Chương 2. JACOBIAN XẤP XỈ 17 2.1. Định nghĩa và tính chất
2.3. Jacobian xấp xỉ của hàm vectơ
Cũng như đối với đạo hàm của hàm vectơ khả vi trong mục này chúng ta đề cập đến khái niệm Jacobian xấp xỉ của hàm vectơ. Những kết quả đã có về Jacobian xấp xỉ của hàm thực mở rộng phần trước là cơ sở giúp ta trình bày các khái niệm, các kết quả tổng quát hơn. Ở đây ta chỉ xét hàm vectơ liên tục trong không gian hữu hạn chiều.
Cho f : Rn → Rm là một hàm vectơ liên tục với f = (f1, f2, ..., fm).
Khi đó, với mỗi v ∈ Rm, v = (v1, v2, ..., vm) ta có hàm hợp vf : Rn → R được xác định bởi:
(vf) (x) = hv, f(x)i = Xm
i=1
vifi(x).
Thông qua đạo hàm Dini trên theo hướng của hàm vf ta có khái niệm Jacobian xấp xỉ của f như sau:
Định nghĩa 2.3.1. Ta nói rằng hàm f có một Jacobian xấp xỉ ∂∗f(x) tại x ∈ Rn nếu ∂∗f(x) ⊆ L(Rn, Rm) là tập đóng và với mọi v ∈ Rm, u ∈ Rn, ta có:
(vf)+d (x, u) ≤ sup
M∈∂∗f(x) hv, M(u)i. (2.3.1)
Trong đó L(Rn, Rm) là không gian các ánh xạ tuyến tính từ Rn vào Rm hay là không gian các m x n-ma trận Rm×n với chuẩn Ơclit được xác định như sau: với M ∈ Rm×n thì kMk =
kM1k2 +kM2k2 +...+kMmk212 , ở đây Mi là hàng thứ i của M. Ta kí hiệu Bm×n là hình cầu mở đơn vị trong Rm×n.
Mỗi phần tử M ∈ ∂∗f(x) được gọi là một ma trận Jacobian xấp xỉ của f tại x. Nếu với mỗi x ∈ Rn, ∂∗f(x) là một Jacobian xấp xỉ của f tại x thì ánh xạ đa trị ∂∗f : x 7→∂∗f(x) được gọi là ánh xạ Jacobian xấp xỉ của f.
Nhận xét 2.3.1.
i) Nếu ∂∗f(x) là một Jacobian xấp xỉ của f tại x thì từ bất đẳng thức (2.3.1) ta suy ra (vf)−d (x, u) ≤ sup
M∈∂∗f(x) hv, M(u)i ∀v ∈ Rm,∀u ∈ Rn. Bất đẳng thức này tương đương với (vf)+d (x, u) ≥ inf
M∈∂∗f(x) hv, M(u)i
∀v ∈ Rm,∀u ∈ Rn.
Như vậy với∂∗f(x)là một Jacobian xấp xỉ củaf tạixthì∀v ∈ Rm,∀u ∈ Rn có
sup
M∈∂∗f(x) hv, M(u)i ≥ (vf)+d (x, u) ≥ inf
M∈∂∗f(x) hv, M(u)i. ii) Khi m=1, ∀u ∈ Rn ta có
fd−(x, u) ≤ sup
M∈∂∗f(x)hM, ui và fd+(x, u) ≥ inf
M∈∂∗f(x)hM, ui. Như vậy ∂∗f(x) là Jacobian xấp xỉ của f tại x theo định nghĩa 2.1.3.
iii) Nếu ∂∗f(x) là một Jacobian xấp xỉ của f tại x thì mọi tập đóng của Rm×n chứa ∂∗f(x) cũng là Jacobian xấp xỉ của f tại x.
Nhận xét 2.3.2.
i) Nếu f khả vi tại x thì tập {Jf (x)} là một Jacobian xấp xỉ của f tại x vì ∀v ∈ Rm,∀u ∈ Rn có (vf)+d (x, u) = hv, Jf(x)(u)i. Như vậy ma trận Jacobi của f tại x là ma trận Jacobian xấp xỉ của f tại x.
ii) Giả sử f Lipschitz dịa phương tại x. Ta có kết quả : Jacobian suy rộng Clarke ∂f(x) = con
nlim→∞Jf (xn) :xn ∈/ Ωf, xn → xo
( Ωf là tập hợp các điểm mà tại đó hàm f không khả vi), là một tập 6= φ, lồi, compact trong Rm×n. Mặt khác, với mọi v ∈ Rm ta có ∂f(x)Tv = ∂0(vf)(x), trong đó
∂f(x)T gồm tất cả các ma trận chuyển vị MT với M ∈ ∂f(x).
