hàm lồi, hàm Lipschitz đã nói ở trên và nhiều dướ i vi phân khác như của Moduchovich, Michel-Penot, Treima n,. . . Vì vậy những kết quả thu được bằng sử dụng Jacobian xấp xỉ cũng đúng cho các hàm có dưới v i phân theo nghĩa của nhiều tác giả đã đưa r a. Hơn nữa, khác với những dưới vi phân đã đề cập đến, Jacobian xấp xỉ ở đây chỉ l à tập đóng không nhất thiết bị chặn hoặc lồi. Nhờ tính không lồi và k hông bị chặn mà ta có thể dùng để đặc trưng một số tính chất của hàm liên tục như tính Lipschitz đị a phương, tính lồi, tính đơn điệu,. . . Việc nghiên cứu Jacobian xấp xỉ đã mở rộng, thống nhất và làm sâu sắc nhiều kết quả trong giải tích không trơn và tối ưu hoá. Lý thuyết Jacobian xấp xỉ đang là đề tài được nhi ều nhà toá n học quan tâm, nghiên cứu. Với mong muốn được tìm hiểu kỹ hơn về lý thuyết Jacobian xấp xỉ, cùng với sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, tôi xin giới thiệu đề tài: “LÝ THUYẾT JACOBIAN XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG” 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của đề tài này là tập trung trình bày có hệ thống một số kết quả về Ja cobian xấp xỉ của một hàm liên tục trong không gian hữu hạn chiều, trước hết là hà m vô hướng, sau đó là hàm véctơ dựa trên cơ sở các kết quả mà V.Jeyakumar, D.T.Luc và các cộng sự nghiên cứu. Lý thuyết tối ưu vô hướng và véctơ được phát triển mạnh trong những thập 6 niên cuối t hế kỷ 20 và đầu thế kỷ 21 và đã được ứng dụng vào nhiều lĩnh vực quan trọng của toán học, đặc bi ệt trong lĩnh vực kinh tế. Trong những năm gần đây, lý thuyết này vẫn còn là đề tài hấ p dẫn đối với nhiều nhà toán học trong và ngoài nước và vẫn còn đang được quan tâm nghiên cứu và ứng dụng. Người t a đã mở rộng các kết quả thu được cho những trường hợp tổng quát hơn như trường hợp ánh xạ véctơ, ánh xạ đa trị trong những không g ian vô hạn chiều. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - N ghiên cứu l ý thuyết Jacobi an xấp xỉ và ứng dụng. - Sử dụng các kết quả và ý tưởng của các tác giả đã công bố trên cá c tạp chí để hệ thống lại theo cách hiểu và vận dụng của mình trong các tr ường hợp ứng dụng vào các bài toán không trơn trong thực tế. - Luôn luôn gắn những bài toán trên vào các lĩnh vực ứng dụng trong lý thuyết tối ưu, điều khiển tối ưu liên quan tới các hàm không trơn, để t ìm ra cá c kết quả mới t rong lĩnh vực này 4. Đối tượng và phạm vi n ghiên cứu - Trước hết tìm hiểu thật kỹ các kiến thức cơ bản thuộc lĩnh vực giải tích hiện đại liên quan tới hàm véctơ và giải tích đa trị , đặ c biệt là các tính chất của các hàm có Jacobian xấp xỉ. - Sử dụng các tính chất khác nhau của Jacobian xấp x ỉ để tìm cá c điều kiện cần và đủ cho việc tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu liên quan tới hàm có Jacobian xấp xỉ và đưa ra các ứng dụng trong các bài toán thực tế - Phân tích đặc thù riêng của từng loại bài toán để tìm ra các phương pháp k hác nhau cho việc áp dụng lý thuyết Jacobian xấp xỉ. - Ứng dụng bài toán tối ưu Jacobian xấp xỉ vào một số bài toán khác trong lý thuyết tối ưu như bài toán điểm cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân 7 5. Phương pháp nghiên cứu Dịch, đọc tài liệu, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo. Phân tích, tổng hợp kiến thức để phục phục vụ cho mục đích nghiên cứu. 6. Những đóng góp mới của đề tài - Hoàn thành luận văn về đề tài lý thuyết tối ưu Jacobian xấp xỉ và ứng dụng, dày khoảng 80 trang. - T ìm ra những ứng dụng có ý nghĩa trong lý thuyết tối ưu liên quan tới các hàm có Jacobian xấp x ỉ. - Làm rõ, hệ thống các kiên thức về hàm khả vi, Jacobia n xấp xỉ, ứng dụng của Jacobian xấp xỉ. Chương 1 HÀM KHẢ VI Trong khoảng ba thập kỷ vừa qua, lý thuyết tối ưu đã thay đổi và phát triển nhanh chóng nhằm giải quyết kịp thời những bài toán thường gặp trong thực tế được quy về dạng m in x∈D f (x), trong đó D là một tập trong không gian R n còn f là hàm số xác định trên một tập chứa D. Một lớp hàm số rất quan trọng trong loại bài toán này là hàm khả v i. 1.1. Hàm khả vi từ R → R Cho hàm f : (a, b) ⊂ R → R. Định nghĩa 1.1.1. Hàm f được g ọi là khả vi tạ i điểm c ∈ (a, b) nếu tồn tại giới hạn lim h→0 f (c + h) −f (c) h , Số lim h→0 f(c+h)−f(c) h được gọi là đạo hàm của hàm f tại c, kí hiệu f / (c) . Định nghĩa 1.1.2. Nếu hàm f khả vi tại mọi điểm x ∈ (a, b) thì ta nói f khả vi trong (a, b) . 1.2. Hàm khả vi từ R n → R 1.2.1. Các định nghĩa và tính chất Cho U là tập mở trong R n , hàm f : U → R, a = (a 1 , a 2 , , a n ) ∈ U. Ta kí hiệu L (R n , R) là không gian các hàm tuyến tính liên tục từ R n vào R. Định nghĩa 1.2.1. Hàm f được gọ i là khả vi tại điểm a nếu tồn tại một hàm tuyến tính liên tục L ∈ L (R n , R) sao c ho f (a + h) − f (a) = L (h) + ε (h) h, 9 trong đ ó h = (h 1 , h 2 , , h n ) ∈ R n , ε (h) → 0 khi h → 0. Hàm t uyến tính L được gọi là đạo hàm của f tại a, kí hiệu là f / (a) hay Df(a). Hàm f được gọi là khả vi trong U nếu nó khả vi tại mọi đi ể m x ∈ U. Từ định nghĩa ta có thể chứng minh được các định lí sau Định lí 1.2.1. Nếu f khả vi tại a thì đạo hàm tương ứn g được xác định duy nhất . Định lí 1.2.2. Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a. Định nghĩa 1.2.2. Ta nói f khả vi theo hướng v ∈ R n tại a nếu tồn tại giới hạn lim t↓0 f (a + tv) −f (a) t . Khi đó giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm f theo hướng v tại a, kí hiệu là f / (a, v). Trong trường hợp đặc biệt v là một vectơ trong cơ sở chính tắc {e 1 , e 2 , , e n } của không gian R n ta có khái niệm sau: Định n ghĩa 1.2.3. Nếu f / (a, e i ) tồn tạ i t hì được gọi là đạo hàm riêng t h ứ i của hàm f tại a, hay đạo hàm riêng theo biến x i của hàm f tại a và kí hiệu là ∂f ∂x i (a) hay D i f (a) hoặc f / x i (a) . Ta có mối quan hệ giữa đạo hàm, đạo hàm riêng và đạo hàm theo hướng như sau: Định lí 1.2.3. Nếu hàm f khả vi tại a thì f có đạo hàm riêng theo mọi biến a và f / (a) (h) = n  i=1 ∂f ∂x i (a) h i , trong đó h = (h 1 , h 2 , , h n ) ∈ R n . Từ định lí này ta suy ra f / (a) là hàm tuyến t ính được xác định bởi ma trận  ∂f ∂x 1 (a) , ∂f ∂x 2 (a) , , ∂f ∂x n (a)  và như vậy cũng có thể xem f / (a) như mộ t vectơ của không gian R n gọi là vectơ gradient của f tại a, thường kí hiệu là ∇f(a). 