Do đó: ∀u ∈ Rn
(vf)0(x, u) = max
ξ∈∂0(vf)(x)hξ, ui = max
M∈∂f(x)
MTv, u
= max
M∈∂f(x)hv, M(u)i. Vì (vf)+d (x, u) ≤(vf)0(x, u) ∀v ∈ Rm,∀u ∈ Rn nên
(vf)+d (x, u) ≤ max
M∈∂f(x)hv, M(u)i ∀v ∈ Rm,∀u ∈ Rn.
Theo định nghĩa 2.3.1 thì Jacobian suy rộng Clarke ∂f(x) là một Jacobian xấp xỉ lồi, compact của f tại x.
Ví dụ sau đây sẽ cho ta thấy Jacobian suy rộng Clarke còn có thể chứa thật sự một bao lồi của Jacobian xấp xỉ.
Ví dụ 2.3.1. Cho hàm f : R2 → R2 xác định bởi:
f(x, y) := (|x| − |y|, x+y). Khi đó, f có một Jacobian xấp xỉ tại (0,0) là
∂∗f(0,0) =
1 1
−1 1
,
−1 1 1 1
. Mặt khác Jacobian suy rộng Clarke của f tại (0,0)
∂f(0,0) =co
1 1
−1 1
,
−1 1 1 1
,
−1 1
−1 1
,
1 1 1 1
cũng là một Jacobian xấp xỉ của f tại (0,0) và chứa thực sự co(∂∗f(0,0)).
Sau đây ta sẽ chứng minh các tính chất cơ bản của Jacobian xấp xỉ
đối với hàm vectơ.
Định lí 2.3.1. Hàm liên tục f : Rn → Rm là khả vi Gateaux tại x0 khi và chỉ khi nó có một Jacobian xấp xỉ gồm một phần tử duy nhất tại x0.
Chứng minh: Giả sử f khả vi Gateaux tại x0 với đạo hàm Gateaux fG/(x0) = M. Khi đó : ∀v ∈ Rm,∀u ∈ Rn ta có (vf)/(x0, u) = hM(u), vi. Vậy {M} là một Jacobian xấp xỉ gồm một phần tử duy nhất của f tại x0. Ngược lại giả sử f có một Jacobian xấp xỉ tại x0 chỉ gồm một phần tử duy nhất là ∂∗f x0
= {A}. Khi đó, với mỗi v ∈ Rm ta có
(vf)+d (x0, u) = hA(u), vi, (vf)−d (x0, u) = hA(u), vi ∀u ∈ Rn
Suy ra (vf)/(x0, u) = hA(u), vi ∀u ∈ Rn. Do đó vf khả vi Gateaux tại x0 với mọi v ∈ Rm.
Vậy f khả vi Gateaux tại x0 và fG/(x0) = A. Định lí được chứng minh.
Định lí 2.3.2. Nếu f khả vi Gateaux tại x0 thì với mọi Jacobian xấp xỉ của f tại x0, bao lồi đóng của nó chứa đạo hàm Gateaux của f tại x0. Chứng minh: Giả sử f khả vi Gateaux tại x0 với đạo hàm Gateaux fG/(x0) = M. Khi đó ∀v ∈ Rm, ∀u ∈ Rn
(vf)/(x0, u) = hM(u), vi. Giả sử ∂∗f x0
là một Jacobian xấp xỉ bất kì củaf tạix0. Khi đó∀v ∈ Rm,
∀u ∈ Rn ta có:
N∈∂inf∗f(x0)hN(u), vi ≤ (vf)+d (x0, u) ≤ sup
N∈∂∗f(x0)hN(u), vi. Do đó inf
N∈∂∗f(x0)hN(u), vi ≤ hM(u), vi ≤ sup
N∈∂∗f(x0)hN(u), vi. Ta suy ra M ∈ co ∂∗f x0
. Định lí được chứng minh.
Với hàm vectơ ta cũng có khái niệm Jacobian xấp xỉ chính quy.
Định nghĩa 2.3.2. Ta nói hàm liên tục f : Rn → Rm có một Jacobian xấp xỉ chính quy ∂∗f (x) tại x ∈ Rn nếu ∂∗f (x) ⊆ L(Rn, Rm) là tập đóng và với mỗi v ∈ Rm ta có:
(vf)+d (x0, u) = sup
M∈∂∗f(x0)hM(u), vi ∀u ∈ Rn. (2.3.2)
Nhận xét 2.3.2.
i) Nếu ∂∗f (x) là Jacobian xấp xỉ chính quy của f tại x thì nó cũng là một Jacobian xấp xỉ của f tại x.
ii) Điều kiện (2.3.2) tương đương với (vf)−d (x, u) = inf
M∈∂∗f(x0)hM(u), vi ∀u ∈ Rn.
iii) Khi m=1 thì ∂∗f (x) là Jacobian xấp xỉ chính quy của hàm thực f : Rn →R theo định nghĩa 2.1.11 bằng cách lấy v = 1 và v = −1 trong đẳng thức (2.3.2).
iv) Nếu f khả vi tại x thì {Jf(x)} là một Jacobian xấp xỉ chính quy của f tại x. Khái niệm Jacobian xấp xỉ chính quy đã được sử dụng để xét tính đơn điệu, giả đơn điệu, tựa đơn điệu,...của hàm vectơ liên tục. Tuy nhiên trong phạm vi của luận văn chúng ta không đề cập đến khía cạnh này vì vậy ta không nêu ra ở đây.
Cũng như đối với Jacobian xấp xỉ của hàm thực mở rộng, ta có một số phép toán cơ bản của hàm vectơ như sau:
Định lí 2.3.3. Cho f : Rn → Rm là hàm liên tục. Giả sử rằng ∂∗f (x) là một Jacobian xấp xỉ của f tại x. Khi đó với mọi số λ > 0 thì λ∂∗f (x) là Jacobian xấp xỉ của λf tại x.
Chứng minh: Từ giả thiết ∂∗f (x) là Jacobian xấp xỉ của f tại x nên
∂∗f (x) ⊆ L(Rn, Rm) là tập đóng và ∀v ∈ Rm ta có (vf)+d (x, u) ≤ sup
M∈∂∗f()hv, M(u)i ∀u ∈ Rn.
Khi đó ∀λ > 0có λ∂∗f (x) ⊆ L(Rn, Rm) là tập đóng và ∀v ∈ Rm,∀u ∈ Rn: (v(λf))+d (x, u) = λ(vf)+d (x, u) ≤ λ sup
M∈∂∗f(x)hM(u), vi
= sup
M∈∂∗f(x)h(λM) (u), vi = sup
N∈∂∗f(x)hN(u), vi. Vậy λ∂∗f (x) là là Jacobian xấp xỉ của λf tại x.
Định lí 2.3.4. Cho f, g : Rn → Rm là liên tục. Giả sử ∂∗f (x) và
∂∗g(x) tương ứng là các Jacobian xấp xỉ của f và g tại x. Khi đó tập hợp ∂∗f (x) + ∂∗g(x) là một Jacobian xấp xỉ của f +g tại x.
Chứng minh: Với ∀v ∈ Rm,∀u ∈ Rn ta có:
[v(f +g)]+d (x, u) = lim sup
t↓0
hv, f (x+tu)−f (x) +g(x+tu)−g(x)i t
≤ lim sup
t↓0
hv, f (x+tu)−f (x)i
t + lim sup
t↓0
hv, g(x+tu)−g(x)i t
= (vf)+d (x, u) + (vg)+d (x, u)
≤ sup
M∈∂∗f(x)hM(u), vi+ sup
N∈∂∗g(x)hN(u), vi
= sup
P∈(∂∗f(x)+∂∗g(x))hP(u), vi ≤ sup
P∈(∂∗f(x)+∂∗g(x))
hP(u), vi.
Mặt khác ∂∗f (x) + ∂∗g(x) là tập đóng trong L(Rn, Rm) nên theo định nghĩa 2.3.1 ∂∗f (x) + ∂∗g(x) là Jacobian xấp xỉ của f + g tại x. Định lí được chứng minh.