10 Định lí 1.2.4. Nếu hàm f có các đạo hàm riêng ∂f ∂x 1 (x) , ∂f ∂x 2 (x) , , ∂f ∂x n (x) trong một lân cận nào đó tại điể m a và chúng là các hàm số liên tục tại a thì hàm f khả vi tại a và f / (a) (h) = n  i=1 ∂f ∂x i (a) h i , trong đó h = (h 1 , h 2 , , h n ) ∈ R n . Định lí 1.2.5. Nếu hàm f khả vi tại a thì nó có đạo hàm theo mọi hướng tại a và f / (a, v) = f / (a) (v) = ∇f(a), v (v 1 , v 2 , , v n ) ∈ R n . Cho U là tập mở trong R n , hàm f : U → R, a = (a 1 , a 2 , , a n ) ∈ U. Giả sử D i f (x) tồn tại với mọi x ∈ U. Như t hế ta có ánh xạ D i f : U → R, x → D i f (x) . Định nghĩa 1.2.4. Nếu hàm D i f có đạo hàm riêng theo biến t hứ j tại a thì đạo hàm này được gọi là đạo hàm riêng cấp hai của f tại a theo biến thứ i và th ứ j hay theo các biến x i và x j , kí hiệu là D ij f(a) hay ∂ 2 f ∂x i ∂x j (a). Định lí 1.2.6.(Định lí Schwarz) Cho U là tập mở trong R n , hàm f : U → R, a = (a 1 , a 2 , , a n ) ∈ U. Nếu ∂ 2 f ∂x i ∂x j và ∂ 2 f ∂x j ∂x i tồn tại trên U và liên tục tại a thì ta có ∂ 2 f ∂x i ∂x j (a) = ∂ 2 f ∂x j ∂x i (a). Bằng quy nạp ta có thể định nghĩa đạo hàm riêng các cấp theo các biến. Áp dụng liên ti ếp định lí 1.2.6 ta suy ra nếu f có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp k trên U t hì các đạo hàm riêng ∂ p f ∂x i 1 ∂x i 2 ∂x i p (a) (p ≤ k) không phụ thuộ c vào thứ tự các biến lấy đạo hà m. Chúng l uôn được viết dưới dạng chính tắc: ∂ |α| f ∂x α 1 1 ∂x α 2 2 ∂x α n n (a), vớ i α = (α 1 , α 2 , , α n ) là bộ n số nguyên không â m , |α| = α 1 + α 2 + + α n = p. Giả sử f khả vi trong U. Khi đó ta có ánh xạ f / : U → L (R n , R) , x → f / (x). [...]... một Jacobian xấp xỉ trên của f + g tại x Định lí được chứng minh Nhận xét 2.2.2 Với cách chứng minh hoàn toàn tương tự ta thấy định lí 2.2.3 cũng thỏa mãn với Jacobian xấp xỉ dưới, nghĩa là: Nếu các hàm f, g : Rn → R tương ứng có Jacobian xấp xỉ dưới ∂∗f (x) và ∂∗g(x) tại x và một trong hai Jacobian xấp xỉ dưới đó là Jacobian xấp xỉ chính quy dưới tại x Khi đó ∂∗ f (x) + ∂∗g(x) là một Jacobian xấp xỉ. .. Jacobian xấp xỉ trên và Jacobian xấp xỉ dưới của f tại x ii) Nếu λ < 0 thì λ ∂ ∗f (x) và λ ∂∗f (x) tương ứng là các Jacobian xấp xỉ dưới và Jacobian xấp xỉ trên của f tại x Chứng minh: * Ta xét trường hợp λ > 0: 29 + − Khi đó ∀v ∈ Rn có (λf )+(x, v) = λfd (x, v) và (λf )−(x, v) = λfd (x, v) d d Do ∂ ∗f (x) và ∂∗ f (x) tương ứng là các Jacobian xấp xỉ trên và Jacobian xấp xỉ dưới của f tại x nên ta có:... một Jacobian xấp xỉ của f tại x thì với λ = 0 ta có λ ∂ x f (x) là một Jacobian xấp xỉ trên của λf tại x Nhận xét 2.2.1 Định lí 2.2.1 cũng thỏa mãn đối với Jacobian xấp xỉ chính quy trên và dưới vì vậy định lí 2.2.2 thỏa mãn với Jacobian xấp xỉ chính quy 2 Phép cộng Định lí 2.2.3 Giả sử các hàm f, g : Rn → R tương ứng có Jacobian xấp 30 xỉ trên ∂ ∗f (x) và ∂ ∗g(x) tại x và một trong hai Jacobian xấp xỉ. .. đó Jacobian xấp xỉ của hàm f có thể tính được thông qua các hàm fi Ở đây chúng ta sẽ trình bày một số phép tính cơ bản đối với Jacobian xấp xỉ dưới những điều kiện thích hợp 1 Phép nhân vô hướng Định lí 2.2.1 Cho ∂ ∗f (x) và ∂ ∗f (x) tương ứng là các Jacobian xấp xỉ trên và Jacobian xấp xỉ dưới của f tại x Khi đó: i) Nếu λ > 0 thì λ ∂ ∗f (x) và λ ∂∗f (x) tương ứng là các Jacobian xấp xỉ trên và Jacobian. .. 