Hệ quả 2.3.1. Từ định lí trên ta có ngay hệ quả: nếu một trong hai Jaco- bian xấp xỉ ∂∗f (x)hoặc∂∗g(x)là Jacobian bị chặn thì tập∂∗f (x) + ∂∗g(x) là Jacobian xấp xỉ của f +g tại x.
Dưới đây ta phát biểu và chứng minh định lí giá trị trung bình đối với hàm vectơ liên tục, mở rộng từ định lí giá trị trung bình 2.2.9 đối với hàm thực.
Định lí 2.3.5. (Định lí giá trị trung bình cho hàm vectơ)
Choa, b ∈ Rn và hàm f : Rn →Rm liên tục. Giả sử với mỗi x ∈ [a, b], hàm f có một Jacobian xấp xỉ ∂∗f (x) tại x. khi đó:
f (b)−f (a) ∈ co(∂∗f ([a, b]) (b−a)). (2.3.3)
(Vế phải của 2.3.3 có nghĩa là bao lồi đóng của tập tất cả các điểm dạng M (b−a), trong đó M ∈ ∂∗f (u) với u nào đó thuộc [a, b]).
Chứng minh: Lấy v ∈ Rm bất kì và cố định v.
Xét hàm thực g : [0,1] → R xác định bởi
g(t) :=hv, f(a+t(b−a))−f(a) +t(f(a)−f(b))i .
Khi đó g liên tục trên [0,1] và g(0) = g(1) = 0. Do đó tồn tại t0 ∈ (0,1) sao cho g đạt cực trị tại t0.
Giả sử t0 là điểm cực tiểu, ta suy ra gd−(t0, α) ≥ 0 ∀α ∈ R.
Ta có:
gd−(t0, α) = lim inf
t↓0
g(t0 + tα)−g(t0) t
Mà g(t0 + tα)−g(t0) =hv, f(a+ (t0 +tα) (b−a))−f (a) +
+ (t0 +tα) (f (a)−f (b))−f (a+t0(b−a)) +f(a)−t0(f (a)−f (b))i
= hv, f (a+t0(b−a) +tα(b−a))−f (a+t0(b−a)) + tα(f (a)−f (b))i. Từ đây suy ra ∀α ∈ R
gd−(t0, α) = lim inf
t↓0
hv, f(a+ t0(b−a) + tα(b−a))−f (a+t0(b−a))i
t +
+hv, α(f (a)−f (b))i.
= (vf)−d (a+t0(b−a), α(b−a)) +αhv, f(a)−f (b)i. Vì vậy α ∈ R
(vf)−d (a+t0(b−a), α(b−a)) ≥αhv, f (b)−f (a)i. Ta lấy α = 1 và α = −1 thì ta được
−(vf)−d (a+t0(b−a), a−b) ≤ hv, f(b)−f (a)i
≤(vf)−d (a+ t0(b−a), b −a).
Vì a+t0(b−a) ∈ [a, b] nên f có một Jacobian xấp xỉ tại a+t0(b−a) là
∂∗f (a+t0(b−a)). Do đó
(vf)−d (a+ t0(b−a), b−a) ≤ (vf)+d (a+t0(b−a), b−a)
≤ sup
M∈∂∗f(a+t0(b−a))hM (b−a), vi. Vì vậy inf
M∈∂∗f(a+t0(b−a))hM (b−a), vi ≤ hv, f (a)−f (b)i
≤ sup
M∈∂∗f(a+t0(b−a))hM (b−a), vi. Suy ra hv, f (b)−f (a)i ∈ hco(∂∗f (a+t0(b−a)) (b−a)), vi.
Vì thế hv, f(b)−f (a)i ∈ hco(∂∗f ([a, b]) (b−a)), vi. Điều này đúng với ∀v ∈ Rm nên ta có:
f (b)−f (a) ∈ co(∂∗f ([a, b]) (b−a)).
Trường hợp t0 là điểm cực đại thì gd+(t0, α) ≤ 0 ∀α ∈ R, bằng lập luận tương tự như trên ta cũng đi đến kết quả
f (b)−f (a) ∈ co(∂∗f ([a, b]) (b−a)). Định lí được chứng minh.
Ta có một số kết quả sau rút ra từ định lí:
Hệ quả 2.3.2. Cho a, b ∈ Rn và hàm f : Rn → Rm liên tục. Giả sử với mỗi x ∈ [a, b], hàm f có một Jacobian xấp xỉ bị chặn ∂∗f (x) tại x. Khi đó:
f (b)−f (a) ∈ co(∂∗f ([a, b]) (b−a)).
Chứng minh: Do với mỗi x ∈ [a, b] tập ∂∗f (x) compact nên co(∂∗f ([a, b]) (b−a)) = co(∂∗f ([a, b]) (b−a)). Vì vậy từ định lí suy ra điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.3.3. Cho a, b ∈ Rn và hàm f : Rn → Rm Lipschitz địa phương trên Rn. Khi đó: f(b) − f(a) ∈ co(∂f([a, b]) (b−a)), trong đó ∂f(x) là Jacobian suy rộng Clarke của f tại x.
Chứng minh: Với mỗi x ∈ [a, b], vì Jacobian suy rộng Clarke ∂f(x) là Jacobian xấp xỉ lồi, compact của f tạix nên từ hệ quả 2.3.3 ta suy ra ngay hệ quả 2.3.4.
Hệ qủa này chính là định lí giá trị trung bình cho hàm vectơ Lipschitz địa phương đã biết.
Sử dụng định lí giá trị trung bình ta cũng chứng minh được điều kiện cần và đủ để một hàm vectơ liên tục trở thành Lipschitz địa phương.
Định lí 2.3.6. Cho hàm f : Rn → Rm liên tục. Khi đó, f có ánh xạ Jacobian xấp xỉ ∂∗f bị chặn địa phương tại x khi và chỉ khi f Lipschitz địa phương tại x.
Chứng minh: Giả sử ∂∗f bị chặn địa phương tại x. Theo định nghĩa tồn tại một lân cận U của x, một số α > 0 sao cho kAk ≤ α ∀A∈ ∂∗f (U). Ta có thể giả thiết rằng U là tập lồi. Lấy x1, x2 bất kì thuộc U thì
x1, x2
⊂ U. Từ định lí giá trị trung bình ta có f x1
−f x2
∈ co ∂∗f
x1, x2
x1 −x2
⊂ co ∂∗f (U) x1 −x2 . Do đó
f x1
−f x2 ≤
x1 −x2
max{kAk : A∈ ∂∗f (U)} ≤ α
x1 −x2 . Vậy hàm f Lipschitz địa phương tại x.
Ngược lại, giả sử hàm f là Lipschitz địa phương tại x. Như ta đã biết, Jacobian suy rộng Clarke ∂f của f là bị chặn địa phương tại x. Khi đó có thể chọn nó là ánh xạ Jacobian xấp xỉ của f. Định lí được chứng minh.
Phần cuối của mục này ta đưa ra phép toán về Jacobian của hàm hợp.
Như đã biết với hàm f :Rn →Rm và g : Rm →Rk thì hàm hợp g◦f cũng khả vi và đạo hàm của nó được xác định bởi
D(g◦f) (x) = Dg(f (x))◦Df (x). (2.3.4)
Trường hợp f, g không khả vi thì đạo hàm của chúng không tồn tại và được thay thế bởi Jacobian xấp xỉ. Dưới đây ta sẽ thấy mối quan hệ giữa Jacobian xấp xỉ của hàm hợp g◦f với Jacobian xấp xỉ của f và g. Đó là sự mở rộng của (2.3.4).
Trước hết ta chứng minh bổ đề sau.
Bổ đề 2.3.1. Cho Γ1 ⊆L Rm, Rk
,Γ2 ⊆ L(Rn, Rm). Khi đó co(Γ1)◦co(Γ2) ⊆co(Γ1◦Γ2).
(Ở đây ta kí hiệu Γ1◦Γ2 là tập hợp {M◦N :M ∈ Γ1, N ∈ Γ2}).
Chứng minh:
Lấy M ∈ co(Γ1) và N ∈ co(Γ2). Khi đó tồn tại Mi ∈ Γ1, Nj ∈ Γ2 và các số dương λi, àj với i = 1, l, j = 1, k sao cho
Xl
i=1
λi = Xk
j=1
àj = 1 và M = Xl
i=1
λiMi, N = Xk
j=1
àjNj.
Khi đó
M◦N =
Xl
i=1
λiMi
!
◦
Xk
j=1
àjNj
!