2.1.11 Nếu ∂ x f (x) ⊂ Rn vừa là Jacobian xấp xỉ chính quy trên vừa là Jacobian xấp xỉ chính quy dưới của hàm f tại x thì ta gọi ∂ x f (x) là Jacobian xấp xỉ chính quy của f tại x Nhận xét 2.1.4 Mỗi Jacobian xấp xỉ chính quy trên (dưới) của f tại x đều là Jacobian xấp xỉ của f tại x Ta sẽ thấy mối quan hệ giữa tính khả vi của f và tính chính quy của Jacobian xấp xỉ qua định lý dưới đây Trước hết ta nhắc... → R tương ứng có Jacobian xấp xỉ ∂ x f (x) và ∂ x g(x) tại x và một trong hai Jacobian xấp xỉ đó là Jacobian xấp xỉ chính quy tại x Khi đó ∂ x f (x) + ∂ x g(x) là một Jacobian xấp xỉ của f + g tại x Trong các định lí dưới đây chúng ta sẽ nhận được kết quả mạnh hơn các định lí trên dưới điều kiện khả vi Định lí 2.2.5 Nếu hàm f : Rn → R có một Jacobian xấp xỉ chính quy trên ∂ ∗f (x) tại x và nếu hàm... hướng tại x và có một Jacobian xấp xỉ compact chính quy trên (dưới) ∂ ∗f (x) (∂∗f (x)) tại x thì Ext(co(∂ ∗f (x))) (Ext(co(∂∗f (x)) ) là một Jacobian xấp xỉ trên (dưới) tối thiểu của f tại x Chứng minh: Giả sử ∂ ∗f (x) Jacobian xấp xỉ compact chính quy trên của f tại x Theo định lí 2.1.3 thì Ext(co(∂ ∗f (x))) là một Jacobian xấp xỉ trên của f tại x Lấy A ⊂ Ext(co(∂ ∗f (x))) là một Jacobian xấp xỉ trên... Jacobian xấp xỉ (trên/dưới) tối thiểu của f tại x nếu tại x không tồn tại một Jacobian xấp xỉ (trên/dưới) C(x) nào của f mà C(x) ∈ ∂ ∗f (x), C(x) = ∂ ∗f (x) Về quan điểm ứng dụng thì một Jacobian xấp xỉ "càng nhỏ" lại "càng tốt" Vì vậy một vấn đề được đặt ra là tìm điều kiện cho sự duy nhất và tối thiểu cho Jacobian xấp xỉ (trên/dưới) Để có khái niệm này trước tiên ta trình bày khái niệm Jacobian xấp. .. Jacobian xấp xỉ dưới của λf tại x * Trường hợp λ < 0 ta có: − + ∀v ∈ Rn : (λf )+(x, v) = λfd (x, v) và (λf )−(x, v) = λfd (x, v) d d Tiếp theo sử dụng cách chứng minh của trường hợp trên ta nhận được kết quả λ ∂ ∗ f (x) và λ ∂∗ f (x) tưng ứng là Jacobian xấp xỉ dưới và Jacobian xấp xỉ trên của λf tại x Định lí được chứng minh Kết quả trong định lí sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa 2.1.3 và định... là một Jacobian xấp xỉ trên của h tại x0 Định lí được chứng minh Nhận xét 2.2.4 Với cách lập luận như trên ta cũng thu được kết quả tương tự đối với Jacobian xấp xỉ dưới tức là: Với mỗi i ∈ I, nếu fi có một Jacobian xấp xỉ dưới ∂∗fi (x0) tại x0 thì ∂∗ h(x0) := Jacobian xấp xỉ dưới của h tại x0 ∪ ∂∗ fi (x0) là một i∈I(x0 ) Từ đây ta suy ra: Định lí 2.2.8 Với mỗi i ∈ I, nếu fi có một Jacobian xấp xỉ ∂ . tìm hiểu kỹ hơn về lý thuyết Jacobian xấp xỉ, cùng với sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, tôi xin giới thiệu đề tài: “LÝ THUYẾT JACOBIAN XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG” 2. Mục đích. luận văn về đề tài lý thuyết tối ưu Jacobian xấp xỉ và ứng dụng, dày khoảng 80 trang. - T ìm ra những ứng dụng có ý nghĩa trong lý thuyết tối ưu liên quan tới các hàm có Jacobian xấp x ỉ. - Làm rõ,. có Jacobian xấp xỉ. - Sử dụng các tính chất khác nhau của Jacobian xấp x ỉ để tìm cá c điều kiện cần và đủ cho việc tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu liên quan tới hàm có Jacobian xấp xỉ và