= Xl
i=1
λi
Xk
j=1
àjMi◦Nj
! ,
mà Pk
j=1
àjMi◦Nj
Suy ra M◦N ∈ co(co(Γ1◦Γ2)) = co(Γ1◦Γ2).
Vậy co(Γ1)◦co(Γ2) ⊆ co(Γ1◦Γ2). Bổ đề được chứng minh.
Sử dụng bổ đề ta chứng minh được định lí dưới đây.
Định lí 2.3.7. Cho f : Rn → Rm và g : Rm → Rk là các hàm liên tục.
Cho ∂f và ∂g tương ứng là các ánh xạ Jacobian xấp xỉ của f và g. Khi đó với mỗi ε1, ε2 > 0 bao đóng của tập hợp S
x∈x0+ε1Bn
y∈f(x0)+ε2Bm
∂g(y)◦∂f (x) là một Jacobian xấp xỉ của g◦f tại x0.
Chứng minh:
Với ε1, ε2 > 0, ta kí hiệu D1 := x0 +ε1Bn, D2 := f (x0) + ε2Bm
và Γ1 := ∂f (D1) = S
x∈D1
∂f(x), Γ2 = ∂g(D2) = S
y∈D2
∂g(y).
Khi đó S
x∈x0+ε1Bn
y∈f(x0)+ε2Bm
∂g(y)◦∂f (x) = Γ2◦Γ1.
Để chứng minh được định lí ta chỉ cần chứng minh rằng: ∀v ∈ Rk (v(g◦f))+d (x0, u) ≤ sup
P∈Γ2◦Γ1
hv, P (u)i ∀u ∈ Rn. Lấy {ti} là dãy các số dương hội tụ tới 0 sao cho
(v(g◦f))+d (x0, u) = lim
i→∞
hv,(g◦f) (x0 +tiu)−(g◦f) (x0)i ti
. Áp dụng định lí giá trị trung bình cho f và g ta có
f (x0 +tiu)−f (x0) ∈ co(∂f ([x0, x0 +tiu]) (tiu)) và
g(f (x0+ tiu))−g(f (x0)) ∈ co(∂g([f (x0), f (x0 +tiu)]) (f (x0 + tiu)−f (x0))). Do f liên tục và x0 +tiu →x0 khi i → ∞ nên tồn tại i0 ≥1 sao cho:
[x0, x0 +tiu]⊆ D1 và [f (x0), f (x0 +tiu)] ⊆D2 ∀i ≥ i0.
Sử dụng bổ đề 2.3.1 ta suy ra:
(v(g◦f))+d (x0, u) ≤
≤ lim
i→∞supn
1
ti hv, ξi : ξ ∈ co(∂g(D2)◦co(∂f(D1) (tiu)))o
≤ lim sup
i→∞
n1
ti hv, ξi : ξ ∈ co(co(∂g(D2))◦co(∂f(D1))) (tiu)o
≤ sup{hv, ξi : ξ ∈ (Γ2◦Γ1) (u)}
= sup
Λ∈Γ2◦Γ1hv,Λ (u)i
≤ sup
Λ∈ S
x∈D1, y∈D2
∂g(y)◦∂f(x)
hv,Λ (u)i. Vậy bao đóng của tập hợp S
x∈x0+ε1Bn
y∈f(x0)+ε2Bm
∂g(y)◦∂f(x) là Jacobian xấp xỉ của g◦f tại x0. Định lí được chứng minh.
Từ định lí ta có một số hệ quả sau.
Hệ quả 2.3.4. Cho f : Rn → Rm và g : Rm → Rk là các hàm liên tục. Cho ∂f và ∂g tương ứng là các ánh xạ Jacobian xấp xỉ của f và g, u.s.c tại x0 và f (x0). Khi đó với mỗi ε1, ε2 > 0 bao đóng của tập hợp (∂g(f (x0)) + ε2Bk×m)◦(∂f(x0) +ε1Bm×n) là một Jacobian xấp xỉ của g◦f tại x0.
Chứng minh: Từ giả thiết ∂f, ∂g là u.s.c tại x0, f (x0) tương ứng. Ta suy ra ∀ε1, ε2 > 0,∃δ > 0 sao cho
∂f (x) ⊂ ∂f(x0) +ε1Bm×n ∀x ∈ x0 +δBn
∂g(y) ⊂∂g(f (x0)) +ε2Bk×m ∀y ∈ f (x0) + δBm
Suy ra:
[
x∈x0+δBn
y∈f(x0)+δBm
∂g(y)◦∂f (x) ⊆ (∂g(f (x0)) + ε2Bk×m)◦(∂f (x0) +ε1Bm×n).
Theo định lí 2.3.7 thì bao đóng của tập hợp S
x∈x0+δBn
y∈f(x0)+δBm
∂g(y)◦∂f(x)là một Jacobian xấp xỉ của g◦f tại x0.
Do đó bao đóng của tập hợp (∂g(f (x0)) + ε2Bk×m)◦(∂f(x0) +ε1Bm×n)
là một Jacobian xấp xỉ của g◦f tại x0. Hệ quả được chứng minh.
Khi g có một Jacobian xấp xỉ bị chặn (như trường hợp g khả vi hay Lipschitz địa phương) thì định lí 2.3.7 có dạng đơn giản hơn như hệ quả dưới đây.
Hệ quả 2.3.5. Cho f : Rn → Rm và g : Rm → Rk là các hàm liên tục.
Giả sử rằng ∂f là ánh xạ Jacobian xấp xỉ của f, u.s.c tại x0 và ∂g là một ánh xạ Jacobian xấp xỉ của g, bị chặn và u.s.c tại f (x0). Khi đó, với mỗi ε > 0, bao đóng của tập (∂g(f (x0)) +εBk×m)◦∂f (x0) là một Jacobian xấp xỉ của g◦f tại x0.
Chứng minh: Với mỗi ε1, ε2 > 0, ta kí hiệu D1 := x0 +ε1B1,D2 := f (x0) +ε2Bm Γ1 := S
x∈D1
∂f (x), Γ2 := S
y∈D2
∂g(y). Theo chứng minh của định lí 2.3.5, ta có
(v(g◦f))+d (x0, u) ≤ sup
M∈Γ2, N∈Γ1hv,(M◦N) (u)i
≤ sup
M∈Γ2, N∈∂f(x0)hv,(M◦N) (u)i +ε1 sup
M∈Γ2, N∈Bm×n
hv,(M◦N) (u)i. Do ∂g bị chặn và là u.s.c tại f (x0) nên Γ2 bị chặn. Mặt khác ε1 là tùy ý nên suy ra
(v(g◦f))+d (x0, u) ≤ sup
M∈Γ2, N∈∂f(x0)hv,(M◦N) (u)i
≤ sup
P∈(∂g(f(x0))+ε2Bk×m)◦∂f(x0)hv, P (u)i.
Vậy với mỗi ε > 0ta có bao đóng của tập (∂g(f (x0)) + εBk×m)◦∂f(x0) là một Jacobian xấp xỉ của g◦f tại x0. Hệ quả được chứng minh.
Trường hợp đặc biệt của hệ quả 2.3.5 khi cả hai hàm f, g đều có Jacobian bị chặn, ta nhận được phép tính chuẩn.
Hệ quả 2.3.6. Chof : Rn →Rm và g : Rm →Rk là các hàm liên tục. Giả sử rằng ∂f và ∂g tương ứng là các ánh xạ Jacobian xấp xỉ của f và g, bị chặn, u.s.c tại x0 và f (x0). Khi đó, tập ∂g(f (x0))◦∂f (x0) là một Jacobian xấp xỉ của g◦f tại x0.
Chứng minh: Từ giả thiết∂f là u.s.c tạix0,∂g bị chặn và u.s.c tại f (x0), theo chứng minh của hệ quả 2.3.5 ta có ∀ε2 > 0 :
(v(g◦f))+d (x0, u) ≤ sup
M∈Γ2, N∈∂f(x0)hv,(M◦N) (u)i
≤ sup
M∈∂g(f(x0)), N∈∂f(x0)hv,(M◦N) (u)i
+ε2 sup
M∈Bk×m, N∈∂f(x0)hv,(M◦N) (u)i. Do ∂f(x0) bị chặn và ε2 > 0 tùy ý nên
(v(g◦f))+d (x0, u) ≤ sup
P∈(∂g(f(x0)))◦∂f(x0)hv, P (u)i.
Điều này khẳng định rằng tập đóng ∂g(f (x0))◦∂f (x0) là một Jacobian xấp xỉ của g◦f tại x0. Vậy hệ quả được được chứng minh.